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गुणोत्तर श्रेणी का तीसरा पद \(a_3=a_1r^{3-1}\) होता है। अतः \(a_3=6\times4^2=6\times16=96\)। 72 तब मिलता यदि अनुपात को केवल एक बार लगाया जाता, जो दूसरा पद देता है। परीक्षा टिप: GP में \(n\)वाँ पद ज्ञात करने के लिए \(a_n=a_1r^{n-1}\) लिखें। / The third term of a GP is \(a_3=a_1r^{3-1}\). Therefore, \(a_3=6\times4^2=6\times16=96\). The value 72 would result from applying the ratio only once, which gives the second term. Exam tip: use \(a_n=a_1r^{n-1}\) to find the \(n\)th term of a GP.
दिया है \(a_n=5\cdot3^{n-1}\)। \(n=5\) रखने पर \(a_5=5\cdot3^{5-1}=5\cdot3^4=5\cdot81=405\)। इसलिए सही उत्तर 405 है। 135 प्राप्त करने में \(3^3\) लेने की गलती हो सकती है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान सूत्र में रखकर घात \(n-1\) को सरल करें। / Given \(a_n=5\cdot3^{n-1}\), substitute \(n=5\): \(a_5=5\cdot3^{5-1}=5\cdot3^4=5\cdot81=405\). Hence, 405 is correct. The value 135 may result from incorrectly using \(3^3\). Exam tip: substitute the term number first and simplify the exponent \(n-1\) carefully.
पद (8,16,32,64,128,256) हैं, इसलिए (256) छठा पद है। पद-संख्या के लिए पदों को क्रम से बनाएं। / The terms are (8,16,32,64,128,256), so (256) is the sixth term. Form the terms in order to find the position.
पहला पद (10) है और हर बार (2) से गुणा करने पर (10,20,40,80) मिलते हैं। गुणोत्तर श्रेढ़ी में अगला पद गुणा करके बनता है। / The first term is (10), and multiplying by (2) each time gives (10,20,40,80). In a geometric progression each next term is formed by multiplication.
सार्व अनुपात (5) है, इसलिए अगला पद \(150\cdot5=750\) होगा। अगले पद के लिए पिछले पद को अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is (5), so the next term is \(150\cdot5=750\). Multiply the previous term by the ratio to get the next term.
गुणोत्तर श्रेणी में लगातार तीन पदों के लिए मध्य पद का वर्ग, पहले और तीसरे पद के गुणनफल के बराबर होता है। अतः \(x^2=9\times81=729\)। इसलिए \(x=\sqrt{729}=27\), क्योंकि प्रश्न में पद धनात्मक बताए गए हैं। \(18\) जैसे विकल्प के लिए समान अनुपात नहीं मिलता। परीक्षा टिप: तीन लगातार GP पद \(a,b,c\) हों, तो सीधे \(b^2=ac\) लगाएँ। / For three consecutive terms of a geometric progression, the square of the middle term equals the product of the first and third terms. Thus, \(x^2=9\times81=729\). Hence \(x=\sqrt{729}=27\), since the terms are stated to be positive. A value such as \(18\) does not give a common ratio. Exam tip: for consecutive GP terms \(a,b,c\), use \(b^2=ac\).
पहले चार पद 8, 24, 72 और 216 हैं। अतः उनका योग \(8+24+72+216=320\) है। इसलिए सही विकल्प 320 है। 216 को जोड़ना छोड़ देने पर 104 प्राप्त होगा, जो केवल पहले तीन पदों का योग है। परीक्षा टिप: पदों की संख्या कम हो तो सभी दिए गए पदों को सीधे जोड़कर उत्तर जाँचें। / The first four terms are 8, 24, 72, and 216. Therefore, \(8+24+72+216=320\). Hence, 320 is the correct answer. Leaving out 216 would give 104, which is the sum of only the first three terms. Exam tip: When only a few terms are given, add every listed term directly to verify the answer.
गुणोत्तर श्रेणी में दूसरा पद \(a_2=a_1r\) होता है। अतः \(28=a_1\times4\), इसलिए \(a_1=28\div4=7\)। \(112\) पाने के लिए 28 को 4 से गुणा किया जाता है, जो अगले पद \(a_3\) के लिए होगा, पहले पद के लिए नहीं। परीक्षा टिप: किसी पिछले पद को ज्ञात करने के लिए सामान्य अनुपात से भाग करें। / In a geometric progression, the second term is \(a_2=a_1r\). Thus, \(28=a_1\times4\), so \(a_1=28\div4=7\). Multiplying 28 by 4 gives 112, which would be the next term \(a_3\), not the first term. Exam tip: To find a previous term in a GP, divide by the common ratio.
गुणोत्तर श्रेणी का सामान्य पद \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_4=3r^3=81\), इसलिए \(r^3=27\)। धनात्मक अनुपात के लिए \(r=3\) मिलता है। \(r=9\) लेने पर चौथा पद \(3\times9^3\) होगा, जो 81 नहीं है। परीक्षा टिप: \(a_n\) में घात हमेशा \(n-1\) होती है। / The general term of a GP is \(a_n=a_1r^{n-1}\). Therefore, \(a_4=3r^3=81\), so \(r^3=27\). Since the common ratio is positive, \(r=3\). If \(r=9\), the fourth term would be \(3\times9^3\), not 81. Exam tip: in \(a_n\), the exponent of \(r\) is always \(n-1\).
सार्व अनुपात (2) है, इसलिए पाँचवाँ पद \(\frac{40}{3}\) है। क्रम से (2) से गुणा करते जाएं। / The common ratio is (2), so the fifth term is \(\frac{40}{3}\). Keep multiplying by (2) in order.
सार्व अनुपात \(\frac{1}{3}\) है, इसलिए पद (243,81,27,9,3,1) होंगे। घटती श्रेढ़ी में बार-बार अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is \(\frac{1}{3}\), so the terms are (243,81,27,9,3,1). In a decreasing progression multiply by the ratio repeatedly.
पद (5,25,125,625,3125) हैं, इसलिए (3125) पाँचवाँ पद है। पद-संख्या के लिए क्रम से पद बनाएं। / The terms are (5,25,125,625,3125), so (3125) is the fifth term. Form terms in order to find the position.
दिया है \(a_n=27\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\)। \(n=4\) रखने पर \(a_4=27\left(\frac{1}{3}\right)^{4-1}=27\left(\frac{1}{3}\right)^3=27\times\frac{1}{27}=1\)। अतः सही उत्तर 1 है। विकल्प 3 तब मिलता यदि घात 2 ली जाती, जबकि यहाँ घात \(n-1=3\) है। परीक्षा टिप: किसी पद का मान निकालते समय पहले \(n-1\) को अलग से लिखकर घात जाँचें। / Using \(a_n=27\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\), substitute \(n=4\): \(a_4=27\left(\frac{1}{3}\right)^{4-1}=27\left(\frac{1}{3}\right)^3=27\times\frac{1}{27}=1\). Therefore, the correct answer is 1. Option 3 would result from incorrectly using exponent 2, but here \(n-1=3\). Exam tip: write \(n-1\) separately before evaluating the power.
सार्व अनुपात \(\frac{16}{4}=4\) है, इसलिए \(x=16\cdot4=64\)। समान अनुपात को हर अगले पद पर लगाएं। / The common ratio is \(\frac{16}{4}=4\), so \(x=16\cdot4=64\). Apply the same ratio to each next term.
दिए गए पहले चार पद 14, 28, 56 और 112 हैं। अतः उनका योग \(14+28+56+112=210\) होगा। इसलिए सही उत्तर 210 है। 224 केवल चौथा पद है, योग नहीं। परीक्षा टिप: कम पदों वाली गुणोत्तर श्रेणी में पदों को सीधे जोड़कर योग जल्दी निकाला जा सकता है। / The first four terms are 14, 28, 56, and 112. Therefore, their sum is \(14+28+56+112=210\). Hence, 210 is the correct answer. Note that 224 is not the sum; it would be the next term of the progression. Exam tip: For a GP with only a few terms, direct addition is often the quickest method.
\(2, 6, 18, 54\) में क्रमागत अनुपात \(6/2=3\), \(18/6=3\) और \(54/18=3\) है, इसलिए यह गुणोत्तर श्रेणी है। विकल्प C में अंतर 4, 6, 6 हैं; अनुपात स्थिर नहीं है। परीक्षा टिप: GP में हर क्रमागत अनुपात जाँचें। / In \(2, 6, 18, 54\), the consecutive ratios are \(6/2=3\), \(18/6=3\), and \(54/18=3\), so it is a GP. In option C, the ratios are not constant. Exam tip: verify the ratio of every pair of consecutive terms.
पहला पद (12) और अनुपात (3) है, इसलिए \(a_n=12\cdot3^{n-1}\)। सामान्य पद में पहला पद और अनुपात दोनों रखें। / The first term is (12) and the ratio is (3), so \(a_n=12\cdot3^{n-1}\). Use both first term and ratio in the general term.
पहले (6) पद (3,6,12,24,48,96) हैं और योग (189) है। पदों को क्रम से लिखकर जोड़ें। / The first (6) terms are (3,6,12,24,48,96), and their sum is (189). Write the terms in order and add.
सार्व अनुपात \(\frac{40}{8}=5\) है, इसलिए \(x=40\cdot5=200\)। तीसरे पद के लिए दूसरे पद को अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is \(\frac{40}{8}=5\), so \(x=40\cdot5=200\). Multiply the second term by the ratio to get the third term.
सार्व अनुपात (4) है और पद (6,24,96,384,1536) हैं। पद-संख्या के लिए क्रम से पद बनाएं। / The common ratio is (4), and the terms are (6,24,96,384,1536). Form terms in order to find the position.
सार्व अनुपात (-3) है और पाँचवाँ पद ((-135)(-3)=405) है। ऋणात्मक अनुपात में चिह्न बदलता है। / The common ratio is (-3), and the fifth term is ((-135)(-3)=405). With a negative ratio signs alternate.
पहला पद (7) है और हर बार (4) से गुणा करने पर (7,28,112,448) मिलते हैं। (a) और (r) दोनों को मिलाएं। / The first term is (7), and multiplying by (4) each time gives (7,28,112,448). Match both (a) and (r).
पहले तीन पद 6, 18 और 54 हैं। अतः उनका गुणनफल \(6\times18\times54=108\times54=5832\) होगा। इसलिए सही उत्तर 5832 है। 3888 जैसा विकल्प गलत गुणा करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: गुणन को चरणों में करें—पहले \(6\times18\) निकालें, फिर परिणाम को 54 से गुणा करें। / The first three terms are 6, 18, and 54. Their product is \(6\times18\times54=108\times54=5832\). Hence, 5832 is correct. A value such as 3888 can result from an incorrect multiplication. Exam tip: multiply in steps—first find \(6\times18\), then multiply the result by 54.
सार्व अनुपात \(\frac{1}{3}\) है, इसलिए अगला पद \(10\cdot\frac{1}{3}=\frac{10}{3}\) होगा। अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is \(\frac{1}{3}\), so the next term is \(10\cdot\frac{1}{3}=\frac{10}{3}\). Multiply by the ratio.
गुणोत्तर श्रेणी में लगातार पदों का अनुपात समान होता है। यहाँ सामान्य अनुपात \(\frac{100}{20}=5\) है। अतः \(\frac{20}{x}=5\), इसलिए \(x=\frac{20}{5}=4\)। विकल्प 5 सामान्य अनुपात है, पहला पद नहीं। परीक्षा टिप: तीन लगातार GP पदों \(a,b,c\) के लिए \(b^2=ac\) का भी उपयोग कर सकते हैं। / In a geometric progression, the ratio of consecutive terms is constant. Here, the common ratio is \(\frac{100}{20}=5\). Hence \(\frac{20}{x}=5\), so \(x=\frac{20}{5}=4\). Option 5 is the common ratio, not the first term. Exam tip: for three consecutive GP terms \(a,b,c\), you may also use \(b^2=ac\).
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=6\) और सार्व अनुपात \(r=18/6=3\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होता है। अतः \(a_6=6\times3^{5}=6\times243=1458\)। 729 प्राप्त करने पर घात या पद-संख्या की गणना में त्रुटि हुई होगी। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के लिए घात हमेशा \(n-1\) होती है। / In this GP, the first term is \(a=6\) and the common ratio is \(r=18/6=3\). The \(n\)th term is \(a_n=ar^{n-1}\). Therefore, \(a_6=6\times3^{5}=6\times243=1458\). Getting 729 usually results from using an incorrect power or term number. Exam tip: for the \(n\)th term, the exponent of the common ratio is always \(n-1\).
ज्यामितीय प्रगति में \(n\)वाँ पद \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_4=\frac{7}{4}\times2^{4-1}=\frac{7}{4}\times8=14\)। \(\frac{7}{2}\) केवल दूसरा पद है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(a_n\) में घात हमेशा \(n-1\) लें। / In a geometric progression, the nth term is \(a_n=a_1r^{n-1}\). Therefore, \(a_4=\frac{7}{4}\times2^{4-1}=\frac{7}{4}\times8=14\). \(\frac{7}{2}\) is only the second term, so it is not correct. Exam tip: in \(a_n\), the exponent of the common ratio is always \(n-1\).
पहले (6) पद (4,8,16,32,64,128) हैं और योग (252) है। पदों को क्रम से लिखकर जोड़ें। / The first (6) terms are (4,8,16,32,64,128), and their sum is (252). Write the terms in order and add.
हर बार (-2) से गुणा करने पर (5,-10,20,-40) मिलते हैं। ऋणात्मक अनुपात से चिह्न बदलते हैं। / Multiplying by (-2) each time gives (5,-10,20,-40). A negative ratio makes the signs alternate.
गुणोत्तर श्रेणी के लगातार तीन पदों में मध्य पद का वर्ग पहले और तीसरे पद के गुणनफल के बराबर होता है। अतः \(x^2=16\times81=1296\)। इसलिए \(x=\pm36\), लेकिन श्रेणी धनात्मक है, इसलिए \(x=36\)। उदाहरण के लिए, 16, 36, 81 का सार्व अनुपात \(\frac{9}{4}\) है। 32 मध्य पद नहीं हो सकता, क्योंकि \(32^2\neq16\times81\)। परीक्षा टिप: तीन लगातार GP पदों \(a,b,c\) के लिए तुरंत \(b^2=ac\) लगाएँ। / For three consecutive terms of a geometric progression, the square of the middle term equals the product of the first and third terms. Thus, \(x^2=16\times81=1296\). Hence \(x=\pm36\), but the progression is positive, so \(x=36\). Indeed, 16, 36, 81 has common ratio \(\frac{9}{4}\). Option 32 cannot be the middle term because \(32^2\neq16\times81\). Exam tip: for consecutive GP terms \(a,b,c\), use \(b^2=ac\) directly.
पहला पद (13) और अनुपात (3) है, इसलिए \(a_n=13\cdot3^{n-1}\)। सामान्य पद में पहला पद और अनुपात रखें। / The first term is (13) and the ratio is (3), so \(a_n=13\cdot3^{n-1}\). Use the first term and ratio in the general term.
सार्व अनुपात (5) है, इसलिए \(a_4=5\cdot5^3=625\)। (4)वें पद के लिए (3) बार अनुपात लगता है। / The common ratio is (5), so \(a_4=5\cdot5^3=625\). For the fourth term the ratio is used (3) times.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a=3\) और सार्व अनुपात \(r=4\) है। अतः \(a_n=3\times4^{n-1}\)। \(3\times4^{n-1}=768\) से \(4^{n-1}=256=4^4\), इसलिए \(n-1=4\) और \(n=5\)। विकल्प 4 गलत है, क्योंकि चौथा पद \(192\) होता है। परीक्षा टिप: गुणोत्तर श्रेणी में \(a_n=ar^{n-1}\) सूत्र लगाकर पद की स्थिति ज्ञात करें। / This is a geometric progression with first term \(a=3\) and common ratio \(r=4\). Therefore, \(a_n=3\times4^{n-1}\). From \(3\times4^{n-1}=768\), we get \(4^{n-1}=256=4^4\). Hence, \(n-1=4\) and \(n=5\). Option 4 is incorrect because the fourth term is \(192\). Exam tip: Use \(a_n=ar^{n-1}\) to find the position of a term in a GP.
दी गई गुणोत्तर श्रेणी में दूसरा पद \(a_2=18\) और चौथा पद \(a_4=162\) है। अतः \(a_2+a_4=18+162=180\)। इसलिए सही विकल्प B है। 184 जैसा विकल्प पदों को गलत पहचानने या जोड़ में त्रुटि से आ सकता है। परीक्षा टिप: पद का क्रम गिनते समय प्रथम पद को \(a_1\) मानें। / In the given geometric progression, the second term is \(a_2=18\) and the fourth term is \(a_4=162\). Therefore, \(a_2+a_4=18+162=180\). Hence, option B is correct. A value such as 184 can result from identifying a term incorrectly or making an addition error. Exam tip: always count the first term as \(a_1\).
पहले चार पद (32,16,8,4) हैं और योग (60) है। घटती गुणोत्तर श्रेढ़ी में पद क्रम से लिखें। / The first four terms are (32,16,8,4), and the sum is (60). In a decreasing geometric progression write the terms in order.
\(a_6=a_3r^3=20\cdot3^3=540\)। दिए हुए पद से आगे जाने के लिए अनुपात की सही घात लगाएं। / \(a_6=a_3r^3=20\cdot3^3=540\). To move forward from a given term, use the correct power of the ratio.
गुणोत्तर श्रेढ़ी में लगातार तीन पदों के लिए मध्य पद का वर्ग पहले और तीसरे पद के गुणनफल के बराबर होता है: \(x^2=12\times75=900\)। अतः \(x=\pm30\), पर श्रेढ़ी धनात्मक है, इसलिए \(x=30\)। \(45\) लेने पर दोनों क्रमागत अनुपात समान नहीं होंगे। परीक्षा टिप: तीन लगातार GP पदों \(a,b,c\) के लिए तुरंत \(b^2=ac\) लगाएँ। / For three consecutive terms of a geometric progression, the square of the middle term equals the product of the first and third terms: \(x^2=12\times75=900\). Thus \(x=\pm30\), but the progression is positive, so \(x=30\). If \(45\) is used, the two consecutive ratios are not equal. Exam tip: for consecutive GP terms \(a,b,c\), use \(b^2=ac\) directly.
सार्व अनुपात \(-\frac{1}{2}\) है, इसलिए अगला पद \((-6)\left(-\frac{1}{2}\right)=3\) होगा। ऋणात्मक अनुपात में चिह्न बदलते हैं। / The common ratio is \(-\frac{1}{2}\), so the next term is \((-6)\left(-\frac{1}{2}\right)=3\). With a negative ratio the signs alternate.
दिया है \(a_n=7\cdot2^{n-1}\)। अतः \(a_4=7\cdot2^3=56\) और \(a_5=7\cdot2^4=112\)। इसलिए \(a_4+a_5=56+112=168\)। विकल्प 112 केवल \(a_5\) का मान है, योग नहीं। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद के लिए \(n\) का मान सही ढंग से सूत्र में रखें। / Given \(a_n=7\cdot2^{n-1}\), \(a_4=7\cdot2^3=56\) and \(a_5=7\cdot2^4=112\). Therefore, \(a_4+a_5=56+112=168\). Option 112 is only the value of \(a_5\), not the required sum. Exam tip: substitute the value of \(n\) carefully in the formula for each term.
