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वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,25)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,25)) does not show a zero.
मूल बिंदु (x)-अक्ष पर भी है और (x=-9) भी (x)-अक्ष कटान है। टिप: ((0,0)) को शून्यक (0) के रूप में गिनें। / The origin is also on the (x)-axis, and (x=-9) is another (x)-axis intersection. Tip: count ((0,0)) as zero (0).
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,-20)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,-20)) does not show a zero.
मूल बिंदु (x)-अक्ष पर भी है और (x=6) भी (x)-अक्ष कटान है। टिप: ((0,0)) को शून्यक (0) के रूप में गिनें। / The origin is also on the (x)-axis, and (x=6) is another (x)-axis intersection. Tip: count ((0,0)) as zero (0).
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,18)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,18)) does not show a zero.
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,-15)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,-15)) does not show a zero.
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,12)) शून्यक नहीं है। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,12)) is not a zero.
शून्यक (-2,0,3) हैं, इसलिए बहुपद (x(x+2)(x-3)=x-3-x-2-6x) है। (x)-अक्ष काटने के बिंदु शून्यक बताते हैं। / The zeroes are (-2,0,3), so the polynomial is (x(x+2)(x-3)=x-3-x-2-6x). Intersections with the (x)-axis give zeroes.
A. दो वास्तविक अपरिमेय और असमान/Two real irrational and distinct
Explanation
Simple Explanation
दो कटावों से (D>0) होता है। (D) पूर्ण वर्ग न हो तो मूल अपरिमेय होते हैं। / Two intersections mean (D>0). If (D) is not a perfect square, the roots are irrational.
(p(x)=0) के हल वही हैं जहाँ ग्राफ (x)-अक्ष से मिलता है। इसलिए दिए गए दोनों (x)-मान हल हैं। / The solutions of (p(x)=0) are where the graph meets the (x)-axis. So both given (x)-values are solutions.
तीन अलग (x)-प्रतिच्छेद तीन शून्यक देते हैं। संख्या के प्रकार से नहीं बल्कि प्रतिच्छेदों से गिनें। / Three distinct (x)-intercepts give three zeroes. Count by intersections not by the type of numbers.
शून्यक संख्या होता है बिंदु नहीं। बिंदु ((2.5,0)) है लेकिन शून्यक (2.5) है। / A zero is a number not a point. The point is ((2.5,0)) but the zero is (2.5).
A. (k(x-m)(x-n)), जहाँ \(k\neq0\)/(k(x-m)(x-n)), where \(k\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (m) और (n) के लिए गुणनखंड ((x-m)) और ((x-n)) होते हैं। गैर शून्य गुणक शून्यक नहीं बदलता। / For zeroes (m) and (n), the factors are ((x-m)) and ((x-n)). A non-zero multiplier does not change zeroes.
A. दिए गए आधार पर कोई शून्यक नहीं दिखता/No zero is shown from the given data
Explanation
Simple Explanation
शून्यक केवल (x)-अक्ष यानी (y=0) से जुड़े होते हैं। (y=2) से प्रतिच्छेद शून्यक नहीं बताता। / Zeroes are linked only with the (x)-axis where (y=0). Intersections with (y=2) do not show zeroes.
A. डिग्री कम से कम (4) होगी/The degree is at least (4)
Explanation
Simple Explanation
चार अलग वास्तविक शून्यक के लिए डिग्री कम से कम चार चाहिए। शून्यकों की संख्या डिग्री से अधिक नहीं होती। / Four distinct real zeroes need degree at least four. The number of zeroes cannot exceed the degree.
मूल बिंदु भी (x)-अक्ष पर है इसलिए (0) भी शून्यक है। सभी (x)-प्रतिच्छेदों के (x)-मान लिखें। / The origin also lies on the (x)-axis so (0) is also a zero. Write the (x)-values of all intercepts.
खुलने की दिशा शून्यकों की संख्या अकेले तय नहीं करती। दो कटान स्पष्ट रूप से दो वास्तविक शून्यक देते हैं। / The opening direction alone does not decide the number of zeroes. Two intersections clearly give two real zeroes.
(x)-अक्ष पर मिलने का अर्थ बहुपद का मान (0) है। इसलिए दोनों स्थानों पर (p(x)=0) होगा। / Meeting the (x)-axis means the polynomial value is (0). Hence (p(x)=0) at both places.
A. दो भिन्न वास्तविक शून्यक/Two distinct real zeroes
Explanation
Simple Explanation
दो अलग कटान दो अलग वास्तविक शून्यक देते हैं। ग्राफ में अलग (x)-प्रतिच्छेद अलग शून्यक होते हैं। / Two separate intersections give two distinct real zeroes. Different (x)-intercepts mean different zeroes.
A. (0) बहुपद का शून्यक है/(0) is a zero of the polynomial
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु पर मिलना (p(0)=0) बताता है। इससे केवल (0) का शून्यक होना निश्चित है। / Meeting at the origin shows (p(0)=0). It only confirms that (0) is a zero.
किसी बहुपद के वास्तविक शून्यकों की संख्या उसकी डिग्री से अधिक नहीं हो सकती। तीन कटान के लिए न्यूनतम डिग्री (3) है। / The number of real zeroes cannot exceed the degree of the polynomial. Three crossings need minimum degree (3).
ग्राफ जहाँ (x)-अक्ष को काटता है वही शून्यक होता है। परीक्षा में काटने वाले बिंदुओं की संख्या गिनें। / A zero occurs where the graph meets the (x)-axis. In exams count the (x)-intercepts.
A. (22) को (10) करना होगा/(22) must be changed to (10)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-10) के साथ (10) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (10) is needed with (-10). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
A. यह दोनों शून्यकों का मध्य है/It is the midpoint of the two zeroes
Explanation
Simple Explanation
\(18=\frac{10+26}{2}\), इसलिए यह दोनों शून्यकों का मध्य है। टिप: मध्य मान का शून्यक होना जरूरी नहीं। / \(18=\frac{10+26}{2}\), so it is the midpoint of the two zeroes. Tip: the midpoint value need not be a zero.
आठ अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (8) होनी चाहिए। टिप: अलग शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For eight distinct real zeroes, the degree must be at least (8). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
शून्यक (-8) और (5) हैं, इसलिए बहुपद ((x+8)(x-5)=x-2+3x-40) है। टिप: कटान से गुणनखंड बनाएं। / The zeroes are (-8) and (5), so the polynomial is ((x+8)(x-5)=x-2+3x-40). Tip: form factors from intersections.
शून्यक (-12) और (12) हैं, इसलिए गुणनफल (-144) और योग (0) है। टिप: विपरीत शून्यकों का योग (0) होता है। / The zeroes are (-12) and (12), so the product is (-144) and the sum is (0). Tip: opposite zeroes have sum (0).
परास सबसे बड़े और सबसे छोटे शून्यक का अंतर है (13-(-18)=31)। टिप: परास हमेशा गैरऋणात्मक होती है। / The range is the difference between the greatest and smallest zero, (13-(-18)=31). Tip: range is always non-negative.
A. (18) को (8) करना होगा/(18) must be changed to (8)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-8) के साथ (8) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (8) is needed with (-8). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
A. यह दोनों शून्यकों का मध्य है/It is the midpoint of the two zeroes
Explanation
Simple Explanation
\(14=\frac{8+20}{2}\), इसलिए यह दोनों शून्यकों का मध्य है। टिप: मध्य मान का शून्यक होना जरूरी नहीं। / \(14=\frac{8+20}{2}\), so it is the midpoint of the two zeroes. Tip: the midpoint value need not be a zero.
सात अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (7) होनी चाहिए। टिप: अलग शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For seven distinct real zeroes, the degree must be at least (7). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
शून्यक (-9) और (4) हैं, इसलिए बहुपद ((x+9)(x-4)=x-2+5x-36) है। टिप: कटान से गुणनखंड बनाएं। / The zeroes are (-9) and (4), so the polynomial is ((x+9)(x-4)=x-2+5x-36). Tip: form factors from intersections.
शून्यक (-10) और (10) हैं, इसलिए गुणनफल (-100) और योग (0) है। टिप: विपरीत शून्यकों का योग (0) होता है। / The zeroes are (-10) and (10), so the product is (-100) and the sum is (0). Tip: opposite zeroes have sum (0).
परास सबसे बड़े और सबसे छोटे शून्यक का अंतर है, (11-(-15)=26)। टिप: परास हमेशा गैरऋणात्मक होती है। / The range is the difference between the greatest and smallest zero, (11-(-15)=26). Tip: range is always non-negative.
A. (14) को (6) करना होगा/(14) must be changed to (6)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-6) के साथ (6) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (6) is needed with (-6). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
A. यह दोनों शून्यकों का मध्य है/It is the midpoint of the two zeroes
Explanation
Simple Explanation
\(12=\frac{6+18}{2}\) है इसलिए यह दोनों शून्यकों का मध्य है। टिप: मध्य बिंदु शून्यक हो यह जरूरी नहीं। / \(12=\frac{6+18}{2}\), so it is the midpoint of the two zeroes. Tip: the midpoint need not be a zero.
छह अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (6) होनी चाहिए। टिप: अलग शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For six distinct real zeroes, the degree must be at least (6). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
शून्यक (-6) और (2) हैं इसलिए बहुपद ((x+6)(x-2)=x-2+4x-12) है। टिप: कटान से गुणनखंड बनाएं। / The zeroes are (-6) and (2), so the polynomial is ((x+6)(x-2)=x-2+4x-12). Tip: form factors from intersections.
B. शून्यक परस्पर विपरीत हैं और योग (0) है/The zeroes are opposites and their sum is (0)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (-8) और (8) विपरीत संख्याएँ हैं। टिप: विपरीत शून्यक (y)-अक्ष से समान दूरी पर होते हैं। / The zeroes (-8) and (8) are opposite numbers. Tip: opposite zeroes are equally distant from the (y)-axis.
परास सबसे बड़े और सबसे छोटे शून्यक का अंतर है (8-(-12)=20)। टिप: परास ऋणात्मक नहीं होती। / The range is the difference between the greatest and smallest zero, (8-(-12)=20). Tip: range is not negative.
A. (10) को (4) करना होगा/(10) must be changed to (4)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-4) के साथ (4) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (4) is needed with (-4). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
A. यह दोनों शून्यकों का मध्य है/It is the midpoint of the two zeroes
Explanation
Simple Explanation
\(8=\frac{4+12}{2}\), इसलिए यह दोनों शून्यकों का मध्य है। टिप: मध्य बिंदु शून्यक हो यह जरूरी नहीं। / \(8=\frac{4+12}{2}\), so it is the midpoint of the two zeroes. Tip: the midpoint need not be a zero.
चार अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (4) होनी चाहिए। टिप: अलग शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For four distinct real zeroes, the degree must be at least (4). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
शून्यक (-4) और (3) हैं, इसलिए बहुपद ((x+4)(x-3)=x-2+x-12) है। टिप: कटान से गुणनखंड बनाएं। / The zeroes are (-4) and (3), so the polynomial is ((x+4)(x-3)=x-2+x-12). Tip: form factors from intersections.
B. शून्यक परस्पर विपरीत हैं और योग (0) है/The zeroes are opposites and their sum is (0)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (-6) और (6) विपरीत संख्याएँ हैं। टिप: विपरीत शून्यक (y)-अक्ष से समान दूरी पर होते हैं। / The zeroes (-6) and (6) are opposite numbers. Tip: opposite zeroes are equally distant from the (y)-axis.
A. (0) शून्यक है क्योंकि बिंदु (x)-अक्ष पर भी है/(0) is a zero because the point is also on the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु दोनों अक्षों पर होता है, इसलिए (p(0)=0) है। टिप: ((0,0)) को विशेष बिंदु मानें। / The origin lies on both axes, so (p(0)=0). Tip: treat ((0,0)) as a special point.
परास सबसे बड़े और सबसे छोटे शून्यक का अंतर है, (6-(-10)=16)। टिप: परास ऋणात्मक नहीं होती। / The range is the difference between the greatest and smallest zero, (6-(-10)=16). Tip: range is not negative.
A. (9) को (3) करना होगा/(9) must be changed to (3)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-3) के साथ (3) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (3) is needed with (-3). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
A. यह दोनों शून्यकों का मध्य है/It is the midpoint of the two zeroes
Explanation
Simple Explanation
\(5=\frac{2+8}{2}\), इसलिए यह दोनों शून्यकों का मध्य है। टिप: मध्य का शून्यक होना जरूरी नहीं। / \(5=\frac{2+8}{2}\), so it is the midpoint of the two zeroes. Tip: a midpoint need not be a zero.
तीन अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (3) होनी चाहिए। टिप: अलग शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For three distinct real zeroes, the degree must be at least (3). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
शून्यक (-2) और (5) हैं, इसलिए बहुपद ((x+2)(x-5)=x-2-3x-10) है। टिप: ग्राफ कटान से गुणनखंड बनाएं। / The zeroes are (-2) and (5), so the polynomial is ((x+2)(x-5)=x-2-3x-10). Tip: form factors from graph intersections.
B. वे परस्पर विपरीत हैं और योग (0) है/They are opposites and their sum is (0)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (-5) और (5) हैं, जो विपरीत संख्याएँ हैं। टिप: ऐसे शून्यक (y)-अक्ष से समान दूरी पर होते हैं। / The zeroes are (-5) and (5), which are opposite numbers. Tip: such zeroes are equally distant from the (y)-axis.
B. कथन गलत है क्योंकि ((0,0)) (x)-अक्ष पर भी है/The statement is wrong because ((0,0)) is also on the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु दोनों अक्षों पर होता है, इसलिए (p(0)=0) है। टिप: ((0,0)) को विशेष बिंदु समझें। / The origin lies on both axes, so (p(0)=0). Tip: treat ((0,0)) as a special point.
परास सबसे बड़े और सबसे छोटे शून्यक का अंतर है, (4-(-8)=12)। टिप: परास हमेशा गैरऋणात्मक होती है। / The range is the difference between greatest and smallest zero, (4-(-8)=12). Tip: range is always non-negative.
शून्यक (-4), (2), (9) हैं और गुणनफल (-72) है। टिप: केवल (x)-निर्देशांकों को गुणा करें। / The zeroes are (-4), (2), (9), and their product is (-72). Tip: multiply only the (x)-coordinates.
औसत \(\frac{2+14}{2}=8\) है। टिप: औसत में (x)-निर्देशांकों का प्रयोग करें। / The average is \(\frac{2+14}{2}=8\). Tip: use the (x)-coordinates for the average.
गुणनफल ((-2)\times3\times7=-42) है। टिप: सभी (x)-अक्ष कटान के (x)-मानों को गुणा करें। / The product is ((-2)\times3\times7=-42). Tip: multiply the (x)-values of all (x)-axis intersections.
गुणनफल ((-5)\times5=-25) है। टिप: विपरीत चिह्नों का गुणनफल ऋणात्मक होता है। / The product is ((-5)\times5=-25). Tip: the product of opposite signs is negative.
A. दो अलग वास्तविक शून्यक हैं/There are two distinct real zeroes
Explanation
Simple Explanation
दो अलग कटान दो अलग शून्यक देते हैं। टिप: अलग बिंदु अलग (x)-मान बताते हैं। / Two distinct crossings give two distinct zeroes. Tip: distinct points show distinct (x)-values.
शून्यक (a), (0), (-a) हैं जिनका योग (0) है। टिप: विपरीत संख्याएँ एक-दूसरे को काट देती हैं। / The zeroes are (a), (0), (-a), whose sum is (0). Tip: opposite numbers cancel each other.
(-4) संख्या रेखा पर (-12) से दाईं ओर है। टिप: कम ऋणात्मक संख्या बड़ी होती है। / The number (-4) lies to the right of (-12) on the number line. Tip: the less negative number is greater.
कटान का पहला निर्देशांक (r) है और (r>0) है। टिप: ((r,0)) से शून्यक (r) पढ़ें। / The first coordinate of the intersection is (r), and (r>0). Tip: read the zero (r) from ((r,0)).
पाँच अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (5) होनी चाहिए। टिप: शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For five distinct real zeroes the degree must be at least (5). Tip: the number of zeroes cannot exceed the degree.
मध्यबिंदु का (x)-मान \(\frac{-2+10}{2}=4\) है। टिप: (x)-अक्ष पर दोनों बिंदुओं का (y)-मान (0) रहता है। / The (x)-value of the midpoint is \(\frac{-2+10}{2}=4\). Tip: on the (x)-axis both points keep (y=0).
शून्यक (-9), (-1), (4) हैं और सबसे बड़ा (4) है। टिप: संख्या रेखा पर दाईं ओर वाला मान बड़ा होता है। / The zeroes are (-9), (-1), (4) and the greatest is (4). Tip: the value to the right on the number line is greater.
औसत \(\frac{-5+3}{2}=-1\) है। टिप: दो शून्यकों का औसत परवलय के मध्य से जुड़ता है। / The average is \(\frac{-5+3}{2}=-1\). Tip: the average of two zeroes is linked to the middle of a parabola.
शून्यक (-6), (-2), (4) हैं और (4) सबसे बड़ा है। टिप: संख्या रेखा पर दाईं ओर का मान बड़ा होता है। / The zeroes are (-6), (-2), (4), and (4) is the greatest. Tip: the value to the right on the number line is greater.
B. शून्यक (y)-अक्ष से समान दूरी पर हैं/The zeroes are equally distant from the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
(-5) और (5) (y)-अक्ष से बराबर दूरी पर हैं। टिप: विपरीत शून्यक सममित स्थिति दिखाते हैं। / (-5) and (5) are equally distant from the (y)-axis. Tip: opposite zeroes show symmetric positions.
शून्यक (a) और (-a) हैं जिनका योग (0) है। टिप: विपरीत संख्याएँ जोड़ने पर (0) देती हैं। / The zeroes are (a) and (-a), whose sum is (0). Tip: opposite numbers add to (0).
सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है, \(\frac{-2+6}{2}=2\)। टिप: परवलय में दो शून्यकों का औसत उपयोगी होता है। / The axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes, \(\frac{-2+6}{2}=2\). Tip: the average of two zeroes is useful for a parabola.
शून्यक (-10) और (0) हैं इसलिए गुणनफल (0) है। टिप: (0) से गुणा करने पर परिणाम (0) होता है। / The zeroes are (-10) and (0), so the product is (0). Tip: multiplying by (0) gives (0).
शून्यक (-7) और (2) हैं इसलिए गुणनफल (-14) है। टिप: चिह्नों का ध्यान रखें। / The zeroes are (-7) and (2), so the product is (-14). Tip: pay attention to signs.
चार अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (4) होना चाहिए। टिप: शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For four distinct real zeroes, the degree must be at least (4). Tip: the number of zeroes cannot exceed the degree.
मध्य मान \(\frac{-4+6}{2}=1\) है। टिप: दो शून्यकों का औसत उनके बीच का मध्य देता है। / The middle value is \(\frac{-4+6}{2}=1\). Tip: the average of two zeroes gives the middle value.
शून्यक (-3), (2), (8) हैं और सबसे छोटा (-3) है। टिप: ऋणात्मक संख्या धनात्मक से छोटी होती है। / The zeroes are (-3), (2), (8), and the smallest is (-3). Tip: a negative number is smaller than a positive number.
कटान और स्पर्श दोनों से (x)-मान (2) और (-1) शून्यक हैं। टिप: अलग (x)-मानों की गिनती करें। / Both cutting and touching give zeroes (2) and (-1). Tip: count distinct (x)-values.
कटान केवल एक है इसलिए एक वास्तविक शून्यक है। टिप: घन बहुपद में अधिकतम तीन वास्तविक शून्यक हो सकते हैं, जरूरी नहीं कि तीन हों। / There is only one intersection, so there is one real zero. Tip: a cubic can have at most three real zeroes, not necessarily three.
B. (0), (2) और (5) शून्यक हैं/(0), (2) and (5) are zeroes
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु भी (x)-अक्ष पर है, इसलिए (0) भी शून्यक है। टिप: ((0,0)) को नजरअंदाज न करें। / The origin is also on the (x)-axis, so (0) is also a zero. Tip: do not ignore ((0,0)).
B. वे परस्पर विपरीत हैं/They are opposites of each other
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (-4) और (4) हैं, जो परस्पर विपरीत हैं। टिप: ऐसे शून्यकों का योग (0) होता है। / The zeroes are (-4) and (4), which are opposites. Tip: such zeroes have sum (0).
(x)-अक्ष कटान पर (y=p(x)=0) होता है। टिप: कटान बिंदु से फलन मान सीधे पढ़ें। / At an (x)-axis intersection, (y=p(x)=0). Tip: read the function value directly from the intersection point.
शून्यक (-5) और (1) हैं, जिनमें (1) बड़ा है। टिप: संख्या रेखा पर दाईं ओर वाला मान बड़ा होता है। / The zeroes are (-5) and (1), and (1) is greater. Tip: the value to the right on the number line is greater.
(y)-अक्ष कटान शून्यक नहीं देता, क्योंकि (p(x)=0) नहीं है। टिप: शून्यक के लिए (x)-अक्ष से मिलना जरूरी है। / A (y)-axis intercept does not give a zero because (p(x)\neq0). Tip: meeting the (x)-axis is necessary for a zero.
वास्तविक शून्यक केवल (x)-अक्ष कटान से गिने जाते हैं। टिप: (y)-अक्ष कटान को शून्यक में न जोड़ें। / Real zeroes are counted only from (x)-axis intersections. Tip: do not add the (y)-axis intercept to zeroes.
दिशा ऊपर या नीचे होने से संख्या नहीं बदलती, कटान दो हैं। टिप: शून्यकों की संख्या (x)-अक्ष कटान से तय करें। / The opening direction does not change the count, there are two intersections. Tip: decide zeroes by (x)-axis intersections.
शून्यक (-6) और (2) हैं, इसलिए गुणनफल (-12) है। टिप: (y)-निर्देशांक को गुणन में शामिल न करें। / The zeroes are (-6) and (2), so the product is (-12). Tip: do not include the (y)-coordinate in the product.
जब आलेख (x)-अक्ष से नहीं मिलता तो (p(x)=0) नहीं होता। टिप: वास्तविक शून्यक हमेशा (x)-अक्ष पर दिखता है। / When the graph does not meet the (x)-axis, (p(x)=0) never occurs. Tip: a real zero is seen on the (x)-axis.
तीन अलग (x)-अक्ष कटान हैं इसलिए तीन वास्तविक शून्यक हैं। टिप: केवल (y=0) वाले बिंदु गिनें। / There are three distinct (x)-axis intersections, so there are three real zeroes. Tip: count only points with (y=0).
(x=10) पर (x)-अक्ष कटान का अर्थ (y=0) है। टिप: (x)-अक्ष पर फलन मान (0) होता है। / An (x)-axis cut at (x=10) means (y=0). Tip: on the (x)-axis the function value is (0).
शून्यक (0) और (6) हैं इसलिए गुणनफल (0) है। टिप: किसी भी संख्या से (0) गुणा करने पर (0) मिलता है। / The zeroes are (0) and (6) so the product is (0). Tip: any number multiplied by (0) gives (0).
शून्यक (-1) और (1) हैं जिनका योग (0) है। टिप: सममित कटान अक्सर योग (0) देते हैं। / The zeroes are (-1) and (1) and their sum is (0). Tip: symmetric intersections often give sum (0).
(x)-अक्ष पर (y=0) रखकर (x+2=0) मिलता है। टिप: (y=0) रखना सबसे आसान तरीका है। / Put (y=0) on the (x)-axis to get (x+2=0). Tip: setting (y=0) is the easiest method.
तीन कटान बिंदु तीन वास्तविक शून्यक बताते हैं। टिप: प्रत्येक अलग (x)-अक्ष कटान को गिनें। / Three intersection points show three real zeroes. Tip: count each distinct (x)-axis intersection.
शून्यक (-2) और (3) हैं इसलिए गुणनफल (-6) है। टिप: निर्देशांक का (y)-मान गुणन में न लें। / The zeroes are (-2) and (3) so the product is (-6). Tip: do not use the (y)-value in the product.
