C. केवल \(a_2-a_1=a_3-a_2\)/Only \(a_2-a_1=a_3-a_2\)
Step 1
Concept
Checking only the first three terms is not enough for the whole sequence. In exams, the full condition must involve every (n) or all consecutive terms.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. केवल \(a_2-a_1=a_3-a_2\) / Only \(a_2-a_1=a_3-a_2\). Checking only the first three terms is not enough for the whole sequence. In exams, the full condition must involve every (n) or all consecutive terms.
Step 3
Exam Tip
केवल पहले तीन पदों की जांच पूरे अनुक्रम के लिए पर्याप्त नहीं है। परीक्षा में पूरी शर्त में हर (n) या सभी लगातार पद शामिल होने चाहिए।
A. पुराना सामान्य अंतर ही रहेगा/It remains the old common difference
Step 1
Concept
Adding the same number to every term does not change consecutive differences. In exams, a uniform translation leaves the difference unchanged.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पुराना सामान्य अंतर ही रहेगा / It remains the old common difference. Adding the same number to every term does not change consecutive differences. In exams, a uniform translation leaves the difference unchanged.
Step 3
Exam Tip
हर पद में समान संख्या जोड़ने से लगातार अंतर नहीं बदलता। परीक्षा में समान स्थानांतरण को अंतर पर असरहीन मानें।
D. (d) निश्चित नहीं किया जा सकता/(d) cannot be determined
Step 1
Concept
In an AP, \(a_2+a_4=2a_3\) is automatically true, so (d) is not found. In exams, check whether the information is new or just an identity.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (d) निश्चित नहीं किया जा सकता / (d) cannot be determined. In an AP, \(a_2+a_4=2a_3\) is automatically true, so (d) is not found. In exams, check whether the information is new or just an identity.
Step 3
Exam Tip
समांतर श्रेणी में \(a_2+a_4=2a_3\) अपने-आप सही होता है, इसलिए (d) नहीं मिलता। परीक्षा में पहचानें कि दी गई सूचना नई है या केवल पहचान है।
C. \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\sqrt{\frac{1}{4}}\) जैसे अनेक बिंदु/Many points like \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\sqrt{\frac{1}{4}}\)
Step 1
Concept
Between (0) and (1), there are infinitely many rational and irrational numbers. Between any two real numbers, more numbers can be found.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\sqrt{\frac{1}{4}}\) जैसे अनेक बिंदु / Many points like \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\sqrt{\frac{1}{4}}\). Between (0) and (1), there are infinitely many rational and irrational numbers. Between any two real numbers, more numbers can be found.
Step 3
Exam Tip
(0) और (1) के बीच परिमेय और अपरिमेय दोनों प्रकार की अनंत संख्याएं होती हैं। किसी भी दो वास्तविक संख्याओं के बीच और संख्याएं मिलती हैं।
C. यह (3) और (4) के बीच होगा/It will be between (3) and (4)
Step 1
Concept
Since \(3^2<12<4^2\), \(\sqrt{12}\) lies between (3) and (4). A square root can be much smaller than the number.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. यह (3) और (4) के बीच होगा / It will be between (3) and (4). Since \(3^2<12<4^2\), \(\sqrt{12}\) lies between (3) and (4). A square root can be much smaller than the number.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि \(3^2<12<4^2\), इसलिए \(\sqrt{12}\) (3) और (4) के बीच है। वर्गमूल संख्या को छोटा कर सकता है।
A. कोई भी अशून्य वास्तविक संख्या/Any non-zero real number
Step 1
Concept
The sum is (a) and the product is also (a). Therefore every non-zero (a) works.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. कोई भी अशून्य वास्तविक संख्या / Any non-zero real number. The sum is (a) and the product is also (a). Therefore every non-zero (a) works.
Step 3
Exam Tip
योग (a) और गुणनफल (a) दोनों समान हैं। इसलिए \(a\neq0\) के लिए हर अशून्य (a) काम करता है।
If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (64), so it is not possible.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ऐसा संभव नहीं है / It is not possible. If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (64), so it is not possible.
Step 3
Exam Tip
एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम हो तो मूलों का गुणनफल (1) होना चाहिए। यहाँ गुणनफल (64) है, इसलिए ऐसा संभव नहीं है।
If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (49), so it is not possible.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ऐसा संभव नहीं है / It is not possible. If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (49), so it is not possible.
Step 3
Exam Tip
एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम हो तो मूलों का गुणनफल (1) होना चाहिए। यहाँ गुणनफल (49) है, इसलिए ऐसा संभव नहीं है।
If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (36), so it is not possible.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ऐसा संभव नहीं है / It is not possible. If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (36), so it is not possible.
Step 3
Exam Tip
एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम हो तो मूलों का गुणनफल (1) होना चाहिए। यहाँ गुणनफल (36) है, इसलिए ऐसा संभव नहीं है।
If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (25), so it is not possible.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ऐसा संभव नहीं है / It is not possible. If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (25), so it is not possible.
Step 3
Exam Tip
एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम हो तो मूलों का गुणनफल (1) होना चाहिए। यहाँ गुणनफल (25) है, इसलिए ऐसा संभव नहीं है।
If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (16), so it is not possible.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ऐसा संभव नहीं है / It is not possible. If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (16), so it is not possible.
Step 3
Exam Tip
एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम हो तो मूलों का गुणनफल (1) होना चाहिए। यहाँ गुणनफल (16) है, इसलिए ऐसा संभव नहीं है।
A. हर अपरिमेय संख्या वास्तविक संख्या है/Every irrational number is a real number
Step 1
Concept
Real numbers include both rational and irrational numbers. In exams remember the inclusion of number systems.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हर अपरिमेय संख्या वास्तविक संख्या है / Every irrational number is a real number. Real numbers include both rational and irrational numbers. In exams remember the inclusion of number systems.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक संख्याओं में परिमेय और अपरिमेय दोनों शामिल हैं। परीक्षा में संख्या पद्धति का समावेशन याद रखें।
A. ऐसा कोई वास्तविक (n) नहीं है/No such real (n) exists
Step 1
Concept
For equal zeroes, (D=0), so (4-4n=0) and (n=1). Then the zero is (1), which is not irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ऐसा कोई वास्तविक (n) नहीं है / No such real (n) exists. For equal zeroes, (D=0), so (4-4n=0) and (n=1). Then the zero is (1), which is not irrational.
Step 3
Exam Tip
समान शून्यकों के लिए (D=0), यानी (4-4n=0), इसलिए (n=1)। तब शून्यक (1) है, जो अपरिमेय नहीं है।
B. कम से कम एक गुणांक अपरिमेय होगा/At least one coefficient will be irrational
Step 1
Concept
The sum \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational, so the coefficient of (x) in the monic polynomial is irrational. For rational coefficients, such zeroes must occur as conjugates.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. कम से कम एक गुणांक अपरिमेय होगा / At least one coefficient will be irrational. The sum \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational, so the coefficient of (x) in the monic polynomial is irrational. For rational coefficients, such zeroes must occur as conjugates.
Step 3
Exam Tip
योग \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय है, इसलिए एकक बहुपद में (x) का गुणांक अपरिमेय होगा। परिमेय गुणांक के लिए ऐसे शून्यक संयुग्मी रूप में होने चाहिए।
A. वास्तविक शून्यकों की संख्या प्रतिच्छेदों की संख्या के बराबर होती है/The number of real zeroes equals the number of intersection points
Step 1
Concept
Geometrically each (x)-axis intersection gives one real zero. A quadratic may have (0), (1), or (2) real zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वास्तविक शून्यकों की संख्या प्रतिच्छेदों की संख्या के बराबर होती है / The number of real zeroes equals the number of intersection points. Geometrically each (x)-axis intersection gives one real zero. A quadratic may have (0), (1), or (2) real zeroes.
Step 3
Exam Tip
ज्यामितीय अर्थ में हर (x)-अक्ष प्रतिच्छेद एक वास्तविक शून्यक देता है। द्विघात में वास्तविक शून्यक (0), (1), या (2) हो सकते हैं।
A. हर (y)-प्रतिच्छेद शून्यक होता है/Every (y)-intercept is a zero
Step 1
Concept
A zero is related to the (x)-axis not a general (y)-intercept. A (y)-intercept gives a zero only if it is the origin.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हर (y)-प्रतिच्छेद शून्यक होता है / Every (y)-intercept is a zero. A zero is related to the (x)-axis not a general (y)-intercept. A (y)-intercept gives a zero only if it is the origin.
Step 3
Exam Tip
शून्यक (x)-अक्ष से संबंधित है न कि सामान्य (y)-प्रतिच्छेद से। (y)-प्रतिच्छेद तभी शून्यक देगा जब वह मूल बिंदु हो।
A. \(\frac{1}{2}\) शून्यक है/\(\frac{1}{2}\) is a zero
Step 1
Concept
A zero can be a fraction and touching is enough. The key point is (p\left\(\frac{1}{2}\right\)=0).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{1}{2}\) शून्यक है / \(\frac{1}{2}\) is a zero. A zero can be a fraction and touching is enough. The key point is (p\left\(\frac{1}{2}\right\)=0).
Step 3
Exam Tip
शून्यक भिन्न भी हो सकता है और छूना पर्याप्त है। जरूरी बात (p\left\(\frac{1}{2}\right\)=0) है।
A. पूरा ग्राफ (x)-अक्ष है/The whole graph is the (x)-axis
Step 1
Concept
(p(x)=0) gives (y=0) for every (x). Therefore the whole (x)-axis is the graph.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पूरा ग्राफ (x)-अक्ष है / The whole graph is the (x)-axis. (p(x)=0) gives (y=0) for every (x). Therefore the whole (x)-axis is the graph.
Step 3
Exam Tip
(p(x)=0) हर (x) के लिए (y=0) देता है। इसलिए पूरा (x)-अक्ष ग्राफ है।
A. केवल (2) और (5) हो सकते हैं/Only (2) and (5) can occur
Step 1
Concept
For a terminating decimal, the reduced denominator (q) can contain only (2) and (5). In \(q^4\), powers increase but no new prime factor appears.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. केवल (2) और (5) हो सकते हैं / Only (2) and (5) can occur. For a terminating decimal, the reduced denominator (q) can contain only (2) and (5). In \(q^4\), powers increase but no new prime factor appears.
Step 3
Exam Tip
सांत दशमलव में सरलतम हर (q) में केवल (2) और (5) हो सकते हैं। \(q^4\) में घातें बढ़ेंगी लेकिन नया अभाज्य गुणनखंड नहीं आएगा।
\(0.\overline{36}=\frac{36}{99}\) and \(0.\overline{63}=\frac{63}{99}\), so their sum is (1). The sum of two recurring decimals can be terminating.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सांत / Terminating. \(0.\overline{36}=\frac{36}{99}\) and \(0.\overline{63}=\frac{63}{99}\), so their sum is (1). The sum of two recurring decimals can be terminating.
Step 3
Exam Tip
\(0.\overline{36}=\frac{36}{99}\) और \(0.\overline{63}=\frac{63}{99}\) हैं इसलिए योग (1) है। दो आवर्ती दशमलवों का योग सांत भी हो सकता है।
A. केवल (2) और (5) हो सकते हैं/Only (2) and (5) can occur
Step 1
Concept
For a terminating decimal, the reduced denominator (q) can contain only (2) and (5). In \(q^3\), powers increase but no new prime factor appears.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. केवल (2) और (5) हो सकते हैं / Only (2) and (5) can occur. For a terminating decimal, the reduced denominator (q) can contain only (2) and (5). In \(q^3\), powers increase but no new prime factor appears.
Step 3
Exam Tip
सांत दशमलव में सरलतम हर (q) में केवल (2) और (5) हो सकते हैं। \(q^3\) में घातें बढ़ेंगी लेकिन नया अभाज्य गुणनखंड नहीं आएगा।
\(0.\overline{27}=\frac{27}{99}\) and \(0.\overline{72}=\frac{72}{99}\), so their sum is (1). The sum of two recurring decimals can be terminating.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सांत / Terminating. \(0.\overline{27}=\frac{27}{99}\) and \(0.\overline{72}=\frac{72}{99}\), so their sum is (1). The sum of two recurring decimals can be terminating.
Step 3
Exam Tip
\(0.\overline{27}=\frac{27}{99}\) और \(0.\overline{72}=\frac{72}{99}\) हैं इसलिए योग (1) है। दो आवर्ती दशमलवों का योग सांत भी हो सकता है।
A. यदि (q) \(10^k\) का भाजक है तो दशमलव सांत होगा/If (q) divides \(10^k\), the decimal terminates
Step 1
Concept
\(10^k\) has only prime factors (2) and (5), so any divisor gives a terminating decimal. The other statements are not always true because extra factors may occur.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यदि (q) \(10^k\) का भाजक है तो दशमलव सांत होगा / If (q) divides \(10^k\), the decimal terminates. \(10^k\) has only prime factors (2) and (5), so any divisor gives a terminating decimal. The other statements are not always true because extra factors may occur.
Step 3
Exam Tip
\(10^k\) में केवल (2) और (5) के गुणनखंड होते हैं इसलिए उसके भाजक से सांत दशमलव मिलेगा। बाकी कथन अतिरिक्त गुणनखंडों के कारण हमेशा सही नहीं हैं।
\(0.\overline{54}=\frac{54}{99}\) and \(0.\overline{45}=\frac{45}{99}\), so their sum is (1). The sum of two recurring decimals can sometimes be terminating.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सांत / Terminating. \(0.\overline{54}=\frac{54}{99}\) and \(0.\overline{45}=\frac{45}{99}\), so their sum is (1). The sum of two recurring decimals can sometimes be terminating.
Step 3
Exam Tip
\(0.\overline{54}=\frac{54}{99}\) और \(0.\overline{45}=\frac{45}{99}\), इसलिए योग (1) है। दो आवर्ती दशमलवों का योग कभी-कभी सांत हो सकता है।
C. यदि \(q=2^m5^n\), तो दशमलव सांत होगा/If \(q=2^m5^n\), the decimal terminates
Step 1
Concept
A decimal terminates when the reduced denominator has only (2) and (5). The other statements are incomplete because other prime factors may also be present.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. यदि \(q=2^m5^n\), तो दशमलव सांत होगा / If \(q=2^m5^n\), the decimal terminates. A decimal terminates when the reduced denominator has only (2) and (5). The other statements are incomplete because other prime factors may also be present.
Step 3
Exam Tip
सरलतम हर में केवल (2) और (5) होने पर दशमलव सांत होता है। बाकी कथन अधूरे हैं क्योंकि अन्य अभाज्य गुणनखंड भी हो सकते हैं।
A. केवल (2) और (5) हो सकते हैं/Only (2) and (5) can occur
Step 1
Concept
For a terminating decimal, the reduced denominator (q) can contain only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
In \(q^2\), the powers of the same primes increase, but no new prime factor appears.
Step 3
Exam Tip
Powers may change, but the prime types do not. चरण 1: सांत दशमलव के लिए सरलतम हर (q) में केवल (2) और (5) हो सकते हैं। चरण 2: \(q^2\) में भी उन्हीं अभाज्य गुणनखंडों की घातें बढ़ेंगी, नया अभाज्य गुणनखंड नहीं आएगा। चरण 3: घात बदल सकती है, अभाज्य प्रकार नहीं।
\(0.\overline{81}=\frac{81}{99}\) and \(0.\overline{18}=\frac{18}{99}\).
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is \(\frac{99}{99}=1\), which is terminating.
Step 3
Exam Tip
The sum of two recurring decimals can be terminating. चरण 1: \(0.\overline{81}=\frac{81}{99}\) और \(0.\overline{18}=\frac{18}{99}\) है। चरण 2: योग \(\frac{99}{99}=1\) है, जो सांत दशमलव है। चरण 3: दो आवर्ती दशमलवों का योग सांत भी हो सकता है।
\(\frac{7}{9}=0.\overline{7}\), so dividing by (10) gives \(0.0\overline{7}\).
Step 3
Exam Tip
A factor (10) in the denominator shifts the decimal one place. चरण 1: \(\frac{7}{90}=\frac{7}{9\cdot 10}\) है। चरण 2: \(\frac{7}{9}=0.\overline{7}\), इसलिए (10) से भाग देने पर \(0.0\overline{7}\) मिलता है। चरण 3: हर में (10) होने से दशमलव एक स्थान आगे खिसकता है।
