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The (3) diagonal pairs are independently optional.
Step 2
Why this answer is correct
For \(\frac{3\cdot2}{2}=3\) pairs of distinct elements, each pair gives three choices.
Step 3
Exam Tip
Hence the number of relations is \(2^3\cdot3^3\). चरण 1: (3) विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने या छोड़े जा सकते हैं। चरण 2: अलग अवयवों के \(\frac{3\cdot2}{2}=3\) जोड़ों में प्रत्येक के लिए तीन चुनाव होते हैं। चरण 3: इसलिए कुल संबंध \(2^3\cdot3^3\) होंगे।
Reflexive symmetric relations have (6) independent off-diagonal reverse-pair groups, so there are \(2^6\) such relations.
Step 2
Why this answer is correct
Among these, only the identity relation is also antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
Therefore the required number is \(2^6-1\). चरण 1: प्रतिवर्ती और सममित संबंधों में (6) गैर-विकर्ण विपरीत युग्म समूह स्वतंत्र होते हैं, इसलिए कुल \(2^6\) संबंध हैं। चरण 2: इनमें प्रतिसममित भी होने वाला केवल पहचान संबंध है। चरण 3: इसलिए प्रतिसममित नहीं वाले संबंध \(2^6-1\) होंगे।
A reflexive relation must contain all (4) diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
The remaining (16-4=12) pairs are optional.
Step 3
Exam Tip
On a non-empty set, a reflexive relation cannot be irreflexive, so the count is \(2^{12}\). चरण 1: प्रतिवर्ती संबंध में सभी (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य होते हैं। चरण 2: बाकी (16-4=12) युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। चरण 3: अरिक्त समुच्चय पर प्रतिवर्ती संबंध अप्रतिवर्ती नहीं हो सकता, इसलिए संख्या \(2^{12}\) है।
Total relations are \(2^9\), and symmetric relations are \(2^6\).
Step 2
Why this answer is correct
Antisymmetric relations are \(2^3\cdot3^3\), and relations having both properties are \(2^3\).
Step 3
Exam Tip
By inclusion-exclusion, the answer is \(2^9-2^6-2^3\cdot3^3+2^3\). चरण 1: कुल संबंध \(2^9\) हैं और सममित संबंध \(2^6\) हैं। चरण 2: प्रतिसममित संबंध \(2^3\cdot3^3\) हैं। दोनों गुण साथ होने पर केवल विकर्ण युग्म चुने जाते हैं, इसलिए \(2^3\) संबंध हैं। चरण 3: समावेशन-बहिष्करण से उत्तर \(2^9-2^6-2^3\cdot3^3+2^3\) है।
To split (5) elements into (4) classes, one class must have (2) elements and the others must be singletons.
Step 2
Why this answer is correct
The two-element class can be chosen in \(\binom{5}{2}=10\) ways.
Step 3
Exam Tip
The remaining elements form singleton classes. चरण 1: (5) अवयवों को (4) वर्गों में बांटने के लिए एक वर्ग में (2) अवयव होंगे और बाकी अकेले होंगे। चरण 2: दो-अवयवी वर्ग चुनने के तरीके \(\binom{5}{2}=10\) हैं। चरण 3: बाकी अवयव अपने-अपने वर्ग बनाते हैं।
Splitting five elements into three classes can have sizes (3,1,1) or (2,2,1).
Step 2
Why this answer is correct
For (3,1,1), there are \(\binom{5}{3}=10\) ways; for (2,2,1), there are \(\frac{\binom{5}{2}\binom{3}{2}}{2}=15\) ways.
Step 3
Exam Tip
Total equivalence relations are (10+15=25). चरण 1: पांच अवयवों को तीन वर्गों में बांटने के आकार (3,1,1) या (2,2,1) हो सकते हैं। चरण 2: (3,1,1) के लिए \(\binom{5}{3}=10\) और (2,2,1) के लिए \(\frac{\binom{5}{2}\binom{3}{2}}{2}=15\) तरीके हैं। चरण 3: कुल (10+15=25) संबंध होंगे।
The number of partitions of three units is (5), so there are (5) relations. चरण 1: (1) और (2) को एक साथ एक नए संयुक्त अवयव की तरह सोचें। चरण 2: अब कुल तीन इकाइयां हैं: ({1,2},3,4)। चरण 3: तीन इकाइयों के विभाजनों की संख्या (5) होती है, इसलिए इतने ही संबंध बनेंगे।
Total equivalence relations on (4) elements are (15).
Step 2
Why this answer is correct
Those in which (1) and (2) are together are (5).
Step 3
Exam Tip
Hence those in which they are in different classes are (15-5=10). चरण 1: (4) अवयवों पर कुल समतुल्यता संबंध (15) हैं। चरण 2: जिनमें (1) और (2) साथ हैं, वे (5) हैं। चरण 3: अलग-अलग वर्गों वाले संबंध (15-5=10) होंगे।
(2a+3a=5a) is always divisible by (5), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
\(2a+3b\equiv 0 \pmod{5}\) also gives \(2b+3a\equiv 0 \pmod{5}\).
Step 3
Exam Tip
The condition is equivalent to \(a\equiv b \pmod{5}\), so it is also transitive. चरण 1: (2a+3a=5a) हमेशा (5) से विभाज्य है, इसलिए प्रतिवर्ती है। चरण 2: \(2a+3b\equiv 0 \pmod{5}\) से \(2b+3a\equiv 0 \pmod{5}\) भी मिलता है। चरण 3: यह शर्त \(a\equiv b \pmod{5}\) के बराबर है, इसलिए संक्रामी भी है।
For reflexivity, (a+2a=3a) must be divisible by (4) for every integer (a).
Step 2
Why this answer is correct
For (a=1), this gives (3), which is not divisible by (4).
Step 3
Exam Tip
One counterexample is enough to show that reflexivity fails. चरण 1: प्रतिवर्तिता के लिए (a+2a=3a) हर पूर्णांक (a) पर (4) से विभाज्य होना चाहिए। चरण 2: (a=1) लेने पर (3) मिलता है, जो (4) से विभाज्य नहीं है। चरण 3: एक ही विरोधी उदाहरण प्रतिवर्तिता को असफल दिखाने के लिए पर्याप्त है।
If (aRb), then (b-a) and (b+a) are also integers, so it is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
Reflexivity would require \(2a\in\mathbb{Z}\) for every real (a), which is false.
Step 3
Exam Tip
The condition is not reflexive on all real numbers, so it cannot be an equivalence relation. चरण 1: यदि (aRb) है, तो (b-a) और (b+a) भी पूर्णांक होंगे, इसलिए सममितता है। चरण 2: प्रतिवर्तिता के लिए \(2a\in\mathbb{Z}\) हर वास्तविक (a) पर चाहिए, जो सही नहीं है। चरण 3: \(0R\frac{1}{2}\) और \(\frac{1}{2}R1\) सही हैं, पर (0R1) गलत है क्योंकि (0-1) पूर्णांक है पर (0+1) पूर्णांक है; ध्यान से देखें, यह सही है; इसलिए बेहतर विरोधी \(\frac{1}{4}R\frac{3}{4}\) और \(\frac{3}{4}R\frac{5}{4}\) नहीं बनता। वास्तविक जांच में यह संबंध संक्रामी है, पर प्रतिवर्ती नहीं, इसलिए केवल सममित कहना उचित है।
A number (x) related to \(\sqrt{2}\) must satisfy \(x-\sqrt{2}\in\mathbb{Q}\).
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(x=\sqrt{2}+q\), where \(q\in\mathbb{Q}\).
Step 3
Exam Tip
Convert the defining condition directly into set-builder form. चरण 1: \(\sqrt{2}\) से संबंधित संख्या (x) के लिए \(x-\sqrt{2}\) परिमेय होना चाहिए। चरण 2: इसलिए \(x=\sqrt{2}+q\), जहां \(q\in\mathbb{Q}\)। चरण 3: वर्ग लिखते समय शर्त को सीधे चल रूप में बदलें।
\(\frac{3}{5}\) is rational, so \(\frac{3}{5}-0\) is rational and both are in the same class.
Step 3
Exam Tip
An irrational representative usually gives a different class unless the difference is rational. चरण 1: ([0]) में सभी परिमेय संख्याएं आती हैं। चरण 2: \(\frac{3}{5}\) परिमेय है, इसलिए \(\frac{3}{5}-0\) परिमेय है और दोनों एक ही वर्ग में हैं। चरण 3: अपरिमेय प्रतिनिधि सामान्यतः अलग वर्ग देता है, जब तक अंतर परिमेय न हो।
When solving square-based class questions, remember both signs. चरण 1: (xR3) के लिए \(x^2-3^2=0\) होना चाहिए। चरण 2: इससे \(x^2=9\), इसलिए (x=3) या (x=-3)। चरण 3: वर्ग निकालते समय वर्ग समीकरण के दोनों चिह्नों को याद रखें।
Over real numbers, \(x^3=8\) has the single solution (x=2).
Step 3
Exam Tip
The cube function is one-one on real numbers, so the class is a singleton. चरण 1: (xR2) के लिए \(x^3=2^3=8\) चाहिए। चरण 2: वास्तविक संख्याओं में \(x^3=8\) का एक ही हल (x=2) है। चरण 3: घन फलन वास्तविक संख्याओं पर एकैकी होता है, इसलिए वर्ग अकेला है।
(0R1) and (1R2) hold, but (0R2) fails, so it is not transitive. चरण 1: \(|a-a|=0\le1\), इसलिए प्रतिवर्ती है। चरण 2: (|a-b|=|b-a|), इसलिए सममित है। चरण 3: (0R1) और (1R2) सही हैं, पर (0R2) गलत है, इसलिए संक्रामी नहीं।
A. प्रतिवर्ती और सममित पर संक्रामी नहीं/reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
(|a-a|=0<1), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Distance is the same in both directions, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
(0R0.6) and (0.6R1.2) hold, but (0R1.2) fails; hence it is not transitive. चरण 1: (|a-a|=0<1), इसलिए प्रतिवर्तिता है। चरण 2: दूरी दोनों दिशाओं में समान होती है, इसलिए सममितता है। चरण 3: (0R0.6) और (0.6R1.2) सही हैं, पर (0R1.2) गलत है, इसलिए संक्रामकता नहीं है।
A. यह संक्रामी है पर प्रतिवर्ती और सममित नहीं/it is transitive but neither reflexive nor symmetric
Step 1
Concept
(a-a=0), which is not greater than (1), so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (3R1) holds, (1R3) does not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
If (a-b>1) and (b-c>1), then (a-c>2), so it is transitive. चरण 1: (a-a=0), जो (1) से बड़ा नहीं है, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं। चरण 2: यदि (3R1) सही है, तो (1R3) गलत है, इसलिए सममित नहीं। चरण 3: (a-b>1) और (b-c>1) से (a-c>2), इसलिए संक्रामी है।
B. सममित और संक्रामी पर प्रतिवर्ती नहीं/symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(ab>0) means both numbers have the same non-zero sign.
Step 2
Why this answer is correct
The condition is unchanged when order is reversed, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
Same sign passes through a middle element, but (0R0) is false; hence it is not reflexive. चरण 1: (ab>0) का अर्थ है दोनों संख्याएं समान चिह्न की और शून्य नहीं हैं। चरण 2: शर्त पलटने पर नहीं बदलती, इसलिए सममित है। चरण 3: समान चिह्न वाली शृंखला संक्रामी है, पर (0R0) गलत है, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं।
(-1R0) and (0R1) hold, but (-1R1) fails, so transitivity fails. चरण 1: \(a^2\ge0\), इसलिए प्रतिवर्ती है। चरण 2: (ab=ba), इसलिए सममित है। चरण 3: (-1R0) और (0R1) सही हैं, पर (-1R1) गलत है, इसलिए संक्रामकता असफल है।
A. सममित पर न प्रतिवर्ती और न संक्रामी/symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
(a+a=2a) is even, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a+b) is odd, then (b+a) is odd, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
(1R2) and (2R3) hold, but (1R3) fails, so it is not transitive. चरण 1: (a+a=2a) सम होता है, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं। चरण 2: (a+b) विषम हो तो (b+a) भी विषम होगा, इसलिए सममित है। चरण 3: (1R2) और (2R3) सही हैं, पर (1R3) गलत है, इसलिए संक्रामी नहीं।
One class is ({1,3,5}) and the other is ({2,4,6}).
Step 3
Exam Tip
The number of possible remainders often gives the number of classes, but do not count empty classes. चरण 1: समान शेष का अर्थ यहां समान समता है। चरण 2: एक वर्ग विषम संख्याओं ({1,3,5}) का और दूसरा सम संख्याओं ({2,4,6}) का बनेगा। चरण 3: शेषफल की संख्या अक्सर वर्गों की संख्या बताती है, पर खाली वर्ग न गिनें।
In (A), all three remainders (0,1,2) occur modulo (3).
Step 2
Why this answer is correct
The classes are ({3}), ({1,4}), and ({2,5}).
Step 3
Exam Tip
Count only remainders that actually occur in the set. चरण 1: (A) में (3) से भाग देने पर शेष (0,1,2) तीनों आते हैं। चरण 2: वर्ग हैं ({3}), ({1,4}), और ({2,5})। चरण 3: केवल उन शेषों को गिनें जिनसे समुच्चय में अवयव मिलते हैं।
If \(a+b\equiv 0 \pmod{3}\), then \(b+a\equiv 0 \pmod{3}\), so it is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
((1,1)) is absent because \(1+1\equiv 2 \pmod{3}\), so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
(1R2) and (2R1) hold, but (1R1) fails, so it is not transitive. चरण 1: \(a+b\equiv 0 \pmod{3}\) होने पर \(b+a\equiv 0 \pmod{3}\), इसलिए सममित है। चरण 2: ((1,1)) नहीं है क्योंकि \(1+1\equiv 2 \pmod{3}\), इसलिए प्रतिवर्ती नहीं। चरण 3: (1R2) और (2R1) सही हैं, पर (1R1) गलत है, इसलिए संक्रामी नहीं।
The difference is even when the two numbers have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
In (A), there are (2) odd and (2) even numbers.
Step 3
Exam Tip
The number of ordered pairs is \(2^2+2^2=8\). चरण 1: अंतर सम होने के लिए दोनों संख्याओं की समता समान होनी चाहिए। चरण 2: (A) में (2) विषम और (2) सम संख्याएं हैं। चरण 3: क्रमित युग्मों की संख्या \(2^2+2^2=8\) होगी।
For (a=1), (5) values work; for (a=2), (4); and for (a=3), (3).
Step 2
Why this answer is correct
Similarly, for (a=4), (2) values work, and for (a=5), (1) value works.
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (5+4+3+2+1=15). चरण 1: (a=1) पर (5) मान, (a=2) पर (4) मान, (a=3) पर (3) मान मिलते हैं। चरण 2: इसी तरह (a=4) पर (2) और (a=5) पर (1) मान मिलता है। चरण 3: कुल (5+4+3+2+1=15) युग्म होंगे।
Total pairs are (4+3+2+1=10). चरण 1: (a=1) पर (4) बड़े मान मिलते हैं। चरण 2: (a=2,3,4,5) पर क्रमशः (3,2,1,0) मान मिलते हैं। चरण 3: कुल (4+3+2+1=10) युग्म होंगे।
Total pairs are (5+4+3+2+1=15). चरण 1: (a=1) पर (5) विकल्प मिलते हैं। चरण 2: (a=2,3,4,5) पर क्रमशः (4,3,2,1) विकल्प मिलते हैं। चरण 3: कुल (5+4+3+2+1=15) युग्म होंगे।
The total is (6+4+3+2+2+1=18), so the correct answer is (18). चरण 1: (1) सभी (6) अवयवों को विभाजित करता है। चरण 2: (2) चार अवयवों (2,4,6,12) को, (3) तीन अवयवों (3,6,12) को, (4) दो अवयवों (4,12) को, (6) दो अवयवों (6,12) को और (12) केवल (12) को विभाजित करता है। चरण 3: कुल (6+4+3+2+2+1=18) नहीं; सही जोड़ (18) है, इसलिए विकल्प (18) चुनें।
An upper bound is an element divisible by both (3) and (4).
Step 2
Why this answer is correct
In (A), (12) is such an element.
Step 3
Exam Tip
No smaller upper bound exists in this order, so the least upper bound is (12). चरण 1: ऊपरी बाध्य वह अवयव है जिसे (3) और (4) दोनों विभाजित करें। चरण 2: (A) में ऐसा अवयव (12) है। चरण 3: कोई छोटा ऊपरी बाध्य उपलब्ध नहीं, इसलिए न्यूनतम ऊपरी बाध्य (12) है।
Under divisibility, (2) is greater than (1), so the greatest lower bound is (2). चरण 1: निचला बाध्य वह है जो (4) और (6) दोनों को विभाजित करे। चरण 2: (1) और (2) दोनों निचले बाध्य हैं। चरण 3: विभाज्यता क्रम में इनमें बड़ा (2) है, इसलिए महानतम निचला बाध्य (2) है।
A least element must divide every element of the set.
Step 2
Why this answer is correct
(2) does not divide (3), and (3) does not divide (2).
Step 3
Exam Tip
No single element divides all elements, so there is no least element. चरण 1: न्यूनतम अवयव को समुच्चय के हर अवयव को विभाजित करना चाहिए। चरण 2: (2), (3) को विभाजित नहीं करता और (3), (2) को विभाजित नहीं करता। चरण 3: कोई एक अवयव सभी को विभाजित नहीं करता, इसलिए न्यूनतम अवयव नहीं है।
A greatest element is one that is divisible by every element of the set.
Step 2
Why this answer is correct
(2,3,6,9,18) all divide (18).
Step 3
Exam Tip
Therefore (18) is the greatest element in this order. चरण 1: अधिकतम अवयव वह है जिसे हर अवयव विभाजित करे। चरण 2: (2,3,6,9,18) सभी (18) को विभाजित करते हैं। चरण 3: इसलिए (18) इस क्रम में अधिकतम अवयव है।
In the divisibility order, \(2\mid4\mid8\mid16\) forms a full chain.
Step 2
Why this answer is correct
All four elements are ordered one after another.
Step 3
Exam Tip
Hence the longest chain contains (4) elements. चरण 1: विभाज्यता क्रम में \(2\mid4\mid8\mid16\) एक पूर्ण श्रृंखला बनती है। चरण 2: इसमें चारों अवयव क्रम से जुड़े हैं। चरण 3: इसलिए अधिकतम श्रृंखला में (4) अवयव होंगे।
Two elements are comparable if one divides the other.
Step 2
Why this answer is correct
(2) does not divide (3), and (3) does not divide (2).
Step 3
Exam Tip
Therefore (2) and (3) are not comparable. चरण 1: तुलनीय होने के लिए एक अवयव दूसरे को विभाजित करे। चरण 2: (2) संख्या (3) को विभाजित नहीं करती और (3) संख्या (2) को विभाजित नहीं करती। चरण 3: इसलिए (2) और (3) तुलनीय नहीं हैं।
The class ({1,2}) gives \(2^2=4\) pairs, and ({3}) gives (1) pair, making (5) pairs total. चरण 1: (1) और (2) एक ही वर्ग में होंगे। चरण 2: (3) अलग अकेला वर्ग रहेगा। चरण 3: वर्ग ({1,2}) से \(2^2=4\) युग्म और ({3}) से (1) युग्म मिलेगा, कुल (5)।
The class ({1,2,3}) gives \(3^2=9\) pairs and ({4}) gives (1), so the total is (10). चरण 1: (1,2,3) एक ही वर्ग में जुड़ जाते हैं। चरण 2: (4) अलग अकेला वर्ग रहेगा। चरण 3: ({1,2,3}) से \(3^2=9\) युग्म और ({4}) से (1) युग्म, कुल (10) युग्म होंगे।
((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)) for transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
((4,4)) only requires itself, which is already present.
Step 3
Exam Tip
Hence the minimal new pair is ((1,3)). चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए। चरण 2: ((4,4)) केवल अपने साथ वही युग्म मांगता है, जो पहले से है। चरण 3: इसलिए न्यूनतम नया युग्म ((1,3)) है।
No pair involving (3) creates a chain, so ((3,3)) is not required for transitivity. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए। चरण 2: ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए। चरण 3: (3) से जुड़ा कोई युग्म नहीं है, इसलिए ((3,3)) जोड़ना संक्रामकता के लिए जरूरी नहीं।
Thus the transitive closure contains (3+3=6) pairs. चरण 1: मूल तीन युग्म पहले से हैं। चरण 2: ((1,3)), ((2,4)), और ((1,4)) संक्रामकता से जुड़ते हैं। चरण 3: कुल (3+3=6) युग्म होंगे।
If \((a,b)\in R-S\), then \((a,b)\in R\) and \((a,b)\notin S\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (R) is symmetric, \((b,a)\in R\); since (S) is symmetric, \((b,a)\in S\) would imply \((a,b)\in S\).
Step 3
Exam Tip
Hence \((b,a)\notin S\), so \((b,a)\in R-S\). चरण 1: यदि \((a,b)\in R-S\), तो \((a,b)\in R\) और \((a,b)\notin S\)। चरण 2: (R) सममित है, इसलिए \((b,a)\in R\); (S) सममित है, इसलिए यदि \((b,a)\in S\) होता तो \((a,b)\in S\) भी होता। चरण 3: इसलिए \((b,a)\notin S\) और \((b,a)\in R-S\)।
B. यह कभी प्रतिवर्ती नहीं होगा/it is never reflexive
Step 1
Concept
Since both relations are reflexive, all diagonal pairs lie in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
In (R-S), pairs that also lie in (S) are removed.
Step 3
Exam Tip
Therefore no diagonal pair remains in (R-S), so it cannot be reflexive. चरण 1: प्रतिवर्ती होने से सभी विकर्ण युग्म (R) और (S) दोनों में हैं। चरण 2: (R-S) में वे युग्म हट जाते हैं जो (S) में भी हैं। चरण 3: इसलिए कोई भी विकर्ण युग्म (R-S) में नहीं रहेगा, अतः यह प्रतिवर्ती नहीं हो सकता।
In a symmetric relation, the reverse of every pair is already in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(R^{-1}=R\).
Step 3
Exam Tip
Therefore \(R\cup R^{-1}=R\cup R=R\). चरण 1: सममित संबंध में हर युग्म का उल्टा युग्म भी उसी संबंध में होता है। चरण 2: इसलिए \(R^{-1}=R\)। चरण 3: अतः \(R\cup R^{-1}=R\cup R=R\)।
If \((a,b)\in R\cap R^{-1}\), then \((a,b)\in R\) and \((a,b)\in R^{-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
This means \((b,a)\in R\) as well.
Step 3
Exam Tip
Hence ((b,a)) also lies in \(R\cap R^{-1}\), so the relation is symmetric. चरण 1: यदि \((a,b)\in R\cap R^{-1}\), तो \((a,b)\in R\) और \((a,b)\in R^{-1}\)। चरण 2: इसका अर्थ है कि \((b,a)\in R\) भी है। चरण 3: इसलिए ((b,a)) भी \(R\cap R^{-1}\) में होगा, अतः संबंध सममित है।
If \((a,b)\in R\cup R^{-1}\), it lies in (R) or in \(R^{-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
In either case, the reverse pair ((b,a)) lies in the other or same part of the union.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(R\cup R^{-1}\) is always symmetric. चरण 1: यदि \((a,b)\in R\cup R^{-1}\), तो यह (R) या \(R^{-1}\) में है। चरण 2: दोनों ही स्थितियों में उल्टा युग्म ((b,a)) दूसरे या उसी भाग से संघ में आ जाएगा। चरण 3: इसलिए \(R\cup R^{-1}\) हमेशा सममित होता है।
If \((a,b)\in R\), reflexivity gives \((b,b)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
The pairs ((a,b)) and ((b,b)) imply \((a,b)\in R\circ R\).
Step 3
Exam Tip
Thus every pair of (R) also belongs to \(R\circ R\). चरण 1: यदि \((a,b)\in R\), तो प्रतिवर्तिता से \((b,b)\in R\)। चरण 2: ((a,b)) और ((b,b)) मिलकर \((a,b)\in R\circ R\) देते हैं। चरण 3: इसलिए (R) का हर युग्म \(R\circ R\) में भी आता है।
\((a,c)\in R\circ R\) means there is some (b) such that \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (R) is transitive, \((a,c)\in R\).
Step 3
Exam Tip
Hence \(R\circ R\subseteq R\). चरण 1: \((a,c)\in R\circ R\) का अर्थ है कि कोई (b) है जिसके लिए \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\)। चरण 2: (R) संक्रामी है, इसलिए \((a,c)\in R\)। चरण 3: इसलिए \(R\circ R\) हमेशा (R) का उपसमुच्चय होगा।
For composition, we need linked pairs of the form ((a,b)) and ((b,c)).
Step 2
Why this answer is correct
Here ((1,2)) and ((2,3)) combine to give ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
No other linked chain exists, so (R\circ R={(1,3)}). चरण 1: संयोजन के लिए ((a,b)) और ((b,c)) जैसे जुड़े युग्म चाहिए। चरण 2: यहां ((1,2)) और ((2,3)) जुड़कर ((1,3)) देते हैं। चरण 3: कोई और जुड़ी हुई शृंखला नहीं है, इसलिए (R\circ R={(1,3)})।
A pair enters \(R\circ R\) when a suitable middle element exists. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) जुड़े हुए युग्म हैं। चरण 2: इनसे संयोजन में ((1,1)) मिलता है। चरण 3: \(R\circ R\) में वही युग्म आते हैं जिनके बीच कोई मध्य अवयव मिल जाए।
Since ((1,3)) is absent, the relation is not transitive. चरण 1: संबंध में ((1,2)) और ((2,3)) दोनों मौजूद हैं। चरण 2: संक्रामकता के लिए इनके आधार पर ((1,3)) होना चाहिए। चरण 3: ((1,3)) नहीं है, इसलिए संबंध संक्रामी नहीं है।
