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चतुर्थ चतुर्थांश में \(\sin \theta\) ऋणात्मक और \(\cos \theta\) धनात्मक होता है। इसलिए \(\sin \theta=-\frac{15}{17}\) और \(\tan \theta=-\frac{15}{8}\)। / In the fourth quadrant, \(\sin \theta\) is negative and \(\cos \theta\) is positive. Hence \(\sin \theta=-\frac{15}{17}\) and \(\tan \theta=-\frac{15}{8}\).
तृतीय चतुर्थांश में \(\sin x\) और \(\cos x\) दोनों ऋणात्मक होते हैं, पर \(\tan x\) धनात्मक होता है। इसलिए \(\sin x=-\frac{4}{5}\)। / In the third quadrant, both \(\sin x\) and \(\cos x\) are negative, while \(\tan x\) is positive. Hence \(\sin x=-\frac{4}{5}\).
द्वितीय चतुर्थांश में \(\cos x\) ऋणात्मक होता है। \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) से \(\cos x=-\frac{12}{13}\)। / In the second quadrant, \(\cos x\) is negative. From \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\), \(\cos x=-\frac{12}{13}\).
समकोण त्रिभुज में लम्ब (7), आधार (24), कर्ण (25) होगा। इसलिए \(\sin x=\frac{7}{25}\)। / In a right triangle, perpendicular is (7), base is (24), and hypotenuse is (25). Hence \(\sin x=\frac{7}{25}\).
\(\cos x=\frac{4}{5}\) होगा, इसलिए \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{3}{4}\)। परीक्षा में चतुर्थांश से चिन्ह तय करें। / We get \(\cos x=\frac{4}{5}\), so \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{3}{4}\). In exams, decide the sign from the quadrant.
A. \(\sec \theta\) धनात्मक और \(\cosec \theta\) ऋणात्मक/\(\sec \theta\) positive and \(\cosec \theta\) negative
Explanation
Simple Explanation
चतुर्थ चतुर्थांश में \(\cos \theta\) धनात्मक और \(\sin \theta\) ऋणात्मक होता है, इसलिए उनके व्युत्क्रमों के चिन्ह भी वैसे ही होंगे। परीक्षा में पहले मूल फलनों के चिन्ह तय करें। / In the fourth quadrant, \(\cos \theta\) is positive and \(\sin \theta\) is negative, so their reciprocals have the same signs. In exams decide the signs of basic functions first.
B. \(\sin \theta\) ऋणात्मक और \(\cos \theta\) ऋणात्मक/\(\sin \theta\) negative and \(\cos \theta\) negative
Explanation
Simple Explanation
तृतीय चतुर्थांश में sine और cosine दोनों ऋणात्मक होते हैं। परीक्षा में ASTC नियम से signs जल्दी तय करें। / In the third quadrant, both sine and cosine are negative. In exams use the ASTC rule to decide signs quickly.
\(\tan \theta=\frac{4}{3}\) में opposite (4), adjacent (3), hypotenuse (5) होगा। परीक्षा में Pythagorean triplet पहचानें। / In \( \tan \theta=\frac{4}{3}\), opposite is (4), adjacent is (3), and hypotenuse is (5). In exams identify Pythagorean triplets.
\(\sin^2 \theta=1-\cos^2 \theta=\frac{16}{25}\) और द्वितीय चतुर्थांश में \(\sin \theta\) धनात्मक है। परीक्षा में ASTC नियम काम आता है। / \( \sin^2 \theta=1-\cos^2 \theta=\frac{16}{25}\), and \(\sin \theta\) is positive in the second quadrant. In exams ASTC rule helps.
\(\cos^2 \theta=1-\sin^2 \theta=\frac{144}{169}\) और प्रथम चतुर्थांश में मान धनात्मक है। परीक्षा में quadrant sign न भूलें। / \( \cos^2 \theta=1-\sin^2 \theta=\frac{144}{169}\), and in the first quadrant it is positive. In exams do not forget quadrant sign.
\(\cos^2 x=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\) होगा। प्रथम चतुर्थांश में \(\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\) लिया जाता है। / \(\cos^2 x=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\). In the first quadrant, \(\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\) is taken.
\(\cot x=\frac{5}{12}\) में आसन्न (5) और सामने (12) मानें। कर्ण (13) होगा, इसलिए \(\cos x=\frac{5}{13}\)। / For \(\cot x=\frac{5}{12}\), take adjacent as (5) and opposite as (12). The hypotenuse is (13), so \(\cos x=\frac{5}{13}\).
\(\tan x=\frac{3}{4}\) से समकोण त्रिभुज में कर्ण (5) होगा। इसलिए \(\sin x=\frac{3}{5}\)। / From \(\tan x=\frac{3}{4}\), the hypotenuse in a right triangle is (5). Hence \(\sin x=\frac{3}{5}\).
\(\sin x=\frac{15}{17}\) मिलता है और \(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\) होता है। इसलिए \(\cot x=\frac{8}{15}\)। / \(\sin x=\frac{15}{17}\) and \(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\). Therefore, \(\cot x=\frac{8}{15}\).
\(\sin^2 x=1-\cos^2 x\) से \(\sin x=\frac{5}{13}\) मिलता है। प्रथम चतुर्थांश में मान धनात्मक लिया जाता है। / From \(\sin^2 x=1-\cos^2 x\), \(\sin x=\frac{5}{13}\). In the first quadrant, the positive value is taken.
\(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) से \(\cos x=\frac{4}{5}\) मिलता है। प्रथम चतुर्थांश में \(\cos x\) धनात्मक होता है। / Using \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\), \(\cos x=\frac{4}{5}\). In the first quadrant, \(\cos x\) is positive.
चौथे चतुर्थांश में \(\cos \theta\) और \(\sec \theta\) धनात्मक होते हैं। संकेत नियम को छोटी तालिका से याद करें। / In the fourth quadrant, \(\cos \theta\) and \(\sec \theta\) are positive. Remember sign rules using a small table.
तीसरे चतुर्थांश में \(\tan \theta\) और \(\cot \theta\) धनात्मक होते हैं। चतुर्थांश के अनुसार चिह्न बदलता है। / In the third quadrant, \(\tan \theta\) and \(\cot \theta\) are positive. The sign changes according to the quadrant.
दूसरे चतुर्थांश में \(\sin \theta\) और \(\cosec \theta\) धनात्मक होते हैं। चिह्न नियम को याद रखने से ऐसे प्रश्न जल्दी हल होते हैं। / In the second quadrant, \(\sin \theta\) and \(\cosec \theta\) are positive. Knowing sign rules helps solve such questions quickly.
पहले चतुर्थांश में सभी त्रिकोणमितीय फलन धनात्मक होते हैं। परीक्षा में चतुर्थांश के चिह्न याद रखें। / In the first quadrant, all trigonometric functions are positive. Remember quadrant signs for exams.
\(\frac{31\pi}{6}-4\pi=\frac{7\pi}{6}\) है। \(\frac{7\pi}{6}\) तृतीय चतुर्थांश में आता है। / \(\frac{31\pi}{6}-4\pi=\frac{7\pi}{6}\). \(\frac{7\pi}{6}\) lies in the third quadrant.
\(-1460^\circ+1800^\circ=340^\circ\) है। \(340^\circ\) चतुर्थ चतुर्थांश में आता है। / \(-1460^\circ+1800^\circ=340^\circ\). \(340^\circ\) lies in the fourth quadrant.
द्वितीय चतुर्थांश में कोण \(180^\circ-18^\circ=162^\circ\) है। \(162^\circ=\frac{9\pi}{10}\) रेडियन होता है। / In the second quadrant the angle is \(180^\circ-18^\circ=162^\circ\). \(162^\circ=\frac{9\pi}{10}\) radians.
\(\theta=1.65\pi\), जो \(\frac{3\pi}{2}\) और \(2\pi\) के बीच है। इसलिए कोण चौथे चतुर्थांश में है। / \(\theta=1.65\pi\), which lies between \(\frac{3\pi}{2}\) and \(2\pi\). Therefore, the angle is in the fourth quadrant.
\(\frac{\pi}{2}<\frac{9}{5}<\pi\), इसलिए कोण दूसरे चतुर्थांश में है। परीक्षा में \(\frac{\pi}{2}\approx1.57\) और \(\pi\approx3.14\) से तुलना करें। / Since \(\frac{\pi}{2}<\frac{9}{5}<\pi\), the angle lies in the second quadrant. In exams, compare with \(\frac{\pi}{2}\approx1.57\) and \(\pi\approx3.14\).
\(\frac{107\pi}{12}\) में से \(8\pi\) घटाने पर \(\frac{11\pi}{12}\) मिलता है। \(\frac{11\pi}{12}\) दूसरा चतुर्थांश में है। / Subtracting \(8\pi\) from \(\frac{107\pi}{12}\) gives \(\frac{11\pi}{12}\). \(\frac{11\pi}{12}\) lies in the second quadrant.
तृतीय चतुर्थांश में कोण \(\pi+\) संदर्भ कोण होता है। इसलिए \(\pi+\frac{\pi}{7}=\frac{8\pi}{7}\) है। / In the third quadrant the angle is \(\pi+\) reference angle. Hence \(\pi+\frac{\pi}{7}=\frac{8\pi}{7}\).
A. चतुर्थ चतुर्थांश और \(\frac{\pi}{3}\)/Fourth quadrant and \(\frac{\pi}{3}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{5\pi}{3}=300^\circ\) होता है जो चतुर्थ चतुर्थांश में है। संदर्भ कोण \(360^\circ-300^\circ=60^\circ=\frac{\pi}{3}\) है। / \(\frac{5\pi}{3}=300^\circ\) which lies in the fourth quadrant. The reference angle is \(360^\circ-300^\circ=60^\circ=\frac{\pi}{3}\).
\(-850^\circ+1080^\circ=230^\circ\) है। \(230^\circ\) तृतीय चतुर्थांश में आता है। / \(-850^\circ+1080^\circ=230^\circ\). \(230^\circ\) lies in the third quadrant.
A. \(279^\circ\), चौथा चतुर्थांश/\(279^\circ\), fourth quadrant
Explanation
Simple Explanation
\(999^\circ-720^\circ=279^\circ\), जो चौथे चतुर्थांश में है। परीक्षा में मुख्य कोण के बाद ही चतुर्थांश तय करें। / \(999^\circ-720^\circ=279^\circ\), which lies in the fourth quadrant. In exams, decide the quadrant only after finding the principal angle.
\(-\frac{25\pi}{6}+ \frac{36\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}\), जो चौथे चतुर्थांश में है। परीक्षा में ऋणात्मक रेडियन कोण में \(2\pi\) जोड़ते रहें। / \(-\frac{25\pi}{6}+ \frac{36\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}\), which lies in the fourth quadrant. In exams, keep adding \(2\pi\) to a negative radian angle.
\(\frac{11\pi}{9}\times\frac{180^\circ}{\pi}=220^\circ\), जो तीसरे चतुर्थांश में है। परीक्षा में डिग्री में बदलकर चतुर्थांश पहचानना आसान होता है। / \(\frac{11\pi}{9}\times\frac{180^\circ}{\pi}=220^\circ\), which lies in the third quadrant. In exams, converting to degrees can make quadrant identification easier.
\(\frac{23\pi}{5}-4\pi=\frac{3\pi}{5}\), जो दूसरे चतुर्थांश में है। सही चतुर्थांश दूसरा है। / \(\frac{23\pi}{5}-4\pi=\frac{3\pi}{5}\), which lies in the second quadrant. So the correct quadrant is the second quadrant.
\(\pi<3.9<\frac{3\pi}{2}\), इसलिए कोण तीसरे चतुर्थांश में है। परीक्षा में \(\pi\approx3.14\) और \(\frac{3\pi}{2}\approx4.71\) से तुलना करें। / Since \(\pi<3.9<\frac{3\pi}{2}\), the angle is in the third quadrant. In exams, compare with \(\pi\approx3.14\) and \(\frac{3\pi}{2}\approx4.71\).
\(\frac{19\pi}{6}-2\pi=\frac{7\pi}{6}\) नहीं, बल्कि फिर तुलना से यह तीसरा चतुर्थांश है। सही तरीका है \(\frac{19\pi}{6}-\frac{12\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}\), जो तीसरे चतुर्थांश में है। / \(\frac{19\pi}{6}-2\pi=\frac{7\pi}{6}\), which lies in the third quadrant. In exams, reduce the angle before identifying the quadrant.
\(\frac{\pi}{2}<2.35<\pi\), इसलिए कोण दूसरे चतुर्थांश में है। परीक्षा में रेडियन सीमाएं \(\frac{\pi}{2}\), \(\pi\), \(\frac{3\pi}{2}\) से तुलना करें। / Since \(\frac{\pi}{2}<2.35<\pi\), the angle lies in the second quadrant. In exams, compare radians with \(\frac{\pi}{2}\), \(\pi\), and \(\frac{3\pi}{2}\).
\(-940^\circ+1080^\circ=140^\circ\) नहीं, बल्कि \(-940^\circ+720^\circ=-220^\circ\) और \(+360^\circ=140^\circ\), इसलिए दूसरा चतुर्थांश होना चाहिए। परीक्षा में बार-बार \(360^\circ\) जोड़कर धनात्मक मुख्य कोण पाएं। / \(-940^\circ+1080^\circ=140^\circ\), so the terminal side lies in the second quadrant. In exams, keep adding \(360^\circ\) until the angle becomes positive.
\(765^\circ-720^\circ=45^\circ\), इसलिए अंतिम भुजा पहले चतुर्थांश में होगी। परीक्षा में पहले कोण को \(0^\circ\) से \(360^\circ\) के बीच लाइए। / Since \(765^\circ-720^\circ=45^\circ\), the terminal side lies in the first quadrant. In exams, first reduce the angle between \(0^\circ\) and \(360^\circ\).
A. \( \frac{5\pi}{12} \) और तृतीय चतुर्थांश/\( \frac{5\pi}{12} \) and third quadrant
Explanation
Simple Explanation
\( \frac{17\pi}{12} \) \( \pi \) और \( \frac{3\pi}{2} \) के बीच है और संदर्भ कोण \( \frac{17\pi}{12}-\pi=\frac{5\pi}{12} \) है। चतुर्थांश के अनुसार सूत्र बदलता है। / \( \frac{17\pi}{12} \) lies between \( \pi \) and \( \frac{3\pi}{2} \), and the reference angle is \( \frac{17\pi}{12}-\pi=\frac{5\pi}{12} \). The formula changes by quadrant.
\( \frac{19\pi}{7}-2\pi=\frac{5\pi}{7} \) है और यह \( \frac{\pi}{2} \) तथा \( \pi \) के बीच है? सावधानी से \( \frac{5\pi}{7} \) द्वितीय चतुर्थांश में है। / \( \frac{19\pi}{7}-2\pi=\frac{5\pi}{7} \), and \( \frac{5\pi}{7} \) lies in the second quadrant. Always reduce the angle before deciding the quadrant.
\( -\frac{5\pi}{8}+2\pi=\frac{11\pi}{8} \) है और यह तृतीय चतुर्थांश में है। ऋणात्मक रेडियन कोण में \(2\pi\) जोड़कर स्थिति देखें। / \( -\frac{5\pi}{8}+2\pi=\frac{11\pi}{8} \), and it lies in the third quadrant. Add \(2\pi\) to a negative radian angle to check its position.
\( \pi<\frac{15\pi}{11}<\frac{3\pi}{2} \) है इसलिए यह तृतीय चतुर्थांश में आता है। \( \pi \) के बाद और \( \frac{3\pi}{2} \) से पहले तीसरा चतुर्थांश होता है।
\(-640^\circ+720^\circ=80^\circ\) है और \(80^\circ\) प्रथम चतुर्थांश में है। ऋणात्मक कोण को पहले धनात्मक सहसमापी कोण में बदलें। / \(-640^\circ+720^\circ=80^\circ\), and \(80^\circ\) lies in the first quadrant. First convert a negative angle into a positive coterminal angle.
\( -710^\circ+720^\circ=10^\circ \) है इसलिए अंतिम भुजा प्रथम चतुर्थांश में है। बड़े ऋणात्मक कोण में \(360^\circ\) के गुणज जोड़ें। / \( -710^\circ+720^\circ=10^\circ \), so the terminal side lies in the first quadrant. Add multiples of \(360^\circ\) to a large negative angle.
\( -250^\circ+360^\circ=110^\circ \) है और \(110^\circ\) द्वितीय चतुर्थांश में है। पहले धनात्मक सहसमापी कोण निकालें। / \( -250^\circ+360^\circ=110^\circ \) and \(110^\circ\) lies in the second quadrant. First find the positive coterminal angle.
\( \frac{7\pi}{10}=126^\circ \) है और यह \(90^\circ\) से \(180^\circ\) के बीच है। चतुर्थांश के लिए कोण की सीमा देखें। / \( \frac{7\pi}{10}=126^\circ \) and it lies between \(90^\circ\) and \(180^\circ\). Check the interval to decide the quadrant.
\( \frac{8\pi}{5}=288^\circ \) है इसलिए यह चतुर्थ चतुर्थांश में है। रेडियन कोण को जरूरत होने पर डिग्री में बदलें। / \( \frac{8\pi}{5}=288^\circ \) so it lies in the fourth quadrant. Convert radians to degrees when needed.
\( -310^\circ+360^\circ=50^\circ \) है और \(50^\circ\) प्रथम चतुर्थांश में है। सहसमापी कोण से चतुर्थांश आसानी से मिलता है। / \( -310^\circ+360^\circ=50^\circ \) and \(50^\circ\) lies in the first quadrant. The coterminal angle gives the quadrant easily.
\( -220^\circ+360^\circ=140^\circ \) और \(140^\circ\) द्वितीय चतुर्थांश में है। ऋणात्मक कोण को पहले धनात्मक सहसमापी कोण में बदलें। / \( -220^\circ+360^\circ=140^\circ \) and \(140^\circ\) lies in the second quadrant. First convert a negative angle to a positive coterminal angle.
\(135^\circ\) \(90^\circ\) और \(180^\circ\) के बीच है इसलिए द्वितीय चतुर्थांश में है। कोण की स्थिति तय करने के लिए सीमा याद रखें। / \(135^\circ\) lies between \(90^\circ\) and \(180^\circ\) so it is in the second quadrant. Remember the interval to decide the position.
\(25^\circ\) \(0^\circ\) और \(90^\circ\) के बीच है इसलिए प्रथम चतुर्थांश में है। छोटे धनात्मक कोण अक्सर प्रथम चतुर्थांश में होते हैं। / \(25^\circ\) lies between \(0^\circ\) and \(90^\circ\) so it is in the first quadrant. Small positive angles often lie in the first quadrant.
\(310^\circ\) \(270^\circ\) और \(360^\circ\) के बीच है इसलिए चतुर्थ चतुर्थांश में है। \(270^\circ\) के बाद वाले कोण चौथे चतुर्थांश में आते हैं। / \(310^\circ\) lies between \(270^\circ\) and \(360^\circ\) so it is in the fourth quadrant. Angles after \(270^\circ\) lie in the fourth quadrant.
\(320^\circ\), \(270^\circ\) और \(360^\circ\) के बीच है इसलिए चौथे चतुर्थांश में है। \(270^\circ\) के बाद चौथा चतुर्थांश आता है। / \(320^\circ\) lies between \(270^\circ\) and \(360^\circ\), so it is in the fourth quadrant. The fourth quadrant comes after \(270^\circ\).
\(235^\circ\), \(180^\circ\) और \(270^\circ\) के बीच है इसलिए तीसरे चतुर्थांश में है। तीसरे चतुर्थांश की सीमा याद रखें। / \(235^\circ\) lies between \(180^\circ\) and \(270^\circ\), so it is in the third quadrant. Remember the range of the third quadrant.
\(145^\circ\), \(90^\circ\) और \(180^\circ\) के बीच है इसलिए दूसरे चतुर्थांश में है। कोण की स्थिति पहले दायरा देखकर तय करें। / \(145^\circ\) lies between \(90^\circ\) and \(180^\circ\), so it is in the second quadrant. First check the range of the angle.
\(35^\circ\), \(0^\circ\) और \(90^\circ\) के बीच है इसलिए पहले चतुर्थांश में है। सीमा कोणों से चतुर्थांश पहचानें। / \(35^\circ\) lies between \(0^\circ\) and \(90^\circ\), so it is in the first quadrant. Identify quadrants using boundary angles.
\(70^\circ\), \(0^\circ\) और \(90^\circ\) के बीच है इसलिए पहले चतुर्थांश में है। छोटे धनात्मक कोण पहले चतुर्थांश में आते हैं। / \(70^\circ\) lies between \(0^\circ\) and \(90^\circ\), so it is in the first quadrant. Small positive angles lie in the first quadrant.
\(100^\circ\), \(90^\circ\) और \(180^\circ\) के बीच है इसलिए दूसरे चतुर्थांश में है। \(90^\circ\) से आगे और \(180^\circ\) से पहले दूसरा चतुर्थांश होता है। / \(100^\circ\) lies between \(90^\circ\) and \(180^\circ\), so it is in the second quadrant. After \(90^\circ\) and before \(180^\circ\) is the second quadrant.
\(315^\circ\), \(270^\circ\) और \(360^\circ\) के बीच है इसलिए चौथे चतुर्थांश में है। कोण की स्थिति सीमा से तय करें। / \(315^\circ\) lies between \(270^\circ\) and \(360^\circ\), so it is in the fourth quadrant. Decide the position using boundaries.
नीचे या उसी पर होने से \(\leq\) लगेगा और प्रथम चतुर्थांश के लिए \(x\geq 0\), \(y\geq 0\) चाहिए। ठोस सीमा रेखा बनती है। / Below or on the line means \(\leq\), and the first quadrant needs \(x\geq 0\), \(y\geq 0\). The boundary line is solid.
\(x+y\ge 5\) वाला प्रथम चतुर्थांश क्षेत्र बाहर की ओर अनंत फैलता है। बंद बहुभुज के लिए हर दिशा में सीमा चाहिए। / The first-quadrant region \(x+y\ge 5\) extends outward infinitely. A closed polygon needs bounds in every direction.
A. \(x+y\le 6\), \(x+y\ge 6\), \(x\ge 0\), \(y\ge 0\)
Explanation
Simple Explanation
दोनों \(x+y\le 6\) और \(x+y\ge 6\) मिलकर (x+y=6) बनाते हैं। बराबरी को दो विपरीत असमानताओं से लिखा जा सकता है। / Together \(x+y\le 6\) and \(x+y\ge 6\) force (x+y=6). Equality can be written using two opposite inequalities.
अवरोध ((9,0)) और ((0,3)) हैं, इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times 9\times 3=\frac{27}{2}\)। अक्षीय त्रिभुज में अवरोधों को आधार और ऊंचाई लें। / The intercepts are ((9,0)) and ((0,3)), so area is \(\frac{1}{2}\times 9\times 3=\frac{27}{2}\). For an axial triangle, use intercepts as base and height.
दोनों रेखाओं को साथ हल करने पर (x=4), (y=4) मिलता है। साझा सीमा का कटान अक्सर मुख्य शीर्ष होता है। / Solving both lines together gives (x=4), (y=4). The intersection of shared boundaries is often the key vertex.
क्षेत्र अक्षों और रेखा (x+y=8) से घिरता है। अवरोध बिंदु देखने से त्रिभुज तुरंत मिल जाता है। / The region is bounded by the axes and the line (x+y=8). Checking intercepts quickly shows a triangle.
(x=0) से (8) तक (y) के संभव मान गिनने पर कुल (33) बिंदु मिलते हैं। परीक्षा सुझाव: ऐसे प्रश्नों में प्रत्येक (x) के लिए अधिकतम (y) लिखें। / Counting possible (y)-values for (x=0) to (8) gives a total of (33) points. Exam tip: For such questions, write the maximum (y) for each (x).
((2,4)) पर \(4\cdot2+4=12\) इसलिए यह सीमा पर है। परीक्षा सुझाव: सीमा के लिए असमानता की जगह समीकरण लगाएँ। / At ((2,4)), \(4\cdot2+4=12\), so it lies on the boundary. Exam tip: For boundary checking, replace the inequality by its equation.
A. असीमित क्षेत्र जो मूल बिंदु को शामिल नहीं करता/Unbounded region not containing the origin
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु \(0\geq 10\) असत्य करता है इसलिए रेखा से दूर वाला प्रथम चतुर्थांश भाग लिया जाता है। परीक्षा सुझाव: \(\geq\) वाली रेखा के लिए सीमा शामिल रहती है। / The origin makes \(0\geq 10\) false, so the first-quadrant side away from the line is taken. Exam tip: With \(\geq\), the boundary line remains included.
B. कटान ((9,0)), ((0,3)) हैं और मूल बिंदु अंदर है/Intercepts are ((9,0)), ((0,3)) and origin is inside
Explanation
Simple Explanation
(y=0) पर (x=9) और (x=0) पर (y=3) मिलता है। परीक्षा सुझाव: कटान निकालते समय एक चर को शून्य रखें। / Putting (y=0) gives (x=9), and putting (x=0) gives (y=3). Exam tip: Set one variable to zero to find intercepts.
D. रेखा के ऊपर वाला असीमित भाग सीमा सहित/Unbounded part above the line with boundary
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु से \(0\geq 12\) असत्य है इसलिए रेखा से दूर वाला भाग चुना जाता है। परीक्षा सुझाव: प्रथम चतुर्थांश क्षेत्र को हमेशा अक्षों से भी मिलाइए। / The origin gives \(0\geq 12\), which is false, so the side away from the origin is chosen. Exam tip: Always combine the region with the axes in the first quadrant.
(x)-अवरोध के लिए (y=0) रखें, इसलिए (x=16)। अवरोध निकालते समय दूसरे चर को (0) रखें। / For the (x)-intercept, put (y=0), so (x=16). To find an intercept, set the other variable to (0).
रेखा अक्षों को ((8,0)) और ((0,6)) पर काटती है, इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times 8\times 6=24\)। अवरोधों से त्रिभुज का क्षेत्रफल तुरंत मिलता है। / The line cuts the axes at ((8,0)) and ((0,6)), so area is \(\frac{1}{2}\times 8\times 6=24\). Intercepts quickly give the triangle area.
रेखा (2x+y=12) के अवरोध ((6,0)) और ((0,12)) हैं। अक्षों के साथ ((0,0)) तीसरा शीर्ष है। / The intercepts of (2x+y=12) are ((6,0)) and ((0,12)). With the axes, ((0,0)) is the third vertex.
(x=0) रखने पर (3y=12) इसलिए (y=4)। इसलिए (y)-अक्ष पर शीर्ष ((0,4)) है। / Putting (x=0) gives (3y=12), so (y=4). Hence the vertex on the (y)-axis is ((0,4)).
\(y=\sqrt{x}\) में \(x\ge 0\) और \(y\ge 0\) होता है। परीक्षा में वर्गमूल ग्राफ को पहले चतुर्थांश से जोड़ें। / For \(y=\sqrt{x}\), \(x\ge 0\) and \(y\ge 0\). In exams, associate the square-root graph with the first quadrant.
\(\cosec \theta=\frac{1}{\sin \theta}\), इसलिए \(\sin \theta=\frac{2}{5}\) है। परीक्षा में cosecant और sine reciprocal हैं। / \( \cosec \theta=\frac{1}{\sin \theta}\), so \( \sin \theta=\frac{2}{5}\). In exams remember cosecant and sine are reciprocals.
\(\cot \theta=\frac{12}{5}\) में adjacent (12), opposite (5), hypotenuse (13) है। \(परीक्षा में (\cos \theta=\frac{\)adjacent}{hypotenuse}) लगाएं। \(/ In ( \cot \theta=\frac{12}{5}), adjacent is (12), opposite is (5), and hypotenuse is (13). In exams use ( \cos \theta=\frac{\)adjacent}{hypotenuse}).
\(\cos x=-\frac{8}{17}\) होगा। दूसरे चतुर्थांश में \(\sin x\) धनात्मक है, इसलिए \(\sin x=\frac{15}{17}\) है। / \(\cos x=-\frac{8}{17}\). In the second quadrant, \(\sin x\) is positive, so \(\sin x=\frac{15}{17}\).
चौथे चतुर्थांश में \(\cos x\) धनात्मक और \(\sin x\) ऋणात्मक होता है। (7,24,25) त्रिक से \(\cos x=\frac{7}{25}\) है। / In the fourth quadrant, \(\cos x\) is positive and \(\sin x\) is negative. From the (7,24,25) triple, \(\cos x=\frac{7}{25}\).
तीसरे चतुर्थांश में \(\cos x\) ऋणात्मक होता है। \(\cos x=-\frac{12}{13}\), इसलिए \(\sec x=-\frac{13}{12}\) है। / In the third quadrant, \(\cos x\) is negative. Since \(\cos x=-\frac{12}{13}\), \(\sec x=-\frac{13}{12}\).
दूसरे चतुर्थांश में \(\sin x\) धनात्मक और \(\cos x\) ऋणात्मक होता है। \(\sin x=\frac{4}{5}\), इसलिए \(\tan x=-\frac{4}{3}\) है। / In the second quadrant, \(\sin x\) is positive and \(\cos x\) is negative. Since \(\sin x=\frac{4}{5}\), \(\tan x=-\frac{4}{3}\).
\(\sin^2 x=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}\) होता है। चौथे चतुर्थांश में \(\sin x\) ऋणात्मक होता है। / \(\sin^2 x=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}\). In the fourth quadrant, \(\sin x\) is negative.
\(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\) से \(|\cosec x|=\frac{5}{4}\) मिलता है। दूसरे चतुर्थांश में \(\cosec x\) धनात्मक होता है। / From \(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\), \(|\cosec x|=\frac{5}{4}\). In the second quadrant, \(\cosec x\) is positive.
पहचान से \(|\sin x|=\frac{8}{17}\) मिलता है। चौथे चतुर्थांश में \(\sin x\) ऋणात्मक होता है। / The identity gives \(|\sin x|=\frac{8}{17}\). In the fourth quadrant, \(\sin x\) is negative.
\(\sec^2 x=1+\tan^2 x\) से \(|\sec x|=\frac{41}{40}\) मिलता है। तीसरे चतुर्थांश में \(\sec x\) ऋणात्मक होता है। / From \(\sec^2 x=1+\tan^2 x\), \(|\sec x|=\frac{41}{40}\). In the third quadrant, \(\sec x\) is negative.
पहचान से \(|\cos x|=\frac{24}{25}\) मिलता है। दूसरे चतुर्थांश में \(\cos x\) ऋणात्मक होता है। / The identity gives \(|\cos x|=\frac{24}{25}\). In the second quadrant, \(\cos x\) is negative.
\(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\) से \(\cosec x=\frac{17}{15}\) मिलता है। प्रथम चतुर्थांश में धनात्मक मान लें। / From \(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\), \(\cosec x=\frac{17}{15}\). Take the positive value in the first quadrant.
\(\sec^2 x=1+\tan^2 x\) लगाने पर \(\sec x=\frac{25}{24}\) मिलता है। प्रथम चतुर्थांश में \(\sec x\) धनात्मक होता है। / Using \(\sec^2 x=1+\tan^2 x\), \(\sec x=\frac{25}{24}\). In the first quadrant, \(\sec x\) is positive.
चौथे चतुर्थांश में \(\cos x\) और \(\sec x\) धनात्मक होते हैं। इसलिए \(\sin x\) ऋणात्मक होता है। / In the fourth quadrant, \(\cos x\) and \(\sec x\) are positive. Hence \(\sin x\) is negative.
तीसरे चतुर्थांश में \(\tan x\) और \(\cot x\) धनात्मक होते हैं। संकेत नियम से उत्तर सीधे मिलता है। / In the third quadrant, \(\tan x\) and \(\cot x\) are positive. The sign rule gives the answer directly.
दूसरे चतुर्थांश में केवल \(\sin x\) और \(\cosec x\) धनात्मक होते हैं। इसलिए \(\cos x\) ऋणात्मक होता है। / In the second quadrant, only \(\sin x\) and \(\cosec x\) are positive. Therefore, \(\cos x\) is negative.
