Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. एक ही जन्म वर्ष में जन्मे होना/Being born in the same year
Step 1
Concept
एक ही जन्म वर्ष में हर व्यक्ति स्वयं से संबंधित है। / A person is born in the same year as themselves.
Step 2
Why this answer is correct
यदि पहला दूसरे के समान वर्ष में जन्मा है, तो दूसरा भी पहले के समान वर्ष में जन्मा है, और श्रृंखला में भी यही रहेगा। / If one person has the same birth year as another, the reverse is also true, and the chain condition also holds.
Step 3
Exam Tip
समानता जैसी शर्तें समतुल्यता संबंध की ओर संकेत करती हैं। / Conditions based on sameness usually indicate equivalence relations.
(2) से भाग देने पर (1) और (3) का शेषफल समान होता है। / On division by (2), (1) and (3) have the same remainder.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (1) अपने वर्ग में (1) और (3) को साथ रखता है। / So the class of (1) contains (1) and (3).
Step 3
Exam Tip
समतुल्यता वर्ग निकालते समय दिए गए तत्व जैसा शेषफल खोजें। / To find an equivalence class, look for elements with the same remainder as the given element.
A. यह समतुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
(a+a=2a) हमेशा सम है, इसलिए प्रतिवर्ती है। / (a+a=2a) is always even, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) सम होने पर (b+a) भी सम है, इसलिए सममित है। / If (a+b) is even, then (b+a) is also even, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि दो संख्याएं तीसरी के साथ समान सम-विषम प्रकृति रखती हैं, तो वे आपस में भी वैसी ही होंगी। / If two numbers have the same parity as a middle number, they have the same parity with each other.
हर पूर्णांक अपने आप के तुल्य होता है क्योंकि (a-a=0) है। / Every integer is congruent to itself because (a-a=0).
Step 2
Why this answer is correct
समान शेषफल होने की बात क्रम बदलने पर और श्रृंखला में भी सही रहती है। / Having the same remainder is preserved when order is reversed and through a chain.
Step 3
Exam Tip
मापांक पर समान शेषफल वाले संबंध समतुल्यता संबंध के अच्छे उदाहरण हैं। / Same-remainder modulo relations are standard examples of equivalence relations.
हर तत्व अपने भाग में स्वयं के साथ है, इसलिए प्रतिवर्ती है। / Every element is in the same part as itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दो तत्व एक ही भाग में हैं, तो क्रम बदलने पर भी वे उसी भाग में रहेंगे। / If two elements are in the same part, reversing the order keeps them in the same part.
Step 3
Exam Tip
भागों द्वारा बना संबंध प्रायः समतुल्यता संबंध होता है। / A relation formed by partitions is usually an equivalence relation.
संक्रामी गुण में पहले युग्म का दूसरा तत्व दूसरे युग्म के पहले तत्व से मिलता है। / In transitivity, the second element of the first pair matches the first element of the second pair.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलना चाहिए। / Therefore, ((a,b)) and ((b,c)) imply ((a,c)).
Step 3
Exam Tip
संक्रामी प्रश्नों में मध्य तत्व को ध्यान से देखें। / In transitivity questions, focus on the middle element.
\(A\times A\) में हर संभव क्रमित युग्म होता है। / \(A\times A\) contains every possible ordered pair.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर ((a,a)), उल्टा युग्म और जरूरी संक्रामी युग्म सभी मौजूद रहते हैं। / So all identity pairs, reverse pairs, and required transitive pairs are present.
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध को समतुल्यता संबंध के सामान्य उदाहरण के रूप में याद रखें। / Remember the universal relation as a common example of an equivalence relation.
A. यह समतुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
हर संख्या अपने जैसे सम या विषम वर्ग में आती है, इसलिए प्रतिवर्ती है। / Every number belongs to the same parity class as itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) एक ही वर्ग में हैं, तो (b) और (a) भी उसी वर्ग में होंगे। / If (a) and (b) are in the same class, then (b) and (a) are also in the same class.
Step 3
Exam Tip
एक ही वर्ग पर आधारित संबंध में संक्रामिता आसानी से जांची जाती है। / Class-based relations usually make transitivity easy to verify.
(a-a=0) सम है, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। / Since (a-a=0) is even, the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) सम है, तो (b-a) भी सम होगा; और दो सम अंतरों का योग भी सम रहता है। / If (a-b) is even, then (b-a) is also even, and the sum of two even differences is even.
Step 3
Exam Tip
सम और विषम वर्गों वाले संबंध प्रायः समतुल्यता संबंध बनाते हैं। / Relations based on parity often form equivalence relations.
D. नहीं, क्योंकि संक्रामी नहीं है/No, it is not transitive
Step 1
Concept
\((1,2)\in R\) और \((2,1)\in R\) हैं। / The relation has all identity pairs, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामिता के लिए \((1,1)\in R\) चाहिए, जो है; पर ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) भी है। फिर भी ((1,2)) और ((2,1)) वाला छोटा समूह पूरा है, इसलिए यहां तीनों गुण पूरे हैं। / The pair ((1,2)) has ((2,1)), and the small block ({1,2}) is closed under transitivity.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्न में हर जोड़ी को ध्यान से मिलाएं। / Check the pair block carefully before rejecting the relation.
हर तत्व अपने आप से जुड़ा है, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। / Every element is related to itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
केवल समान युग्म हैं, इसलिए सममित और संक्रामी शर्त भी पूरी होती है। / Since only identical ordered pairs are present, symmetry and transitivity also hold.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में समतुल्यता संबंध के लिए तीनों गुण जरूर जांचें। / In exams, always check all three properties for an equivalence relation.
हर पूर्णांक का परिमाण अपने परिमाण के बराबर होता है, इसलिए परावर्तकता है। / Every integer has the same absolute value as itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
परिमाण की बराबरी उलटने पर भी सही रहती है और तीसरी संख्या तक भी बनी रहती है। / Equality of absolute values is symmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
बराबरी पर आधारित संबंधों में तीनों गुण शांत मन से जाँचें। / Relations based on equality usually become equivalence relations after all three checks.
समान सम-विषम संबंध में सम संख्याएँ एक वर्ग और विषम संख्याएँ दूसरा वर्ग बनाती हैं। / Same parity gives one class of odd numbers and one class of even numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में {(1,3)} और {(2,4)} दो वर्ग हैं। / In (A), the classes are {(1,3)} and {(2,4)}.
Step 3
Exam Tip
वर्गों की संख्या निकालने के लिए पहले समूह साफ-साफ बना लें। / To count classes, first form the groups clearly.
