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वास्तविक शून्यक केवल (x)-अक्ष कटान से गिने जाते हैं। टिप: (y)-अक्ष कटान को शून्यक में न जोड़ें। / Real zeroes are counted only from (x)-axis intersections. Tip: do not add the (y)-axis intercept to zeroes.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत \(x=\frac{1+7}{2}=4\) से गुजरता है। टिप: परवलय में दो शून्यकों का मध्य उपयोगी है। / The axis of symmetry passes through the average \(x=\frac{1+7}{2}=4\). Tip: the middle of two zeroes is useful in a parabola.
सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है, \(\frac{-2+6}{2}=2\)। टिप: परवलय में दो शून्यकों का औसत उपयोगी होता है। / The axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes, \(\frac{-2+6}{2}=2\). Tip: the average of two zeroes is useful for a parabola.
किसी बहुपद के आलेख में किस तरह से किसी बिंदु का अनुसंधान यह बताता है कि वह बिंदु शून्य (zero) है या नहीं? विशेष रूप से, (x)-अक्ष पर मिलना और (y)-अक्ष पर मिलना यह भिन्न क्यों होता है?
A. "(x)-अक्ष पर graph का y = 0 होता है इसलिए वहाँ \(p(x)=0\) मिलता है/On the (x)-axis y = 0 so there \(p(x)=0\) (zeros occur)"
Explanation
Simple Explanation
किसी बहुपद के शून्यक (zeros) वे x-मूल्य हैं जिन पर बहुपद की मान y = 0 होती है। इसलिए जब आलेख \(x\)-अक्ष को काटता है, उस बिंदु पर \(y=0\) और इसलिए \(p(x)=0\) होता है — यही शून्यक मिलना है। दूसरी ओर \(y\)-अक्ष पर मिलने का अर्थ है कि \(x=0\) और उस बिंदु की ऊर्ध्वाधर मान \(y=p(0)\) होती है, जो ज़रूरी नहीं कि शून्य हो। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(y\)-अक्ष पर हमेशा \(p(x)=0\) नहीं होता; केवल तब होगा जब \(p(0)=0\)। विकल्प C और D दोनों सामान्यीकृत गलत दावे हैं। परीक्षा टिप: शून्य ढूँढने के लिए \(y=0\) रखकर समीकरण हल करें; y-इंटरसेप्ट जानने के लिए \(x=0\) पर \(p(0)\) मूल्य निकालें। / Zeros of a polynomial are x-values where the polynomial's value is y = 0. Thus an intersection with the (x)-axis means y = 0 at that x, so \(p(x)=0\) — that is a root. An intersection with the (y)-axis means x = 0 and the point is \(y=p(0)\), which need not be zero. Hence A is correct. Option B is the common mistake: the y-axis intersection is not automatically a root unless \(p(0)=0\). Options C and D are overgeneralizations and false. Exam tip: set \(y=0\) to find zeros (solve \(p(x)=0\)); set \(x=0\) to find the y-intercept (compute \(p(0)\)).
रोम बर्लिन धुरी ने द्वितीय विश्व युद्ध से पहले आक्रामक शक्तियों के गठबंधन को मजबूत किया। परीक्षा में इसे धुरी शक्तियों से जोड़ें। / The Rome Berlin Axis strengthened the alliance of aggressive powers before World War II. For exams connect it with the Axis powers.
A. इटली और जर्मनी के बीच बढ़ता राजनीतिक सहयोग/Growing political cooperation between Italy and Germany
Explanation
Simple Explanation
रोम बर्लिन धुरी ने फासीवादी शक्तियों की नजदीकी दिखाई। परीक्षा में धुरी शक्तियों के बनने की प्रक्रिया याद रखें। / The Rome-Berlin Axis showed closeness between fascist powers. For exams remember the process of Axis formation.
दोनों अक्ष ( (0,0) ) पर मिलते हैं। ग्राफ पढ़ते समय मूलबिंदु से निर्देशांक गिनना आसान होता है। / Both axes meet at ( (0,0) ). While reading a graph, it is easy to count coordinates from the origin.
ऐसी रेखा कभी (x)-अक्ष से नहीं मिलती इसलिए कोई शून्यक नहीं होता। ग्राफ से पहले प्रतिच्छेद देखें। / Such a line never meets the (x)-axis so it has no zero. First check the intercept from the graph.
A. (22) को (10) करना होगा/(22) must be changed to (10)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-10) के साथ (10) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (10) is needed with (-10). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,25)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,25)) does not show a zero.
मूल बिंदु (x)-अक्ष पर भी है और (x=-9) भी (x)-अक्ष कटान है। टिप: ((0,0)) को शून्यक (0) के रूप में गिनें। / The origin is also on the (x)-axis, and (x=-9) is another (x)-axis intersection. Tip: count ((0,0)) as zero (0).
A. (18) को (8) करना होगा/(18) must be changed to (8)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-8) के साथ (8) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (8) is needed with (-8). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,-20)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,-20)) does not show a zero.
मूल बिंदु (x)-अक्ष पर भी है और (x=6) भी (x)-अक्ष कटान है। टिप: ((0,0)) को शून्यक (0) के रूप में गिनें। / The origin is also on the (x)-axis, and (x=6) is another (x)-axis intersection. Tip: count ((0,0)) as zero (0).
A. (14) को (6) करना होगा/(14) must be changed to (6)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-6) के साथ (6) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (6) is needed with (-6). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,18)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,18)) does not show a zero.
A. (10) को (4) करना होगा/(10) must be changed to (4)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-4) के साथ (4) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (4) is needed with (-4). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,-15)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,-15)) does not show a zero.
A. (9) को (3) करना होगा/(9) must be changed to (3)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-3) के साथ (3) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (3) is needed with (-3). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,12)) शून्यक नहीं है। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,12)) is not a zero.
B. कथन गलत है क्योंकि (0,0) दोनों अक्षों पर आता है — इसलिए यदि ग्राफ (0,0) पर है तो \(p(0)=0\) और 0 शून्यक है/The statement is wrong because (0,0) lies on both axes — if the graph passes through (0,0) then \(p(0)=0\) and 0 is a zero
Explanation
Simple Explanation
क्षेत्रफल या बहुपद के शून्यक (zeros) वह x–मान होते हैं जिनके लिए y = 0 होता है; अर्थात् शून्यक x = a होने पर ग्राफ़ पर बिंदु (a,0) होता है। मूल बिंदु (0,0) दोनों अक्षों पर स्थित है, अतः यदि ग्राफ (0,0) पर जाता है तो \(p(0)=0\) और 0 एक शून्यक है। विकल्प C गलत है क्योंकि उससे ऐसा संकेत मिलता है कि y-अक्ष पर कोई शून्यक कभी नहीं हो सकता — पर ऐसा केवल तब गलत होगा जब बिंदु y-अक्ष के अन्य स्थानों पर हो; मूल बिंदु विशेष है। परीक्षा टिप: किसी भी बहुपद का शून्यक खोजने के लिए देखें कि क्या ग्राफ x-अक्ष को काटता है (y=0)। / A zero of a polynomial corresponds to an x-value where y = 0, i.e. an x-intercept (a,0). The origin (0,0) lies on both axes, so if the graph passes through (0,0) then \(p(0)=0\) and x=0 is a root. Option C is incorrect because it wrongly asserts that no zero can lie on the y-axis — the origin is a special case where a point lies on both axes. Exam tip: to identify roots from a graph, check x-intercepts (points with y=0).
B. शून्यक (y)-अक्ष से समान दूरी पर हैं/The zeroes are equally distant from the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
(-5) और (5) (y)-अक्ष से बराबर दूरी पर हैं। टिप: विपरीत शून्यक सममित स्थिति दिखाते हैं। / (-5) and (5) are equally distant from the (y)-axis. Tip: opposite zeroes show symmetric positions.
आलेख (x)-अक्ष से नहीं मिलता इसलिए कोई वास्तविक शून्यक नहीं है। टिप: शीर्ष की स्थिति से भी कटान का अंदाजा लग सकता है। / The graph does not meet the (x)-axis, so there is no real zero. Tip: the vertex position can help judge intersections.
(y)-अक्ष कटान शून्यक नहीं देता, क्योंकि (p(x)=0) नहीं है। टिप: शून्यक के लिए (x)-अक्ष से मिलना जरूरी है। / A (y)-axis intercept does not give a zero because (p(x)\neq0). Tip: meeting the (x)-axis is necessary for a zero.
शून्यक (x)-अक्ष से मिलने पर मिलते हैं, (y)-अक्ष से नहीं। इसलिए (x)-अक्ष से कटाव न होने पर वास्तविक शून्यक (0) होंगे। / Zeroes are found from intersections with the (x)-axis, not the (y)-axis. So if there is no (x)-axis intersection, there are (0) real zeroes.
(x=0) रखने पर (3y=12), इसलिए (y=4)। रेखा (x=0) वास्तव में (y)-अक्ष है। / Putting (x=0) gives (3y=12), so (y=4). The line (x=0) is actually the (y)-axis.
A. दिए गए आधार पर कोई शून्यक नहीं दिखता/No zero is shown from the given data
Explanation
Simple Explanation
शून्यक केवल (x)-अक्ष यानी (y=0) से जुड़े होते हैं। (y=2) से प्रतिच्छेद शून्यक नहीं बताता। / Zeroes are linked only with the (x)-axis where (y=0). Intersections with (y=2) do not show zeroes.
B. जब संरचना, अनुपात और मुख्य दिशा तय हो जाए/When structure, proportion, and main direction are decided
Explanation
Simple Explanation
अंतिम रेखा से पहले हल्की योजना जरूरी है। परीक्षा में अंतिम रेखा सोचकर लगाएं। / Light planning is needed before final line. Exam tip: apply final line thoughtfully.
D. तिरछी, तीक्ष्ण और टूटती रेखाएं/Diagonal, sharp, and broken lines
Explanation
Simple Explanation
तीक्ष्ण और तिरछी रेखाएं संघर्ष का भाव बढ़ाती हैं। परीक्षा में भाव के अनुसार रेखा गुण चुनें। / Sharp and diagonal lines increase the mood of conflict. Exam tip: choose line quality according to emotion.
D. क्योंकि बिना भाव या संरचना के साफ रेखा निर्जीव हो सकती है/Because a clean line without feeling or structure can be lifeless
Explanation
Simple Explanation
रेखा का उद्देश्य और अभिव्यक्ति भी महत्वपूर्ण हैं। परीक्षा में केवल सफाई को कला कौशल न मानें। / Purpose and expression of line are also important. Exam tip: do not treat neatness alone as art skill.
B. दोनों का दृश्य भार अलग तरीके से संतुलित हो सकता है/Their visual weights can balance in different ways
Explanation
Simple Explanation
दृश्य भार केवल लंबाई नहीं, मोटाई और स्थिति से भी बनता है। परीक्षा में कई गुण साथ देखें। / Visual weight comes not only from length but also thickness and placement. Exam tip: consider multiple qualities together.
A. अलंकरण सजाता है, संरचनात्मक रेखा ढांचा बताती है/Decorative line beautifies, structural line shows framework
Explanation
Simple Explanation
सही विकल्प रेखा के दृश्य कार्य को स्पष्ट करता है। परीक्षा में रेखा को केवल सीमा नहीं, अभिव्यक्ति और संरचना का साधन मानें। / The correct option clarifies the visual function of line. Exam tip: treat line not only as boundary but as expression and structure.
C. वह व्यवस्था और दृष्टि दिशा से महसूस होती है/It is felt through arrangement and gaze direction
Explanation
Simple Explanation
सही विकल्प रेखा के दृश्य कार्य को स्पष्ट करता है। परीक्षा में रेखा को केवल सीमा नहीं, अभिव्यक्ति और संरचना का साधन मानें। / The correct option clarifies the visual function of line. Exam tip: treat line not only as boundary but as expression and structure.
A. वास्तु योजना में सटीक किनारा दिखाते समय/While showing accurate edges in architectural plan
Explanation
Simple Explanation
वास्तु योजना में सटीक और सीधी रेखा जरूरी होती है। परीक्षा में उद्देश्य के अनुसार उपकरण चुनें। / Architectural plans need accurate and straight lines. In exams choose tools according to purpose.
A. जब दर्शक की नजर को बिना खींची रेखा से दिशा देनी हो/When the viewer's gaze must be guided without a drawn line
Explanation
Simple Explanation
निहित रेखा बिना सीधे खींचे आंख को दिशा देती है। परीक्षा में नजर और वस्तुओं की व्यवस्था को उदाहरण मानें। / An implied line guides the eye without being directly drawn. In exams use gaze and object arrangement as examples.
A. अदृश्य मार्ग या अनुमानित सीमा दिखाते समय/While showing invisible path or estimated boundary
Explanation
Simple Explanation
बिंदीदार रेखा अनुमान या संकेत के लिए उपयुक्त होती है। परीक्षा में इसका उपयोग पूरी सीमा से अलग समझें। / Dotted line is suitable for estimation or indication. In exams understand its use differently from full boundary.
रेखा का प्रकार विषय और भाव के अनुसार चुना जाता है। परीक्षा में रेखा को अभिव्यक्ति का साधन मानें। / The type of line is selected according to subject and mood. In exams treat line as a means of expression.
A. फूल की पंखुड़ी दिखाने में/Showing a flower petal
Explanation
Simple Explanation
फूल की पंखुड़ी में कोमल वक्रता होती है। परीक्षा में प्राकृतिक वस्तुओं में वक्र रेखा पहचानें। / A flower petal has soft curvature. In exams identify curved lines in natural objects.
अंतिम रेखा रूप को अधिक स्पष्ट करती है। परीक्षा में final line को clarity से जोड़ें। / Final line makes form clearer. Exam tip: connect final line with clarity.
दबाव बदलने से रेखा हल्की या गहरी होती है। परीक्षा में pressure control याद रखें। / Changing pressure makes line light or dark. Exam tip: remember pressure control.
सीधी रेखा एक दिशा में बिना मोड़ चलती है। परीक्षा में straight line को simple direction से पहचानें। / A straight line moves in one direction without bending. Exam tip: identify straight line by simple direction.
A. रेगिस्तानी दूरी और भूमध्यसागरीय अवरोधों ने ईंधन और सामग्री पहुंचाना कठिन किया/Desert distance and Mediterranean disruption made fuel and material supply difficult
Explanation
Simple Explanation
उत्तर अफ्रीका में तेज युद्ध भी रसद सीमा से बंधा था। परीक्षा में रेगिस्तान को रणनीतिक बाधा मानें। / Even fast war in North Africa was limited by logistics. For exams treat the desert as a strategic obstacle.
A. साम्यवाद विरोधी भाषा ने जर्मनी जापान और बाद में इटली को रणनीतिक निकटता दी/Anti-communist language gave Germany Japan and later Italy strategic closeness
Explanation
Simple Explanation
एंटी कॉमिन्टर्न वैचारिक था लेकिन धुरी राजनीति में रणनीतिक अर्थ रखता था। परीक्षा में विचारधारा और शक्ति हित साथ देखें। / The Anti-Comintern Pact was ideological but had strategic meaning in Axis politics. For exams view ideology and power interests together.
A. जर्मनी इटली और जापान को राजनीतिक सैन्य समझ में जोड़ा/It linked Germany Italy and Japan in a political military understanding
Explanation
Simple Explanation
ट्रिपार्टाइट पैक्ट ने यूरोपीय और एशियाई आक्रामक शक्तियों को एक धुरी में जोड़ा। परीक्षा में धुरी गठन का क्रम याद रखें। / The Tripartite Pact linked aggressive European and Asian powers into an Axis. For exams remember the sequence of Axis formation.
B. वे पीछे हटने लगीं और दबाव में आ गईं/They began retreating and came under pressure
Explanation
Simple Explanation
एल अलामेन ने उत्तरी अफ्रीका में मित्र राष्ट्रों की पहल मजबूत की। परीक्षा में इसे अफ्रीकी मोर्चे का मोड़ समझें। / El Alamein strengthened Allied initiative in North Africa. For exams understand it as a turning point of the African front.
A. मित्र राष्ट्रों की अधिक संसाधन शक्ति और कई मोर्चों पर दबाव/Greater Allied resources and pressure on many fronts
Explanation
Simple Explanation
मित्र राष्ट्रों के पास उद्योग जनशक्ति और संसाधनों का बड़ा आधार था। परीक्षा में संसाधन और रणनीति दोनों को कारण मानें। / The Allies had a larger base of industry manpower and resources. For exams treat both resources and strategy as causes.
धुरी शक्तियों में जर्मनी इटली और जापान प्रमुख थे। परीक्षा में इन्हें मित्र राष्ट्रों से अलग रखें। / The main Axis Powers were Germany Italy and Japan. For exams keep them separate from the Allied Powers.
(y)-अक्ष पर (x=0) होता है। पहले युग्म में (x=0) रखने पर दोनों समीकरण (y=6) देते हैं। / On the (y)-axis, (x=0). In the first pair, putting (x=0) gives (y=6) in both equations.
(x)-अक्ष पर (y=0) होता है। पहले युग्म में (y=0) रखने पर दोनों से (x=4) मिलता है। / On the (x)-axis, (y=0). In the first pair, putting (y=0) gives (x=4) from both equations.
(x)-अक्ष पर हर बिंदु का (y)-निर्देशांक (0) होता है। इसलिए प्रतिच्छेद का रूप ((a,0)) होगा। / Every point on the (x)-axis has (y)-coordinate (0). So the intersection has the form ((a,0)).
(y)-अक्ष पर प्रतिच्छेद के लिए (x=0) होना चाहिए। विकल्प में (x=0) रखने पर दोनों समीकरण (y=4) देते हैं। / For intersection on the (y)-axis, (x=0) is needed. In the correct option, putting (x=0) gives (y=4) in both equations.
बिंदु ( (14,0) ) में (y=0), इसलिए यह (x)-अक्ष पर है। अवरोधों के प्रश्नों में यह बात उपयोगी है। / In the point ( (14,0) ), (y=0), so it lies on the (x)-axis. This is useful in intercept questions.
बिंदु ( (9,0) ) में (y=0), इसलिए यह (x)-अक्ष पर स्थित है। अवरोधों में यह पहचान बहुत उपयोगी होती है। / In the point ( (9,0) ), (y=0), so it lies on the (x)-axis. This identification is very useful for intercepts.
(x)-अक्ष पर मिलने का अर्थ बहुपद का मान (0) है। इसलिए दोनों स्थानों पर (p(x)=0) होगा। / Meeting the (x)-axis means the polynomial value is (0). Hence (p(x)=0) at both places.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है, (\frac{(q-11)+(q+7)}{2}=q-2)। टिप: प्रतीकों में भी मध्य मान लें। / The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(q-11)+(q+7)}{2}=q-2). Tip: take the midpoint even with symbols.
दूसरा शून्यक (8) है और औसत \(\frac{-10+8}{2}=-1\) है। टिप: सममिति अक्ष दो शून्यकों का औसत है। / The other zero is (8), and the average is \(\frac{-10+8}{2}=-1\). Tip: the axis of symmetry is the average of two zeroes.
दो शून्यकों का औसत (5) है इसलिए दूसरा शून्यक (11) होगा। टिप: सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है। / The average of the two zeroes is (5), so the other zero is (11). Tip: the axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है, (\frac{(t-9)+(t+5)}{2}=t-2)। टिप: प्रतीकों में भी मध्य मान लें। / The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(t-9)+(t+5)}{2}=t-2). Tip: take the midpoint even with symbols.
दूसरा शून्यक (4) है और औसत \(\frac{-8+4}{2}=-2\) है। टिप: सममिति अक्ष दो शून्यकों का औसत है। / The other zero is (4), and the average is \(\frac{-8+4}{2}=-2\). Tip: the axis of symmetry is the average of two zeroes.
दो शून्यकों का औसत (-2) है, इसलिए दूसरा शून्यक (-9) होगा। टिप: सममिति अक्ष को शून्यकों के मध्य से जोड़ें। / The average of the two zeroes is (-2), so the other zero is (-9). Tip: connect the axis of symmetry with the midpoint of zeroes.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है (\frac{(c-7)+(c+3)}{2}=c-2)। टिप: प्रतीकों में भी औसत का नियम लागू होता है। / The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(c-7)+(c+3)}{2}=c-2). Tip: the average rule also works with symbols.
दो शून्यकों का औसत (3) है इसलिए दूसरा शून्यक (-5) होगा। टिप: \(\frac{a+b}{2}\) को सममिति अक्ष के बराबर रखें। / The average of the two zeroes is (3), so the other zero is (-5). Tip: set \(\frac{a+b}{2}\) equal to the axis of symmetry.
दोनों शून्यकों का औसत (4) है इसलिए दूसरा शून्यक (10) होगा। टिप: सममिति अक्ष को शून्यकों के मध्य मान से जोड़ें। / The average of the two zeroes is (4), so the other zero is (10). Tip: connect the axis of symmetry with the midpoint of zeroes.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है, (\frac{(b-5)+(b+1)}{2}=b-2)। टिप: प्रतीकों में भी औसत का नियम लागू होता है। / The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(b-5)+(b+1)}{2}=b-2). Tip: the average rule also works with symbols.
दो शून्यकों का औसत (2) है, इसलिए दूसरा शून्यक (-5) होगा। टिप: \( \frac{a+b}{2} \) को सममिति अक्ष के बराबर रखें। / The average of the two zeroes is (2), so the other zero is (-5). Tip: set \( \frac{a+b}{2} \) equal to the axis of symmetry.
दो शून्यकों का औसत (1) होगा इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है। / The average of the two zeroes is (1), so the other zero is (7). Tip: the axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes.
किसी बहुपद का शून्यक a होने पर ग्राफ x-अक्ष को बिंदु (a,0) पर काटता है क्योंकि उस x‑मान पर y = 0 होता है। इसलिए शून्यक −2, 3, 7 के लिए कटान बिंदु क्रमशः (−2,0), (3,0), (7,0) होंगे — यह विकल्प B है। विकल्प A गलत है क्योंकि उसमें y-अक्ष के इंटरसेप्ट (0,a) दिये गये हैं, न कि x-अक्ष के। विकल्प D केवल चिन्हों में उलटफेर दिखाता है और विकल्प C बिनाहयान रूप से संख्याओं को जोड़ता है; दोनों अमान्य जोड़ हैं। परीक्षा टिप: शून्यक को पहले निर्देशांक (x‑मान) में लिखें और y को शून्य रखें — यानी हर शून्यक के लिए (a,0)। / If a polynomial has a zero a, the graph meets the x-axis at (a,0) because y = 0 at that x-value. Thus for zeros −2, 3 and 7 the intersection points are (−2,0), (3,0), (7,0), which is option B. Option A lists points on the y-axis (0,a), not x-axis points. Option D shows sign errors and option C mismatches x and y values, so both are incorrect. Exam tip: convert each root a directly to (a,0) — first coordinate equals the root, second coordinate is 0.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है, (\frac{(a-2)+(a+4)}{2}=a+1)। टिप: प्रतीकात्मक शून्यकों में भी औसत लें। / The axis of symmetry is at the average of zeroes, (\frac{(a-2)+(a+4)}{2}=a+1). Tip: take the average even for symbolic zeroes.
A. दोनों वास्तविक शून्यक हैं — \(x=-3\) और \(x=2\)/Both x = -3 and x = 2 are real zeroes
Explanation
Simple Explanation
जब ग्राफ x-अक्ष को किसी बिंदु पर काटता है या केवल छूता है तब उस बिंदु पर बहुपद का मान शून्य होता है, अर्थात् \(p(x)=0\)। "काटना" सामान्यतः उस शून्य का विषम गुणांक (multiplicity odd) दर्शाता है और "छूना" सम गुणांक (multiplicity even) दर्शाता है। उदाहरण: \(p(x)=(x+3)(x-2)^2\) में \(x=-3\) पर ग्राफ काटेगा और \(x=2\) पर छुएगा; दोनों ही वास्तविक शून्यक हैं। गलत विकल्पों का कारण: B और C में केवल एक शून्यक मानें गये हैं जबकि दोनों पर \(p(x)=0\) है; D पूरी तरह गलत है। परीक्षण युक्ति: किसी बिंदु पर ग्राफ का संकेत बदलना बताता है कि वह शून्यक काट रहा है (odd multiplicity), और संकेत नहीं बदलना बताता है कि वह छू रहा है (even multiplicity). / If a polynomial's graph crosses or touches the x-axis at a point, the polynomial evaluates to zero there, i.e. \(p(x)=0\). Crossing typically corresponds to an odd multiplicity of the root, touching corresponds to an even multiplicity. For example, \(p(x)=(x+3)(x-2)^2\) crosses at \(x=-3\) and touches at \(x=2\); both are real zeroes. Why others are wrong: B and C claim only one zero exists though both satisfy \(p(x)=0\); D is false. Exam tip: check whether the graph changes sign at the root — sign change means crossing (odd multiplicity), no sign change means touching (even multiplicity).
दो शून्यकों का औसत (-1) है, इसलिए दूसरा शून्यक (-6) होगा। टिप: औसत को सममिति अक्ष के बराबर रखें। / The average of the two zeroes is (-1), so the other zero is (-6). Tip: set the average equal to the axis of symmetry.
दो शून्यकों का औसत (2) होगा, इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: परवलय में सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है। / The average of the two zeroes is (2), so the other zero is (7). Tip: in a parabola the axis of symmetry passes through the midpoint of the zeroes.
x-अक्ष पर किसी बिंदु \((a,0)\) का x-निर्देशांक \(a\) उस बहुपद का शून्यक होता है। यहाँ शून्यक हैं \(-3,0,6\)। उनका योग \(-3+0+6=3\)। निकटभ्रामक विकल्प: 6 इसलिए गलत है क्योंकि वह केवल सकारात्मक दो शून्यों का जोड़ नहीं है; -3 और 0 को भी जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा टिप: x-अक्ष के परस्पर छेद के x-निर्देशांकों को ही शून्यक मानकर सीधे जोड़ें। / A point \((a,0)\) on the x-axis corresponds to a zero \(a\) of the polynomial. The zeros here are \(-3,0,6\), so their sum is \(-3+0+6=3\). Why other choices are wrong: 6 is incorrect because it ignores the contribution of \(-3\) and \(0\). Exam tip: take the x-coordinates of all x-intercepts (including the origin) and add them directly.
एक बहुपद का शून्य वही x-निर्देशांक होता है जहाँ ग्राफ x-अक्ष को काटता है। दिए गए बिंदु \((r,0)\) का प्रथम निर्देशांक \(r\) है और शर्त में \(r>0\) दिया है, अतः शून्य धनात्मक होगा। विकल्प A गलत है क्योंकि वह \(r>0\) के विपरीत कहता है; विकल्प C तब ही सही होगा जब \(r=0\) हो, जो यहाँ नहीं दिया गया; विकल्प D गलत है क्योंकि x-अक्ष पर कटान का मौजूद होना शून्य के होने की प्रत्यक्ष पहचान है। परीक्षा-टिप: किसी भी x-अक्ष के कटान पर बिंदु का पहला निर्देशांक ही शून्य (root) होता है और उसका चिह्न उसी संख्या से मिलता है। / The root (zero) of a polynomial is the x-coordinate where its graph meets the x-axis. At the point \((r,0)\) the x-coordinate is \(r\), and since \(r>0\) the root is positive. Option A is wrong because it contradicts \(r>0\); option C would be true only if \(r=0\), which is not given; option D is incorrect because an x-axis intersection means the polynomial evaluates to zero there. Exam tip: read the x-coordinate of the intercept to get the root and its sign.
x-अक्ष पर दो बिंदुओं x1 और x2 के बीच की दूरी उनके x-निर्देशांकों के अंतर का परिमाण होती है। यहाँ दूरी = |9 - (-4)| = |9 + 4| = 13। विकल्प B (9) गलत है — यह केवल एक शून्यक का मान है, न कि दोनों के बीच की दूरी। विकल्प A (5) गलत होगा जब कोई गलती से 9 - 4 कर ले। विकल्प D (-13) गलत है क्योंकि दूरी हमेशा धनात्मक होती है। परीक्षा टिप: दूरी के लिये हमेशा परिमाण (absolute value) लें, यानी |x2 - x1|। / Distance on the x-axis between two points x1 and x2 is the absolute difference |x2 - x1|. Here distance = |9 - (-4)| = |9 + 4| = 13. Option B (9) is wrong — it is just one zero’s coordinate, not the separation. Option A (5) is a common mistake from doing 9 - 4 instead of 9 - (-4). Option D (-13) is invalid because distance cannot be negative. Exam tip: always use absolute value: distance = |x2 - x1|.
यदि किसी बहुपद का मान \(p(a)=0\) है तो बिंदु \((a,0)\) x-अक्ष पर होता है क्योंकि x-अक्ष पर y‑समन = 0 होता है। यहाँ केवल \(p(2)=0\) दिया है, अतः \((2,0)\) x-अक्ष पर है। \(p(1)<0\) और \(p(3)>0\) केवल फलन के संकेत (negative/positive) दर्शाते हैं, वे शून्य नहीं हैं; इसलिए \((1,0)\) या \((3,0)\) सही नहीं हैं। परीक्षा टिप: कोई बिंदु x-अक्ष पर तभी होगा जब उस x‑मान पर फलन का मान शून्य हो। / A point \((a,0)\) lies on the x-axis exactly when the polynomial satisfies \(p(a)=0\) (y = 0). Here only \(p(2)=0\), so \((2,0)\) is the x-intercept. The facts \(p(1)<0\) and \(p(3)>0\) give signs of the function (negative/positive) but are not zeros, so \((1,0)\) and \((3,0)\) are incorrect. Quick exam tip: check for equality to zero to identify x-axis points, not inequalities.
A. \(x=11\) एक वास्तविक शून्य है और इसकी गुणता सम (even multiplicity) है।
Explanation
Simple Explanation
जब ग्राफ \(x\)-अक्ष को किसी बिंदु पर छूता है तो उस बिंदु पर फलन का मान शून्य होता है, अतः \(x=11\) एक शून्य (root) है. और यदि ग्राफ अक्ष को छूता है पर कटता नहीं है तो उस शून्य की गुणता सम होती है (जैसे गुणा 2,4,...). विकल्प B गलत है क्योंकि छूने का अर्थ है मान 0 होना; विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि वे अन्य x-मानों को शून्य घोषित करते हैं जो दिए हुए चित्र से समर्थित नहीं हैं. परीक्षीय संकेत: ग्राफ का अक्ष को छूना = सम गुणता (कोई साइन परिवर्तन नहीं), अक्ष को पार करना = विषम गुणता (साइन बदलता है)। / If the graph touches the x-axis at a point, the polynomial value there is 0, so \(x=11\) is a root. Touching without crossing indicates the root has even multiplicity (2,4,...). Option B is incorrect because touching implies f(11)=0; options C and D claim different x-values as zeros which are not supported. Exam tip: touching (no sign change) ⇒ even multiplicity; crossing (sign change) ⇒ odd multiplicity.
जब \(p(a)=0\) होता है तो ग्राफ x-अक्ष को बिंदु \((a,0)\) पर छेदता है। यहाँ दिए गए शून्य हैं \(2,5,9\) — ये तीन भिन्न x‑मान हैं, अत: ग्राफ पर तीन भिन्न x-अक्ष छेदन बिंदु होंगे: \((2,0),(5,0),(9,0)\)। निकटतम भ्रामक विकल्प 'दो' गलत है क्योंकि तीन भिन्न जड़ों को दो में समेटा नहीं जा सकता। परीक्षण‑टिप: हमेशा जड़ों की भिन्नता (distinctness) जाँचें — आवर्ती (repeated) जड़ें एक ही बिंदु देती हैं और यदि बहुपद शून्य बहुपद (identically zero) हो तो अनन्त छेदन हो सकते हैं। / If \(p(a)=0\), the graph meets the x-axis at the point \((a,0)\). Given zeros 2, 5 and 9 are three distinct x-values, so the graph has three distinct x‑intercepts: \((2,0),(5,0),(9,0)\). The nearest distractor 'Two' is incorrect because three distinct roots produce three distinct intercepts. Exam tip: always check whether roots are distinct; repeated roots coincide at one intercept, and if the polynomial is identically zero the x-axis is the graph (infinitely many intersections).
C. (a) एक वास्तविक शून्यक है और इसकी बहुलकता सम (even) है/(a) is a real zero with even multiplicity
Explanation
Simple Explanation
जब ग्राफ \\(x\\)-अक्ष पर बिंदु \\((a,0)\\) पर छूता है तो बहुपद का मान वहाँ शून्य होता है, अर्थात् \\({p(a)=0}\\)। इसके अतिरिक्त, छूने का अर्थ है कि ग्राफ-अक्ष के दूसरी तरफ नहीं जाता — इसका मतलब उस शून्य की बहुलकता सम (even) होती है। इसलिए (a) वास्तविक शून्यक है और उसकी बहुलकता सम है। विकल्प B गलत है क्योंकि विषम (odd) बहुलकता पर ग्राफ़ अक्ष को काटता (cross) है, न कि केवल छूता। विकल्प A और D स्पष्ट रूप से गलत हैं क्योंकि छूने पर मान शून्य होता है और यह y-अक्ष से ही कटने का विवरण नहीं है। परीक्षाई टिप: किसी बिंदु पर "छूना" सूचित करता है कि शून्यक की बहुलकता सम है; "काटना" सूचित करता है कि बहुलकता विषम है। / If the graph of a polynomial touches the x-axis at \\((a,0)\\), then the polynomial has value zero there, i.e. \\({p(a)=0}\\). Touching (without crossing) indicates the root at a has even multiplicity, so (a) is a real zero with even multiplicity. Option B is incorrect because an odd multiplicity root causes the graph to cross the x-axis, not merely touch it. Options A and D are incorrect since touching implies a zero on the x-axis, not a non-zero or only a y-intercept. Exam tip: "touching" ⇨ even multiplicity; "crossing" ⇨ odd multiplicity — use this to decide root behaviour quickly.
x-अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु का x-समन्वय शून्यक होता है। यहाँ प्रतिच्छेदन बिंदु (-5, 0) है, इसलिए शून्यक -5 है। "पार करना" संकेत देता है कि उस शून्य का गुणांक विषम (आम तौर पर 1) है। विकल्प A गलत है क्योंकि संकेत नकारात्मक है; विकल्प C गलत है क्योंकि 0 y-मान है न कि x-मान; विकल्प D गलत है क्योंकि कोई अन्य विकल्प सही नहीं है। परीक्षा सुझाव: x-अक्ष पर बने बिंदु का x-मान ही शून्य बताता है — चिह्न बदलने से बचें। / The x-coordinate of an x-axis intersection is the zero. Since the intersection is at (-5, 0), the real zero is -5. The fact that the curve crosses there indicates an odd multiplicity (typically 1). Option A is wrong because it ignores the negative sign; C confuses the y-value (0) with the x-value; D is incorrect because a valid zero is given. Exam tip: read the x-coordinate of the intercept and keep its sign unchanged.
दो शून्यकों के बीच का मध्य मान उनके औसत के बराबर होता है। इसलिए मध्य मान होगा \(\frac{-4+6}{2}=1\)। जियोमेट्रिक अर्थ: परवलय की समाक्ष (axis of symmetry) दोनों शून्यकों के मध्य से होकर गुज़रती है, और क्वाड्रैटिक के लिए यह मध्य मान \(\frac{\alpha+\beta}{2}\) के बराबर होता है। निकटवर्ती भ्रामक विकल्पों पर टिप्पणी: 5 अधिक निकट लगता है क्योंकि यह दूसरे शून्यक 6 के पास है, परंतु यह औसत नहीं है। परीक्षा टिप: यदि परवलय का समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) हो तो शून्यकों का मध्य मान \(-\tfrac{b}{2a}\) से शीघ्र पाया जा सकता है। / The midpoint of two zeroes is their average. So midpoint = \(\frac{-4+6}{2}=1\). Geometric meaning: the parabola's axis of symmetry passes through the midpoint of its roots, and for a quadratic the midpoint equals \(\frac{\alpha+\beta}{2}\). Note on distractors: 5 is close to the root 6 but is not the average; 0 and -2 are averages for other pairs, not for -4 and 6. Exam tip: for a quadratic \(ax^2+bx+c\), the midpoint of the roots equals \(-\tfrac{b}{2a}\), useful to compute quickly.
काटना (crossing) और स्पर्श (touching) दोनों ही x-अक्ष पर शून्यक दर्शाते हैं। काटने वाला बिंदु सामान्यतः विषम गुणांक (odd multiplicity) वाला शून्यक होता है (यहाँ x=2), जबकि स्पर्श करने वाला बिंदु सम गुणांक (even multiplicity) वाला शून्यक होता है और वह भी एक ही x-मूल्य पर केवल एक अलग शून्यक गिना जाएगा (यहाँ x=-1)। अतः अलग वास्तविक शून्यक x=2 और x=-1 — कुल 2 हैं। निकटतम विकर्षक (तीन) इसलिए गलत है क्योंकि स्पर्श करने से एक ही x-मूल्य पर दो अलग शून्यक नहीं बनते; गुणांक दो होने पर वह एक ही शून्यक है। परीक्षा युक्ति: अलग शून्यकों की गिनती के लिये केवल अलग x-मूल्यों को गिनें; multiplicity को अलग-गिणती मत समझें। / Both a crossing and a touching point are x-axis zeros. A crossing point typically corresponds to an odd multiplicity root (here x=2), while a touching point corresponds to an even multiplicity root but still represents one distinct x-value (here x=-1). Therefore the distinct real zeros are x=2 and x=-1 — two in total. The choice 'three' is wrong because a touch (even multiplicity) does not create an additional distinct x-value. Exam tip: count distinct x-values where the graph meets the x-axis; multiplicity does not increase the count of distinct zeros.
C. कोई वास्तविक शून्यक नहीं है/It has no real zero
Explanation
Simple Explanation
ग्राफ (x)-अक्ष से नहीं मिलता इसलिए (p(x)=0) नहीं होता। टिप: ऊपर या नीचे रहना दोनों स्थितियों में कोई कटान नहीं देता। / The graph does not meet the (x)-axis, so (p(x)=0) does not occur. Tip: staying above or below without meeting gives no intersection.
C. वे (y)-अक्ष के दोनों ओर समान दूरी पर हैं/They are equally distant on both sides of the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
(-2) और (2) (y)-अक्ष से समान दूरी पर हैं। टिप: विपरीत शून्यक ग्राफ में सममिति का संकेत दे सकते हैं। / (-2) and (2) are equally distant from the (y)-axis. Tip: opposite zeroes may indicate symmetry in the graph.
B. (0), (2) और (5) शून्यक हैं/(0), (2) and (5) are zeroes
Explanation
Simple Explanation
यदि बहुपद p(x) का ग्राफ बिंदु (a,0) पर x-अक्ष को काटता है, तो उस बिंदु का x-कोऑर्डिनेट a बहुपद का शून्य (root) या शून्यक होता है क्योंकि p(a)=0। यहाँ दिया गया है कि ग्राफ (0,0), (2,0) और (5,0) पर काटता है, अतः x=0, x=2 और x=5 तीनों शून्यक हैं। निकटतम भ्रमित विकल्प D गलत है क्योंकि वह (0,0) को नजरअंदाज कर रहा है। परीक्षा टिप: (0,0) को अक्सर अनदेखा कर दिया जाता है — किसी भी इंटरसेप्ट को ध्यान से पढ़कर बताइए कि x-कोऑर्डिनेट शून्यक है। / If the graph of a polynomial p(x) passes through (a,0), then a is a zero of the polynomial because p(a)=0. Given intersections at (0,0), (2,0) and (5,0), the zeros are x=0, x=2 and x=5. The closest distractor (D) is incorrect because it ignores the origin (0,0). Exam tip: never skip the origin — treat (0,0) as a valid x-intercept giving the zero x=0.
x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेद तब होते हैं जब p(x)=0 होता है.
प्रशीलन: \(x^2-16=0\) से \(x^2=16\) और इसलिए \(x=\pm4\). अतः x-अक्ष पर बिंदु (4,0) और (-4,0) होंगे।
निकटतम भ्रम (option A) का कारण: कुछ छात्र x और y निर्देशांक को उलट कर या साइन भूल कर (0,16) लिख सकते हैं — वास्तविक y-अक्ष पर छेदन \(p(0)= -16\) इसलिए (0,-16) होता, न कि (0,16)।
टिप: समाधान तेज़ी से लिखने के लिए बहुपद को गुणनखंडों में लिखें: \(x^2-16=(x-4)(x+4)\) — शून्य के लिए प्रत्येक कारक को शून्य लें। / x-intercepts occur where p(x)=0.
Reason: solve \(x^2-16=0\) giving \(x^2=16\) and hence \(x=\pm4\). Therefore the graph meets the x-axis at (4,0) and (-4,0).
Closest distractor (option A) arises from swapping coordinates or sign errors — note that p(0) = -16, so the y-intercept is (0,-16), not (0,16) or (16,0).
Exam tip: factor the quadratic as \(x^2-16=(x-4)(x+4)\) and set each factor to zero to find zeros quickly.
जब ग्राफ \(x\)-अक्ष को किसी बिंदु पर पार करता है तो उस बिंदु का \(x\)-मान बहुपद का शून्य होता है (उदाहरण: \(x=-2\) पर पार करने का अर्थ \(p(-2)=0\))। उसी प्रकार जब ग्राफ किसी बिंदु पर केवल छूता है तो भी वह बिंदु शून्य देता है (\(x=3\) पर छूने का अर्थ \(p(3)=0\))। इसलिए दोनों \(x=-2\) और \(x=3\) अलग वास्तविक शून्यक हैं। नज़दीकी ग़लत विकल्प जैसे केवल \(-2\) या केवल \(3\) इसलिए गलत हैं क्योंकि दोनों बिंदु पर \(p(x)=0\) होता है। परीक्षा टिप: अलग शून्यक लिखते समय सभी भिन्न \(x\)-मान गिनें और यदि पूछा हो तो उनकी गुणात्मक बहुलता (odd/even) भी बताएं। / When a graph crosses the \(x\)-axis at a point, that \(x\)-value is a zero of the polynomial (e.g. crossing at \(x=-2\) means \(p(-2)=0\)). When the graph only touches the axis at a point, that point is also a zero (touching at \(x=3\) means \(p(3)=0\)). Thus both \(x=-2\) and \(x=3\) are distinct real zeros. Close distractors stating only one of the points are incorrect because both give \(p(x)=0\). Exam tip: list all distinct \(x\)-values where the graph meets the axis; check multiplicity (odd for crossing, even for touching) if required.
यदि \(p(a)=0\) तो बिंदु का x-निर्देशांक \(a\) और y-निर्देशांक \(p(a)=0\) होगा, इसलिए वह बिंदु \((a,0)\) है। इसी तरह \(p(b)=0\) से बिंदु \((b,0)\) मिलेगा। इसलिए आलेख x-अक्ष को बिंदुओं \((a,0)\) और \((b,0)\) पर काटता है। भ्रमित करने वाला विकल्प \((0,a)\) और \((0,b)\) इसलिए गलत है क्योंकि वे y-अक्ष पर बिंदु हैं (x=0) और उन पर पहुँचने के लिए हमें \(p(0)=a\) या \(p(0)=b\) चाहिए होता, जो दिया नहीं है। परीक्षा-सुझाव: x-अक्ष पर मिलने वाले बिंदुओं के लिए हमेशा \(p(x)=0\) रखकर x के मान निकालें; यदि कोई शून्य की पुनरावृत्ति (multiplicity) सम है तो ग्राफ़ छू सकता है, विषम होने पर काटता है। / If \(p(a)=0\), the point on the graph has x-coordinate \(a\) and y-coordinate \(p(a)=0\), i.e. the point \((a,0)\). Similarly \(p(b)=0\) gives \((b,0)\). Thus the graph meets the x-axis at \((a,0)\) and \((b,0)\). The tempting option \((0,a)\) and \((0,b)\) is wrong because those are points on the y-axis (x=0) and would correspond to values like \(p(0)=a\), which is not given. Exam tip: find x-intercepts by solving \(p(x)=0\); note multiplicity — even multiplicity may cause the graph to touch the axis, odd multiplicity makes it cross.
x-अक्ष पर किसी बिंदु का अर्थ है उस बिंदु का y-मान शून्य होना। इसलिए यदि आलेख x = 10 पर x-अक्ष को काटता है तो बहुपद का मान \(p(10)=0\) होगा। विकल्प (D) सबसे निकटका भ्रमक है क्योंकि \(p(-10)=0\) होने का मतलब जड़ x = -10 है, जो हमें दिया नहीं गया। विकल्प (B) और (C) गलत हैं क्योंकि वे क्रमशः x = 0 पर मान और x = 10 पर मान को 10 मानते हैं, जो x-अक्ष पर कटान के अर्थ के विपरीत हैं। परीक्षा-tip: कोई भी दिए हुए x-संयोजन को बहुपद में रखकर देखें — अगर मान 0 आए तो वह x-अक्ष पर कट बिंदु है। / An intersection with the x-axis at x = 10 means the function value (y) is zero at x = 10, so \(p(10)=0\). The closest distractor is (D): \(p(-10)=0\) would mean the root is at x = -10, which is not stated. Options (B) and (C) are incorrect because they assert numeric values at x = 0 or x = 10 that contradict the x-axis intersection. Exam tip: substitute the given x-coordinate into the polynomial — if the result is 0, that x is a zero (root).
A. उसका कोई वास्तविक शून्यक नहीं है/It has no real zero
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष पर ही दिखता है। टिप: (x)-अक्ष से दूरी नहीं बल्कि मिलना देखें। / A real zero appears only on the (x)-axis. Tip: check meeting the (x)-axis not distance from it.
x-अक्ष पर प्रतिच्छेदन के लिए बहुपद का मान शून्य होना चाहिए, यानी \(p(x)=0\)। यहाँ \(3x=0\) से \(x=0\) मिलता है। इसलिए प्रतिच्छेदन बिंदु \((0,0)\) है। नज़दीकी विचलन (3,0) गलत है क्योंकि \(p(3)=3\times3=9\), जो शून्य नहीं है। परीक्षा-सूचना: x-अक्ष पर कटान खोजने के लिए हमेशा \(p(x)=0\) करके हल करें। / The x-intercept occurs where the polynomial equals zero, i.e. \(p(x)=0\). Solving \(3x=0\) gives \(x=0\), so the intersection point is \((0,0)\). The closest distractor (3,0) is incorrect because \(p(3)=3\times3=9\), not zero. Exam tip: to find x-intercepts set \(p(x)=0\) and solve for x.
आलेख पूरा (x)-अक्ष से ऊपर रह सकता है इसलिए कोई वास्तविक शून्यक नहीं है। टिप: कटान न हो तो शून्यक न लिखें। / The graph can stay above the (x)-axis so there is no real zero. Tip: if there is no intersection do not write a zero.
किसी बहुपद का x-अक्ष पर कटान बिंदु (a, 0) के रूप में दिया हो तो उस बहुपद का शून्यक वही x-निर्देशांक a होता है। यहाँ कटान (-2, 0) है, अतः शून्यक -2 है। निकटतम ग़लत विकल्प 2 इसलिए गलत है क्योंकि वह मान का चिन्ह उल्टा है। परीक्षा टिप: x-अक्ष के कटान को (x,0) के रूप में लिखकर हमेशा x‑निर्देशांक लें। / If a polynomial's graph meets the x-axis at (a, 0), then a is a zero of the polynomial. Here the intersection is at (-2, 0), so the zero is -2. The closest distractor 2 is incorrect because it ignores the negative sign. Exam tip: always note the full coordinate (including the sign) and take the x-coordinate as the root.
A. न तो काटेगा न छुएगा/It will neither cut nor touch it
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष से मिलने पर दिखता है। कोई वास्तविक शून्यक न होने पर ग्राफ (x)-अक्ष से नहीं मिलेगा। / A real zero appears when the graph meets the (x)-axis. With no real zero, the graph will not meet the (x)-axis.
(x)-अक्ष से हर अलग मिलन एक वास्तविक शून्यक देता है। दो बार मिलने पर दो वास्तविक शून्यक होंगे। / Each distinct meeting with the (x)-axis gives one real zero. If it meets twice, it has two real zeroes.
बिंदु \((7,0)\) का अर्थ है कि जब \(x=7\) है तो मूल्य \(y=0\) होता है। बहुपद का मान फ़ंक्शन के रूप में लिखा जाता है: \(y=p(x)\)। इसलिए \(p(7)=0\)। विकल्प B (7) भ्रमित करने वाला है क्योंकि 7 केवल x-निर्देशांक है, परन्तु प्रश्न में पूछा गया है पॉलिनोम का मान (y)। परीक्षात्मक टिप: किसी भी बिंदु \((a,0)\) पर बहुपद का मान हमेशा 0 होता है। / The point \((7,0)\) means that when \(x=7\), the function value \(y=0\). For a polynomial written as \(y=p(x)\), this gives \(p(7)=0\). Option B (7) is incorrect because 7 is the x-coordinate, not the value of the polynomial at that x. Short exam tip: any point \((a,0)\) on the x-axis is a root of the polynomial, so \(p(a)=0\).
शून्यक (x)-अक्ष से मिलने वाले बिंदुओं से मिलते हैं। इसलिए ग्राफ पढ़ते समय (x)-अक्ष पर ध्यान दें। / Zeroes are obtained from the points where the graph meets the (x)-axis. So focus on the (x)-axis while reading the graph.
दो अलग कटाव बिंदु दो अलग वास्तविक शून्यक देते हैं। यहाँ शून्यक (m) और (n) होंगे। / Two distinct intersection points give two distinct real zeroes. Here the zeroes will be (m) and (n).
