पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a-b) (4) से विभाज्य हो। यह संबंध कैसा है?
On integers, (aRb) when (a-b) is divisible by (4). What type of relation is this?
#relations
#functions
#equivalence relation
#divisibility
#modulo 4
A समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
B प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रामी नहीं / Not transitive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(a-a=0), और (0) (4) से विभाज्य है, इसलिए प्रतिवर्ती है। / (a-a=0), and (0) is divisible by (4), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) (4) से विभाज्य है, तो (b-a) भी (4) से विभाज्य होगा। / If (a-b) is divisible by (4), then (b-a) is also divisible by (4).
Step 3
Exam Tip
अंतरों के योग से संक्रामिता भी पूरी होती है। / Transitivity also follows from adding differences.
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किसी संबंध (R) को समतुल्यता संबंध कहने के लिए कौन-सा विकल्प सही है?
Which option is correct for calling a relation (R) an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#definition
#properties
A (R) प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी हो / (R) is reflexive, symmetric, and transitive
B (R) केवल प्रतिवर्ती हो / (R) is only reflexive
C (R) केवल सममित हो / (R) is only symmetric
D (R) केवल संक्रामी हो / (R) is only transitive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (R) प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी हो / (R) is reflexive, symmetric, and transitive
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध की परिभाषा तीन गुणों पर आधारित है। / The definition of an equivalence relation is based on three properties.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी तीनों गुण एक साथ चाहिए। / Reflexive, symmetric, and transitive properties are all required together.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में किसी एक गुण से निर्णय न लें। / Do not decide from only one property in exams.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) है। यह समतुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\). Why is it not an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#transitive failure
#ordered pairs
A क्योंकि ((1,3)) नहीं है / Because ((1,3)) is missing
B क्योंकि ((3,3)) नहीं है / Because ((3,3)) is missing
C क्योंकि ((2,1)) नहीं है / Because ((2,1)) is missing
D क्योंकि यह प्रतिवर्ती नहीं है / Because it is not reflexive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि ((1,3)) नहीं है / Because ((1,3)) is missing
Step 1
Concept
\((1,2)\in R\) और \((2,3)\in R\) हैं। / \((1,2)\in R\) and \((2,3)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामी गुण के लिए \((1,3)\in R\) होना चाहिए, पर यह नहीं है। / Transitivity requires \((1,3)\in R\), but it is missing.
Step 3
Exam Tip
संक्रामिता में बीच वाले तत्व को जोड़कर जरूरी युग्म खोजें। / In transitivity, join the middle element to find the required pair.
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समुच्चय \(A=\{a,b,c\}\) पर \(R=\{(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(b,a)\}\) दिया है। यह संबंध किस प्रकार का है?
On \(A=\{a,b,c\}\), \(R=\{(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(b,a)\}\) is given. What type of relation is it?
#relations
#functions
#equivalence relation
#ordered pairs
#small set
A समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
B प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रामी नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
तीनों आत्म युग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। / All three identity pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((a,b)) के साथ ((b,a)) भी है और ({a,b}) का समूह संक्रामिता पूरी करता है। / ((a,b)) comes with ((b,a)), and the group ({a,b}) satisfies transitivity.
Step 3
Exam Tip
छोटे समूहों को पहचानकर समतुल्यता संबंध जल्दी जांचा जा सकता है। / Identifying small groups helps check equivalence quickly.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब \(a \equiv b \pmod{3}\)। (4) का समतुल्यता वर्ग कौन-सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) when \(a \equiv b \pmod{3}\). Which is the equivalence class of (4)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence class
#modulo 3
A ({1,4})
B ({2,5})
C ({3,6})
D ({4,5,6})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({1,4})
Step 1
Concept
(4) को (3) से भाग देने पर शेषफल (1) आता है। / (4) leaves remainder (1) on division by (3).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में (1) भी वही शेषफल देता है, इसलिए वर्ग ({1,4}) है। / In the given set, (1) also leaves the same remainder, so the class is ({1,4}).
Step 3
Exam Tip
समतुल्यता वर्ग में केवल वही तत्व रखें जो समान शेषफल दें। / Put only elements with the same remainder in the equivalence class.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध (R) इस प्रकार है कि (aRb) जब (a) और (b) दोनों सम हों या दोनों विषम हों। (R) कैसा संबंध है?
On the set \(A=\{1,2,3,4\}\), relation (R) is defined by (aRb) when (a) and (b) are both even or both odd. What type of relation is (R)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#parity
#class 12
A समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
B केवल प्रतिवर्ती / Reflexive only
C केवल सममित / Symmetric only
D संक्रित / ामी नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
हर तत्व अपने जैसे सम या विषम वर्ग में आता है, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। / Every element has the same parity as itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
समान सम-विषम प्रकृति क्रम बदलने पर भी बनी रहती है और श्रृंखला में भी बनी रहती है। / Same parity remains true when order is reversed and through a chain.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में पहले वर्ग बनाकर देखें। / In such questions, first form the classes.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)\}\) दिया है। यह संबंध कैसा है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)\}\) is given. What type of relation is this?
#relations
#functions
#equivalence relation
#ordered pairs
#reflexive symmetric transitive
A समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
B प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रामी नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
((1,1),(2,2),(3,3)) मौजूद हैं, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। / ((1,1),(2,2),(3,3)) are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) के साथ ((3,2)) भी है, इसलिए सममित गुण पूरा है और ({2,3}) का छोटा वर्ग संक्रामिता भी पूरी करता है। / ((2,3)) comes with ((3,2)), so symmetry holds, and the small class ({2,3}) also satisfies transitivity.
Step 3
Exam Tip
ऐसे संबंध में बने हुए वर्गों को देखकर उत्तर जल्दी मिल सकता है। / In such relations, identifying the formed classes helps you answer quickly.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर संबंध (R) इस प्रकार है कि (aRb) जब (a) और (b) दोनों (3) से भाग देने पर समान शेषफल दें। (1) का समतुल्यता वर्ग कौन-सा है?
On the set \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), relation (R) is defined by (aRb) when (a) and (b) give the same remainder on division by (3). Which is the equivalence class of (1)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence class
#modulo
A ({1,4})
B ({2,5})
C ({3,6})
D ({1,2,3})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({1,4})
Step 1
Concept
(1) को (3) से भाग देने पर शेषफल (1) आता है। / On division by (3), (1) leaves remainder (1).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में (4) भी (3) से भाग देने पर शेषफल (1) देता है, इसलिए (1) का वर्ग ({1,4}) है। / In the given set, (4) also leaves remainder (1), so the class of (1) is ({1,4}).
Step 3
Exam Tip
समतुल्यता वर्ग निकालते समय केवल दिए गए समुच्चय के तत्व ही लें। / While finding an equivalence class, use only the elements of the given set.
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कौन-सा तरीका समतुल्यता संबंध की जांच के लिए सबसे सही है?
Which method is the most correct for checking an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#exam tip
#property check
A प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी तीनों गुण जांचना / Check reflexive, symmetric, and transitive properties
B केवल युग्मों की संख्या गिनना / Count only the number of pairs
C केवल सबसे छोटे तत्व को देखना / Look only at the smallest element
D केवल संबंध का नाम पढ़ना / Read only the name of the relation
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी तीनों गुण जांचना / Check reflexive, symmetric, and transitive properties
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध नाम से नहीं, गुणों से तय होता है। / An equivalence relation is decided by properties, not by its name.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी तीनों गुणों की जांच जरूरी है। / Checking reflexive, symmetric, and transitive properties is necessary.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में अनुमान लगाने के बजाय गुणों की छोटी सूची बनाएं। / In exams, make a short property checklist instead of guessing.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों (2) से भाग देने पर समान शेषफल देते हैं। (4) का समतुल्यता वर्ग क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) when (a) and (b) give the same remainder on division by (2). What is the equivalence class of (4)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence class
#modulo 2
A ({2,4})
B ({1,3,5})
C ({4,5})
D ({1,4})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({2,4})
Step 1
Concept
(4) सम संख्या है, इसलिए इसका शेषफल (0) है। / (4) is even, so its remainder is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में समान शेषफल (0) देने वाली संख्याएं (2) और (4) हैं। / In (A), the numbers with the same remainder (0) are (2) and (4).
Step 3
Exam Tip
वर्ग निकालते समय दिए गए समुच्चय के बाहर की संख्या न जोड़ें। / While finding a class, do not include elements outside the given set.
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यदि (R) प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी है, तो (R) को क्या कहा जाएगा?
If (R) is reflexive, symmetric, and transitive, what is (R) called?
#relations
#functions
#equivalence relation
#definition
#properties
A समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
B फलन / Function
C एकैकी फलन / One-one function
D केवल क्रम संबंध / Order relation only
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
तीनों गुण एक साथ मिलकर समतुल्यता संबंध की परिभाषा बनाते हैं। / The three properties together form the definition of an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ऐसा (R) समतुल्यता संबंध कहलाता है। / Therefore, such an (R) is called an equivalence relation.
Step 3
Exam Tip
परिभाषा आधारित प्रश्नों में शब्दों को ध्यान से पढ़ें। / In definition-based questions, read the property words carefully.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) दो वर्ग ({1,2}) और ({3,4}) बनाता है। इनमें से कौन-सा युग्म (R) में नहीं होगा?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R) forms two classes ({1,2}) and ({3,4}). Which pair will not belong to (R)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#partition
#ordered pair
A ((1,3))
B ((1,2))
C ((4,3))
D ((2,1))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ((1,3))
Step 1
Concept
एक ही वर्ग के तत्व आपस में संबंधित होंगे। / Elements in the same class are related to each other.
Step 2
Why this answer is correct
(1) और (3) अलग-अलग वर्गों में हैं, इसलिए ((1,3)) संबंध में नहीं होगा। / (1) and (3) are in different classes, so ((1,3)) will not be in the relation.
Step 3
Exam Tip
वर्ग आधारित प्रश्नों में पहले देखें कि दोनों तत्व किस वर्ग में हैं। / In class-based questions, first check where the two elements belong.
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यदि संबंध (R) समतुल्यता संबंध है, तो ([a]) का अर्थ सामान्यतः क्या होता है?
If (R) is an equivalence relation, what does ([a]) usually mean?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence class
#notation
A (a) का समतुल्यता वर्ग / Equivalence class of (a)
B (a) का वर्गफल / Square of (a)
C (a) का व्युत्क्रम / Reciprocal of (a)
D (a) का केवल क्रमांक / Only serial number of (a)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (a) का समतुल्यता वर्ग / Equivalence class of (a)
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध में ([a]) चिन्ह (a) के वर्ग को दिखाता है। / In equivalence relations, ([a]) denotes the class of (a).
Step 2
Why this answer is correct
इसमें वे सभी तत्व होते हैं जो (a) से संबंधित हैं। / It contains all elements related to (a).
Step 3
Exam Tip
([a]) को वर्गफल समझने की गलती न करें। / Do not confuse ([a]) with the square of (a).
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब (a-b=0)। (R) कैसा है?
On real numbers, (aRb) when (a-b=0). What type of relation is (R)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equality
#real numbers
A समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
B प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रामी नहीं / Not transitive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(a-b=0) का अर्थ (a=b) है। / (a-b=0) means (a=b).
Step 2
Why this answer is correct
समानता संबंध प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी होता है। / Equality is reflexive, symmetric, and transitive.
Step 3
Exam Tip
पहले शर्त को सरल रूप में बदलें, फिर गुण जांचें। / First simplify the condition, then check the properties.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर (aRb) तब है जब (a<b)। यह समतुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3\}\), (aRb) when (a<b). Why is it not an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#less than
#not reflexive
A क्योंकि यह प्रतिवर्ती नहीं है / Because it is not reflexive
B क्योंकि यह हमेशा सार्वत्रिक है / Because it is always universal
C क्योंकि यह सभी तीन गुण पूरे करता है / Because it satisfies all three properties
D क्योंकि इसमें केवल आत्म युग्म हैं / Because it contains only identity pairs
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि यह प्रतिवर्ती नहीं है / Because it is not reflexive
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती होने के लिए (a<a) हर (a) के लिए सत्य होना चाहिए। / For reflexivity, (a<a) must be true for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
कोई भी संख्या अपने आप से छोटी नहीं होती। / No number is less than itself.
Step 3
Exam Tip
से छोटा संबंध समतुल्यता संबंध नहीं होता। / The less-than relation is not an equivalence relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर (aRb) तब है जब \(a\le b\)। यह समतुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3\}\), (aRb) when \(a\le b\). Why is it not an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#order relation
#not symmetric
A क्योंकि यह सममित नहीं है / Because it is not symmetric
B क्योंकि यह प्रतिवर्ती नहीं है / Because it is not reflexive
C क्योंकि यह संक्रामी नहीं है / Because it is not transitive
D क्योंकि इसमें ((1,1)) नहीं है / Because it lacks ((1,1))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि यह सममित नहीं है / Because it is not symmetric
Step 1
Concept
\(1\le 2\) है, इसलिए \((1,2)\in R\)। / \(1\le 2\), so \((1,2)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन \(2\le 1\) गलत है, इसलिए \((2,1)\notin R\)। / But \(2\le 1\) is false, so \((2,1)\notin R\).
Step 3
Exam Tip
क्रम संबंध अक्सर सममित नहीं होते, इसलिए वे समतुल्यता संबंध नहीं बनते। / Order relations are often not symmetric, so they are not equivalence relations.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तब है जब (a+b) विषम हो। यह समतुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) when (a+b) is odd. Why is it not an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#not reflexive
#odd sum
A क्योंकि (a+a) विषम नहीं होता / Because (a+a) is not odd
B क्योंकि यह कभी सममित नहीं होता / Because it is never symmetric
C क्योंकि इसमें कोई युग्म नहीं होगा / Because it has no pair
D क्योंकि (A) रिक्त है / Because (A) is empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (a+a) विषम नहीं होता / Because (a+a) is not odd
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती होने के लिए (aRa) हर (a) के लिए सत्य होना चाहिए। / For reflexivity, (aRa) must be true for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
(a+a=2a) हमेशा सम होता है, विषम नहीं। / (a+a=2a) is always even, not odd.
Step 3
Exam Tip
पहले प्रतिवर्ती गुण जांचने से उत्तर जल्दी मिल सकता है। / Checking reflexivity first can quickly decide many questions.
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पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a-b) (5) से विभाज्य हो। (R) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
On integers, (aRb) when (a-b) is divisible by (5). Which statement about (R) is correct?
#relations
#functions
#equivalence relation
#divisibility
#modulo 5
A यह समतुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
B यह प्रतिवर्ती नहीं है / It is not reflexive
C यह सममित नहीं है / It is not symmetric
D यह संक्रामी नहीं है / It is not transitive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह समतुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
(a-a=0), और (0) (5) से विभाज्य है। / (a-a=0), and (0) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) (5) से विभाज्य है, तो (b-a) भी (5) से विभाज्य होगा। / If (a-b) is divisible by (5), then (b-a) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता के ऐसे संबंधों में संक्रामिता भी अंतरों के योग से मिलती है। / Transitivity in such divisibility relations follows from adding differences.
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यदि (R) समतुल्यता संबंध है और (aRb), तो (a) और (b) के समतुल्यता वर्गों के बारे में क्या सही है?
If (R) is an equivalence relation and (aRb), what is correct about the equivalence classes of (a) and (b)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence class
#same class
A दोनों वर्ग समान होंगे / Both classes will be the same
B दोनों वर्ग हमेशा असंयुक्त होंगे / Both classes will always be disjoint
C दोनों वर्ग खाली होंगे / Both classes will be empty
D (a) का वर्ग छोटा होगा / The class of (a) will be smaller
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. दोनों वर्ग समान होंगे / Both classes will be the same
Step 1
Concept
(aRb) का अर्थ है कि (a) और (b) एक ही समूह में हैं। / (aRb) means (a) and (b) are in the same group.
Step 2
Why this answer is correct
समतुल्यता संबंध में एक ही समूह के तत्वों के वर्ग समान होते हैं। / In an equivalence relation, elements in the same group have identical classes.
Step 3
Exam Tip
यदि दो वर्गों में साझा तत्व मिल जाए, तो वे समान होते हैं। / If two equivalence classes share an element, they are the same.
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यदि कोई संबंध किसी समुच्चय को ({a,b}) और ({c}) वर्गों में बांटता है, तो कौन-से युग्म अवश्य होंगे?
If a relation divides a set into the classes ({a,b}) and ({c}), which pairs must be present?
#relations
#functions
#equivalence relation
#partition to relation
#ordered pairs
A ((a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c))
B ((a,c),(c,a)) ही / Only ((a,c),(c,a))
C ((b,c),(c,b)) ही / Only ((b,c),(c,b))
D कोई आत्म युग्म नहीं / No identity pair
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ((a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c))
Step 1
Concept
एक ही वर्ग के सभी तत्व आपस में संबंधित होते हैं। / All elements inside the same class are related to each other.
Step 2
Why this answer is correct
({a,b}) से चार युग्म और ({c}) से एक आत्म युग्म मिलेगा। / The class ({a,b}) gives four pairs, and ({c}) gives one identity pair.
Step 3
Exam Tip
वर्ग से संबंध बनाते समय प्रत्येक वर्ग का कार्तीय गुणन अपने साथ लें। / To form a relation from classes, take each class crossed with itself.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)\}\) है। यह संबंध कौन-सा है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)\}\). What relation is this?
#relations
#functions
#equivalence relation
#universal relation
#all pairs
A सार्वत्रिक और समतुल्यता संबंध / Universal and equivalence relation
B केवल रिक्त संबंध / Empty relation only
C प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive
D सममित नहीं / Not symmetric
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सार्वत्रिक और समतुल्यता संबंध / Universal and equivalence relation
Step 1
Concept
दिए गए (R) में (A) के सभी संभव क्रमित युग्म हैं। / The given (R) contains all possible ordered pairs of (A).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यह सार्वत्रिक संबंध है और तीनों गुण पूरे करता है। / So it is the universal relation and satisfies all three properties.
Step 3
Exam Tip
सभी संभव युग्म देखकर तुरंत \(A\times A\) पहचानें। / When all possible pairs are present, identify \(A\times A\) quickly.
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यदि \(A=\{\}\) हो और \(R=\{\}\) हो, तो (R) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
If \(A=\{\}\) and \(R=\{\}\), which statement about (R) is correct?
#relations
#functions
#equivalence relation
#empty set
#vacuous truth
A यह समतुल्यता संबंध माना जा सकता है / It can be considered an equivalence relation
B यह प्रतिवर्ती नहीं हो सकता / It cannot be reflexive
C यह सममित नहीं हो सकता / It cannot be symmetric
D यह संक्रामी नहीं हो सकता / It cannot be transitive
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Correct Answer
A. यह समतुल्यता संबंध माना जा सकता है / It can be considered an equivalence relation
Step 1
Concept
खाली समुच्चय में जांचने के लिए कोई तत्व नहीं होता। / In an empty set, there is no element to check.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी शर्तों का विरोध नहीं होता। / Therefore, reflexive, symmetric, and transitive conditions are not violated.
Step 3
Exam Tip
स्कूल परीक्षा में यदि समुच्चय अरिक्त दिया हो, तो उस स्थिति को अलग मानें। / In school exams, treat the non-empty set case separately if it is specified.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर रिक्त संबंध \(R=\{\}\) दिया है। क्या यह समतुल्यता संबंध है?
On \(A=\{1,2,3\}\), the empty relation \(R=\{\}\) is given. Is it an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#empty relation
#reflexive
A नहीं, क्योंकि यह प्रतिवर्ती नहीं है / No, because it is not reflexive
B हाँ, क्योंकि कोई गलत युग्म नहीं है / Yes, because there is no wrong pair
C हाँ, क्योंकि यह सममित है / Yes, because it is symmetric
D हाँ, क्योंकि यह संक्रामी है / Yes, because it is transitive
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Correct Answer
A. नहीं, क्योंकि यह प्रतिवर्ती नहीं है / No, because it is not reflexive
Step 1
Concept
अरिक्त समुच्चय पर प्रतिवर्ती होने के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) चाहिए। / On a non-empty set, reflexivity requires ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 2
Why this answer is correct
रिक्त संबंध में कोई आत्म युग्म नहीं है। / The empty relation has no identity pairs.
Step 3
Exam Tip
अरिक्त समुच्चय पर रिक्त संबंध समतुल्यता संबंध नहीं होता। / On a non-empty set, the empty relation is not an equivalence relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) है। यह समतुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\). Why is it not an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#transitivity failure
#ordered pairs
A क्योंकि ((1,3)) नहीं है / Because ((1,3)) is missing
B क्योंकि ((4,4)) नहीं है / Because ((4,4)) is missing
C क्योंकि ((2,1)) नहीं है / Because ((2,1)) is missing
D क्योंकि ((3,2)) नहीं है / Because ((3,2)) is missing
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि ((1,3)) नहीं है / Because ((1,3)) is missing
Step 1
Concept
\((1,2)\in R\) और \((2,3)\in R\) हैं। / We have \((1,2)\in R\) and \((2,3)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामिता के लिए \((1,3)\in R\) होना चाहिए, लेकिन यह नहीं है। / Transitivity requires \((1,3)\in R\), but it is absent.
Step 3
Exam Tip
संक्रामिता में युग्मों की श्रृंखला बनाकर कमी खोजें। / To test transitivity, form chains of ordered pairs and find missing links.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,4),(4,1)\}\) है। (R) के बारे में सही कथन क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,4),(4,1)\}\). What is the correct statement about (R)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#ordered pairs
#classes
A यह समतुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
B यह प्रतिवर्ती नहीं है / It is not reflexive
C यह सममित नहीं है / It is not symmetric
D यह संक्रामी नहीं है क्योंकि ((1,1)) नहीं है / It is not transitive because ((1,1)) is missing
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह समतुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
सभी आत्म युग्म मौजूद हैं, इसलिए प्रतिवर्ती है। / All identity pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,4)) और ((4,1)) दोनों हैं, इसलिए सममित है। / Both ((1,4)) and ((4,1)) are present, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
वर्ग ({1,4}), ({2}), ({3}) बनते हैं, इसलिए संक्रामिता भी ठीक है। / The classes are ({1,4}), ({2}), and ({3}), so transitivity also holds.
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यदि कोई संबंध समतुल्यता संबंध है, तो क्या वह अवश्य संक्रामी होगा?
If a relation is an equivalence relation, must it be transitive?
#relations
#functions
#equivalence relation
#transitive
#definition
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल तब जब समुच्चय में दो तत्व हों / Only when the set has two elements
D केवल तब जब संबंध सार्वत्रिक हो / Only when the relation is universal
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Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
संक्रामी गुण समतुल्यता संबंध की तीसरी जरूरी शर्त है। / Transitivity is the third required condition for an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
यदि यह गुण न हो, तो संबंध समतुल्यता संबंध नहीं रह जाता। / If this property fails, the relation is not an equivalence relation.
Step 3
Exam Tip
तीनों गुणों को एक साथ याद रखें। / Remember all three properties together.
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यदि कोई संबंध समतुल्यता संबंध है, तो क्या वह अवश्य सममित होगा?
If a relation is an equivalence relation, must it be symmetric?
#relations
#functions
#equivalence relation
#symmetric
#definition
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल तब जब सभी तत्व बराबर हों / Only when all elements are equal
D केवल तब जब कोई युग्म न हो / Only when there is no pair
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
सममित गुण समतुल्यता संबंध का जरूरी भाग है। / Symmetry is a required part of an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर संबंधित युग्म का उल्टा युग्म भी संबंध में होना चाहिए। / So every related ordered pair must have its reverse pair in the relation.
Step 3
Exam Tip
समतुल्यता संबंध में उल्टा युग्म भूलना सामान्य गलती है। / Forgetting reverse pairs is a common mistake in equivalence relation questions.
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यदि कोई संबंध समतुल्यता संबंध है, तो क्या वह अवश्य प्रतिवर्ती होगा?
If a relation is an equivalence relation, must it be reflexive?
#relations
#functions
#equivalence relation
#reflexive
#definition
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल जब समुच्चय सीमित हो / Only when the set is finite
D केवल जब संबंध रिक्त हो / Only when the relation is empty
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Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती गुण समतुल्यता संबंध की अनिवार्य शर्त है। / Reflexivity is a compulsory condition for an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर समतुल्यता संबंध प्रतिवर्ती होता है। / Therefore, every equivalence relation must be reflexive.
Step 3
Exam Tip
ऐसे सीधे प्रश्नों में परिभाषा याद रखना सबसे उपयोगी है। / For direct questions like this, remembering the definition is most useful.
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यदि (R) समतुल्यता संबंध है, तो दो समतुल्यता वर्गों के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If (R) is an equivalence relation, which statement about two equivalence classes is correct?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence classes
#disjoint
A वे या तो समान होते हैं या असंयुक्त होते हैं / They are either identical or disjoint
B वे हमेशा आंशिक रूप से कटते हैं / They always partially overlap
C वे हमेशा खाली होते हैं / They are always empty
D उनमें केवल एक-एक तत्व होता है / They contain exactly one element each
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Correct Answer
A. वे या तो समान होते हैं या असंयुक्त होते हैं / They are either identical or disjoint
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध समुच्चय को साफ भागों में बांटता है। / An equivalence relation divides a set into clear blocks.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए दो वर्गों में या तो वही तत्व होंगे या कोई साझा तत्व नहीं होगा। / So two classes are either the same or have no common element.
Step 3
Exam Tip
वर्गों के आपसी संबंध को भागों की तरह समझें। / Think of equivalence classes as parts of a partition.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) का (3) से भाग देने पर शेषफल समान हो। (R) कितने समतुल्यता वर्ग बनाता है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) when (a) and (b) leave the same remainder on division by (3). How many equivalence classes does (R) form?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence classes
#modulo
A (3)
B (2)
C (6)
D (1)
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Step 1
Concept
(3) से भाग देने पर संभावित शेषफल (0,1,2) हैं। / The possible remainders on division by (3) are (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
हर शेषफल एक अलग वर्ग बनाता है। / Each remainder forms a separate class.
Step 3
Exam Tip
मापांक (n) में प्रायः (n) शेषफल वर्ग मिलते हैं, यदि सभी शेषफल मौजूद हों। / In modulo (n), we usually get (n) remainder classes if all remainders occur.
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