Multiplying by \(2+\sqrt{3}\) makes the denominator (4-3=1). In exams, multiply both numerator and denominator by the conjugate.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(,6+3\sqrt{3},\). Multiplying by \(2+\sqrt{3}\) makes the denominator (4-3=1). In exams, multiply both numerator and denominator by the conjugate.
Step 3
Exam Tip
हर को \(2+\sqrt{3}\) से गुणा करने पर हर (4-3=1) हो जाता है। परीक्षा में conjugate से numerator और denominator दोनों को गुणा करें।
Multiplying by \(\sqrt{7}-\sqrt{5}\) makes the denominator (7-5=2) and gives \(\sqrt{7}-\sqrt{5}\). In exams, use the conjugate.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(,\sqrt{7}-\sqrt{5},\). Multiplying by \(\sqrt{7}-\sqrt{5}\) makes the denominator (7-5=2) and gives \(\sqrt{7}-\sqrt{5}\). In exams, use the conjugate.
Step 3
Exam Tip
हर को \(\sqrt{7}-\sqrt{5}\) से गुणा करने पर हर (7-5=2) होता है और उत्तर \(\sqrt{7}-\sqrt{5}\) मिलता है। परीक्षा में conjugate का प्रयोग करें।
Multiplying by \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\) makes the denominator (3-2=1). In exams, remember to multiply by the conjugate.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(,\sqrt{3}+\sqrt{2},\). Multiplying by \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\) makes the denominator (3-2=1). In exams, remember to multiply by the conjugate.
Step 3
Exam Tip
हर को \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\) से गुणा करने पर हर (3-2=1) हो जाता है। परीक्षा में conjugate से गुणा करना न भूलें।
The sum of roots is \(\frac{1}{4+\sqrt{3}}+\frac{1}{4-\sqrt{3}}=\frac{8}{13}\). In \(x^2+ax+b=0\), the sum is (-a), so \(a=-\frac{8}{13}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. -\(\frac{8}{13}\). The sum of roots is \(\frac{1}{4+\sqrt{3}}+\frac{1}{4-\sqrt{3}}=\frac{8}{13}\). In \(x^2+ax+b=0\), the sum is (-a), so \(a=-\frac{8}{13}\).
Step 3
Exam Tip
जड़ों का योग \(\frac{1}{4+\sqrt{3}}+\frac{1}{4-\sqrt{3}}=\frac{8}{13}\) है। \(x^2+ax+b=0\) में योग (-a) होता है, इसलिए \(a=-\frac{8}{13}\)।
After rationalising, the sum of roots is \(\frac{3}{2}\). In \(x^2+ax+b=0\), the sum is (-a), so \(a=-\frac{3}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(-\frac{3}{2}\). After rationalising, the sum of roots is \(\frac{3}{2}\). In \(x^2+ax+b=0\), the sum is (-a), so \(a=-\frac{3}{2}\).
Step 3
Exam Tip
रैशनलाइज करने पर जड़ों का योग \(\frac{3}{2}\) मिलता है। \(x^2+ax+b=0\) में जड़ों का योग (-a) होता है, इसलिए \(a=-\frac{3}{2}\)।
(\frac{2}{\sqrt{3}+1}\times\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}=\frac{2\(\sqrt{3}-1\)}{2}=\sqrt{3}-1). The conjugate makes the denominator rational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{3}-1\). (\frac{2}{\sqrt{3}+1}\times\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}=\frac{2\(\sqrt{3}-1\)}{2}=\sqrt{3}-1). The conjugate makes the denominator rational.
Step 3
Exam Tip
(\frac{2}{\sqrt{3}+1}\times\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}=\frac{2\(\sqrt{3}-1\)}{2}=\sqrt{3}-1) है। परीक्षा में संयुग्मी से हर परिमेय बनता है।
\(\frac{1}{\sqrt{5}-2}\times\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2}=\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}=\sqrt{5}+2\). Rationalise the denominator in exams.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{5}+2\). \(\frac{1}{\sqrt{5}-2}\times\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2}=\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}=\sqrt{5}+2\). Rationalise the denominator in exams.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{1}{\sqrt{5}-2}\times\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2}=\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}=\sqrt{5}+2\) है। परीक्षा में हर का परिमेयकरण करें।
\(\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1\), so the sum is \(2\sqrt{2}\). Rationalising the denominator is a quick exam method.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2\sqrt{2}\). \(\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1\), so the sum is \(2\sqrt{2}\). Rationalising the denominator is a quick exam method.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1\), इसलिए योग \(2\sqrt{2}\) है। परीक्षा में हर का परिमेयकरण तेज तरीका है।
Since \(\sqrt{8}\times\sqrt{18}=\sqrt{144}=12\), it is rational. In exams simplify products of radicals first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(\sqrt{8}\times\sqrt{18}\). Since \(\sqrt{8}\times\sqrt{18}=\sqrt{144}=12\), it is rational. In exams simplify products of radicals first.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{8}\times\sqrt{18}=\sqrt{144}=12\), इसलिए यह परिमेय है। परीक्षा में गुणन में वर्गमूलों को पहले एक साथ सरल करें।
The conjugate of the denominator is \(5+\sqrt{6}\), and the denominator becomes (25-6=19). Hence the first option is correct.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{5+\sqrt{6}}{19}\). The conjugate of the denominator is \(5+\sqrt{6}\), and the denominator becomes (25-6=19). Hence the first option is correct.
Step 3
Exam Tip
हर का संयुग्मी \(5+\sqrt{6}\) है और हर (25-6=19) बनता है। इसलिए पहला विकल्प सही है।
Multiplying by the conjugate gives denominator (5-3=2) and numerator \(8+2\sqrt{15}\). The simplified form is \(4+\sqrt{15}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(4+\sqrt{15}\). Multiplying by the conjugate gives denominator (5-3=2) and numerator \(8+2\sqrt{15}\). The simplified form is \(4+\sqrt{15}\).
Step 3
Exam Tip
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (5-3=2) और अंश \(8+2\sqrt{15}\) बनता है। सरल रूप \(4+\sqrt{15}\) है।
Multiplying by the conjugate makes the denominator (1). The numerator is (\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)2=5+2\sqrt{6}).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(5+2\sqrt{6}\). Multiplying by the conjugate makes the denominator (1). The numerator is (\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)2=5+2\sqrt{6}).
Step 3
Exam Tip
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर हर (1) बनता है। अंश (\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)2=5+2\sqrt{6}) है।
Multiplying by the conjugate makes the denominator (5-2=3). So the rationalized form is \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\). Multiplying by the conjugate makes the denominator (5-2=3). So the rationalized form is \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\).
Step 3
Exam Tip
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (5-2=3) हो जाता है। इसलिए परिमेय हर वाला रूप \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\) है।
Multiplying by the conjugate makes the denominator (7-3=4). Hence we get (\frac{2\(\sqrt{7}+\sqrt{3}\)}{4}).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}\). Multiplying by the conjugate makes the denominator (7-3=4). Hence we get (\frac{2\(\sqrt{7}+\sqrt{3}\)}{4}).
Step 3
Exam Tip
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (7-3=4) बनता है। इसलिए (\frac{2\(\sqrt{7}+\sqrt{3}\)}{4}) मिलता है।
The conjugate of the denominator is \(3-\sqrt{5}\) and the denominator becomes (9-5=4). Multiply by the conjugate to rationalize.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{3-\sqrt{5}}{4}\). The conjugate of the denominator is \(3-\sqrt{5}\) and the denominator becomes (9-5=4). Multiply by the conjugate to rationalize.
Step 3
Exam Tip
हर का संयुग्मी \(3-\sqrt{5}\) है और हर (9-5=4) बनता है। परिमेयकरण में संयुग्मी से गुणा करें।
\(\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\) because \(3=\sqrt{3}\times\sqrt{3}\). Simplify when a root is in the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{3}\). \(\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\) because \(3=\sqrt{3}\times\sqrt{3}\). Simplify when a root is in the denominator.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\) क्योंकि \(3=\sqrt{3}\times\sqrt{3}\)। हर में जड़ हो तो सरल करें।
A. यह अपरिमेय संख्या है/It is an irrational number
Step 1
Concept
\(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\), which is irrational. When a root is in the denominator simplify first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह अपरिमेय संख्या है / It is an irrational number. \(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\), which is irrational. When a root is in the denominator simplify first.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\) है जो अपरिमेय है। हर में जड़ हो तो पहले सरल करें।
Rationalise \(\frac{4}{3-\sqrt{5}}\) by multiplying by \(3+\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
The denominator becomes (9-5=4), so the value is \(3+\sqrt{5}\).
Step 3
Exam Tip
Use rationalisation to identify equivalent forms. चरण 1: \(\frac{4}{3-\sqrt{5}}\) को परिमेय करने के लिए \(3+\sqrt{5}\) से गुणा करें। चरण 2: हर (9-5=4) बनता है, इसलिए मान \(3+\sqrt{5}\) है। चरण 3: बराबर रूप पहचानने के लिए परिमेयकरण करें।
In \(\frac{1}{4-\sqrt{15}}\), the conjugate of the denominator is \(4+\sqrt{15}\).
Step 2
Why this answer is correct
The denominator becomes (16-15=1), so the value is \(4+\sqrt{15}\).
Step 3
Exam Tip
Rationalising with the conjugate quickly simplifies the denominator. चरण 1: \(\frac{1}{4-\sqrt{15}}\) में हर का संयुग्म \(4+\sqrt{15}\) है। चरण 2: हर (16-15=1) बनता है, इसलिए मान \(4+\sqrt{15}\) है। चरण 3: संयुग्म से परिमेयकरण करने पर हर जल्दी सरल होता है।
After rationalising, simplify the answer completely. चरण 1: ऊपर और नीचे \(\sqrt{3}\) से गुणा करें। चरण 2: \(\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}\)। चरण 3: परिमेयकरण के बाद उत्तर को पूरी तरह सरल करें।
Use the conjugate of the denominator for rationalisation. चरण 1: हर \(4+\sqrt{15}\) का संयुग्म \(4-\sqrt{15}\) है। चरण 2: \(\frac{1}{4+\sqrt{15}}\times\frac{4-\sqrt{15}}{4-\sqrt{15}}=\frac{4-\sqrt{15}}{16-15}=4-\sqrt{15}\)। चरण 3: परिमेयकरण में हर का संयुग्म प्रयोग करें।
Rationalise \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\) by multiplying by \(2+\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
The denominator becomes (4-3=1), so the value is \(2+\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
Use rationalisation to identify equivalent forms. चरण 1: \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\) का हर परिमेय करने के लिए \(2+\sqrt{3}\) से गुणा करें। चरण 2: हर (4-3=1) बनता है, इसलिए मान \(2+\sqrt{3}\) है। चरण 3: बराबर रूप पहचानने के लिए परिमेयकरण करें।
In \(\frac{1}{3-\sqrt{8}}\), the conjugate of the denominator is \(3+\sqrt{8}\).
Step 2
Why this answer is correct
The denominator becomes (9-8=1), so the value is \(3+\sqrt{8}\).
Step 3
Exam Tip
Rationalising with the conjugate quickly simplifies the denominator. चरण 1: \(\frac{1}{3-\sqrt{8}}\) में हर का संयुग्म \(3+\sqrt{8}\) है। चरण 2: हर (9-8=1) बनता है, इसलिए मान \(3+\sqrt{8}\) है। चरण 3: संयुग्म से परिमेयकरण करने पर हर जल्दी सरल होता है।
After rationalising, simplify the answer completely. चरण 1: ऊपर और नीचे \(\sqrt{2}\) से गुणा करें। चरण 2: \(\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\)। चरण 3: परिमेयकरण के बाद उत्तर को पूरी तरह सरल करें।
Use the conjugate of the denominator for rationalisation. चरण 1: हर \(3+\sqrt{8}\) का संयुग्म \(3-\sqrt{8}\) है। चरण 2: \(\frac{1}{3+\sqrt{8}}\times\frac{3-\sqrt{8}}{3-\sqrt{8}}=\frac{3-\sqrt{8}}{9-8}=3-\sqrt{8}\)। चरण 3: परिमेयकरण में हर का संयुग्म प्रयोग करें।
Rationalisation helps when the denominator contains a square root. चरण 1: हर से वर्गमूल हटाने के लिए ऊपर और नीचे \(\sqrt{7}\) से गुणा करें। चरण 2: \(\frac{7}{\sqrt{7}}=\frac{7\sqrt{7}}{7}=\sqrt{7}\)। चरण 3: हर में वर्गमूल हो तो परिमेयकरण मदद करता है।
For \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\), the conjugate of the denominator is \(2+\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
Multiplying gives denominator (4-3=1), so the value is \(2+\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
Rationalising with the conjugate gives the answer quickly. चरण 1: \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\) में हर का संयुग्म \(2+\sqrt{3}\) है। चरण 2: गुणा करने पर हर (4-3=1) बनता है, इसलिए मान \(2+\sqrt{3}\) है। चरण 3: संयुग्म से परिमेयकरण तेजी से उत्तर देता है।
Multiply numerator and denominator by \(\sqrt{3}\) to remove the square root from the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\).
Step 3
Exam Tip
After rationalising, the denominator should not contain a square root. चरण 1: हर से वर्गमूल हटाने के लिए ऊपर और नीचे \(\sqrt{3}\) से गुणा करें। चरण 2: \(\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)। चरण 3: परिमेयकरण के बाद हर में वर्गमूल नहीं रहना चाहिए।
For rationalisation, multiply by the conjugate. चरण 1: हर का संयुग्म \(2-\sqrt{3}\) है। चरण 2: \(\frac{1}{2+\sqrt{3}}\times\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}\)। चरण 3: परिमेयकरण में संयुग्म से गुणा करें।
For conjugate products, difference of squares gives the answer quickly. चरण 1: यह ((a+b)(a-b)=a-2-b-2) का रूप है। चरण 2: (22-\(\sqrt{3}\)2=4-3=1)। चरण 3: संयुग्म रूप वाले गुणन में वर्गों का अंतर जल्दी उत्तर देता है।
Rationalising is useful when a square root appears in the denominator. चरण 1: हर को सरल करने के लिए ऊपर और नीचे \(\sqrt{5}\) से गुणा करें। चरण 2: \(\frac{5}{\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}\)। चरण 3: हर में वर्गमूल हो तो परिमेयकरण उपयोगी होता है।
\(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
When a square root is in the denominator, rationalising helps identify the number. चरण 1: \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: हर में वर्गमूल हो तो परिमेयकरण करके पहचानना आसान होता है।
