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\(625\times16=10000\), इसलिए \( \frac{43}{625}=\frac{688}{10000}=0.0688 \) है। हर को (10) की घात बनाना सबसे सुरक्षित तरीका है। / \(625\times16=10000\), so \( \frac{43}{625}=\frac{688}{10000}=0.0688 \). Making the denominator a power of (10) is the safest method.
\(0.003125=\frac{3125}{1000000}=\frac{1}{320}\) है। दशमलव स्थान गिनकर हर लिखें और फिर सरल करें। / \(0.003125=\frac{3125}{1000000}=\frac{1}{320}\). Count decimal places to write the denominator and then simplify.
हर में (7) है, जो (2) और (5) के अलावा गुणनखंड है। इसलिए परिमेय संख्या का दशमलव असांत आवर्ती होगा। / The denominator has (7), a factor other than (2) and (5). So the rational number will have a non-terminating recurring decimal.
\( \frac{91}{140}=\frac{13}{20} \) और \(20=2^2\times5\) है। इसलिए दशमलव प्रसार सांत होगा। / \( \frac{91}{140}=\frac{13}{20} \) and \(20=2^2\times5\). Therefore, the decimal expansion will be terminating.
पहले (12) के बाद (03) का समूह दोहरता है। बार केवल दोहराने वाले भाग पर लगाएं। / After the first (12), the block (03) repeats. Put the bar only over the repeating part.
बार केवल (18) पर है, इसलिए (3) के बाद (18) बार-बार आएगा। बार संकेतन में बार वाले भाग को लगातार दोहराते हैं। / The bar is only over (18), so after (3), (18) repeats. In bar notation, the barred part repeats continuously.
\(17\div22=0.772727\ldots\) है और (27) दोहरता है। लंबी भाग विधि में दोहराने वाले शेष को देखें। / \(17\div22=0.772727\ldots\) and (27) repeats. In long division, watch the repeating remainder.
\( \frac{5}{12}=0.41666\ldots \), जो (0.417) से छोटा है। तुलना के लिए सभी को दशमलव रूप में सोचें। / \( \frac{5}{12}=0.41666\ldots \), which is less than (0.417). Think of all numbers in decimal form for comparison.
दसवें और सौवें स्थान समान हैं, इसलिए हजारवें स्थान पर (a>6) होना चाहिए। अतः सबसे छोटा मान (7) है। / The tenths and hundredths digits are equal, so the thousandths digit must satisfy (a>6). Hence the smallest value is (7).
इसमें शून्यों की संख्या बदलती रहती है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती भाग नहीं है। ऐसा दशमलव असांत अनावर्ती होता है। / The number of zeros keeps changing, so there is no fixed recurring part. Such a decimal is non-terminating non-recurring.
\(0.00096=\frac{96}{100000}=\frac{3}{3125}\) है। पांच दशमलव स्थान होने पर हर (100000) लें। / \(0.00096=\frac{96}{100000}=\frac{3}{3125}\). For five decimal places, take denominator (100000).
\(64\times15625=1000000\), इसलिए \( \frac{7}{64}=0.109375 \) है। (2) की घात वाले हर को (10) की घात में बदला जा सकता है। / \(64\times15625=1000000\), so \( \frac{7}{64}=0.109375 \). A denominator that is a power of (2) can be converted to a power of (10).
C. सांत क्योंकि सरल रूप \( \frac{2}{5} \) है/Terminating because the simplest form is \( \frac{2}{5} \)
Explanation
Simple Explanation
\( \frac{18}{45}=\frac{2}{5} \) और (5) केवल (5) का गुणनखंड है। पहले भिन्न को सरल रूप में बदलना जरूरी है। / \( \frac{18}{45}=\frac{2}{5} \), and (5) has only factor (5). It is necessary to simplify the fraction first.
पहला (5) दसवें और अंतिम (5) दस हजारवें स्थान पर है। शून्य वाले स्थानों का मान अलग से लिखना आवश्यक नहीं होता। / The first (5) is in tenths and the last (5) is in ten-thousandths. Zero-value places need not be written separately.
दोनों को (10000) से गुणा करने पर \(1250\div5=250\) मिलता है। दशमलव भाग में समान गुणा करने से भागफल नहीं बदलता। / Multiplying both by (10000) gives \(1250\div5=250\). Multiplying both parts of a division by the same number does not change the quotient.
(3.075=3.0750), इसलिए (3.0750-0.6085=2.4665) है। घटाते समय दशमलव स्थान समान करें। / (3.075=3.0750), so (3.0750-0.6085=2.4665). Make decimal places equal while subtracting.
समान दशमलव स्थान लिखने पर (0.037500+0.006250+0.000875=0.044625) मिलता है। जोड़ते समय दशमलव बिंदु सीध में रखें। / Writing equal decimal places gives (0.037500+0.006250+0.000875=0.044625). Align decimal points while adding.
\(0.999\ldots=1\) एक मानक आवर्ती दशमलव परिणाम है। परीक्षा में \(0.\overline{9}\) को (1) के बराबर मानें। / \(0.999\ldots=1\) is a standard recurring decimal result. In exams, treat \(0.\overline{9}\) as equal to (1).
\( \frac{11}{20}=0.55 \) और \( \frac{5}{9}=0.555\ldots \), इसलिए (0.554) इनके बीच है। सीमाओं को दशमलव में बदलें। / \( \frac{11}{20}=0.55 \) and \( \frac{5}{9}=0.555\ldots \), so (0.554) lies between them. Convert the boundaries into decimals.
हजारवें स्थान पर (b<4) होना चाहिए। इसलिए (b=0,1,2,3) यानी (4) मान संभव हैं। / At the thousandths place, (b<4) is needed. So (b=0,1,2,3), giving (4) possible values.
\(48=2^4\times3\) में (3) है और भिन्न सरल रूप में है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / \(48=2^4\times3\) has (3), and the fraction is in simplest form. Therefore, the decimal will be non-terminating recurring.
\(0.\overline{27}\) असांत आवर्ती है, इसलिए परिमेय है लेकिन सांत नहीं है। आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय होते हैं। / \(0.\overline{27}\) is non-terminating recurring, so it is rational but not terminating. Recurring decimals are always rational.
यह असांत है और इसमें निश्चित दोहराव नहीं है। ऐसा दशमलव अपरिमेय संख्या का रूप हो सकता है। / It is non-terminating and has no fixed repetition. Such a decimal can be the form of an irrational number.
\(x=0.875\div1000=0.000875\) है। (1000) से भाग देने पर दशमलव बिंदु तीन स्थान बाईं ओर जाता है। / \(x=0.875\div1000=0.000875\). On dividing by (1000), the decimal point moves three places to the left.
(3) दशमलव के बाद दूसरे स्थान पर है। इसलिए उसका स्थानीय मान \( \frac{3}{100} \) है। / (3) is in the second place after the decimal point. So its place value is \( \frac{3}{100} \).
दशमलव स्थान समान हैं, इसलिए बाएं से दाएं तुलना करें। सबसे छोटा (4.006) और सबसे बड़ा (4.600) है। / The decimal places are equal, so compare from left to right. The smallest is (4.006) and the greatest is (4.600).
C. \(0.20200200020000\ldots\) बिना निश्चित दोहराव/\(0.20200200020000\ldots\) without fixed repetition
Explanation
Simple Explanation
बिना निश्चित दोहराव वाला असांत दशमलव अपरिमेय होता है। सांत और आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / A non-terminating decimal without fixed repetition is irrational. Terminating and recurring decimals are rational.
\(1600\times625=1000000\), इसलिए \( \frac{29}{1600}=0.018125 \) है। बड़े हर को भी (10) की घात में बदला जा सकता है। / \(1600\times625=1000000\), so \( \frac{29}{1600}=0.018125 \). Even a large denominator can be converted into a power of (10).
\(0.0125\div0.000125=100\) है। दशमलव स्थानों का अंतर अनुपात समझने में मदद करता है। / \(0.0125\div0.000125=100\). The difference in decimal places helps understand the ratio.
पहले (0) के बाद (27) बार-बार दोहरता है। इसलिए दशमलव \(0.0272727\ldots\) होगा। / After the first (0), (27) repeats again and again. So the decimal is \(0.0272727\ldots\).
\( \frac{75}{96}=\frac{25}{32} \) और \(32=2^5\) है। इसलिए दशमलव सांत होगा। / \( \frac{75}{96}=\frac{25}{32} \) and \(32=2^5\). Therefore, the decimal will terminate.
\( \frac{56}{154}=\frac{4}{11} \) है और हर में (11) है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / \( \frac{56}{154}=\frac{4}{11} \), and the denominator has (11). So the decimal will be non-terminating recurring.
किसी स्थान के बाद (9) लगातार आने पर अगला सांत मान मिल सकता है। इसलिए \(0.124999\ldots=0.125\) है। / When (9) repeats after a place, it can equal the next terminating value. So \(0.124999\ldots=0.125\).
(4) दशमलव के बाद चौथे स्थान पर है। चौथा दशमलव स्थान दस हजारवां होता है। / (4) is in the fourth place after the decimal point. The fourth decimal place is ten-thousandths.
\( \frac{1}{15}=0.0666\ldots=0.06\overline{6} \), जो (0.0625) से बड़ा है। तुलना के लिए भिन्न को दशमलव में बदलें। / \( \frac{1}{15}=0.0666\ldots=0.06\overline{6} \), which is greater than (0.0625). Convert the fraction into decimal for comparison.
(0.240>0.204>0.2004) है। सभी दशमलवों को समान स्थान तक लिखकर तुलना करें। / (0.240>0.204>0.2004). Compare all decimals after writing them up to equal places.
\( \frac{13}{125}=0.104 \) और \( \frac{7}{40}=0.175 \), इसलिए योग (0.279) है। पहले भिन्नों को दशमलव में बदलें। / \( \frac{13}{125}=0.104 \) and \( \frac{7}{40}=0.175 \), so the sum is (0.279). First convert the fractions into decimals.
\( \frac{9}{16}=0.5625 \), इसलिए (0.5625-0.3125=0.25) है। भिन्न को दशमलव में बदलकर घटाएं। / \( \frac{9}{16}=0.5625 \), so (0.5625-0.3125=0.25). Convert the fraction into decimal and subtract.
दोनों को (1000) से गुणा करने पर \(625\div25=25\) मिलता है। दशमलव हटाकर भाग देना आसान हो जाता है। / Multiplying both by (1000) gives \(625\div25=25\). Removing decimals makes division easier.
पहले (0) के बाद (45) लगातार दोहरता है। बार केवल (45) पर लगेगा। / After the first (0), (45) repeats continuously. The bar will be placed only over (45).
\(2^7\) को \(10^7\) बनाने के लिए \(5^7\) से गुणा करना पड़ेगा। इसलिए अधिकतम (7) दशमलव स्थान हो सकते हैं। / To make \(2^7\) into \(10^7\), we multiply by \(5^7\). So there can be at most (7) decimal places.
(2) और (5) की घातों में बड़ी घात (6) है। इसलिए दशमलव में अधिकतम (6) स्थान होंगे। / The larger exponent among (2) and (5) is (6). So the decimal will have at most (6) places.
इसमें (2) के बीच शून्यों की संख्या बढ़ती है, इसलिए निश्चित दोहराव नहीं है। ऐसा दशमलव असांत अनावर्ती होता है। / The number of zeros between (2)'s increases, so there is no fixed repetition. Such a decimal is non-terminating non-recurring.
\(0.0008\times100=0.08\), इसलिए (0.08%) है। प्रतिशत में बदलने के लिए (100) से गुणा करें। / \(0.0008\times100=0.08\), so it is (0.08%). Multiply by (100) to convert into percentage.
(100000) से गुणा करने पर दशमलव बिंदु पांच स्थान दाईं ओर जाता है। इसलिए \(0.004096\times100000=409.6\) है। / On multiplying by (100000), the decimal point moves five places to the right. Therefore, \(0.004096\times100000=409.6\).
\(0.59\overline{9}=0.6000\ldots\) और \( \frac{3}{5}=0.6 \) है। दोहरते (9) को सही तरह पहचानें। / \(0.59\overline{9}=0.6000\ldots\) and \( \frac{3}{5}=0.6 \). Identify repeating (9)'s correctly.
\( \frac{7}{8}=0.875 \), इसलिए (0.8735), (0.873) से बड़ा और (0.875) से छोटा है। सीमा मानों को दशमलव में बदलें। / \( \frac{7}{8}=0.875 \), so (0.8735) is greater than (0.873) and less than (0.875). Convert boundary values into decimals.
दसवें स्थान समान हैं और सौवें स्थान पर (a>3) होना चाहिए। इसलिए (a=4,5,6,7,8,9) यानी (6) मान संभव हैं। / The tenths digits are equal and the hundredths digit must satisfy (a>3). So (a=4,5,6,7,8,9), giving (6) possible values.
\(128\times78125=10000000\), इसलिए \( \frac{37}{128}=0.2890625 \) है। (2) की घात वाले हर का दशमलव सांत होता है। / \(128\times78125=10000000\), so \( \frac{37}{128}=0.2890625 \). A denominator that is a power of (2) gives a terminating decimal.
\(640\times15625=10000000\), इसलिए \( \frac{57}{640}=0.0890625 \) है। हर को (10) की घात बनाकर दशमलव निकालें। / \(640\times15625=10000000\), so \( \frac{57}{640}=0.0890625 \). Convert the denominator into a power of (10) to find the decimal.
\(0.0003125=\frac{3125}{10000000}=\frac{1}{3200}\) है। दशमलव स्थान गिनकर भिन्न को सरल करें। / \(0.0003125=\frac{3125}{10000000}=\frac{1}{3200}\). Count decimal places and simplify the fraction.
हर में (11) है जो (2) और (5) के अलावा गुणनखंड है। इसलिए परिमेय संख्या का दशमलव असांत आवर्ती होगा। / The denominator has (11), a factor other than (2) and (5). So the rational number will have a non-terminating recurring decimal.
\( \frac{84}{210}=\frac{2}{5} \) और हर में केवल (5) है। इसलिए इसका दशमलव प्रसार सांत होगा। / \( \frac{84}{210}=\frac{2}{5} \), and the denominator has only (5). Therefore, its decimal expansion is terminating.
पहले (25) के बाद (06) का समूह दोहरता है। बार केवल दोहराने वाले भाग पर लगाएं। / After the first (25), the block (06) repeats. Put the bar only over the repeating part.
बार केवल (25) पर है, इसलिए (41) के बाद (25) बार-बार आएगा। बार वाले भाग को लगातार दोहराएं। / The bar is only over (25), so after (41), (25) repeats. Repeat the barred part continuously.
\(19\div26=0.730769230769\ldots\) होता है। लंबी भाग विधि में शेष दोहरने पर आवर्ती भाग मिलता है। / \(19\div26=0.730769230769\ldots\). In long division, the recurring part appears when a remainder repeats.
\( \frac{7}{12}=0.58333\ldots \), जो (0.5834) से थोड़ा छोटा है। तुलना के लिए सभी को दशमलव रूप में सोचें। / \( \frac{7}{12}=0.58333\ldots \), which is slightly less than (0.5834). Think of all numbers in decimal form for comparison.
दसवें स्थान समान हैं और सौवें स्थान पर (a<4) होना चाहिए। इसलिए सबसे बड़ा मान (3) है। / The tenths digits are equal and the hundredths digit must satisfy (a<4). So the greatest value is (3).
इसमें (7) के बीच शून्यों की संख्या बदलती रहती है, इसलिए निश्चित आवर्ती भाग नहीं है। ऐसा दशमलव असांत अनावर्ती है। / The number of zeros between (7)'s keeps changing, so there is no fixed recurring part. Such a decimal is non-terminating non-recurring.
\(128\times78125=10000000\), इसलिए \( \frac{13}{128}=0.1015625 \) है। (2) की घात वाला हर सांत दशमलव देता है। / \(128\times78125=10000000\), so \( \frac{13}{128}=0.1015625 \). A denominator that is a power of (2) gives a terminating decimal.
\(0.000875=\frac{875}{1000000}=\frac{7}{8000}\) नहीं बल्कि \(\frac{7}{8000}\) है। दशमलव स्थान और सरलीकरण दोनों ध्यान से करें। / \(0.000875=\frac{875}{1000000}=\frac{7}{8000}\), not \( \frac{7}{800} \). Count decimal places and simplify carefully.
\(28=2^2\times7\) में (7) है और भिन्न सरल रूप में है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / \(28=2^2\times7\) has (7), and the fraction is in simplest form. Therefore, the decimal will be non-terminating recurring.
पहला (7) दसवें और अंतिम (7) लाखवें स्थान पर है। शून्य वाले स्थानों का मान अलग से नहीं लिखते। / The first (7) is in tenths and the last (7) is in hundred-thousandths. Zero-value places are not written separately.
दोनों को (10000) से गुणा करने पर \(2160\div8=270\) मिलता है। भाग में दोनों संख्याओं को समान गुणा कर सकते हैं। / Multiplying both by (10000) gives \(2160\div8=270\). In division, both numbers can be multiplied by the same number.
(5.004=5.0040), इसलिए (5.0040-2.0785=2.9255) है। घटाते समय दशमलव स्थान समान करें। / (5.004=5.0040), so (5.0040-2.0785=2.9255). Make decimal places equal while subtracting.
समान दशमलव स्थान लिखने पर (0.062500+0.031250+0.000625=0.094375) मिलता है। जोड़ में दशमलव बिंदु सीध में रखें। / Writing equal decimal places gives (0.062500+0.031250+0.000625=0.094375). Align decimal points while adding.
लगातार (9) आने पर पिछला अंक (1) बढ़ जाता है। इसलिए \(2.3999\ldots=2.4\) है। / When (9)'s repeat continuously, the previous digit increases by (1). So \(2.3999\ldots=2.4\).
\( \frac{13}{25}=0.52 \) और \( \frac{47}{90}=0.5222\ldots \), इसलिए (0.521) बीच में है। सीमाओं को दशमलव में बदलें। / \( \frac{13}{25}=0.52 \) and \( \frac{47}{90}=0.5222\ldots \), so (0.521) lies between them. Convert the boundaries into decimals.
हजारवें स्थान पर (b>7) होना चाहिए। इसलिए (b=8,9) यानी (2) मान संभव हैं। / At the thousandths place, (b>7) is needed. So (b=8,9), giving (2) possible values.
यह असांत है और इसमें निश्चित दोहराव नहीं है। ऐसा दशमलव अपरिमेय संख्या का रूप हो सकता है। / It is non-terminating and has no fixed repetition. Such a decimal can be the form of an irrational number.
\(x=0.5625\div10000=0.00005625\) है। (10000) से भाग देने पर दशमलव चार स्थान बाईं ओर जाता है। / \(x=0.5625\div10000=0.00005625\). On dividing by (10000), the decimal moves four places left.
(4) दशमलव के बाद तीसरे स्थान पर है। इसलिए उसका स्थानीय मान \( \frac{4}{1000} \) है। / (4) is in the third place after the decimal point. So its place value is \( \frac{4}{1000} \).
(6.006=6.0060), इसलिए (6.0066) उससे थोड़ा बड़ा है। तुलना के लिए समान दशमलव स्थान लिखें। / (6.006=6.0060), so (6.0066) is slightly greater. Write equal decimal places for comparison.
\(2500\times4=10000\), इसलिए \( \frac{71}{2500}=\frac{284}{10000}=0.0284 \) है। हर को (10) की घात बनाएं। / \(2500\times4=10000\), so \( \frac{71}{2500}=\frac{284}{10000}=0.0284 \). Make the denominator a power of (10).
\(0.075\div0.00075=100\) है। दशमलव स्थानों का अंतर अनुपात समझने में मदद करता है। / \(0.075\div0.00075=100\). The difference in decimal places helps understand the ratio.
पहले (00) के बाद (45) बार-बार दोहरता है। इसलिए दशमलव \(0.00454545\ldots\) होगा। / After the first (00), (45) repeats again and again. So the decimal is \(0.00454545\ldots\).
\( \frac{125}{200}=\frac{5}{8} \) और \(8=2^3\) है। इसलिए दशमलव सांत होगा। / \( \frac{125}{200}=\frac{5}{8} \) and \(8=2^3\). Therefore, the decimal will terminate.
\( \frac{63}{231}=\frac{3}{11} \) है और हर में (11) है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / \( \frac{63}{231}=\frac{3}{11} \), and the denominator has (11). So the decimal will be non-terminating recurring.
लगातार (9) आने पर पिछला अंक (1) बढ़ जाता है। इसलिए \(5.74999\ldots=5.75\) है। / When (9)'s repeat continuously, the previous digit increases by (1). So \(5.74999\ldots=5.75\).
(8) दशमलव के बाद चौथे स्थान पर है। चौथा दशमलव स्थान दस हजारवां होता है। / (8) is in the fourth place after the decimal point. The fourth decimal place is ten-thousandths.
\( \frac{3}{16}=0.1875 \) और \(0.18\overline{7}=0.18777\ldots\) है। इसलिए आवर्ती संख्या बड़ी है। / \( \frac{3}{16}=0.1875 \) and \(0.18\overline{7}=0.18777\ldots\). Therefore, the recurring number is greater.
(0.360>0.306>0.3006) है। सभी दशमलवों को समान स्थान तक लिखकर तुलना करें। / (0.360>0.306>0.3006). Compare all decimals after writing them up to equal places.
\( \frac{11}{125}=0.088 \) और \( \frac{9}{80}=0.1125 \), इसलिए योग (0.2005) है। पहले भिन्नों को दशमलव में बदलें। / \( \frac{11}{125}=0.088 \) and \( \frac{9}{80}=0.1125 \), so the sum is (0.2005). First convert the fractions into decimals.
\( \frac{13}{32}=0.40625 \), इसलिए (0.40625-0.15625=0.25) है। भिन्न को दशमलव में बदलकर घटाएं। / \( \frac{13}{32}=0.40625 \), so (0.40625-0.15625=0.25). Convert the fraction into decimal and subtract.
दोनों को (1000) से गुणा करने पर \(432\div16=27\) मिलता है। दशमलव हटाकर भाग देना आसान होता है। / Multiplying both by (1000) gives \(432\div16=27\). Removing decimals makes division easier.
पहले (0) के बाद (76) लगातार दोहरता है। बार केवल (76) पर लगाया जाएगा। / After the first (0), (76) repeats continuously. The bar will be placed only over (76).
\(5^8\) को \(10^8\) बनाने के लिए \(2^8\) से गुणा करना पड़ेगा। इसलिए अधिकतम (8) दशमलव स्थान होंगे। / To make \(5^8\) into \(10^8\), we multiply by \(2^8\). So there will be at most (8) decimal places.
(2) और (5) की घातों में बड़ी घात (5) है। इसलिए सांत दशमलव में अधिकतम (5) स्थान होंगे। / The larger exponent among (2) and (5) is (5). So the terminating decimal will have at most (5) places.
इसमें (5) के बीच शून्यों की संख्या बढ़ती है, इसलिए कोई निश्चित दोहराव नहीं है। ऐसा दशमलव असांत अनावर्ती है। / The number of zeros between (5)'s increases, so there is no fixed repetition. Such a decimal is non-terminating non-recurring.
\(0.0016\times100=0.16\), इसलिए (0.16%) है। प्रतिशत में बदलने के लिए (100) से गुणा करें। / \(0.0016\times100=0.16\), so it is (0.16%). Multiply by (100) to convert into percentage.
(1000000) से गुणा करने पर दशमलव बिंदु छह स्थान दाईं ओर जाता है। इसलिए उत्तर (7812.5) है। / On multiplying by (1000000), the decimal point moves six places to the right. Therefore, the answer is (7812.5).
\(0.74\overline{9}=0.7500\ldots\) और \( \frac{3}{4}=0.75 \) है। दोहरते (9) को सही पहचानें। / \(0.74\overline{9}=0.7500\ldots\) and \( \frac{3}{4}=0.75 \). Identify repeating (9)'s correctly.
\( \frac{5}{8}=0.625 \), इसलिए (0.6245), (0.624) से बड़ा और (0.625) से छोटा है। सीमा मानों को दशमलव में बदलें। / \( \frac{5}{8}=0.625 \), so (0.6245) is greater than (0.624) and less than (0.625). Convert boundary values into decimals.
\( \frac{96}{180}=\frac{8}{15} \) और हर में (3) है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / \( \frac{96}{180}=\frac{8}{15} \), and the denominator has (3). Therefore, the decimal will be non-terminating recurring.
\(3200\times3125=10000000\), इसलिए \( \frac{83}{3200}=0.0259375 \) है। हर को (10) की घात बनाकर सटीक दशमलव निकालें। / \(3200\times3125=10000000\), so \( \frac{83}{3200}=0.0259375 \). Convert the denominator into a power of (10) to get the exact decimal.
पहले (0) के बाद (18) का समूह बार-बार दोहरता है। बार केवल वास्तविक आवर्ती भाग पर लगाएं। / After the first (0), the block (18) repeats again and again. Put the bar only over the actual recurring part.
दसवें स्थान समान हैं और सौवें स्थान पर \(a\leq4\) होना चाहिए। इसलिए (a=0,1,2,3,4) यानी (5) मान संभव हैं। / The tenths digits are equal and the hundredths digit must satisfy \(a\leq4\). So (a=0,1,2,3,4), giving (5) possible values.
(2) और (5) की घातों में बड़ी घात (9) है। इसलिए सांत दशमलव में अधिकतम (9) स्थान होंगे। / The larger exponent among (2) and (5) is (9). So the terminating decimal will have at most (9) places.
\(1250\times8=10000\), इसलिए \( \frac{73}{1250}=\frac{584}{10000}=0.0584 \) है। हर को (10) की घात बनाना सटीक तरीका है। / \(1250\times8=10000\), so \( \frac{73}{1250}=\frac{584}{10000}=0.0584 \). Making the denominator a power of (10) is an exact method.
\(0.00015625=\frac{15625}{100000000}=\frac{1}{6400}\) है। पहले दशमलव स्थान गिनें और फिर भिन्न को सरल करें। / \(0.00015625=\frac{15625}{100000000}=\frac{1}{6400}\). First count decimal places and then simplify the fraction.
हर में (13) है, जो (2) और (5) के अलावा गुणनखंड है। इसलिए परिमेय संख्या का दशमलव असांत आवर्ती होगा। / The denominator has (13), a factor other than (2) and (5). So the rational number will have a non-terminating recurring decimal.
\( \frac{144}{225}=\frac{16}{25} \) और \(25=5^2\) है। इसलिए दशमलव प्रसार सांत होगा। / \( \frac{144}{225}=\frac{16}{25} \) and \(25=5^2\). Therefore, the decimal expansion will be terminating.
पहले (34) के बाद (09) का समूह दोहरता है। बार केवल दोहराने वाले भाग पर लगाएं। / After the first (34), the block (09) repeats. Put the bar only over the repeating part.
बार केवल (36) पर है, इसलिए (07) के बाद (36) बार-बार आएगा। बार वाले भाग को लगातार दोहराते हैं। / The bar is only over (36), so after (07), (36) repeats. The barred part repeats continuously.
\(23\div30=0.7666\ldots\) होता है। लंबी भाग विधि में दोहरने वाले अंक को पहचानें। / \(23\div30=0.7666\ldots\). In long division, identify the repeating digit.
\( \frac{17}{24}=0.70833\ldots \), जो (0.7084) से छोटा है। तुलना के लिए सभी संख्याओं को दशमलव रूप में देखें। / \( \frac{17}{24}=0.70833\ldots \), which is less than (0.7084). View all numbers in decimal form for comparison.
दसवें स्थान समान हैं और सौवें स्थान पर (a>7) होना चाहिए। इसलिए सबसे छोटा मान (8) है। / The tenths digits are equal and the hundredths digit must satisfy (a>7). So the smallest value is (8).
इसमें (9) के बीच शून्यों की संख्या बदलती रहती है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती भाग नहीं है। ऐसा दशमलव असांत अनावर्ती होता है। / The number of zeros between (9)'s keeps changing, so there is no fixed recurring part. Such a decimal is non-terminating non-recurring.
\(256\times390625=100000000\), इसलिए \( \frac{23}{256}=0.08984375 \) है। (2) की घात वाले हर का दशमलव सांत होता है। / \(256\times390625=100000000\), so \( \frac{23}{256}=0.08984375 \). A denominator that is a power of (2) gives a terminating decimal.
\(0.0021875=\frac{21875}{10000000}=\frac{7}{3200}\) है। दशमलव स्थान गिनकर अंतिम भिन्न को सरल करें। / \(0.0021875=\frac{21875}{10000000}=\frac{7}{3200}\). Count decimal places and simplify the final fraction.
\(60=2^2\times3\times5\) में (3) है और भिन्न सरल रूप में है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / \(60=2^2\times3\times5\) has (3), and the fraction is in simplest form. Therefore, the decimal will be non-terminating recurring.
पहला (2) दसवें और अंतिम (2) लाखवें स्थान पर है। शून्य वाले स्थानों का मान अलग से नहीं लिखते। / The first (2) is in tenths and the last (2) is in hundred-thousandths. Zero-value places are not written separately.
दोनों को (10000) से गुणा करने पर \(2970\div9=330\) मिलता है। भाग में दोनों संख्याओं को समान गुणा कर सकते हैं। / Multiplying both by (10000) gives \(2970\div9=330\). In division, both numbers can be multiplied by the same number.
(7.003=7.00300), इसलिए (7.00300-4.05875=2.94425) है। घटाते समय दशमलव स्थान समान करें। / (7.003=7.00300), so (7.00300-4.05875=2.94425). Make decimal places equal while subtracting.
समान दशमलव स्थान लिखने पर (0.0781250+0.0156250+0.0003125=0.0940625) मिलता है। जोड़ में दशमलव बिंदु सीध में रखें। / Writing equal decimal places gives (0.0781250+0.0156250+0.0003125=0.0940625). Align decimal points while adding.
लगातार (9) आने पर पिछला अंक (1) बढ़ जाता है। इसलिए \(4.12999\ldots=4.13\) है। / When (9)'s repeat continuously, the previous digit increases by (1). So \(4.12999\ldots=4.13\).
\( \frac{17}{32}=0.53125 \) और \( \frac{8}{15}=0.5333\ldots \), इसलिए (0.5328) इनके बीच है। सीमाओं को दशमलव में बदलें। / \( \frac{17}{32}=0.53125 \) and \( \frac{8}{15}=0.5333\ldots \), so (0.5328) lies between them. Convert the boundaries into decimals.
हजारवें स्थान पर \(b\leq4\) होना चाहिए। इसलिए (b=0,1,2,3,4) यानी (5) मान संभव हैं। / At the thousandths place, \(b\leq4\) is needed. So (b=0,1,2,3,4), giving (5) possible values.
यह असांत है और इसमें निश्चित दोहराव नहीं है। ऐसा दशमलव अपरिमेय संख्या का रूप हो सकता है। / It is non-terminating and has no fixed repetition. Such a decimal can be the form of an irrational number.
\(x=1.1875\div10000=0.00011875\) है। (10000) से भाग देने पर दशमलव चार स्थान बाईं ओर जाता है। / \(x=1.1875\div10000=0.00011875\). On dividing by (10000), the decimal moves four places left.
(6) दशमलव के बाद पांचवें स्थान पर है। इसलिए उसका स्थानीय मान \( \frac{6}{100000} \) है। / (6) is in the fifth place after the decimal point. So its place value is \( \frac{6}{100000} \).
(8.008=8.0080), इसलिए (8.0088) उससे थोड़ा बड़ा है। तुलना के लिए समान दशमलव स्थान लिखें। / (8.008=8.0080), so (8.0088) is slightly greater. Write equal decimal places for comparison.
\(5000\times2=10000\), इसलिए \( \frac{89}{5000}=\frac{178}{10000}=0.0178 \) है। हर को (10) की घात बनाएं। / \(5000\times2=10000\), so \( \frac{89}{5000}=\frac{178}{10000}=0.0178 \). Make the denominator a power of (10).
\(0.0625\div0.000625=100\) है। दशमलव स्थानों का अंतर अनुपात समझने में मदद करता है। / \(0.0625\div0.000625=100\). The difference in decimal places helps understand the ratio.
पहले (00) के बाद (72) बार-बार दोहरता है। इसलिए दशमलव \(0.00727272\ldots\) होगा। / After the first (00), (72) repeats again and again. So the decimal is \(0.00727272\ldots\).
\( \frac{175}{280}=\frac{5}{8} \) और \(8=2^3\) है। इसलिए दशमलव सांत होगा। / \( \frac{175}{280}=\frac{5}{8} \) and \(8=2^3\). Therefore, the decimal will terminate.
\( \frac{72}{198}=\frac{4}{11} \) है और हर में (11) है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / \( \frac{72}{198}=\frac{4}{11} \), and the denominator has (11). So the decimal will be non-terminating recurring.
लगातार (9) आने पर पिछला अंक (1) बढ़ जाता है। इसलिए \(6.24999\ldots=6.25\) है। / When (9)'s repeat continuously, the previous digit increases by (1). So \(6.24999\ldots=6.25\).
(7) दशमलव के बाद चौथे स्थान पर है। चौथा दशमलव स्थान दस हजारवां होता है। / (7) is in the fourth place after the decimal point. The fourth decimal place is ten-thousandths.
\( \frac{5}{16}=0.3125 \) और \(0.31\overline{2}=0.31222\ldots\) है। इसलिए (0.3125) बड़ा है। / \( \frac{5}{16}=0.3125 \) and \(0.31\overline{2}=0.31222\ldots\). Therefore, (0.3125) is greater.
(0.470>0.407>0.4007) है। सभी दशमलवों को समान स्थान तक लिखकर तुलना करें। / (0.470>0.407>0.4007). Compare all decimals after writing them up to equal places.
\( \frac{17}{125}=0.136 \) और \( \frac{11}{80}=0.1375 \), इसलिए योग (0.2735) है। पहले भिन्नों को दशमलव में बदलें। / \( \frac{17}{125}=0.136 \) and \( \frac{11}{80}=0.1375 \), so the sum is (0.2735). First convert the fractions into decimals.
\( \frac{21}{64}=0.328125 \), इसलिए (0.328125-0.203125=0.125) है। भिन्न को दशमलव में बदलकर घटाएं। / \( \frac{21}{64}=0.328125 \), so (0.328125-0.203125=0.125). Convert the fraction into decimal and subtract.
दोनों को (1000) से गुणा करने पर \(567\div21=27\) मिलता है। दशमलव हटाकर भाग देना आसान होता है। / Multiplying both by (1000) gives \(567\div21=27\). Removing decimals makes division easier.
पहले (0) के बाद (64) लगातार दोहरता है। बार केवल (64) पर लगाया जाएगा। / After the first (0), (64) repeats continuously. The bar will be placed only over (64).
\(23\div44=0.52272727\ldots\) होता है। लंबी भाग विधि में (27) का समूह दोहरता है। / \(23\div44=0.52272727\ldots\). In long division, the block (27) repeats.
\(2^8\) को \(10^8\) बनाने के लिए \(5^8\) से गुणा करना पड़ेगा। इसलिए अधिकतम (8) दशमलव स्थान होंगे। / To make \(2^8\) into \(10^8\), we multiply by \(5^8\). So there will be at most (8) decimal places.
(2) और (5) की घातों में बड़ी घात (6) है। इसलिए सांत दशमलव में अधिकतम (6) स्थान होंगे। / The larger exponent among (2) and (5) is (6). So the terminating decimal will have at most (6) places.
इसमें (7) के बीच शून्यों की संख्या बढ़ती है, इसलिए कोई निश्चित दोहराव नहीं है। ऐसा दशमलव असांत अनावर्ती होता है। / The number of zeros between (7)'s increases, so there is no fixed repetition. Such a decimal is non-terminating non-recurring.
\(0.0024\times100=0.24\), इसलिए (0.24%) है। प्रतिशत में बदलने के लिए (100) से गुणा करें। / \(0.0024\times100=0.24\), so it is (0.24%). Multiply by (100) to convert into percentage.
(1000000) से गुणा करने पर दशमलव बिंदु छह स्थान दाईं ओर जाता है। इसलिए उत्तर (3906.25) है। / On multiplying by (1000000), the decimal point moves six places to the right. Therefore, the answer is (3906.25).
\(0.89\overline{9}=0.9000\ldots\) और \( \frac{9}{10}=0.9 \) है। दोहरते (9) को सही पहचानें। / \(0.89\overline{9}=0.9000\ldots\) and \( \frac{9}{10}=0.9 \). Identify repeating (9)'s correctly.
\( \frac{11}{16}=0.6875 \), इसलिए (0.6865), (0.686) से बड़ा और (0.6875) से छोटा है। सीमा मानों को दशमलव में बदलें। / \( \frac{11}{16}=0.6875 \), so (0.6865) is greater than (0.686) and less than (0.6875). Convert boundary values into decimals.
\( \frac{108}{225}=\frac{12}{25} \) और \(25=5^2\) है। इसलिए दशमलव सांत होगा। / \( \frac{108}{225}=\frac{12}{25} \) and \(25=5^2\). Therefore, the decimal will terminate.
\(4000\times25=100000\), इसलिए \( \frac{97}{4000}=\frac{2425}{100000}=0.02425 \) है। हर को (10) की घात में बदलकर दशमलव निकालें। / \(4000\times25=100000\), so \( \frac{97}{4000}=\frac{2425}{100000}=0.02425 \). Convert the denominator into a power of (10) to find the decimal.
\(0.0015625=\frac{15625}{10000000}=\frac{1}{640}\) है। दशमलव स्थान गिनकर भिन्न को सबसे सरल रूप में लिखें। / \(0.0015625=\frac{15625}{10000000}=\frac{1}{640}\). Count decimal places and write the fraction in simplest form.
हजारवें स्थान पर (a<6) होना चाहिए। इसलिए (a=0,1,2,3,4,5) यानी (6) मान संभव हैं। / At the thousandths place, (a<6) is needed. So (a=0,1,2,3,4,5), giving (6) possible values.
पहले (00) के बाद (25) का समूह बार-बार दोहरता है। बार केवल वास्तविक आवर्ती भाग पर लगाएं। / After the first (00), the block (25) repeats again and again. Put the bar only over the actual recurring part.
