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दोनों पक्षों को (12) से भाग देने पर \(x^2=9\) मिलता है। परीक्षा में पहले गुणांक हटाएं। / Dividing both sides by (12) gives \(x^2=9\). In exams, remove the coefficient first.
दोनों पक्षों को (8) से भाग देने पर \(x^2=9\) मिलता है। परीक्षा में पहले गुणांक हटाएं। / Dividing both sides by (8) gives \(x^2=9\). In exams, remove the coefficient first.
दोनों पक्षों को (5) से भाग देने पर \(x^2=4\) मिलता है। परीक्षा में पहले गुणांक हटाकर वर्गमूल लें। / Dividing both sides by (5) gives \(x^2=4\). In exams, remove the coefficient first and then take square root.
B. उसने केंद्र और राज्यों के बीच अधिकारों का संवैधानिक बंटवारा किया/It constitutionally divided powers between center and states
Explanation
Simple Explanation
संघवाद ने मजबूत केंद्र और राज्यों की स्वायत्तता के बीच संतुलन बनाया। परीक्षा में संविधान को सत्ता संतुलन से जोड़ें। / Federalism balanced a strong center with state autonomy. For exams connect the Constitution with balance of power.
A. क्योंकि साम्राज्य बहु जातीय था और अलग अलग समूहों की आकांक्षाएं थीं/Because the empire was multiethnic and different groups had aspirations
Explanation
Simple Explanation
संवैधानिक सुधारों के बाद भी जातीय और राष्ट्रीय प्रश्न बने रहे। परीक्षा में साम्राज्य और राष्ट्रवाद का तनाव याद रखें। / Ethnic and national questions remained even after constitutional reforms. For exams remember tension between empire and nationalism.
B. नई स्वतंत्र सत्ता के लिए स्थिर शासन ढांचा बनाना/Creating a stable governing structure for the new independent power
Explanation
Simple Explanation
संविधान ने संघीय शासन और संस्थाओं को व्यवस्थित किया। परीक्षा में क्रांति के बाद राज्य निर्माण पर ध्यान दें। / The constitution organized federal government and institutions. For exams focus on state-building after revolution.
A. तेजी से आगे बढ़ती मित्र सेनाओं की आपूर्ति/Supply of rapidly advancing Allied armies
Explanation
Simple Explanation
तेज सैन्य बढ़त के साथ ईंधन और सामग्री पहुंचाना जरूरी था। परीक्षा में परिवहन को युद्ध परिणाम से जोड़ें। / Fuel and material had to reach fast-moving forces. For exams connect transport with war outcome.
A. नई सीमाओं में रह रहे जातीय अल्पसंख्यकों की सुरक्षा/Protection of ethnic minorities living within new borders
Explanation
Simple Explanation
नई राष्ट्रीय सीमाओं ने कई अल्पसंख्यक समुदायों को नए राज्यों में रखा। परीक्षा में राष्ट्र निर्माण और अल्पसंख्यक प्रश्न साथ पढ़ें। / New national borders placed many minority communities inside new states. For exams study nation-building and minority questions together.
A. अनियमित वर्षा और जल नियंत्रण/Irregular rainfall and water control
Explanation
Simple Explanation
मेसोपोटामिया में वर्षा सीमित थी इसलिए सिंचाई आवश्यक थी। नहरों से खेती और बसावट को समर्थन मिला। / Rainfall was limited in Mesopotamia so irrigation was necessary. Canals supported farming and settlement.
A. कर आकलन को अधिक नियमित और अनुमान योग्य बनाना/Making tax assessment more regular and predictable
Explanation
Simple Explanation
औसत उपज और भूमि मापन से राजस्व व्यवस्था व्यवस्थित हुई। इसे अकबर के प्रशासनिक सुधार से जोड़ें। / Average produce and land measurement organized the revenue system. Link it with Akbar's administrative reform.
B. उन्होंने समुदाय आधारित पृथक निर्वाचन को संस्थागत रूप दिया/They institutionalized community based separate electorates
Explanation
Simple Explanation
पृथक निर्वाचन ने साम्प्रदायिक राजनीति की दिशा को मजबूत किया। परीक्षा में 1909 को अलग प्रतिनिधित्व से जोड़ें। / Separate electorates strengthened the direction of communal politics. Exam tip is to link 1909 with separate representation.
A. कांग्रेस और मुस्लिम लीग के बीच संयुक्त भारत पर समझौता/Compromise between Congress and Muslim League over united India
Explanation
Simple Explanation
कमजोर केंद्र और प्रांतीय समूह विभाजन टालने की कोशिश थे। परीक्षा में इसे 1946 की संवैधानिक योजना समझें। / A weak centre and provincial groups were attempts to avoid partition. Exam tip is to understand it as the constitutional plan of 1946.
A. संयुक्त भारत और मुस्लिम लीग की मांग के बीच संतुलन/Balance between united India and Muslim League's demand
Explanation
Simple Explanation
समूह योजना ने विभाजन टालने के लिए समझौता खोजा। परीक्षा में इसे 1946 की जटिल संवैधानिक योजना समझें। / The grouping plan sought compromise to avoid partition. Exam tip is to understand it as a complex constitutional plan of 1946.
यहाँ (a=5), (d=2), (n=12), इसलिए कुल (192) प्रश्न हल हुए। दिन और पदों की संख्या को एक जैसा मानें। / Here (a=5), (d=2), and (n=12), so (192) questions are solved. Treat days as the number of terms.
पहले समीकरण से दूसरा घटाने पर (5y=25), इसलिए (y=5) और (x=8)। समान (5x) पदों को हटाना सही कदम है। / Subtracting the second equation from the first gives (5y=25), so (y=5) and (x=8). Eliminating equal (5x) terms is the right step.
पहले समीकरण को (4) से गुणा करने पर (2x+y=20) मिलता है। इसे (x-y=4) के साथ हल करने पर (x=8) और (y=4)। / Multiplying the first equation by (4) gives (2x+y=20). Solving it with (x-y=4) gives (x=8) and (y=4).
घटाने पर (3y=18), इसलिए (y=6) और (x=2)। समान (3x) को हटाकर पहले (y) निकालें। / Subtracting gives (3y=18), so (y=6) and (x=2). Eliminate equal (3x) terms to find (y) first.
दूसरे समीकरण से (y=3x-28), इसलिए (6x+2(3x-28)=64)। इससे (x=10) और (y=2)। / From the second equation, (y=3x-28), so (6x+2(3x-28)=64). This gives (x=10) and (y=2).
पहले समीकरण से (y=13-2x), इसलिए (x+3(13-2x)=19)। इससे (x=4) और (y=5)। / From the first equation, (y=13-2x), so (x+3(13-2x)=19). This gives (x=4) and (y=5).
दोनों समीकरण जोड़ने पर (14x=98), इसलिए (x=7) और (y=4)। विपरीत (y) पदों को जोड़कर हटाएँ। / Adding both equations gives (14x=98), so (x=7) and (y=4). Add opposite (y) terms to eliminate them.
दूसरे समीकरण से (y=2x-9), इसलिए (4x+2(2x-9)=30) और (x=6)। फिर (y=3) है। / From the second equation, (y=2x-9), so (4x+2(2x-9)=30) and (x=6). Then (y=3).
(y=2x+1) रखने पर (3x+1=10), इसलिए (x=3) और (y=7)। दिए गए रूप (y=) में हो तो सीधे रखें। / Putting (y=2x+1) gives (3x+1=10), so (x=3) and (y=7). If (y=) form is given, substitute directly.
(x-y=2) से (x=y+2), इसलिए \(\frac{y+2}{2}+y=7\) और (y=4)। भिन्न वाले प्रश्न में पहले हर हटाने की कोशिश करें। / From (x-y=2), (x=y+2), so \(\frac{y+2}{2}+y=7\) and (y=4). In fraction questions, try to clear denominators first.
पहले समीकरण से दूसरे को घटाने पर (3y=12), इसलिए (y=4) और (x=5)। समान (x) गुणांक दिखें तो विलोपन तेज होता है। / Subtracting the second equation from the first gives (3y=12), so (y=4) and (x=5). Equal (x)-coefficients make elimination faster.
(x-y=1) से (y=x-1), इसलिए (2x+x-1=11) और हल ( (4,3) ) है। परीक्षा में पहले आसान चर अलग करें। / From (x-y=1), (y=x-1), so (2x+x-1=11) and the solution is ( (4,3) ). In exams, isolate the easier variable first.
जोड़ने पर (6x=18), इसलिए (x=3) और (y=2)। विलोपन में पहले उस चर को हटाएँ जिसके गुणांक समान हों। / Adding gives (6x=18), so (x=3) and (y=2). In elimination, remove the variable with equal coefficients first.
(y=x+1) को रखने पर (x+x+1=7), इसलिए (x=3) और (y=4)। पहले दिए गए चर को दूसरे समीकरण में रखें। / Substituting (y=x+1) gives (x+x+1=7), so (x=3) and (y=4). Put the given expression into the other equation first.
दोनों समीकरण जोड़ने पर (2x=14), इसलिए (x=7) और (y=4)। विपरीत चिह्न वाले पद जल्दी कटते हैं। / Adding the equations gives (2x=14), so (x=7) and (y=4). Terms with opposite signs cancel quickly.
दोनों समीकरण जोड़ने पर (2x=8), इसलिए (x=4) और (y=3)। परीक्षा में पहले जोड़कर आसान चर निकालें। / Adding both equations gives (2x=8), so (x=4) and (y=3). In exams, first eliminate the easy variable.
\(11x^2-77x=0\) से (11x(x-7)=0), इसलिए (x=0) और (x=7) हैं। परीक्षा में चर से भाग देने से एक मूल छूट सकता है। / From \(11x^2-77x=0\), (11x(x-7)=0), so (x=0) and (x=7). In exams, dividing by the variable can miss one root.
\(9x^2-45x=0\) से (9x(x-5)=0), इसलिए (x=0) और (x=5) हैं। परीक्षा में चर से भाग देने से एक मूल छूट सकता है। / From \(9x^2-45x=0\), (9x(x-5)=0), so (x=0) and (x=5). In exams, dividing by the variable can miss one root.
\(7x^2-28x=0\) से (7x(x-4)=0), इसलिए (x=0) और (x=4) हैं। परीक्षा में चर से भाग देने से एक मूल छूट सकता है। / From \(7x^2-28x=0\), (7x(x-4)=0), so (x=0) and (x=4). In exams, dividing by the variable can miss one root.
(-5+3=-2) और \(-5\times3=-15\), इसलिए ((x-5)(x+3)) सही है। परीक्षा में गुणनफल और योग दोनों मिलाएं। / (-5+3=-2) and \(-5\times3=-15\), so ((x-5)(x+3)) is correct. In exams, match both product and sum.
यह ((x+5)(x+2)=0) में आसानी से टूटता है। परीक्षा में छोटे गुणांक देखकर गुणनखंड विधि चुनें। / It factors easily as ((x+5)(x+2)=0). In exams, choose factorisation when coefficients are small.
A. वर्गों के अंतर की विधि/Difference of squares method
Explanation
Simple Explanation
\(x^2-49=x^2-7^2\), इसलिए वर्गों के अंतर की विधि सबसे तेज है। परीक्षा में \(a^2-b^2\) पहचानना उपयोगी है। / \(x^2-49=x^2-7^2\), so the difference of squares method is fastest. In exams, recognizing \(a^2-b^2\) is useful.
यह ((x+1)(x+3)=0) में आसानी से टूटता है। परीक्षा में छोटे गुणांक देखकर गुणनखंड विधि चुनें। / It factors easily as ((x+1)(x+3)=0). In exams, choose factorisation when coefficients are small.
A. वर्गों के अंतर की विधि/Difference of squares method
Explanation
Simple Explanation
\(x^2-36=x^2-6^2\), इसलिए वर्गों के अंतर से तुरंत हल होता है। परीक्षा में \(a^2-b^2\) पहचानना समय बचाता है। / \(x^2-36=x^2-6^2\), so it is solved quickly by difference of squares. In exams, recognizing \(a^2-b^2\) saves time.
\(x^2-16x\) में सामान्य गुणनखंड (x) है, इसलिए (x(x-16)=0) लिखते हैं। परीक्षा में चर से भाग देकर (x=0) को न छोड़ें। / The common factor in \(x^2-16x\) is (x), so we write (x(x-16)=0). In exams, do not divide by the variable and lose (x=0).
यह ((x+1)(x+2)=0) में आसानी से टूटता है। परीक्षा में छोटे गुणांकों वाले प्रश्नों में गुणनखंड विधि तेज रहती है। / It easily factors as ((x+1)(x+2)=0). In exams, factorisation is fast for questions with small coefficients.
सामान्य गुणनखंड (x) निकालने पर (x(x+5)=0) मिलता है। परीक्षा में सामान्य गुणनखंड पहले निकालें। / Taking common factor (x) gives (x(x+5)=0). In exams, take the common factor first.
A. वर्गों के अंतर की विधि/Difference of squares method
Explanation
Simple Explanation
(x-2-9=x-2-32=(x-3)(x+3)), इसलिए यह वर्गों के अंतर से तुरंत हल होता है। परीक्षा में \(a^2-b^2\) पहचानना उपयोगी है। / (x-2-9=x-2-32=(x-3)(x+3)), so it is solved quickly by difference of squares. In exams, recognizing \(a^2-b^2\) is useful.
मूल भुजा (x) हो तो ((x+4)2-x-2=96)। इससे (8x+16=96) और (x=10) मिलता है। / If the original side is (x), then ((x+4)2-x-2=96). Thus (8x+16=96), giving (x=10).
अंदर की भुजा (92-2x) है और (92-2x=60), इसलिए (x=16) है। सीमा दोनों तरफ से घटती है। / The inner side is (92-2x) and (92-2x=60), so (x=16). The border is subtracted from both sides.
वर्ग की भुजा (x) हो तो \(x^2=3025\), इसलिए (x=55) है। तार की लंबाई परिमाप (4x=220) सेमी होगी। / If the side of the square is (x), then \(x^2=3025\), so (x=55). The wire length is the perimeter (4x=220) cm.
((x-12)2=1849) और (x-12=43), इसलिए (x=55) है। भुजा धनात्मक होने की शर्त याद रखें। / ((x-12)2=1849) and (x-12=43), so (x=55). Remember that the side must be positive.
((x+17)2=3249) से (x+17=57), इसलिए (x=40) है। लंबाई के लिए धनात्मक वर्गमूल लें। / ((x+17)2=3249) gives (x+17=57), so (x=40). Take the positive square root for length.
अंदर की भुजा (68-2x) है और (68-2x=44), इसलिए (x=12) है। सीमा दोनों तरफ से घटती है। / The inner side is (68-2x) and (68-2x=44), so (x=12). The border is subtracted from both sides.
वर्ग की भुजा (x) हो तो \(x^2=2025\), इसलिए (x=45) है। तार की लंबाई परिमाप (4x=180) सेमी होगी। / If the side of the square is (x), then \(x^2=2025\), so (x=45). The wire length is the perimeter (4x=180) cm.
((x-13)2=1600) और (x-13=40), इसलिए (x=53) है। भुजा धनात्मक होने की शर्त याद रखें। / ((x-13)2=1600) and (x-13=40), so (x=53). Remember that the side must be positive.
((x+12)2=1764) से (x+12=42), इसलिए (x=30) है। लंबाई के लिए धनात्मक वर्गमूल लें। / ((x+12)2=1764) gives (x+12=42), so (x=30). Take the positive square root for length.
अंदर की भुजा (52-2x) है और (52-2x=36), इसलिए (x=8) है। सीमा दोनों तरफ से घटती है। / The inner side is (52-2x) and (52-2x=36), so (x=8). The border is subtracted from both sides.
वर्ग की भुजा (x) हो तो \(x^2=1296\), इसलिए (x=36) है। तार की लंबाई परिमाप (4x=144) सेमी होगी। / If the side of the square is (x), then \(x^2=1296\), so (x=36). The wire length is the perimeter (4x=144) cm.
((x-8)2=900) और (x-8=30), इसलिए (x=38) है। भुजा धनात्मक होने की शर्त याद रखें। / ((x-8)2=900) and (x-8=30), so (x=38). Remember that the side must be positive.
((x+6)2=1225) से (x+6=35), इसलिए (x=29) है। लंबाई के लिए धनात्मक वर्गमूल लें। / ((x+6)2=1225) gives (x+6=35), so (x=29). Take the positive square root for length.
यदि भुजा (x) है, तो \(x^2=4x+96\)। इससे \(x^2-4x-96=0\), इसलिए धनात्मक भुजा (12) है। / If the side is (x), then \(x^2=4x+96\). This gives \(x^2-4x-96=0\), so the positive side is (12).
अंदर की भुजा (28-2x) है और (28-2x=20), इसलिए (x=4) है। सीमा दोनों तरफ से घटती है। / The inner side is (28-2x) and (28-2x=20), so (x=4). The border is subtracted from both sides.
वर्ग की भुजा (x) हो तो \(x^2=625\), इसलिए (x=25) है। तार की लंबाई परिमाप (4x=100) सेमी होगी। / If the side of the square is (x), then \(x^2=625\), so (x=25). The wire length is the perimeter (4x=100) cm.
((x-3)2=441) और (x-3=21), इसलिए (x=24) है। भुजा धनात्मक होने की शर्त याद रखें। / ((x-3)2=441) and (x-3=21), so (x=24). Remember that the side must be positive.
((x+4)2=576) से (x+4=24), इसलिए (x=20) है। लंबाई के लिए धनात्मक वर्गमूल लें। / ((x+4)2=576) gives (x+4=24), so (x=20). Take the positive square root for length.
यदि भुजा (x) है, तो \(x^2=4x+45\)। इससे \(x^2-4x-45=0\), इसलिए धनात्मक भुजा (9) है। / If the side is (x), then \(x^2=4x+45\). This gives \(x^2-4x-45=0\), so the positive side is (9).
\(x^2=729\) से (x=27) है। वर्गाकार क्षेत्र में भुजा क्षेत्रफल का धनात्मक वर्गमूल होती है। / \(x^2=729\) gives (x=27). In a square region, the side is the positive square root of area.
\(x^2=625\) से भुजा (25) मीटर है और परिमाप (4x=100) मीटर है। क्षेत्रफल और परिमाप के सूत्र अलग रखें। / From \(x^2=625\), the side is (25) m and perimeter is (4x=100) m. Keep area and perimeter formulas separate.
भुजा (x) हो तो \(x^2=529\), इसलिए (x=23) है। लंबाई के लिए केवल धनात्मक वर्गमूल लें। / If the side is (x), then \(x^2=529\), so (x=23). For length, take only the positive square root.
\(x^2=400\) से भुजा (20) मीटर और परिमाप (4x=80) मीटर है। क्षेत्रफल और परिमाप के सूत्र अलग होते हैं। / \(x^2=400\) gives side (20) m and perimeter (4x=80) m. Area and perimeter formulas are different.
\(x^2=289\) से भुजा (17) मीटर है और परिमाप (4x=68) मीटर है। पहले भुजा निकालें और फिर परिमाप लगाएँ। / From \(x^2=289\), the side is (17) m and perimeter is (4x=68) m. First find the side and then apply perimeter.
भुजा (x) हो तो \(x^2=196\), इसलिए (x=14) है। वर्ग की भुजा हमेशा धनात्मक मानी जाती है। / If the side is (x), then \(x^2=196\), so (x=14). The side of a square is always taken positive.
\(x^2=144\) से भुजा (12) सेमी है और परिमाप (4x=48) सेमी है। परिमाप पूछे जाने पर केवल भुजा लिखकर न रुकें। / \(x^2=144\) gives side (12) cm and perimeter (4x=48) cm. If perimeter is asked, do not stop after finding the side.
भुजा (x) हो तो \(x^2=64\), इसलिए (x=8) है। वर्ग में क्षेत्रफल भुजा के वर्ग के बराबर होता है। / If the side is (x), then \(x^2=64\), so (x=8). In a square, area equals the square of the side.
\(x^2=225\) से भुजा (15) मीटर है और परिमाप (4x=60) मीटर है। पहले भुजा निकालें, फिर परिमाप लगाएँ। / From \(x^2=225\), the side is (15) m and perimeter is (4x=60) m. First find the side, then apply perimeter.
वर्ग की भुजा (x) हो तो \(x^2=169\), इसलिए (x=13) है। भुजा हमेशा धनात्मक ली जाती है। / If the side of the square is (x), then \(x^2=169\), so (x=13). A side length is always taken positive.
बॉर्डर के बाद भुजा (x+10) होगी। ((x+10)2=900) से (x+10=30) और (x=20) मिलता है। / After the border, the side becomes (x+10). From ((x+10)2=900), (x+10=30), so (x=20).
वर्ग की भुजा (x) हो, तो शेष क्षेत्रफल (x(x-3)=70)। इससे \(x^2-3x-70=0\), इसलिए (x=10)। / Let the square side be (x), then the remaining area is (x(x-3)=70). This gives \(x^2-3x-70=0\), so (x=10).
क्षेत्रफल वृद्धि ((x+12)2-x-2=2448) है। इससे (24x+144=2448), इसलिए (x=96) है। / The area increase is ((x+12)2-x-2=2448). This gives (24x+144=2448), so (x=96).
क्षेत्रफल वृद्धि ((x+10)2-x-2=1700) है। इससे (20x+100=1700), इसलिए (x=80) है। / The area increase is ((x+10)2-x-2=1700). This gives (20x+100=1700), so (x=80).
क्षेत्रफल वृद्धि ((x+8)2-x-2=1216) है। इससे (16x+64=1216), इसलिए (x=72) है। / The area increase is ((x+8)2-x-2=1216). This gives (16x+64=1216), so (x=72).
वर्ग का क्षेत्रफल \(18^2=324\) है और (12x=324) से (x=27) है। समान क्षेत्रफल में दोनों क्षेत्रों को बराबर रखें। / The square area is \(18^2=324\), and (12x=324) gives (x=27). For equal areas, equate both areas.
(x-2+8x+16=(x+4)2) होता है। परीक्षा में (8) का आधा (4) लेकर उसका वर्ग जोड़ें। / (x-2+8x+16=(x+4)2). In exams, take half of (8), which is (4), and add its square.
