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The (4) diagonal pairs can be chosen or not chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
For each pair of distinct elements, there are three choices: one direction, the reverse direction, or none. There are \(\frac{4\cdot 3}{2}=6\) such pairs.
Step 3
Exam Tip
Hence the total number is \(2^4\cdot 3^6\). चरण 1: (4) विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने या छोड़े जा सकते हैं। चरण 2: अलग अवयवों के प्रत्येक जोड़े के लिए तीन चुनाव होते हैं: पहला युग्म, उल्टा युग्म या कोई नहीं। ऐसे जोड़े \(\frac{4\cdot 3}{2}=6\) हैं। चरण 3: इसलिए कुल संख्या \(2^4\cdot 3^6\) होगी।
Reflexivity makes all (5) diagonal pairs compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
For every pair of distinct elements, antisymmetry gives three choices. There are \(\frac{5\cdot 4}{2}=10\) such pairs.
Step 3
Exam Tip
Therefore the number of relations is \(3^{10}\). चरण 1: प्रतिवर्ती होने के कारण सभी (5) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: अलग अवयवों के प्रत्येक जोड़े पर प्रतिसममितता के कारण तीन चुनाव हैं। ऐसे जोड़े \(\frac{5\cdot 4}{2}=10\) हैं। चरण 3: इसलिए कुल संबंध \(3^{10}\) होंगे।
If symmetry and antisymmetry hold together, no off-diagonal pair between distinct elements can be included.
Step 2
Why this answer is correct
Only diagonal pairs are independently optional.
Step 3
Exam Tip
With (4) diagonal pairs, the total number is \(2^4\). चरण 1: सममितता और प्रतिसममितता साथ हों तो अलग अवयवों के बीच कोई युग्म नहीं रखा जा सकता। चरण 2: केवल विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने या छोड़े जा सकते हैं। चरण 3: (4) विकर्ण युग्मों से कुल \(2^4\) संबंध बनेंगे।
Being both symmetric and antisymmetric allows no off-diagonal pair.
Step 3
Exam Tip
Thus only the identity relation is possible, so the number is (1). चरण 1: प्रतिवर्ती होने से सभी विकर्ण युग्म होने चाहिए। चरण 2: सममित और प्रतिसममित दोनों होने से अलग अवयवों के बीच कोई युग्म नहीं हो सकता। चरण 3: इसलिए केवल पहचान संबंध ही संभव है, अतः संख्या (1) है।
An equivalence relation partitions the set into disjoint classes.
Step 2
Why this answer is correct
The number of partitions of a (4)-element set is (15).
Step 3
Exam Tip
Hence the number of equivalence relations is (15). चरण 1: समतुल्यता संबंध समुच्चय को असंयुक्त वर्गों में बांटता है। चरण 2: (4) अवयवों के विभाजनों की संख्या (15) होती है। चरण 3: इसलिए (4) अवयवों पर समतुल्यता संबंधों की संख्या (15) है।
Exactly two classes means partitioning (4) elements into two non-empty disjoint parts.
Step 2
Why this answer is correct
There are \(2^4-2=14\) non-empty proper subsets, but each partition is counted twice.
Step 3
Exam Tip
Therefore the count is \(\frac{14}{2}=7\). चरण 1: ठीक दो वर्ग बनाने का अर्थ है (4) अवयवों को दो अरिक्त असंयुक्त भागों में बांटना। चरण 2: कुल अरिक्त उचित उपसमुच्चय \(2^4-2=14\) हैं, पर हर विभाजन दो बार गिना जाता है। चरण 3: इसलिए संख्या \(\frac{14}{2}=7\) होगी।
An equivalence relation is determined by its partition into classes.
Step 2
Why this answer is correct
Choose the class of size (2) in \(\binom{5}{2}=10\) ways.
Step 3
Exam Tip
The remaining three elements automatically form the other class. चरण 1: समतुल्यता संबंध वर्गों के विभाजन से तय होता है। चरण 2: (5) अवयवों में से आकार (2) वाला वर्ग चुनने के तरीके \(\binom{5}{2}=10\) हैं। चरण 3: बचा हुआ आकार (3) वाला वर्ग अपने आप बन जाता है।
We only need to choose the single two-element class.
Step 2
Why this answer is correct
Two elements can be chosen from (4) elements in \(\binom{4}{2}=6\) ways.
Step 3
Exam Tip
The remaining two elements become singleton classes. चरण 1: केवल एक दो-अवयवी वर्ग चुनना है। चरण 2: (4) अवयवों में से ऐसे दो अवयव \(\binom{4}{2}=6\) तरीकों से चुने जा सकते हैं। चरण 3: शेष दो अवयव अलग-अलग वर्ग बनाते हैं।
Its class contains all integers of the form (6k+1).
Step 3
Exam Tip
(6k+7) represents the same set, but (6k+1) is the standard simpler form. चरण 1: (7) को (6) से भाग देने पर शेष (1) मिलता है। चरण 2: उसी वर्ग में वे पूर्णांक होंगे जिनका रूप (6k+1) है। चरण 3: (6k+7) भी वही वर्ग दिखाता है, पर सरल मानक रूप (6k+1) माना जाता है।
This condition is equivalent to \(a\equiv b \pmod{3}\), so transitivity also holds and no property fails. चरण 1: (a+2a=3a) हमेशा (3) से विभाज्य है, इसलिए प्रतिवर्ती है। चरण 2: \(a+2b\equiv 0 \pmod{3}\) से \(b+2a\equiv 0 \pmod{3}\) भी मिलता है। चरण 3: यदि \(a\equiv b\) और \(b\equiv c \pmod{3}\), तो \(a\equiv c \pmod{3}\), इसलिए यह समतुल्यता संबंध है।
(a-a=0) is an integer, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a-b) is an integer, then (b-a) is also an integer.
Step 3
Exam Tip
The sum of two integer differences is an integer, so transitivity also holds. चरण 1: (a-a=0) पूर्णांक है, इसलिए प्रतिवर्ती है। चरण 2: यदि (a-b) पूर्णांक है, तो (b-a) भी पूर्णांक है। चरण 3: दो पूर्णांक अंतरों का योग पूर्णांक होता है, इसलिए संक्रामकता भी पूरी होती है।
B. सममित पर न प्रतिवर्ती और न संक्रामी/symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
(a-a=0) is not irrational, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a-b) is irrational, then (b-a) is also irrational, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}R0\) and \(0R\sqrt{2}\) hold, but \(\sqrt{2}R\sqrt{2}\) fails, so it is not transitive. चरण 1: (a-a=0) अपरिमेय नहीं है, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। चरण 2: यदि (a-b) अपरिमेय है, तो (b-a) भी अपरिमेय होगा, इसलिए सममित है। चरण 3: \(\sqrt{2}R0\) और \(0R\sqrt{2}\) सही हैं, पर \(\sqrt{2}R\sqrt{2}\) गलत है, इसलिए संक्रामी नहीं।
Equality remains true when reversed, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
If \(a^3=b^3\) and \(b^3=c^3\), then \(a^3=c^3\), so it is transitive. चरण 1: हर (a) के लिए \(a^3=a^3\), इसलिए प्रतिवर्ती है। चरण 2: बराबरी पलटने पर भी सही रहती है, इसलिए सममित है। चरण 3: यदि \(a^3=b^3\) और \(b^3=c^3\), तो \(a^3=c^3\), इसलिए संक्रामी है।
A. प्रतिवर्ती और संक्रामी पर सममित नहीं/reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
\(a^2\le a^2\) gives reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a^2\le b^2\) and \(b^2\le c^2\), then \(a^2\le c^2\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
\(1^2\le 2^2\) is true but \(2^2\le 1^2\) is false, so it is not symmetric. चरण 1: \(a^2\le a^2\) से प्रतिवर्तिता मिलती है। चरण 2: यदि \(a^2\le b^2\) और \(b^2\le c^2\), तो \(a^2\le c^2\), इसलिए संक्रामी है। चरण 3: \(1^2\le 2^2\) सही है पर \(2^2\le 1^2\) गलत, इसलिए सममित नहीं।
Equality of absolute values passes through a middle element, so it is transitive. चरण 1: हर (a) के लिए (|a|=|a|), इसलिए प्रतिवर्ती है। चरण 2: यदि (|a|=|b|), तो (|b|=|a|), इसलिए सममित है। चरण 3: बराबर परिमाण की शृंखला आगे भी बराबर परिमाण देती है, इसलिए संक्रामी है।
A. सममित और संक्रामी पर प्रतिवर्ती नहीं/symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
For real numbers, \(a^2+b^2=0\) is possible only when (a=0,b=0).
Step 2
Why this answer is correct
Thus the relation contains only ((0,0)), which keeps symmetry and transitivity true.
Step 3
Exam Tip
It is not reflexive because ((a,a)) is not present for every real (a). चरण 1: वास्तविक संख्याओं में \(a^2+b^2=0\) केवल (a=0,b=0) पर संभव है। चरण 2: इसलिए संबंध में केवल ((0,0)) है, जिससे सममितता और संक्रामकता बनी रहती है। चरण 3: सभी वास्तविक (a) के लिए ((a,a)) नहीं है, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है।
A. सममित और संक्रामी पर प्रतिवर्ती नहीं/symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
The empty relation has no pair, so no counterexample breaks symmetry or transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
For non-empty (A), reflexivity needs ((a,a)), but no diagonal pair is present.
Step 3
Exam Tip
Hence it is symmetric and transitive but not reflexive. चरण 1: रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं है, इसलिए सममितता या संक्रामकता को तोड़ने वाला उदाहरण नहीं मिलता। चरण 2: अरिक्त (A) में ((a,a)) चाहिए, पर कोई विकर्ण युग्म मौजूद नहीं। चरण 3: इसलिए यह सममित और संक्रामी है, पर प्रतिवर्ती नहीं।
From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required and present.
Step 2
Why this answer is correct
No other chain creates a new required pair.
Step 3
Exam Tip
Since diagonal and reverse pairs are missing, do not call it reflexive or symmetric. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 2: कोई दूसरा ऐसा क्रम नहीं है जो नया अनिवार्य युग्म बनाए। चरण 3: विकर्ण और उल्टे युग्म नहीं हैं, इसलिए प्रतिवर्ती या सममित न मानें।
From ((1,2)) and ((2,4)), transitivity requires ((1,4)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((3,3)) only requires itself again in a chain, and it is present.
Step 3
Exam Tip
All required cases are satisfied, so the relation is transitive. चरण 1: ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 2: ((3,3)) अपने साथ शृंखला बनाए तो फिर ((3,3)) ही चाहिए, जो मौजूद है। चरण 3: सभी जरूरी स्थितियां पूरी हैं, इसलिए संबंध संक्रामी है।
Transitivity requires ((2,2)) from these two pairs.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)), which is already present. चरण 1: ((2,1)) और ((1,2)) मौजूद हैं। चरण 2: संक्रामकता के अनुसार इससे ((2,2)) होना चाहिए। चरण 3: ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो पहले से मौजूद है।
Then ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)), so (3) pairs are needed. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। चरण 2: ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) चाहिए। चरण 3: फिर ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी चाहिए, इसलिए कुल (3) युग्म जोड़ेंगे।
((1,2)) and ((2,3)) connect all three elements into one equivalence class.
Step 2
Why this answer is correct
In one class, every ordered pair between the elements must be present.
Step 3
Exam Tip
A class of (3) elements gives \(3^2=9\) pairs. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से तीनों अवयव एक ही समतुल्यता वर्ग में जुड़ जाते हैं। चरण 2: एक ही वर्ग में सभी अवयवों के बीच सभी क्रमित युग्म होने चाहिए। चरण 3: (3) अवयवों के एक वर्ग से \(3^2=9\) युग्म मिलते हैं।
((1,2)) forms the class ({1,2}), and ((3,4)) forms the class ({3,4}).
Step 2
Why this answer is correct
Each two-element class contributes \(2^2=4\) ordered pairs.
Step 3
Exam Tip
Therefore the total number of pairs is (4+4=8). चरण 1: ((1,2)) से वर्ग ({1,2}) बनता है और ((3,4)) से वर्ग ({3,4}) बनता है। चरण 2: हर दो-अवयवी वर्ग अपने भीतर \(2^2=4\) युग्म देता है। चरण 3: दो ऐसे वर्गों से कुल (4+4=8) युग्म मिलेंगे।
A. यह हमेशा समतुल्यता संबंध होगा/it is always an equivalence relation
Step 1
Concept
Both relations contain all diagonal pairs, so the intersection does too.
Step 2
Why this answer is correct
If a pair is in the intersection, its reverse is in both relations and hence in the intersection.
Step 3
Exam Tip
Transitivity also remains valid because both relations provide the required pair. चरण 1: दोनों संबंधों में सभी विकर्ण युग्म हैं, इसलिए प्रतिच्छेद में भी होंगे। चरण 2: यदि कोई युग्म प्रतिच्छेद में है, तो उसका उल्टा दोनों संबंधों में होगा और इसलिए प्रतिच्छेद में भी होगा। चरण 3: संक्रामकता भी दोनों में एक साथ लागू होकर प्रतिच्छेद में बनी रहती है।
C. नहीं, संक्रामकता टूट सकती है/no, transitivity may fail
Step 1
Concept
The union of two equivalence relations may remain reflexive and symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
But one pair may come from one relation and the next pair from the other, so the required third pair may be missing.
Step 3
Exam Tip
Therefore the union is not always an equivalence relation. चरण 1: दो समतुल्यता संबंधों का संघ प्रतिवर्ती और सममित रह सकता है। चरण 2: लेकिन एक युग्म पहले संबंध से और दूसरा दूसरे संबंध से आने पर जरूरी तीसरा युग्म गायब हो सकता है। चरण 3: इसलिए संघ को बिना जांचे समतुल्यता संबंध नहीं मानना चाहिए।
समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) और \(S=\{(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)\}\) हैं। \(R\cup S\) क्यों समतुल्यता संबंध नहीं है?
C. ((1,3)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है/((1,3)) is missing, so transitivity fails
Step 1
Concept
The union contains all diagonal pairs and the needed reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
It also contains ((1,2)) and ((2,3)).
Step 3
Exam Tip
Transitivity requires ((1,3)), which is missing, so it is not an equivalence relation. चरण 1: संघ में सभी विकर्ण युग्म हैं और उल्टे युग्म भी मौजूद हैं। चरण 2: संघ में ((1,2)) और ((2,3)) दोनों हैं। चरण 3: संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए यह समतुल्यता संबंध नहीं है।
A. जब और केवल जब (R) सममित हो/if and only if (R) is symmetric
Step 1
Concept
The inverse relation reverses the direction of every pair.
Step 2
Why this answer is correct
Symmetry means the relation behaves the same after reversing pairs.
Step 3
Exam Tip
Hence \(R^{-1}\) is symmetric exactly when (R) is symmetric. चरण 1: प्रतिलोम संबंध में हर युग्म की दिशा बदल जाती है। चरण 2: सममितता का अर्थ ही है कि दिशा बदलने पर संबंध वही व्यवहार रखे। चरण 3: इसलिए \(R^{-1}\) सममित होगा ठीक तब जब (R) सममित होगा।
Therefore all diagonal pairs remain in \(R^{-1}\). चरण 1: प्रतिवर्ती (R) में हर ((a,a)) मौजूद है। चरण 2: ((a,a)) का प्रतिलोम फिर ((a,a)) ही होता है। चरण 3: इसलिए सभी विकर्ण युग्म \(R^{-1}\) में भी रहेंगे।
A. यह भी समतुल्यता संबंध होगा/it is also an equivalence relation
Step 1
Concept
Since (R) is reflexive, its inverse is also reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Since (R) is symmetric, \(R^{-1}=R\).
Step 3
Exam Tip
Because (R) is transitive, the same property remains in its inverse. चरण 1: (R) प्रतिवर्ती है, इसलिए उसका प्रतिलोम भी प्रतिवर्ती रहेगा। चरण 2: (R) सममित है, इसलिए \(R^{-1}=R\) हो जाता है। चरण 3: चूंकि (R) संक्रामी है, वही गुण प्रतिलोम में भी बना रहता है।
If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R^{-1}\), then ((b,a)) and ((c,b)) are in (R).
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity of (R) gives ((c,a)).
Step 3
Exam Tip
Reversing it gives ((a,c)) in \(R^{-1}\), so \(R^{-1}\) is transitive. चरण 1: \(R^{-1}\) में ((a,b)) और ((b,c)) होने का अर्थ है कि (R) में ((b,a)) और ((c,b)) हैं। चरण 2: (R) की संक्रामकता से ((c,a)) मिलता है। चरण 3: इसका प्रतिलोम ((a,c)), \(R^{-1}\) में होगा, इसलिए \(R^{-1}\) संक्रामी है।
In an inverse relation, every ordered pair is reversed.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2),(2,3),(1,3)) become ((2,1),(3,2),(3,1)).
Step 3
Exam Tip
Do not add any new diagonal pair automatically while finding the inverse. चरण 1: प्रतिलोम संबंध में हर क्रमित युग्म की दिशा बदलती है। चरण 2: ((1,2),(2,3),(1,3)) से क्रमशः ((2,1),(3,2),(3,1)) मिलते हैं। चरण 3: प्रतिलोम निकालते समय कोई नया विकर्ण युग्म अपने आप न जोड़ें।
A. क्योंकि यह प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी है/because it is reflexive, antisymmetric and transitive
Step 1
Concept
Every number divides itself, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a\mid b\) and \(b\mid a\), then for positive numbers (a=b), so it is antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
Divisibility passes through a middle element, so it is transitive. चरण 1: हर संख्या स्वयं को विभाजित करती है, इसलिए प्रतिवर्ती है। चरण 2: यदि \(a\mid b\) और \(b\mid a\), तो धनात्मक संख्याओं में (a=b) होता है, इसलिए प्रतिसममित है। चरण 3: विभाज्यता आगे चलती है, इसलिए संक्रामी है।
A least element is related to every element of the set.
Step 2
Why this answer is correct
\(1\le 1,2,3,4\) is true for all elements.
Step 3
Exam Tip
Hence (1) is the least element. चरण 1: न्यूनतम अवयव वह है जो हर दूसरे अवयव से संबंध रखता है। चरण 2: \(1\le 1,2,3,4\) सभी सही हैं। चरण 3: इसलिए (1) न्यूनतम अवयव है।
A greatest element is one that is divisible by every element of the set.
Step 2
Why this answer is correct
(2,3,6,12) all divide (12).
Step 3
Exam Tip
Therefore (12) is the greatest element in this divisibility order. चरण 1: अधिकतम अवयव वह है जिसे समुच्चय का हर अवयव विभाजित करे। चरण 2: (2,3,6,12) सभी (12) को विभाजित करते हैं। चरण 3: इसलिए विभाज्यता क्रम में (12) अधिकतम अवयव है।
An upper bound must be divisible by both (2) and (3).
Step 2
Why this answer is correct
In (A), both (6) and (12) satisfy this.
Step 3
Exam Tip
Under divisibility, the least such upper bound is (6). चरण 1: ऊपरी बाध्य वह है जो (2) और (3) दोनों से विभाज्य हो। चरण 2: (A) में (6) और (12) दोनों ऐसे हैं। चरण 3: इनमें विभाज्यता के अनुसार छोटा ऊपरी बाध्य (6) है।
The greatest among them under divisibility is (6). चरण 1: निचला बाध्य वह है जो (6) और (12) दोनों को विभाजित करे। चरण 2: (1,2,3,6) सभी निचले बाध्य हैं। चरण 3: इन सबमें विभाज्यता के अनुसार सबसे बड़ा (6) है।
A minimal element has no distinct element below it in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
(2,3,5) are not divided by any other distinct element of (A).
Step 3
Exam Tip
(30) is not minimal because (2,3,5) divide it. चरण 1: न्यूनतम अवयव से पहले कोई अलग अवयव संबंध में नहीं आना चाहिए। चरण 2: (2,3,5) को (A) का कोई अलग अवयव विभाजित नहीं करता। चरण 3: (30) न्यूनतम नहीं है क्योंकि (2,3,5) उसे विभाजित करते हैं।
A maximal element has no distinct element above it.
Step 2
Why this answer is correct
(2,3,5) all divide (30), so they are not maximal.
Step 3
Exam Tip
No distinct element of (A) lies above (30), so there is exactly one maximal element. चरण 1: अधिकतम अवयव से ऊपर कोई अलग अवयव नहीं होना चाहिए। चरण 2: (2,3,5) सभी (30) को विभाजित करते हैं, इसलिए वे अधिकतम नहीं हैं। चरण 3: (30) के ऊपर (A) में कोई अलग अवयव नहीं है, इसलिए केवल एक अधिकतम अवयव है।
Not reflexive means not all diagonal pairs are present.
Step 2
Why this answer is correct
Not irreflexive means at least one diagonal pair is present.
Step 3
Exam Tip
Diagonal choices are \(2^3-2\), and the (6) off-diagonal pairs give \(2^6\) choices. चरण 1: न प्रतिवर्ती होने के लिए सभी विकर्ण युग्म मौजूद नहीं होने चाहिए। चरण 2: न अप्रतिवर्ती होने के लिए कम से कम एक विकर्ण युग्म मौजूद होना चाहिए। चरण 3: विकर्ण के लिए \(2^3-2\) चुनाव और बाकी (6) युग्मों के लिए \(2^6\) चुनाव हैं।
An irreflexive relation contains no diagonal pair.
Step 2
Why this answer is correct
Out of \(n^2\) pairs, the (n) diagonal pairs are forbidden.
Step 3
Exam Tip
The remaining \(n^2-n\) pairs are optional, so the count is \(2^{n^2-n}\). चरण 1: अप्रतिवर्ती संबंध में कोई भी विकर्ण युग्म नहीं होना चाहिए। चरण 2: कुल \(n^2\) युग्मों में से (n) विकर्ण युग्म निषिद्ध हैं। चरण 3: बाकी \(n^2-n\) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{n^2-n}\) है।
Symmetry makes each off-diagonal reverse-pair group chosen together or not chosen.
Step 3
Exam Tip
There are (\frac{n(n-1)}{2}) such groups, so the count is \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\). चरण 1: अप्रतिवर्ती होने से विकर्ण युग्म नहीं रखे जा सकते। चरण 2: सममितता के कारण अलग अवयवों के विपरीत युग्म समूहों को साथ चुनना होगा। चरण 3: ऐसे समूह (\frac{n(n-1)}{2}) हैं, इसलिए संख्या \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\) है।
Irreflexivity forces all diagonal pairs to be absent.
Step 2
Why this answer is correct
For each pair of distinct elements, antisymmetry gives three choices.
Step 3
Exam Tip
With (4) elements, there are (6) such pairs, so the count is \(3^6\). चरण 1: अप्रतिवर्ती होने के कारण सभी विकर्ण युग्म अनुपस्थित रहेंगे। चरण 2: अलग अवयवों के प्रत्येक जोड़े के लिए प्रतिसममितता तीन चुनाव देती है। चरण 3: (4) अवयवों में ऐसे (6) जोड़े हैं, इसलिए संख्या \(3^6\) है।
Choose exactly two of the three diagonal pairs in \(\binom{3}{2}=3\) ways.
Step 2
Why this answer is correct
The remaining (6) off-diagonal pairs are independently optional.
Step 3
Exam Tip
Therefore the count is \(3\cdot 2^6\). चरण 1: तीन विकर्ण युग्मों में से ठीक दो चुनने हैं, जिसके \(\binom{3}{2}=3\) तरीके हैं। चरण 2: बाकी (6) गैर-विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने या छोड़े जा सकते हैं। चरण 3: कुल संख्या \(3\cdot 2^6\) होगी।
Choose exactly (2) diagonal pairs from (4) in \(\binom{4}{2}=6\) ways.
Step 2
Why this answer is correct
In a symmetric relation, the (6) off-diagonal reverse-pair groups are independently optional.
Step 3
Exam Tip
Hence the total number is \(6\cdot 2^6\). चरण 1: (4) विकर्ण युग्मों में से ठीक (2) चुनने के \(\binom{4}{2}=6\) तरीके हैं। चरण 2: सममितता में (6) गैर-विकर्ण विपरीत युग्म समूह स्वतंत्र होते हैं। चरण 3: इसलिए कुल संबंध \(6\cdot 2^6\) होंगे।
Therefore the reflexive but not symmetric relations are \(2^6-2^3\). चरण 1: प्रतिवर्ती संबंधों में तीनों विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं और (6) गैर-विकर्ण युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए कुल \(2^6\)। चरण 2: प्रतिवर्ती और सममित संबंधों में (3) विपरीत युग्म समूह स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2^3\)। चरण 3: सममित नहीं वाले संबंध \(2^6-2^3\) होंगे।
On (3) elements, the total number of symmetric relations is \(2^6\).
Step 2
Why this answer is correct
Among these, reflexive symmetric relations are \(2^3\).
Step 3
Exam Tip
Hence symmetric but not reflexive relations are \(2^6-2^3\). चरण 1: (3) अवयवों पर कुल सममित संबंध \(2^6\) हैं। चरण 2: इनमें से प्रतिवर्ती और सममित संबंध \(2^3\) हैं। चरण 3: प्रतिवर्ती नहीं वाले सममित संबंधों की संख्या \(2^6-2^3\) है।
Being both symmetric and antisymmetric allows only diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
With (3) diagonal pairs, there are \(2^3\) such relations.
Step 3
Exam Tip
One of them is the full identity relation, which is reflexive; removing it gives \(2^3-1\). चरण 1: सममित और प्रतिसममित दोनों होने पर केवल विकर्ण युग्म चुने जा सकते हैं। चरण 2: (3) विकर्ण युग्मों से कुल \(2^3\) संबंध बनते हैं। चरण 3: इनमें एक संबंध पूरा पहचान संबंध है, जो प्रतिवर्ती है; उसे हटाने पर \(2^3-1\) बचते हैं।
For (a=2), (3) values work; for (a=3), (2); and for (a=4), (1).
Step 3
Exam Tip
The total number of pairs is (4+3+2+1=10). चरण 1: (a=1) पर (b=1,2,3,4) मिलते हैं। चरण 2: (a=2) पर (3), (a=3) पर (2), और (a=4) पर (1) मान मिलते हैं। चरण 3: कुल (4+3+2+1=10) युग्म होंगे।
In (A), remainder (0) has (3), remainder (1) has (1,4), and remainder (2) has (2,5).
Step 2
Why this answer is correct
A sum divisible by (3) needs remainder pairs ((0,0),(1,2),(2,1)).
Step 3
Exam Tip
The count is \(1\cdot1+2\cdot2+2\cdot2=9\), so the correct count is (9). चरण 1: (A) में शेष (0) वाली संख्या (3), शेष (1) वाली (1,4), और शेष (2) वाली (2,5) हैं। चरण 2: योग (3) से विभाज्य होने के लिए शेष ((0,0),(1,2),(2,1)) चाहिए। चरण 3: गिनती \(1\cdot1+2\cdot2+2\cdot2=9\) नहीं, बल्कि (1+4+4=9) होती है।
A. सममित पर प्रतिवर्ती नहीं/symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)), so the relation is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
(\gcd(2,2)=2), so not all diagonal pairs are present and it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
(2R3) and (3R4) hold, but (2R4) fails, so it is not transitive. चरण 1: (\gcd(a,b)=\gcd(b,a)), इसलिए संबंध सममित है। चरण 2: (\gcd(2,2)=2), इसलिए सभी विकर्ण युग्म नहीं मिलते और प्रतिवर्तिता नहीं है। चरण 3: (2R3) और (3R4) सही हैं, पर (2R4) गलत है, इसलिए संक्रामी भी नहीं।
