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नया कर्ण \(\sqrt{80+1}=\sqrt{81}\) होगा। \(\sqrt{81}=9\), इसलिए पूर्ण वर्ग पर सटीक मान लिखें। / The new hypotenuse is \(\sqrt{80+1}=\sqrt{81}\). Since \(\sqrt{81}=9\), write the exact value at a perfect square.
वर्गमूल सर्पिल बनाते समय एक विद्यार्थी ने
t\(\sqrt{17}\) वाले रेखाखंड पर 1 इकाई का लंब खींचकर नई कर्ण को \(\sqrt{19}\) बताया। उसके तर्क में क्या त्रुटि है?
A. नई कर्ण \(\sqrt{18}\) होगी; \(\sqrt{19}\) पाने के लिए पिछले रेखाखंड की लंबाई \(\sqrt{18}\) होनी चाहिए।/The new hypotenuse will be \(\sqrt{18}\); to obtain \(\sqrt{19}\), the previous segment must have length \(\sqrt{18}\).
Explanation
Simple Explanation
पाइथागोरस प्रमेय से नई कर्ण का वर्ग \((\sqrt{17})^2+1^2=17+1=18\) है, इसलिए कर्ण \(\sqrt{18}\) होगी। \(\sqrt{19}\) के लिए \(\sqrt{18}\) पर 1 इकाई का लंब लें। परीक्षा में कर्ण का वर्ग पहले निकालें। / By Pythagoras’ theorem, the square of the new hypotenuse is \((\sqrt{17})^2+1^2=17+1=18\), so it is \(\sqrt{18}\), not \(\sqrt{19}\). To construct \(\sqrt{19}\), start with \(\sqrt{18}\). Exam tip: add 1 to the radicand at each step.
C. (\sqrt{\(\sqrt{12}\)2+12}=\sqrt{13}) लिखना चाहिए/We should write (\sqrt{\(\sqrt{12}\)2+12}=\sqrt{13})
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में सीधे लंबाइयाँ नहीं जोड़ी जातीं। सही विधि पाइथागोरस प्रमेय से वर्गों का योग लेना है। / Lengths are not added directly in a square root spiral. The correct method is to add squares using Pythagoras theorem.
D. \(\sqrt{144}\), ठीक (12) पर/\(\sqrt{144}\), exactly at (12)
Explanation
Simple Explanation
नया कर्ण \(\sqrt{144}\) है। क्योंकि \(\sqrt{144}=12\), यह किसी अंतराल में नहीं बल्कि ठीक (12) पर है। / The new hypotenuse is \(\sqrt{144}\). Since \(\sqrt{144}=12\), it is not in an interval but exactly at (12).
(\(\sqrt{34}\)2+12=35) होता है। इसलिए \(\sqrt{35}\) के लिए पिछला कर्ण \(\sqrt{34}\) होगा। / Since (\(\sqrt{34}\)2+12=35). Therefore the previous hypotenuse for \(\sqrt{35}\) is \(\sqrt{34}\).
A. पिछले कर्ण के एक सिरे पर 1 इकाई का लंब खींचकर बने नए समकोण त्रिभुज के कर्ण के रूप में
Explanation
Simple Explanation
हर नए समकोण त्रिभुज में एक भुजा पिछले कर्ण \(\sqrt{n-1}\) और दूसरी भुजा 1 होती है। पाइथागोरस से नया कर्ण \(\sqrt{(n-1)+1}=\sqrt n\) मिलता है। परीक्षा में क्रमिक कर्णों को पहचानें। / Each new right triangle has the previous hypotenuse \(\sqrt{n-1}\) as one side and a perpendicular side of length 1. By Pythagoras, its hypotenuse is \(\sqrt{(n-1)+1}=\sqrt n\). Exam tip: track successive hypotenuses.
A. हर नए चरण में 1 इकाई की भुजा पिछले कर्ण के अंतिम बिंदु पर उसके लंबवत खींची जाती है/At each new stage, a side of length 1 unit is drawn perpendicular to the previous hypotenuse at its endpoint.
Explanation
Simple Explanation
पिछला कर्ण \(\sqrt{n}\) और नई 1 इकाई की लंब परस्पर लंब होते हैं। पाइथागोरस प्रमेय से नया कर्ण \(\sqrt{n^2+1}\) नहीं, बल्कि \(\sqrt{n+1}\) बनता है। परीक्षा में समकोण का चिह्न अवश्य पहचानें। / The previous hypotenuse \(\sqrt{n}\) and the new unit side form a right angle. By Pythagoras, the next hypotenuse is \(\sqrt{n+1}\), not \(\sqrt{n^2+1}\). Exam tip: first locate the right-angle mark.
B. \(\sqrt{225}\), (15) और (16) के बीच/\(\sqrt{225}\), between (15) and (16)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{226}\) से पहले \(\sqrt{225}\) था। क्योंकि \(15^2<226<16^2\), नया मान (15) और (16) के बीच है। / Before \(\sqrt{226}\), the previous hypotenuse was \(\sqrt{225}\). Since \(15^2<226<16^2\), the new value lies between (15) and (16).
नया कर्ण सीधे \(\sqrt{3}+1\) से नहीं मिलता। सही आधार भुजाओं के वर्गों का योग है। / The new hypotenuse is not obtained directly from \(\sqrt{3}+1\). The correct basis is the sum of squares of sides.
A. \(\sqrt{169}\) बनता है और (169) पूर्ण वर्ग है/\(\sqrt{169}\) is formed and (169) is a perfect square
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{168}\) के बाद \(\sqrt{169}\) बनता है। \(169=13^2\) होने से कर्ण का मान (13) है। / After \(\sqrt{168}\), \(\sqrt{169}\) is formed. Since \(169=13^2\), the hypotenuse value is (13).
B. \(\sqrt{242}\) 15 और 16 के बीच है, \(\sqrt{256}=16\) है/\(\sqrt{242}\) is between 15 and 16, and \(\sqrt{256}=16\)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(15^2=225\) और \(16^2=256\) हैं तथा \(225<242<256\), इसलिए \(15<\sqrt{242}<16\)। साथ ही, \(\sqrt{256}=16\) क्योंकि \(256=16^2\)। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प D गलत है, क्योंकि \(\sqrt{242}\), 16 से कम है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का मान ज्ञात करने के लिए संख्या के दोनों ओर के निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(15^2=225\) and \(16^2=256\), and \(225<242<256\), we get \(15<\sqrt{242}<16\). Also, \(\sqrt{256}=16\) because \(256=16^2\). Therefore, option B is correct. Option D is incorrect because \(\sqrt{242}\) is less than 16. Exam tip: To locate a square root, compare the number with the nearest perfect squares on either side.
वर्गमूल सर्पिल में किसी बिंदु की मूल बिंदु से दूरी उसके कर्ण-लेबल \(\sqrt{n}\) के बराबर होती है। यह दूरी तभी पूर्णांक होगी जब \(n\) पूर्ण वर्ग हो, जैसे \(\sqrt{9}=3\)। विकल्प B में \(\sqrt{12}\) पूर्णांक नहीं है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग वाले मूलांक पहचानें। / In a square root spiral, a point’s distance from the origin is its hypotenuse label \(\sqrt{n}\). This is an integer only when \(n\) is a perfect square; for example, \(\sqrt{9}=3\). Option B fails because \(\sqrt{12}\) is not an integer. Exam tip: look for perfect-square radicands.
\(11^2=121\) और \(12^2=144\) हैं। क्योंकि \(121<125<144\), इसलिए \(11^2<125<12^2\) सही असमानता है और \(\sqrt{125}\), 11 तथा 12 के बीच स्थित होगा। \(10^2<125<11^2\) गलत है, क्योंकि \(11^2=121\), जो 125 से छोटा है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल की स्थिति ज्ञात करने के लिए उसके निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / \(11^2=121\) and \(12^2=144\). Since \(121<125<144\), the correct inequality is \(11^2<125<12^2\), and \(\sqrt{125}\) lies between 11 and 12. \(10^2<125<11^2\) is incorrect because \(11^2=121\), which is less than 125. Exam tip: To locate a square root, compare the number with the nearest perfect squares.
A. यह मूल बिंदु से 7 इकाई दूर है/It is 7 units from the origin.
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(49=7^2\), इसलिए \(\sqrt{49}=7\) और उसका बिंदु मूल बिंदु से 7 इकाई दूर होगा। यह अपरिमेय नहीं है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्गों के वर्गमूल पूर्णांक होते हैं। / Since \(49=7^2\), \(\sqrt{49}=7\), so its point is 7 units from the origin. It is not irrational. Exam tip: square roots of perfect squares are integers.
पाइथागोरस प्रमेय से भुजाओं के वर्ग जुड़ते हैं। इसलिए \(\sqrt{7}\) और (1) से कर्ण \(\sqrt{8}\) बनता है। / By Pythagoras theorem, the squares of sides are added. Therefore \(\sqrt{7}\) and (1) form hypotenuse \(\sqrt{8}\).
A. अगला कर्ण \(\sqrt{64}=8\) है और \(\sqrt{65}\) (8) और (9) के बीच है/The next hypotenuse is \(\sqrt{64}=8\), and \(\sqrt{65}\) is between (8) and (9)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{63}\) के बाद \(\sqrt{64}=8\) बनता है। \(8^2<65<9^2\), इसलिए \(\sqrt{65}\) (8) और (9) के बीच है। / After \(\sqrt{63}\), \(\sqrt{64}=8\) is formed. Since \(8^2<65<9^2\), \(\sqrt{65}\) lies between (8) and (9).
अगला कर्ण \(\sqrt{m+1}\) होगा। यदि (m+1) पूर्ण वर्ग है, तो उसका वर्गमूल पूर्ण संख्या होगा। / The next hypotenuse is \(\sqrt{m+1}\). If (m+1) is a perfect square, its square root is a whole number.
क्योंकि \(16^2=256\) और \(17^2=289\) हैं। (288) इनके बीच है, इसलिए \(\sqrt{288}\) (16) और (17) के बीच है। / Because \(16^2=256\) and \(17^2=289\). The number (288) lies between them, so \(\sqrt{288}\) lies between (16) and (17).
A. क्योंकि सामान्य नियम में नई लंब (1) इकाई होती है और पिछला कर्ण \(\sqrt{47}\) होना चाहिए/Because in the usual rule the new perpendicular is (1) unit and the previous hypotenuse should be \(\sqrt{47}\)
Explanation
Simple Explanation
सामान्य वर्गमूल सर्पिल में हर बार (1) इकाई लंब जोड़ी जाती है। \(\sqrt{48}\) के लिए पिछला कर्ण \(\sqrt{47}\) होता है। / In the usual square root spiral, a (1) unit perpendicular is added every time. For \(\sqrt{48}\), the previous hypotenuse is \(\sqrt{47}\).
वर्गमूल सर्पिल बनाते समय एक विद्यार्थी कहता है कि \(\sqrt{26}\) को 5 के बिंदु पर ही दर्शाना चाहिए, क्योंकि 26, 25 के बहुत निकट है। उसकी त्रुटि का सही सुधार क्या है?
A. \(\sqrt{26}\), 5 और 6 के बीच है; सर्पिल में इसे \(\sqrt{26}\) अंकित कर्ण द्वारा दर्शाया जाता है।/\(\sqrt{26}\) lies between 5 and 6; in the spiral, it is represented by the hypotenuse labelled \(\sqrt{26}\).
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(25<26<36\), इसलिए \(5<\sqrt{26}<6\)। निकटतम पूर्ण वर्ग लेने से वर्गमूल 5 नहीं हो जाता। सर्पिल में हर नया कर्ण संबंधित वर्गमूल दर्शाता है। परीक्षा टिप: दो क्रमागत पूर्ण वर्गों से सीमा तय करें। / Since \(25<26<36\), we get \(5<\sqrt{26}<6\). A nearby perfect square does not make the root equal to 5. In the spiral, each new hypotenuse represents its corresponding root. Exam tip: bracket roots using consecutive perfect squares.
नया कर्ण \(12=\sqrt{144}\) है, इसलिए (n+1=144)। अतः पिछला कर्ण \(\sqrt{143}\) था। / The new hypotenuse is \(12=\sqrt{144}\), so (n+1=144). Therefore the previous hypotenuse was \(\sqrt{143}\).
A. \(\sqrt{8}\rightarrow\sqrt{9}\rightarrow\sqrt{10}\)
Explanation
Simple Explanation
सर्पिल में कर्ण क्रम से बढ़ते हैं। \(\sqrt{10}\) से ठीक पहले \(\sqrt{9}\) और उससे पहले \(\sqrt{8}\) आता है। / The hypotenuses increase in order in the spiral. Just before \(\sqrt{10}\) comes \(\sqrt{9}\), and before that \(\sqrt{8}\).
B. \(\sqrt{195}\) को (14) और (15) के बीच रखने की गलती/Mistakenly placing \(\sqrt{195}\) between (14) and (15)
Explanation
Simple Explanation
वास्तव में \(13^2=169\) और \(14^2=196\) हैं। इसलिए \(\sqrt{195}\) (13) और (14) के बीच है, (14) से कम। / Actually \(13^2=169\) and \(14^2=196\). Therefore \(\sqrt{195}\) lies between (13) and (14), less than (14).
C. क्योंकि (\(\sqrt{n}\)2+12=n+1)/Because (\(\sqrt{n}\)2+12=n+1)
Explanation
Simple Explanation
पाइथागोरस प्रमेय में कर्ण का वर्ग भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। यही सामान्य नियम है। / In Pythagoras theorem, the square of the hypotenuse equals the sum of squares of the sides. This is the general rule.
\(196=14^2\) है, इसलिए \(\sqrt{196}=14\), जो परिमेय संख्या है। 198, 200 और 202 पूर्ण वर्ग नहीं हैं, अतः उनके वर्गमूल अपरिमेय हैं। परीक्षा टिप: पहले पूर्ण वर्ग पहचानें। / Since \(196=14^2\), \(\sqrt{196}=14\), which is rational. The numbers 198, 200 and 202 are not perfect squares, so their square roots are irrational. Exam tip: check for a perfect square first.
वर्गमूल सर्पिल में मूल बिंदु से किसी बाहरी शीर्ष तक खींचे गए रेखाखंड की लंबाई
\(\sqrt{n}\) है। निम्न में से किस प्रकार के \(n\) के लिए यह लंबाई परिमेय संख्या होगी?
\(\sqrt{n}\) तभी परिमेय होता है जब \(n\) पूर्ण वर्ग हो। उदाहरणतः \(\sqrt{49}=7\), इसलिए उसका रेखाखंड परिमेय लंबाई का है। अभाज्य या विषम होना पर्याप्त नहीं है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग पहचानें। / \(\sqrt{n}\) is rational only when \(n\) is a perfect square. For example, \(\sqrt{49}=7\), so that spiral segment has rational length. Being prime or odd is not sufficient. Exam tip: check for perfect squares first.
वर्गमूल सर्पिल के निर्माण में प्रत्येक नया त्रिभुज पिछले त्रिभुज के कर्ण पर 1 इकाई की भुजा लंबवत जोड़कर बनाया जाता है। इस व्यवस्था में नए त्रिभुज का कर्ण किस प्रकार का होता है?
A. पिछले कर्ण के वर्ग में 1 जोड़ने के वर्गमूल के बराबर
Explanation
Simple Explanation
पिछले कर्ण को \(\sqrt{n}\) मानें। नई लंब भुजा 1 होने पर पाइथागोरस से नया कर्ण \(\sqrt{(\sqrt{n})^2+1^2}=\sqrt{n+1}\) होता है। केवल कर्ण में 1 जोड़ना गलत है। परीक्षा टिप: हर चरण में वर्गों का योग लें। / Let the previous hypotenuse be \(\sqrt{n}\). With a new perpendicular side of 1, Pythagoras gives \(\sqrt{(\sqrt{n})^2+1^2}=\sqrt{n+1}\). It is not obtained by simply adding 1 to the length. Exam tip: add the squares of perpendicular sides.
B. \(\sqrt{223}\), (14) और (15) के बीच/\(\sqrt{223}\), between (14) and (15)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{223}\) से \(\sqrt{224}\) बनता है। क्योंकि \(14^2<224<15^2\), यह (14) और (15) के बीच होगा। / \(\sqrt{224}\) is formed from \(\sqrt{223}\). Since \(14^2<224<15^2\), it lies between (14) and (15).
A. रिया का अंकन गलत है; \(\sqrt{18}\), 4 और 5 के बीच तथा 4 के अधिक निकट है।/Riya’s marking is incorrect; \(\sqrt{18}\) lies between 4 and 5 and is closer to 4.
Explanation
Simple Explanation
\(4^2=16\) और \(5^2=25\) हैं, इसलिए \(\sqrt{18}\), 4 और 5 के बीच होगा। इसका मान लगभग 4.24 है; 4.5 का वर्ग 20.25 है। परीक्षा में पहले निकटतम पूर्ण वर्गों की जाँच करें। / Since \(4^2=16\) and \(5^2=25\), \(\sqrt{18}\) must lie between 4 and 5. Its value is about 4.24, while \(4.5^2=20.25\). Exam tip: compare the nearest perfect squares first.
B. कंपास में \(\sqrt{2}\) कर्ण की लंबाई लेकर मूल बिंदु से चाप खींचना/Take the \(\sqrt{2}\) hypotenuse length in compass and draw an arc from the origin
Explanation
Simple Explanation
कंपास में वही लंबाई ली जाती है जिसे संख्या रेखा पर अंकित करना है। मूल बिंदु से चाप खींचना सही स्थान देता है। / The same length to be marked is taken in the compass. Drawing an arc from the origin gives the correct position.
एक विद्यार्थी कहता है कि वर्गमूल सर्पिल पर \(\sqrt{10}\) दर्शाने के लिए पहले 10 इकाई लंबा आधार खींचना आवश्यक है। उसकी त्रुटि को सही ढंग से कौन समझाता है?
B. \(\sqrt{9}\) वाली भुजा पर 1 इकाई की लंबवत भुजा जोड़ने पर बने कर्ण की लंबाई \(\sqrt{10}\) होती है।/Adding a perpendicular side of 1 unit to the side of length \(\sqrt{9}\) gives a hypotenuse of length \(\sqrt{10}\).
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया त्रिभुज 1 इकाई की लंबवत भुजा से बनता है। \(\sqrt{9^2+1^2}=\sqrt{10}\), इसलिए 10 इकाई का आधार नहीं चाहिए। परीक्षा में पायथागोरस प्रमेय लगाएँ। / Each new right triangle in the square root spiral has a perpendicular side of 1 unit. \(\sqrt{9^2+1^2}=\sqrt{10}\), so a 10-unit base is not needed. Exam tip: apply Pythagoras' theorem.
A. क्योंकि (\(\sqrt{4}\)2+12=5)/Because (\(\sqrt{4}\)2+12=5)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{4}\) पिछले कर्ण की लंबाई है और (1) नई लंब है। पाइथागोरस से नया कर्ण \(\sqrt{5}\) मिलता है। / \(\sqrt{4}\) is the previous hypotenuse and (1) is the new perpendicular. Pythagoras gives the new hypotenuse \(\sqrt{5}\).
\(20^2=400\) और \(21^2=441\) हैं। क्योंकि \(400<440<441\), इसलिए वर्गमूल लेने पर \(20<\sqrt{440}<21\) प्राप्त होता है। \(21\) के निकट होने पर भी \(\sqrt{440}\), \(21\) से छोटा है क्योंकि \(440<441\)। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का अंतराल ज्ञात करने के लिए उसके दोनों ओर के क्रमागत पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / \(20^2=400\) and \(21^2=441\). Since \(400<440<441\), taking square roots gives \(20<\sqrt{440}<21\). Although it is close to \(21\), \(\sqrt{440}\) is less than \(21\) because \(440<441\). Exam tip: To locate a square root, compare the number with consecutive perfect squares.
यदि (k)वाँ कर्ण \(\sqrt{k}\) है, तो \(\sqrt{25}\) (25)वाँ कर्ण है। \(\sqrt{25}=5\) होता है। / If the (k)-th hypotenuse is \(\sqrt{k}\), then \(\sqrt{25}\) is the (25)-th hypotenuse. Also, \(\sqrt{25}=5\).
एक विद्यार्थी कहता है कि वर्गमूल सर्पिल में \(\sqrt{14}\) के बाद अगली कर्ण की लंबाई \(\sqrt{14}+1\) होगी। उसके कथन में त्रुटि दिखाने वाला सही तर्क कौन-सा है?
A. नई कर्ण का वर्ग \(14+1=15\) है, इसलिए उसकी लंबाई \(\sqrt{15}\) है।/The square of the new hypotenuse is \(14+1=15\), so its length is \(\sqrt{15}\).
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में नई कर्ण के लिए पाइथागोरस प्रमेय लगाएँ: \(h^2=14+1=15\), इसलिए \(h=\sqrt{15}\)। \(\sqrt{14}+1\) लेना गलत है। परीक्षा में पहले कर्ण का वर्ग लिखें। / Apply Pythagoras to the new hypotenuse: \(h^2=14+1=15\), so \(h=\sqrt{15}\). Directly adding 1 to \(\sqrt{14}\) is invalid. Exam tip: add squares, not lengths.
B. हर नया त्रिभुज पिछले कर्ण और (1) इकाई लंब से बनने वाला समकोण त्रिभुज है/Each new triangle is a right triangle made from the previous hypotenuse and a (1) unit perpendicular
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल का सही आधार समकोण त्रिभुज और पाइथागोरस प्रमेय है। सीधे लंबाइयों को जोड़ना गलत तरीका है। / The correct basis of a square root spiral is a right triangle and Pythagoras theorem. Directly adding lengths is wrong.
A. पिछले कर्ण के लंबवत एक इकाई का नया रेखाखंड खींचा जाता है/A new unit segment is drawn perpendicular to the previous hypotenuse.
Explanation
Simple Explanation
हर चरण में पिछले कर्ण पर 1 इकाई का लंबवत रेखाखंड जोड़ने से नया समकोण त्रिभुज बनता है। पाइथागोरस से
g(
gsqrt{n})2+12=n+1 मिलता है, इसलिए अगला कर्ण
gsqrt{n+1} होता है। परीक्षा में ‘लंबवत’ और ‘1 इकाई’ अवश्य पहचानें। / At each step, a unit segment is added perpendicular to the previous hypotenuse, creating a right triangle. By Pythagoras,
g(
gsqrt{n})2+12=n+1, so the next hypotenuse is
gsqrt{n+1}. Exam tip: look for “perpendicular” and “unit length.”
क्योंकि \(24^2=576\) और \(25^2=625\) हैं। (624) इनके बीच है, इसलिए \(\sqrt{624}\) (24) और (25) के बीच है। / Because \(24^2=576\) and \(25^2=625\). The number (624) lies between them, so \(\sqrt{624}\) lies between (24) and (25).
A. (n+1) पूर्ण वर्ग नहीं है/(n+1) is not a perfect square
Explanation
Simple Explanation
किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल पूर्ण संख्या तभी होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। पूर्ण वर्ग न हो तो वर्गमूल अपरिमेय होता है। / The square root of a positive integer is a whole number only when it is a perfect square. If it is not a perfect square, the square root is irrational.
पाइथागोरस प्रमेय में वर्गों का योग लिया जाता है। इसलिए \(\sqrt{20}\) और (1) से कर्ण \(\sqrt{21}\) बनता है। / Pythagoras theorem uses the sum of squares. Therefore \(\sqrt{20}\) and (1) form hypotenuse \(\sqrt{21}\).
A. हर नए समकोण त्रिभुज में एक भुजा पिछले त्रिभुज का कर्ण और दूसरी भुजा 1 इकाई होती है/In each new right triangle, one leg is the hypotenuse of the previous triangle and the other leg is 1 unit.
Explanation
Simple Explanation
हर नया समकोण त्रिभुज पिछले कर्ण को एक भुजा और 1 इकाई को दूसरी भुजा बनाता है; इसलिए कर्ण क्रमशः \(\sqrt{2}, \sqrt{3}\) आदि होते हैं। परीक्षा में 1 इकाई वाली नई भुजा पहचानें। / Each new right triangle uses the previous hypotenuse as one leg and a unit length as the other, producing \(\sqrt{2}, \sqrt{3}\), and so on. Exam tip: identify the newly added 1-unit leg first.
C. \(\sqrt{168}\) (13) और (14) के बीच है, \(\sqrt{170}\) (13) और (14) के बीच है/\(\sqrt{168}\) lies between (13) and (14), \(\sqrt{170}\) lies between (13) and (14)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(13^2=169\) है। (168) थोड़ा कम है इसलिए (12) और (13) के बीच, जबकि (170) (13) और (14) के बीच है। / Because \(13^2=169\). The number (168) is slightly less, so it is between (12) and (13), while (170) is between (13) and (14).
A. नई लम्बवत भुजा 1 इकाई होनी चाहिए, √2 इकाई नहीं।/The new perpendicular side should be 1 unit, not √2 units.
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नए समकोण त्रिभुज की एक लम्बवत भुजा सदैव 1 इकाई होती है।
√7
के बाद कर्ण
√(7+1)=√8
होगा।
√2
लेने पर कर्ण
√9
बन जाएगा। परीक्षा में हर चरण में ‘1 इकाई’ नियम याद रखें। / In a square root spiral, the newly added perpendicular side is always 1 unit. After
√7
, the hypotenuse is
√(7+1)=√8
. Using
√2
would produce
√9
instead. Exam tip: apply the fixed 1-unit side rule at every step.
क्योंकि \(28^2=784\) और \(29^2=841\) हैं। (840) इनके बीच है, इसलिए \(\sqrt{840}\) (28) और (29) के बीच है। / Because \(28^2=784\) and \(29^2=841\). The number (840) lies between them, so \(\sqrt{840}\) lies between (28) and (29).
A. नया कर्ण (5) है और \(\sqrt{24}\) (4) और (5) के बीच है/The new hypotenuse is (5), and \(\sqrt{24}\) lies between (4) and (5)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{24}\) के बाद \(\sqrt{25}=5\) बनता है। साथ ही \(4^2<24<5^2\), इसलिए \(\sqrt{24}\) (4) और (5) के बीच है। / After \(\sqrt{24}\), \(\sqrt{25}=5\) is formed. Also \(4^2<24<5^2\), so \(\sqrt{24}\) lies between (4) and (5).
B. निकटतम पूर्ण वर्गों (a-2<n<(a+1)2) की पहचान करना/Identify nearest perfect squares (a-2<n<(a+1)2)
Explanation
Simple Explanation
निकटतम पूर्ण वर्गों से सही अंतराल मिलता है। इसके बाद सर्पिल की लंबाई कंपास से अंकित करें। / Nearest perfect squares give the correct interval. Then mark the spiral length using a compass.
वर्गमूल सर्पिल में \(\sqrt{18}\) के संगत बिंदु P को चिन्हित किया गया है। रीया कहती है कि P, केंद्र O से 4 और 5 इकाई के बीच स्थित होगा। रीया के कथन का सही मूल्यांकन क्या है?
A. रीया सही है, क्योंकि \(OP=\sqrt{18}\) और \(4^2<18<5^2\)।/Riya is correct because \(OP=\sqrt{18}\) and \(4^2<18<5^2\).
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Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में O से P की दूरी \(\sqrt{18}\) होती है। क्योंकि \(4^2=16\) और \(5^2=25\), इसलिए \(4<\sqrt{18}<5\)। परीक्षा में पहले निकटतम पूर्ण वर्गों की जाँच करें। / In a square root spiral, the distance OP is \(\sqrt{18}\). Since \(4^2=16\) and \(5^2=25\), \(4<\sqrt{18}<5\). Option B is wrong because \(3^2=9\). Exam tip: compare with nearby perfect squares.
वर्गमूल सर्पिल के प्रत्येक त्रिज्याखंड की लंबाई \(\sqrt{n}\) होती है, जहाँ \(n\) धनात्मक पूर्णांक है। \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{12}\) और \(\sqrt{81}\) इसी रूप में हैं, पर \(\frac{3}{2}\) नहीं। परीक्षा टिप: विकल्प को \(\sqrt{n}\) के रूप में जाँचें। / Every radial segment in a square root spiral has length \(\sqrt{n}\), where \(n\) is a positive integer. \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{12}\), and \(\sqrt{81}\) fit this form, but \(\frac{3}{2}\) does not. Exam tip: test whether the length can be written as \(\sqrt{n}\).
क्योंकि \(30^2=900\) और \(31^2=961\) हैं। (960) इनके बीच है, इसलिए \(\sqrt{960}\) (30) और (31) के बीच है। / Because \(30^2=900\) and \(31^2=961\). The number (960) lies between them, so \(\sqrt{960}\) lies between (30) and (31).
B. यह समकोण त्रिभुजों की क्रमिक रचना है जिसमें (\(\sqrt{n}\)2+12=n+1) से अगला कर्ण बनता है/It is a successive construction of right triangles where the next hypotenuse is formed by (\(\sqrt{n}\)2+12=n+1)
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वर्गमूल सर्पिल पाइथागोरस प्रमेय पर आधारित है। पिछला कर्ण और (1) इकाई लंब मिलकर अगला वर्गमूल बनाते हैं। / A square root spiral is based on Pythagoras theorem. The previous hypotenuse and (1) unit perpendicular form the next square root.
