समतुल्यता संबंध में संक्रामी गुण का सही अर्थ कौन-सा है?
What is the correct meaning of the transitive property in an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#transitive property
#definition
A यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\), तो \((a,c)\in R\) / If \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\), then \((a,c)\in R\)
B यदि \((a,b)\in R\), तो \((b,a)\in R\) / If \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\)
C हर (a) के लिए \((a,a)\in R\) / For every (a), \((a,a)\in R\)
D हर युग्म में दोनों तत्व अलग हों / Both elements are different in every pair
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\), तो \((a,c)\in R\) / If \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\), then \((a,c)\in R\)
Step 1
Concept
संक्रामी गुण में दो युग्मों की कड़ी बनती है। / Transitivity forms a link between two pairs.
Step 2
Why this answer is correct
((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलना चाहिए। / From ((a,b)) and ((b,c)), ((a,c)) must follow.
Step 3
Exam Tip
बीच वाले समान तत्व को पहचानकर उत्तर दें। / Identify the common middle element before answering.
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समतुल्यता संबंध में सममित गुण का सही अर्थ कौन-सा है?
What is the correct meaning of the symmetric property in an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#symmetric property
#definition
A यदि \((a,b)\in R\), तो \((b,a)\in R\) / If \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\)
B यदि \((a,a)\in R\), तो (a=0) / If \((a,a)\in R\), then (a=0)
C यदि \((a,b)\in R\), तो \((a,c)\in R\) / If \((a,b)\in R\), then \((a,c)\in R\)
D यदि (a<b), तो (b<a) / If (a<b), then (b<a)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यदि \((a,b)\in R\), तो \((b,a)\in R\) / If \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\)
Step 1
Concept
सममित गुण में क्रम उलटने पर संबंध बना रहना चाहिए। / In symmetry, the relation remains true after reversing the order.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी होना चाहिए। / So ((a,b)) must come with ((b,a)).
Step 3
Exam Tip
उल्टा युग्म देखकर सममितता पहचानें। / Identify symmetry by checking the reverse pair.
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समतुल्यता संबंध में प्रतिवर्ती गुण का सही अर्थ कौन-सा है?
What is the correct meaning of the reflexive property in an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#reflexive property
#definition
A हर \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) / For every \(a\in A\), \((a,a)\in R\)
B हर ((a,b)) के लिए \((b,a)\in R\) / For every ((a,b)), \((b,a)\in R\)
C हर ((a,b)) और ((b,c)) से \((a,c)\in R\) / From every ((a,b)) and ((b,c)), \((a,c)\in R\)
D कोई भी आत्म युग्म न हो / No identity pair exists
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Correct Answer
A. हर \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) / For every \(a\in A\), \((a,a)\in R\)
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती गुण आत्म युग्मों से जुड़ा होता है। / Reflexivity is connected with identity pairs.
Step 2
Why this answer is correct
हर तत्व (a) के लिए \((a,a)\in R\) होना चाहिए। / For every element (a), \((a,a)\in R\) must be present.
Step 3
Exam Tip
प्रतिवर्तीता जांचने के लिए सभी आत्म युग्मों की सूची देखें। / To check reflexivity, list all identity pairs.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=A\times A\) में कितने क्रमित युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3\}\), how many ordered pairs will be in \(R=A\times A\)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#universal relation
#ordered pairs
A (9)
B (6)
C (3)
D (1)
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Step 1
Concept
(A) में (3) तत्व हैं। / The set (A) has (3) elements.
Step 2
Why this answer is correct
\(A\times A\) में युग्मों की संख्या \(3\times 3=9\) होती है। / \(A\times A\) has \(3\times 3=9\) ordered pairs.
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध में सभी संभव क्रमित युग्म गिनें। / In a universal relation, count all possible ordered pairs.
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यदि (a) और (b) अलग-अलग समतुल्यता वर्गों में हैं, तो ((a,b)) के बारे में क्या सही है?
If (a) and (b) are in different equivalence classes, what is correct about ((a,b))?
#relations
#functions
#equivalence relation
#different classes
#not related
A \((a,b)\notin R\)
B \((a,b)\in R\) हमेशा / \((a,b)\in R\) always
C \((b,a)\in R\) हमेशा / \((b,a)\in R\) always
D \((a,a)\notin R\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \((a,b)\notin R\)
Step 1
Concept
अलग-अलग समतुल्यता वर्गों के तत्व संबंधित नहीं होते। / Elements from different equivalence classes are not related.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) संबंध (R) में नहीं होगा। / Therefore, ((a,b)) will not belong to (R).
Step 3
Exam Tip
वर्ग अलग दिखें तो युग्म को संबंध से बाहर मानें। / If the classes are different, treat the pair as outside the relation.
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समतुल्यता संबंध से बने किसी वर्ग के भीतर दो तत्वों के बारे में सही बात क्या है?
What is correct about two elements inside the same class formed by an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence class
#related elements
A वे आपस में संबंधित होते हैं / They are related to each other
B वे कभी संबंधित नहीं होते / They are never related
C वे केवल छोटे-बड़े होते हैं / They are only greater or smaller
D उनका कोई संबंध तय नहीं होता / Their relation is not decided
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Correct Answer
A. वे आपस में संबंधित होते हैं / They are related to each other
Step 1
Concept
समतुल्यता वर्ग का अर्थ ही ऐसे तत्वों का समूह है जो एक-दूसरे से संबंधित हैं। / An equivalence class is a group of elements related to one another.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए एक ही वर्ग में मौजूद दो तत्वों का युग्म संबंध में आता है। / Therefore, two elements in the same class form a pair in the relation.
Step 3
Exam Tip
वर्ग के भीतर संबंध मानकर युग्म लिखें। / For elements inside the same class, write the related pair.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) (2) से भाग देने पर समान शेषफल दें। (3) का समतुल्यता वर्ग क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) when (a) and (b) leave the same remainder on division by (2). What is the equivalence class of (3)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#modulo 2
#odd class
A ({1,3,5})
B ({2,4,6})
C ({3,4})
D ({1,2,3})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({1,3,5})
Step 1
Concept
(3) विषम संख्या है और (2) से भाग देने पर शेषफल (1) देती है। / (3) is odd and leaves remainder (1) on division by (2).
Step 2
Why this answer is correct
(1,3,5) सभी वही शेषफल देते हैं। / (1,3,5) all leave the same remainder.
Step 3
Exam Tip
सम और विषम वर्गों को अलग पहचानना आसान तरीका है। / Separating even and odd classes is an easy method.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों (2) से विभाज्य हों या दोनों (2) से विभाज्य न हों। (2) का वर्ग कौन-सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) when (a) and (b) are both divisible by (2) or both not divisible by (2). Which is the class of (2)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#divisibility
#equivalence class
A ({2,4,6})
B ({1,3,5})
C ({1,2})
D ({2,3,4})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({2,4,6})
Step 1
Concept
(2) सम संख्या है और (2) से विभाज्य है। / (2) is even and divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में (2,4,6) सभी (2) से विभाज्य हैं। / In the given set, (2,4,6) are all divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
वर्ग बनाते समय वही गुण रखने वाले सभी तत्व जोड़ें। / While forming a class, include all elements with the same property.
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यदि संबंध सममित और संक्रामी है, लेकिन प्रतिवर्ती नहीं है, तो समतुल्यता संबंध के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
If a relation is symmetric and transitive but not reflexive, what is the correct conclusion about equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#concept check
#reflexive
A यह समतुल्यता संबंध नहीं है / It is not an equivalence relation
B यह हमेशा समतुल्यता संबंध है / It is always an equivalence relation
C यह केवल सीमित समुच्चय पर समतुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation only on finite sets
D यह केवल रिक्त संबंध है / It is only an empty relation
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह समतुल्यता संबंध नहीं है / It is not an equivalence relation
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती गुण समतुल्यता संबंध की अनिवार्य शर्त है। / Reflexivity is a compulsory condition for an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिवर्ती गुण नहीं है, इसलिए संबंध समतुल्यता संबंध नहीं हो सकता। / Since reflexivity is missing, the relation cannot be an equivalence relation.
Step 3
Exam Tip
परिभाषा के तीनों गुण याद रखना जरूरी है। / It is important to remember all three defining properties.
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यदि संबंध प्रतिवर्ती और संक्रामी है, लेकिन सममित नहीं है, तो वह क्या होगा?
If a relation is reflexive and transitive but not symmetric, what will it be?
#relations
#functions
#equivalence relation
#concept check
#symmetric
A समतुल्यता संबंध नहीं होगा / It will not be an equivalence relation
B समतुल्यता संबंध होगा / It will be an equivalence relation
C सदैव रिक्त संबंध होगा / It will always be an empty relation
D सदैव सार्वत्रिक संबंध होगा / It will always be a universal relation
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. समतुल्यता संबंध नहीं होगा / It will not be an equivalence relation
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध के लिए सममित गुण भी जरूरी है। / Symmetry is also necessary for an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
सममित गुण न होने पर तीनों गुण पूरे नहीं होते। / Without symmetry, all three properties are not satisfied.
Step 3
Exam Tip
दो गुण पूरे होने पर भी तीसरा गुण अवश्य जांचें। / Even if two properties hold, always check the third one.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,3)\}\) है। यह समतुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,3)\}\). Why is it not an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#symmetric failure
#ordered pairs
A क्योंकि ((3,1)) नहीं है / Because ((3,1)) is missing
B क्योंकि ((2,2)) नहीं है / Because ((2,2)) is missing
C क्योंकि ((1,1)) नहीं है / Because ((1,1)) is missing
D क्योंकि यह प्रतिवर्ती नहीं है / Because it is not reflexive
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Correct Answer
A. क्योंकि ((3,1)) नहीं है / Because ((3,1)) is missing
Step 1
Concept
संबंध में ((1,3)) मौजूद है। / The pair ((1,3)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता के लिए इसका उल्टा युग्म ((3,1)) होना चाहिए, जो नहीं है। / For symmetry, the reverse pair ((3,1)) must be present, but it is missing.
Step 3
Exam Tip
हर असमान युग्म का उल्टा युग्म जरूर जांचें। / Always check the reverse of every non-identical pair.
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कौन-सा संबंध समतुल्यता संबंध नहीं बनता?
Which relation does not form an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#non example
#greater than
A से बड़ा होना / Being greater than
B एक ही रंग का होना / Having the same color
C एक ही आकार का होना / Having the same shape
D समान शेषफल देना / Giving the same remainder
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. से बड़ा होना / Being greater than
Step 1
Concept
कोई संख्या अपने आप से बड़ी नहीं होती, इसलिए प्रतिवर्ती गुण नहीं है। / No number is greater than itself, so reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a>b), तो सामान्यतः (b>a) नहीं होगा, इसलिए सममितता भी नहीं है। / If (a>b), then generally (b>a) is not true, so symmetry also fails.
Step 3
Exam Tip
तुलना वाले संबंधों में सावधानी रखें। / Be careful with comparison relations.
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कौन-सा संबंध सामान्यतः समतुल्यता संबंध है?
Which relation is generally an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#real life example
#same city
A एक ही शहर में रहना / Living in the same city
B किसी से लंबा होना / Being taller than someone
C किसी से पहले आना / Coming before someone
D किसी से कम अंक पाना / Scoring less than someone
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एक ही शहर में रहना / Living in the same city
Step 1
Concept
कोई व्यक्ति अपने ही शहर में रहता है, इसलिए प्रतिवर्ती विचार पूरा होता है। / A person lives in the same city as themselves, so reflexivity is satisfied.
Step 2
Why this answer is correct
एक ही शहर में रहना क्रम बदलने पर और समूह में भी सही रहता है। / Living in the same city remains true when order is reversed and within a group.
Step 3
Exam Tip
समान गुण वाली स्थिति समतुल्यता संबंध का अच्छा संकेत देती है। / A shared property is a good sign of an equivalence relation.
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समुच्चय \(A=\{-2,-1,1,2\}\) पर (aRb) तब है जब (|a|=|b|)। (-2) का समतुल्यता वर्ग क्या है?
On \(A=\{-2,-1,1,2\}\), (aRb) when (|a|=|b|). What is the equivalence class of (-2)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#absolute value
#equivalence class
A ({-2,2})
B ({-1,1})
C ({-2,-1})
D ({1,2})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({-2,2})
Step 1
Concept
(|-2|=2) है। / (|-2|=2).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में (2) का परम मान भी (2) है, इसलिए वर्ग ({-2,2}) है। / In the given set, (2) also has absolute value (2), so the class is ({-2,2}).
Step 3
Exam Tip
परम मान वाले प्रश्न में चिन्ह के बजाय दूरी जैसे मान को देखें। / In absolute value questions, focus on the magnitude rather than the sign.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब \(a^2=b^2\)। यह समतुल्यता संबंध क्यों है?
On real numbers, (aRb) when \(a^2=b^2\). Why is this an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#square equality
#real numbers
A क्योंकि यह बराबरी पर आधारित है और तीनों गुण पूरे करता है / Because it is based on equality and satisfies all three properties
B क्योंकि यह केवल सममित है / Because it is only symmetric
C क्योंकि यह प्रतिवर्ती नहीं है / Because it is not reflexive
D क्योंकि यह कभी संक्रामी नहीं होता / Because it is never transitive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि यह बराबरी पर आधारित है और तीनों गुण पूरे करता है / Because it is based on equality and satisfies all three properties
Step 1
Concept
\(a^2=a^2\), इसलिए प्रतिवर्ती गुण है। / \(a^2=a^2\), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
\(a^2=b^2\) होने पर \(b^2=a^2\) और बराबरी की श्रृंखला भी सही रहती है। / If \(a^2=b^2\), then \(b^2=a^2\), and equality also passes through a chain.
Step 3
Exam Tip
बराबरी आधारित शर्तों में तीनों गुण अलग-अलग जांचें। / For equality-based conditions, check the three properties separately.
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यदि दो समतुल्यता वर्गों में एक भी साझा तत्व हो, तो उनके बारे में क्या सही है?
If two equivalence classes have even one common element, what is correct about them?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence classes
#disjoint
A वे समान वर्ग होंगे / They will be the same class
B वे हमेशा अलग रहेंगे / They will always remain different
C वे दोनों खाली होंगे / Both will be empty
D उनमें केवल दो तत्व होंगे / They will contain only two elements
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. वे समान वर्ग होंगे / They will be the same class
Step 1
Concept
समतुल्यता वर्ग समुच्चय को बिना टूटे भागों में बांटते हैं। / Equivalence classes divide a set into complete non-overlapping parts.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दो वर्गों में साझा तत्व है, तो वे अलग नहीं हो सकते और समान होंगे। / If two classes share an element, they cannot be different and must be the same.
Step 3
Exam Tip
समतुल्यता वर्गों में आंशिक कटाव नहीं होता। / Equivalence classes do not partially overlap.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर संबंध (R) वर्ग ({1,5}), ({2,3,4}) बनाता है। कौन-सा युग्म (R) में नहीं होगा?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), relation (R) forms the classes ({1,5}), ({2,3,4}). Which pair will not belong to (R)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#partition
#not related
A ((1,3))
B ((5,1))
C ((2,4))
D ((3,2))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ((1,3))
Step 1
Concept
अलग-अलग वर्गों के तत्व संबंधित नहीं होते। / Elements from different classes are not related.
Step 2
Why this answer is correct
(1) वर्ग ({1,5}) में है और (3) वर्ग ({2,3,4}) में है, इसलिए \((1,3)\notin R\)। / (1) is in ({1,5}), while (3) is in ({2,3,4}), so \((1,3)\notin R\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग अलग हों तो युग्म संबंध में नहीं आएगा। / If the classes are different, the pair is not in the relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर संबंध (R) दो वर्ग ({1,5}), ({2,3,4}) बनाता है। कौन-सा युग्म (R) में अवश्य होगा?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), relation (R) forms two classes ({1,5}), ({2,3,4}). Which pair must belong to (R)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#partition
#ordered pairs
A ((3,4))
B ((1,2))
C ((5,3))
D ((4,1))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ((3,4))
Step 1
Concept
एक ही वर्ग के सभी तत्व आपस में संबंधित होते हैं। / All elements in the same class are related to one another.
Step 2
Why this answer is correct
(3) और (4) दोनों ({2,3,4}) में हैं, इसलिए \((3,4)\in R\) होगा। / (3) and (4) both belong to ({2,3,4}), so \((3,4)\in R\).
Step 3
Exam Tip
युग्म देखने से पहले दोनों तत्वों का वर्ग पहचानें। / Before checking a pair, identify the class of both elements.
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यदि \(R=\{(a,a):a\in A\}\) है, तो (R) को किस रूप में पहचाना जा सकता है?
If \(R=\{(a,a):a\in A\}\), how can (R) be identified?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equality relation
#identity relation
A समानता संबंध और समतुल्यता संबंध / Equality relation and equivalence relation
B केवल असममित संबंध / Only asymmetric relation
C सार्वत्रिक नहीं इसलिए प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive because it is not universal
D कभी संक्रामी नहीं / Never transitive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. समानता संबंध और समतुल्यता संबंध / Equality relation and equivalence relation
Step 1
Concept
(R) में हर तत्व केवल अपने आप से संबंधित है। / In (R), every element is related only to itself.
Step 2
Why this answer is correct
ऐसा संबंध प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी होता है। / Such a relation is reflexive, symmetric, and transitive.
Step 3
Exam Tip
समानता संबंध समतुल्यता संबंध का मुख्य उदाहरण है। / The equality relation is a key example of an equivalence relation.
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अरिक्त समुच्चय \(A=\{1,2\}\) पर रिक्त संबंध \(R=\{\}\) है। क्या (R) समतुल्यता संबंध है?
On the non-empty set \(A=\{1,2\}\), the empty relation \(R=\{\}\) is given. Is (R) an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#empty relation
#non empty set
A नहीं, क्योंकि यह प्रतिवर्ती नहीं है / No, because it is not reflexive
B हाँ, क्योंकि इसमें कोई गलत युग्म नहीं है / Yes, because it has no wrong pair
C हाँ, क्योंकि यह सार्वत्रिक है / Yes, because it is universal
D हाँ, क्योंकि यह सभी गुण पूरा करता है / Yes, because it satisfies all properties
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. नहीं, क्योंकि यह प्रतिवर्ती नहीं है / No, because it is not reflexive
Step 1
Concept
अरिक्त समुच्चय पर प्रतिवर्ती होने के लिए ((1,1)) और ((2,2)) चाहिए। / On a non-empty set, reflexivity requires ((1,1)) and ((2,2)).
Step 2
Why this answer is correct
रिक्त संबंध में कोई आत्म युग्म नहीं है। / The empty relation has no identity pair.
Step 3
Exam Tip
अरिक्त समुच्चय पर रिक्त संबंध को समतुल्यता संबंध न मानें। / Do not treat the empty relation on a non-empty set as an equivalence relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर सार्वत्रिक संबंध \(R=A\times A\) है। यह कैसा संबंध है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), the universal relation \(R=A\times A\) is given. What type of relation is it?
#relations
#functions
#equivalence relation
#universal relation
#cartesian product
A समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
B प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रामी नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
सार्वत्रिक संबंध में सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। / A universal relation contains all possible ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए आत्म युग्म, उल्टे युग्म और संक्रामी युग्म सभी मिल जाते हैं। / Therefore, identity pairs, reverse pairs, and transitive pairs are all present.
Step 3
Exam Tip
\(A\times A\) देखकर तीनों गुण तुरंत पहचानें। / On seeing \(A\times A\), quickly identify all three properties.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) (4) से भाग देने पर समान शेषफल दें। कितने समतुल्यता वर्ग बनेंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), (aRb) when (a) and (b) leave the same remainder on division by (4). How many equivalence classes are formed?
#relations
#functions
#equivalence relation
#modulo 4
#number of classes
A (4)
B (2)
C (8)
D (1)
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Step 1
Concept
(4) से भाग देने पर संभावित शेषफल (0,1,2,3) होते हैं। / On division by (4), the possible remainders are (0,1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में चारों शेषफल मिलते हैं, इसलिए चार वर्ग बनेंगे। / All four remainders occur in the given set, so four classes are formed.
Step 3
Exam Tip
मापांक प्रश्नों में शेषफलों की संख्या गिनना तेज तरीका है। / In modulo questions, counting remainders is a quick method.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब (|a|=|b|)। (R) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
On real numbers, (aRb) when (|a|=|b|). Which statement about (R) is correct?
#relations
#functions
#equivalence relation
#absolute value
#real numbers
A यह समतुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
B यह प्रतिवर्ती नहीं है / It is not reflexive
C यह सममित नहीं है / It is not symmetric
D यह संक्रामी नहीं है / It is not transitive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह समतुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
(|a|=|a|) हर (a) के लिए सत्य है। / (|a|=|a|) is true for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
बराबर परम मान का संबंध क्रम बदलने पर और श्रृंखला में भी सत्य रहता है। / Equality of absolute values remains true when order is reversed and through a chain.
Step 3
Exam Tip
समान मान आधारित संबंधों में तीनों गुण अक्सर साफ दिखते हैं। / Relations based on equality of values often show all three properties clearly.
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यदि (R) समतुल्यता संबंध है और (a) किसी समुच्चय का तत्व है, तो ([a]) में कौन-से तत्व आते हैं?
If (R) is an equivalence relation and (a) is an element of a set, which elements come in ([a])?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence class
#notation
A वे सभी तत्व जो (a) से संबंधित हैं / All elements related to (a)
B केवल (a) से बड़े तत्व / Only elements greater than (a)
C केवल (a) से छोटे तत्व / Only elements smaller than (a)
D केवल कोई एक बाहरी तत्व / Only one outside element
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. वे सभी तत्व जो (a) से संबंधित हैं / All elements related to (a)
Step 1
Concept
([a]) का अर्थ (a) का समतुल्यता वर्ग है। / ([a]) means the equivalence class of (a).
Step 2
Why this answer is correct
इसमें वे सभी तत्व आते हैं जो संबंध (R) के अनुसार (a) से जुड़े हैं। / It contains all elements related to (a) according to (R).
Step 3
Exam Tip
वर्ग निकालते समय संबंध की शर्त को सीधे लागू करें। / To find a class, directly apply the condition of the relation.
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किसी समतुल्यता संबंध से बने वर्गों के बारे में सही बात क्या है?
What is correct about classes formed by an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence classes
#partition
A वे समुच्चय को अलग-अलग भागों में बांटते हैं / They divide the set into separate parts
B वे हमेशा एक-दूसरे को आधा काटते हैं / They always overlap halfway
C वे कभी खाली नहीं होते और हमेशा पूरे समुच्चय जैसे होते हैं / They are never empty and always equal to the whole set
D वे केवल सबसे छोटे तत्व से बनते हैं / They are formed only from the smallest element
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. वे समुच्चय को अलग-अलग भागों में बांटते हैं / They divide the set into separate parts
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध समान तत्वों को समूहों में रखता है। / An equivalence relation groups similar elements together.
Step 2
Why this answer is correct
ये समूह समुच्चय को अलग-अलग भागों में बांटते हैं। / These groups divide the set into separate parts.
Step 3
Exam Tip
समतुल्यता वर्गों को भागों की तरह समझना आसान रहता है। / It is easy to understand equivalence classes as parts of a partition.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तब है जब (a+b) सम हो। सही कथन चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) when (a+b) is even. Choose the correct statement.
#relations
#functions
#equivalence relation
#even sum
#parity
A (R) समतुल्यता संबंध है / (R) is an equivalence relation
B (R) प्रतिवर्ती नहीं है / (R) is not reflexive
C (R) सममित नहीं है / (R) is not symmetric
D (R) संक्रामी नहीं है / (R) is not transitive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (R) समतुल्यता संबंध है / (R) is an equivalence relation
Step 1
Concept
(a+a=2a) हमेशा सम है, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। / (a+a=2a) is always even, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) सम होने पर (b+a) भी सम होगा और समान सम-विषम प्रकृति संक्रामिता देती है। / If (a+b) is even, then (b+a) is even, and same parity gives transitivity.
Step 3
Exam Tip
सम योग का अर्थ दोनों संख्याओं की सम-विषम प्रकृति समान है। / An even sum means both numbers have the same parity.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों (5) से भाग देने पर समान शेषफल दें। (5) का समतुल्यता वर्ग क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) when (a) and (b) give the same remainder on division by (5). What is the equivalence class of (5)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence class
#modulo 5
A ({5})
B ({0,5})
C ({1,5})
D ({2,5})
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(5) को (5) से भाग देने पर शेषफल (0) आता है। / (5) leaves remainder (0) on division by (5).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में केवल (5) ही शेषफल (0) देता है। / In the given set, only (5) leaves remainder (0).
Step 3
Exam Tip
समतुल्यता वर्ग में दिए गए समुच्चय के बाहर का (0) नहीं जोड़ना चाहिए। / Do not include (0) outside the given set in the equivalence class.
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यदि (R) समतुल्यता संबंध है और \((p,q)\in R\), \((q,r)\in R\), तो कौन-सा युग्म निश्चित रूप से (R) में होगा?
If (R) is an equivalence relation and \((p,q)\in R\), \((q,r)\in R\), which pair will definitely belong to (R)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#transitive property
#chain
A ((p,r))
B ((r,q))
C ((q,p))
D ((r,p))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ((p,r))
Step 1
Concept
यहां ((p,q)) और ((q,r)) में बीच का तत्व (q) समान है। / In ((p,q)) and ((q,r)), the middle element (q) matches.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामी गुण के अनुसार \((p,r)\in R\) होना चाहिए। / By transitivity, \((p,r)\in R\) must hold.
Step 3
Exam Tip
संक्रामिता के लिए युग्मों की श्रृंखला ध्यान से पढ़ें। / For transitivity, read the chain of pairs carefully.
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यदि (R) समतुल्यता संबंध है और \((x,y)\in R\), तो कौन-सा युग्म अवश्य (R) में होगा?
If (R) is an equivalence relation and \((x,y)\in R\), which pair must belong to (R)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#symmetric property
#ordered pair
A ((y,x))
B ((x,z))
C ((z,y))
D ((y,z))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ((y,x))
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध में सममित गुण अवश्य होता है। / An equivalence relation must be symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \((x,y)\in R\) होने पर उल्टा युग्म \((y,x)\in R\) होगा। / Therefore, if \((x,y)\in R\), then the reverse pair \((y,x)\in R\).
Step 3
Exam Tip
सममितता में उल्टा युग्म सबसे जरूरी संकेत है। / The reverse pair is the key sign of symmetry.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) है। यह समतुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\). Why is it not an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#reflexive failure
#ordered pairs
A क्योंकि ((4,4)) नहीं है / Because ((4,4)) is missing
B क्योंकि ((2,1)) नहीं है / Because ((2,1)) is missing
C क्योंकि ((1,1)) नहीं है / Because ((1,1)) is missing
D क्योंकि ((3,3)) नहीं है / Because ((3,3)) is missing
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि ((4,4)) नहीं है / Because ((4,4)) is missing
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती गुण के लिए हर तत्व का आत्म युग्म होना चाहिए। / Reflexivity requires the identity pair of every element.
Step 2
Why this answer is correct
यहां तत्व (4) के लिए ((4,4)) मौजूद नहीं है। / Here, ((4,4)) is not present for the element (4).
Step 3
Exam Tip
समतुल्यता जांचते समय पहले आत्म युग्मों की सूची मिलाएं। / While checking equivalence, first match the list of identity pairs.
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