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क्योंकि (1.375=1+0.375), इसलिए (1) से (0.375) इकाई आगे जाना होगा। दशमलव स्थान में पूर्णांक भाग अलग करें। / Since (1.375=1+0.375), move (0.375) unit from (1). Separate the integer part when locating decimals.
\(1.75=1+\frac{3}{4}\), इसलिए यह (1) के बाद तीसरे बराबर भाग पर होगा। दशमलव को भिन्न में बदलकर स्थान पहचानना आसान होता है। / \(1.75=1+\frac{3}{4}\), so it lies at the third equal part after (1). Converting decimals to fractions helps locate points easily.
\(-\frac{1}{2}=-0.5\), इसलिए दोनों एक ही बिंदु दिखाते हैं। भिन्न को दशमलव में बदलना तुलना को आसान बनाता है। / \(-\frac{1}{2}=-0.5\), so both represent the same point. Converting fractions to decimals makes comparison easier.
शून्य से दाईं ओर जाने पर संख्या धनात्मक होती है, इसलिए बिंदु (A=1.2) है। दिशा देखकर चिह्न तय करें। / Moving right from (0) gives a positive number, so (A=1.2). Check direction first to decide the sign.
ऋणात्मक दशमलव (-2.5), (-3) और (-2) के बीच आता है। ऋणात्मक संख्या में बाईं ओर जाने पर मान घटता है। / (-2.5) lies between (-3) and (-2). For negative numbers values decrease as we move left.
दो संख्याओं के ठीक मध्य की संख्या उनका औसत होती है। इसलिए �\(\frac{1+4}{2}=\frac{5}{2}=2.5\)\u0000। अतः सही उत्तर 2.5 है। 3 और 2 क्रमशः 4 और 1 के अधिक निकट हैं, लेकिन दोनों बिंदुओं से समान दूरी पर नहीं हैं। परीक्षा टिप: संख्या रेखा पर मध्य बिंदु ज्ञात करने के लिए �\(\frac{a+b}{2}\)\u0000 का प्रयोग करें। / The number exactly midway between two numbers is their average. Thus, �\(\frac{1+4}{2}=\frac{5}{2}=2.5\)\u0000. Therefore, 2.5 is correct. Although 3 and 2 lie between 1 and 4, they are not equidistant from both endpoints. Exam tip: Use �\(\frac{a+b}{2}\)\u0000 to find the midpoint of two numbers.
\(\frac{3}{2}=1.5\), इसलिए दोनों एक ही बिंदु दिखाते हैं। दशमलव और भिन्न का समान मान पहचानें। / \(\frac{3}{2}=1.5\), so both show the same point. Identify equal values in decimal and fraction forms.
संख्या रेखा पर बाईं ओर जाने का अर्थ है संख्या में कमी करना। इसलिए प्राप्त बिंदु \(0-2.5=-2.5\) होगा। विकल्प B में दिशा उलटकर दाईं ओर जाना दर्शाया गया है। परीक्षा-युक्ति: 0 के बाईं ओर स्थित संख्याएँ ऋणात्मक होती हैं। / Moving to the left on a number line means subtracting. Therefore, the required point is \(0-2.5=-2.5\). Option B represents moving 2.5 units to the right instead. Exam tip: Numbers to the left of 0 on the number line are negative.
A. दोनों एक ही बिंदु पर होंगे/Both will be at the same point
Explanation
Simple Explanation
4.0 = 4 होता है, क्योंकि दशमलव के बाद लिखा गया शून्य संख्या का मान नहीं बदलता। इसलिए संख्या रेखा पर दोनों को एक ही बिंदु द्वारा दर्शाया जाएगा। दाईं या बाईं ओर होना तभी संभव होता जब दोनों संख्याओं के मान अलग होते। परीक्षा-युक्ति: दशमलव के बाद अंत में लगे शून्य हटाने या जोड़ने से संख्या का मान नहीं बदलता, जैसे 4.0 = 4.00 = 4। / 4.0 = 4 because a zero written at the end of the decimal part does not change the value of a number. Therefore, both are represented by the same point on the number line. They would lie to the left or right of each other only if their values were different. Exam tip: Adding or removing trailing zeros after the decimal does not change a number, so 4.0 = 4.00 = 4.
\(3\frac{1}{2}=3+\frac{1}{2}=3.5\) है। मिश्रित संख्या को दशमलव में बदलना स्थिति स्पष्ट करता है। / \(3\frac{1}{2}=3+\frac{1}{2}=3.5\). Converting a mixed number to a decimal makes its position clear.
A. वे (0) से बराबर दूरी पर हैं/they are equally far from (0)
Explanation
Simple Explanation
(2.4) और (-2.4) विपरीत संख्याएँ हैं, इसलिए वे (0) से बराबर दूरी पर हैं। चिह्न दिशा बताता है। / (2.4) and (-2.4) are opposite numbers, so they are equally far from (0). The sign tells the direction.
क्योंकि 2.1, 1.8 से बड़ा है, इसलिए संख्या रेखा पर 2.1 दाईं ओर स्थित होगा। 1.8 निकटतम विकल्प है, लेकिन वह छोटा होने के कारण 2.1 के बाईं ओर होगा। परीक्षा-युक्ति: संख्या रेखा पर दाईं ओर जाने पर संख्याओं का मान बढ़ता है। / Since 2.1 is greater than 1.8, it lies to the right of 1.8 on the number line. The closest distractor is 1.8, but being the smaller number, it lies to the left of 2.1. Exam tip: On a number line, numbers increase as we move from left to right.
(2.75) का पूर्णांक भाग (2) है, इसलिए यह (2) और (3) के बीच है। दशमलव का पूर्णांक भाग पहला संकेत देता है। / The integer part of (2.75) is (2), so it lies between (2) and (3). The integer part gives the first clue.
दशमलव संख्या 0.6 को भिन्न में बदलने पर \(0.6=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\) प्राप्त होता है। इसलिए संख्या रेखा पर 0.6 और \(\frac{3}{5}\) एक ही बिंदु को दर्शाते हैं। विकल्प B \(\frac{5}{3}\), 1 से बड़ा है, जबकि 0.6, 1 से छोटा है। परीक्षा में दशमलव को पहले 10, 100 या 1000 के हर वाली भिन्न में बदलकर सरल करें। / Converting 0.6 into a fraction gives \(0.6=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\). Therefore, 0.6 and \(\frac{3}{5}\) represent the same point on the number line. Option B, \(\frac{5}{3}\), is greater than 1, whereas 0.6 is less than 1. Exam tip: write the decimal over 10, 100, or 1000 according to its place value, then simplify.
\(1.25=\frac{125}{100}=\frac{5}{4}\) है। दशमलव को सरल भिन्न में बदलकर स्थिति जल्दी मिलती है। / \(1.25=\frac{125}{100}=\frac{5}{4}\). Converting a decimal to a simple fraction helps locate it quickly.
दशमलव संख्या 3.5 को भिन्न में बदलने पर \(3.5=\frac{35}{10}=\frac{7}{2}\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। विकल्प B, C और D अलग-अलग मान दर्शाते हैं; विशेष रूप से \(\frac{3}{5}=0.6\), जो 3.5 नहीं है। परीक्षा-युक्ति: दशमलव के बाद एक अंक हो तो उसे 10 के हर वाली भिन्न में लिखकर सरल करें। / Writing 3.5 as a fraction gives \(3.5=\frac{35}{10}=\frac{7}{2}\), so option A is correct. The other options have different values; for example, \(\frac{3}{5}=0.6\), not 3.5. Exam tip: when a decimal has one digit after the decimal point, write it over 10 and simplify.
क्योंकि (0.8>0.6), इसलिए (0.8) दाईं ओर है। बड़ी संख्या हमेशा संख्या रेखा पर दाईं ओर होती है। / Since (0.8>0.6), (0.8) lies to the right. The greater number is always on the right on a number line.
0.2 में दशमलव के बाद एक अंक है, इसलिए इसे \(\frac{2}{10}\) लिखा जाता है। 2 और 10 को 2 से भाग देने पर \(\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर A है। परीक्षा में दशमलव को भिन्न में बदलते समय दशमलव स्थानों की संख्या के आधार पर हर में 10, 100 आदि लिखना याद रखें। / Since 0.2 has one digit after the decimal point, it can be written as \(\frac{2}{10}\). Dividing the numerator and denominator by 2 gives \(\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\), so option A is correct. In exams, count the decimal places to choose the denominator as 10, 100, and so on.
दशमलव संख्या \\(1.25=\\frac{125}{100}=\\frac{5}{4}\\) होती है। इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। विकल्प B, \\(\\frac{4}{5}\\), वास्तव में \\(0.8\\) के बराबर है, न कि \\(1.25\\) के। परीक्षा-युक्ति: दशमलव के बाद दो अंक हों तो उसे पहले 100 के हर वाली भिन्न में लिखकर सरल करें। / The decimal number \\(1.25=\\frac{125}{100}=\\frac{5}{4}\\). Therefore, option A is correct. Option B, \\(\\frac{4}{5}\\), is equal to \\(0.8\\), not \\(1.25\\). Exam tip: When a decimal has two digits after the decimal point, write it over 100 and then reduce the fraction.
\(0.04=\frac{4}{100}=\frac{1}{25}\) है। ऋणात्मक घात का नियम है \(a^{-1}=\frac{1}{a}\), इसलिए \((0.04)^{-1}=\frac{1}{0.04}=25\)। विकल्प C में दशमलव का स्थान गलत समझा गया है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले दशमलव को सरल भिन्न में बदलना उपयोगी रहता है। / \(0.04=\frac{4}{100}=\frac{1}{25}\). By the law of negative exponents, \(a^{-1}=\frac{1}{a}\); therefore, \((0.04)^{-1}=\frac{1}{0.04}=25\). Option C results from misplacing the decimal point. In the exam, first convert the decimal into a simplified fraction to avoid errors.
\(0.2=\frac{1}{5}\), इसलिए ((0.2)^{-2}=\left\(\frac{1}{5}\right\)^{-2}=25)। दशमलव को भिन्न में बदलना आसान होता है। / \(0.2=\frac{1}{5}\), so ((0.2)^{-2}=\left\(\frac{1}{5}\right\)^{-2}=25). Converting decimals to fractions helps.
पहले भाग का मान है \(\sqrt{0.49}=0.7\)। दूसरे भाग का मान है \(\frac{1}{\sqrt{25}}=\frac{1}{5}=0.2\)। इनका योग है \(0.7+0.2=0.9\)। विकल्प B (0.7) केवल \(\sqrt{0.49}\) का मान है और इसमें \(\frac{1}{\sqrt{25}}\) जोड़ा नहीं गया है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-Tip: पहले प्रत्येक घात-मूल को अलग से सरल करें और फिर जोड़ें; दशमलव के वर्गमूल सीधे दशमलव रूप में मिलते हैं। / Compute each term separately: \(\sqrt{0.49}=0.7\) and \(\frac{1}{\sqrt{25}}=\frac{1}{5}=0.2\). Their sum is \(0.7+0.2=0.9\). Option B (0.7) represents only \(\sqrt{0.49}\) and omits the second term, so it is incorrect. Exam tip: simplify square roots first (including decimals), then perform the arithmetic to avoid sign or omission errors.
परिमेय संख्याएँ वे हैं जिन्हें भिन्न p/q (जहाँ p और q पूर्णांक और q ≠ 0) के रूप में लिखा जा सकता है। किसी भी परिमेय संख्या का दशमलव विस्तार या तो समाप्त होने वाला (terminating) होता है या अनंत आवर्ती (non‑terminating repeating) होता है। उदाहरण: 0.333... = 1/3 और 0.2727... = 27/99 = 3/11। इसलिए अनंत और आवर्ती दशमलव परिमेय है। गलत विकल्पों पर टिप्पणी: B (अपरिमेय) गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्याओं के दशमलव विस्तार अनंत पर अंतःस्थापित नहीं होते — वे non‑repeating होते (जैसे √2 = 1.41421... non‑repeating)। C (अवास्तविक) भी गलत है; अनंत आवर्ती दशमलव हमेशा वास्तविक संख्या होती है। D (केवल पूर्णांक) गलत है क्योंकि अधिकांश आवर्ती दशमलव पूर्णांक नहीं होते, वे भिन्न होते हैं। परीक्षा टिप: आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलकर जाँचें — यदि आप इसे p/q के रूप में लिख सकते हैं तो वह परिमेय है। / Rational numbers can be expressed as a fraction p/q (integers p and q, q ≠ 0). The decimal expansion of any rational number is either terminating or non‑terminating repeating. Examples: 0.333... = 1/3 and 0.2727... = 27/99 = 3/11. Thus a non‑terminating repeating decimal is rational. Why other options are wrong: B (irrational) is incorrect because irrational numbers have non‑terminating, non‑repeating decimals (e.g. √2). C (non‑real) is incorrect since such decimals represent real numbers. D (integer only) is incorrect because repeating decimals are generally fractions, not necessarily integers. Exam tip: Convert the repeating decimal into a fraction using algebra (e.g., set x = 0.2727..., multiply to shift decimal, subtract) to verify rationality quickly.
सीमित दशमलव को किसी पूर्णांक को 10 के घात के साथ विभाजित करके लिखा जा सकता है, उदाहरण के लिए किसी terminating दशमलव को हम रूप में लिख सकते हैं \(\frac{p}{10^n}\). इसे सरलीकृत करने पर यह हमेशा रूप \(\frac{a}{b}\) में आता है जहाँ a,b पूर्णांक होते हैं; यही परिमेयता की परिभाषा है। इसलिए सीमित दशमलव परिमेय होता है। नज़दीकी भ्रमित करने वाला विकल्प है कि यह हमेशा पूर्णांक होता है — यह गलत है क्योंकि 0.5, 1.25 जैसे terminating दशमलव परिमेय हैं पर पूर्णांक नहीं। परीक्षा सुझाव: किसी terminating दशमलव को तुरंत \(\frac{प\;संख्या}{10^n}\) के रूप में लिखें और आवश्यकता पर सरल करें ताकि परिमेयता स्पष्ट हो। / A terminating decimal can be expressed as an integer divided by a power of 10, e.g. as \(\frac{p}{10^n}\). After cancelling common factors this is always of the form \(\frac{a}{b}\) with integers a,b, which is the definition of a rational number. Hence every terminating decimal is rational. Closest distractor: "always an integer" is incorrect because examples like 0.5 or 1.25 are terminating decimals but not integers. Exam tip: convert a terminating decimal to \(\frac{p}{10^n}\) and simplify to quickly show it's rational (or to compare values).
वर्गमूल का मतलब मुख्य (धनात्मक) वर्गमूल होता है। \(0.81=\dfrac{81}{100}\) इसलिए \(\sqrt{0.81}=\sqrt{\dfrac{81}{100}}=\dfrac{9}{10}=0.9\)। विकल्प B (\(-0.9\)) भ्रम पैदा करने वाला है क्योंकि \((-0.9)^2=0.81\) भी होता है, पर \(\sqrt{\cdot}\) का मान धनात्मक लिया जाता है। विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि \(0.09^2=0.0081\) और \(0.81\) तो स्वयं संख्या है न कि उसका वर्गमूल। परिक्षा टिप: दशमलव के वर्गमूल को भिन्न में बदलकर भी देखें — \(\sqrt{0.81}=\sqrt{81/100}=9/10\)। / The square root symbol denotes the principal (non-negative) root. Since \(0.81=\frac{81}{100}\), \(\sqrt{0.81}=\sqrt{\frac{81}{100}}=\frac{9}{10}=0.9\). Option B (−0.9) is a common trap because \((-0.9)^2=0.81\) as well, but the principal square root is positive. Options C and D are incorrect: \(0.09^2=0.0081\), and 0.81 is the original number, not its square root. Exam tip: convert decimals to fractions to simplify square-root calculations (e.g., \(0.81=81/100\)).
रेखा ऊपर दिखाती है कि '12' आवर्ती है। आवर्ती दशमलव हमेशा दो संपूर्ण संख्याओं के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है इसलिए परिमेय होता है। उदाहरण के लिए, \(x=0.\overline{12}\) मान लें। तब \(100x=12.\overline{12}\) और अलग करने पर \(100x-x=99x=12\) मिलता है, अतः \(x=12/99=4/33\) जो दो पूर्णांकों का भाग है। विकल्प B गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ भिन्नों के रूप में व्यक्त नहीं की जा सकतीं; यहाँ अत्यंत रूप से व्यक्त की जा सकती है। विकल्प C गलत है क्योंकि दशमलव मान वास्तविक संख्या का एक प्रकार है। विकल्प D गलत है क्योंकि परिणाम 0 और 1 के बीच है, अतः पूर्णांक नहीं है। परीक्षा-सुझाव: किसी भी आवर्ती दशमलव को परिमेय साबित करने के लिए उसे भिन्न में बदलने की विधि (गुणाकर घटाना) याद रखें। / The overline shows that '12' repeats. Any repeating decimal can be expressed as a ratio of two integers, so it is rational. For example, let \(x=0.\overline{12}\). Then \(100x=12.\overline{12}\); subtracting gives \(99x=12\), hence \(x=12/99=4/33\), a fraction of integers. Choice B is wrong because irrational numbers cannot be written as a ratio of integers; here we have such a ratio. Choice C is wrong because a decimal number is real. Choice D is wrong because the value lies between 0 and 1, so it is not an integer. Exam tip: convert a repeating decimal to a fraction by multiplying to align repeats and subtracting — this quickly shows rationality.
\(0.4\times0.4=0.16\) इसलिए \(\sqrt{0.16}=0.4\)। ध्यान रखें कि गणित में √ का अर्थ प्रिंसिपल (मुख्य) वर्गमूल है, जो हमेशा गैर-नकारात्मक होता है; इसलिए −0.4 का वर्ग भी 0.16 होता है पर वह प्रिंसिपल वर्गमूल नहीं माना जाता। अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि \(0.04^2=0.0016\) और \(4^2=16\)। परीक्षा टिप: квадратमूल लेते समय सकारात्मक मुख्य मान चुनें जब कोई संकेत न दिया गया हो। / Since \(0.4\times0.4=0.16\), \(\sqrt{0.16}=0.4\). Note that the square-root symbol denotes the principal (non-negative) root, so although \((-0.4)^2=0.16\), the principal square root is positive 0.4. The other options are incorrect because \(0.04^2=0.0016\) and \(4^2=16\). Exam tip: when asked for \(\sqrt{\,\cdot\,}\) without sign, take the non-negative root.
7.03125 एक निश्चित संख्या के बाद समाप्त हो जाता है, यानी यह समाप्त होने वाला दशमलव है। इसे भिन्न के रूप में लिखें तो हर बार हराश के हर भाग का हरोम भाग का हरोम भाग (उदा. 7.03125 = 703125/100000) के हरको गुणन करने पर हरमूल हरांश में केवल 2 और 5 का घात होता है \(10^5\)। इसलिए यह परिमेय है और terminating है। विकल्प B में "03" बार-बार दोहराया जा रहा है इसलिए वह आवर्ती (repeating) दशमलव है—परिमेय पर न समाप्त होने वाला। विकल्प C एक गैर-आवर्ती अनन्त क्रम दिखाता है (non-terminating, non-repeating) और इसलिए तर्कसंगत नहीं माना जा सकता; विकल्प D (�\(\pi\)\u0000) एक अप्रमेय अनन्त दशमलव है। परीक्षा-नुस्खा: किसी दशमलव के भिन्न में जितना छोटा समीकरण मिले, उसका हर (denominator) केवल 2 और/या 5 का गुणज होना चाहिए ताकि दशमलव समाप्त हो। / 7.03125 stops after a finite number of digits, so it is a terminating decimal. As a fraction 7.03125 = 703125/100000 and the denominator 100000 = 105 has only prime factors 2 and 5, which is the criterion for a terminating decimal. Option B (7.030303...) is repeating (periodic) and thus non-terminating though rational. Option C shows a non-terminating, non-repeating expansion (hence not terminating and typically irrational), and option D (\(\pi\)) is an irrational non-terminating, non-repeating decimal. Exam tip: convert to lowest-term fraction—if the denominator has only 2 and/or 5 as prime factors, the decimal terminates.
\(4.\overline{56}\) में "56" का समूह बार-बार दोहराया जा रहा है, इसलिए यह एक आवर्ती (repeating) और अनन्त दशमलव है। आवर्ती दशमलव परिमेय (rational) संख्या का प्रतिनिधित्व करती है। विकल्प B में कोई स्थिर दोहराने वाला ब्लॉक नहीं दिखता इसलिए वह अनन्त परंतु अनावर्ती (non-repeating) है; विकल्प C समाप्त (terminating) दशमलव है; विकल्प D का मान \(\sqrt{4}=2\) है जो पूर्ण संख्या और समाप्त रूप है। परीक्षा-सूत्र: आवर्ती दशमलव में एक निश्चित अंक-समूह हमेशा नियमित अंतराल पर बार-बार आता है — उसे पहचानने के लिए दोहराए जाने वाले ब्लॉक की तलाश करें। / In \(4.\overline{56}\) the block "56" repeats indefinitely, so it is a non-terminating repeating decimal (hence rational). Option B shows digits continuing without a fixed repeating block, so it is non-repeating; option C is a terminating decimal; option D equals \(\sqrt{4}=2\), an integer (terminating). Exam tip: look for a fixed group of digits that repeats periodically — that identifies a repeating decimal.
परिमेय संख्या वह होती है जिसे \\(\frac{p}{q}\\) (p, q पूर्णांक, q ≠ 0) के रूप में लिखा जा सके। \\(\sqrt{34}\\) एक गैर-परिमेय संख्या है क्योंकि 34 कोई पूर्ण वर्ग नहीं है; इसका दशमलव विस्तार अनंत और गैर-आवर्ती होगा और इसे \\(\frac{p}{q}\\) रूप में नहीं लिखा जा सकता। बाकी विकल्प परिमेय हैं: \\(-\\frac{11}{4}\\) स्पष्ट भिन्न है, \\(6.2 = \\frac{31}{5}\\) और \\(0.\overline{3} = \\frac{1}{3}\\)। परीक्षा टिप: किसी संख्या के परिमेय होने की जाँच के लिए देखें कि दशमलव समाप्त या आवर्ती है या अंदर का संख्या पूर्ण वर्ग है। / A rational number can be written as \\(\frac{p}{q}\\) with integers p, q and q ≠ 0. \\(\sqrt{34}\\) is irrational because 34 is not a perfect square; its decimal expansion is non-terminating and non-repeating, so it cannot be expressed as \\(\frac{p}{q}\\). The other choices are rational: \\(-\\frac{11}{4}\\) is already a fraction, \\(6.2 = \\frac{31}{5}\\), and \\(0.\overline{3} = \\frac{1}{3}\\). Exam tip: check for perfect squares under square roots and convert repeating/terminating decimals to fractions to test rationality.
