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The (5) diagonal pairs are independently optional.
Step 2
Why this answer is correct
For \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) unordered pairs of distinct elements, each gives three choices.
Step 3
Exam Tip
Hence the total number is \(2^5\cdot3^{10}\). चरण 1: (5) विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने या छोड़े जा सकते हैं। चरण 2: अलग अवयवों के \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) जोड़ों में प्रत्येक के लिए तीन चुनाव होते हैं। चरण 3: इसलिए कुल संख्या \(2^5\cdot3^{10}\) होगी।
Removing the empty relation from \(2^6\) gives \(2^6-1\). चरण 1: अप्रतिवर्ती होने से कोई विकर्ण युग्म नहीं होगा। चरण 2: सममितता के लिए (6) गैर-विकर्ण विपरीत युग्म समूह स्वतंत्र हैं। चरण 3: कुल \(2^6\) में से रिक्त संबंध हटाने पर \(2^6-1\) संबंध मिलते हैं।
If symmetry and antisymmetry hold together, no off-diagonal pair can be included.
Step 2
Why this answer is correct
Only diagonal pairs may be chosen freely.
Step 3
Exam Tip
With (4) diagonal pairs, the count is \(2^4\). चरण 1: सममितता और प्रतिसममितता साथ हों तो अलग अवयवों के बीच कोई युग्म नहीं रखा जा सकता। चरण 2: केवल विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। चरण 3: (4) विकर्ण युग्मों से \(2^4\) संबंध बनते हैं।
Reflexivity forces all diagonal pairs to be present.
Step 2
Why this answer is correct
Symmetry together with antisymmetry allows no pair between distinct elements.
Step 3
Exam Tip
Only the identity relation is possible, so the number is (1). चरण 1: प्रतिवर्तिता सभी विकर्ण युग्मों को अनिवार्य बनाती है। चरण 2: सममित और प्रतिसममित दोनों होने से अलग अवयवों के बीच कोई युग्म नहीं हो सकता। चरण 3: केवल पहचान संबंध संभव है, इसलिए संख्या (1) है।
An equivalence relation partitions a set into disjoint classes.
Step 2
Why this answer is correct
The number of partitions of a (5)-element set is (52).
Step 3
Exam Tip
Therefore the number of equivalence relations is (52). चरण 1: समतुल्यता संबंध समुच्चय को असंयुक्त वर्गों में बांटता है। चरण 2: (5) अवयवों के सभी संभावित विभाजनों की संख्या (52) होती है। चरण 3: इसलिए समतुल्यता संबंधों की संख्या भी (52) होगी।
Exactly two classes means splitting (5) elements into two non-empty parts.
Step 2
Why this answer is correct
There are \(2^5-2=30\) non-empty proper subsets, but each partition is counted twice.
Step 3
Exam Tip
Hence the number is \(\frac{30}{2}=15\). चरण 1: ठीक दो वर्ग बनाने का अर्थ है (5) अवयवों को दो अरिक्त भागों में बांटना। चरण 2: अरिक्त उचित उपसमुच्चय \(2^5-2=30\) हैं, पर हर विभाजन दो बार गिना जाता है। चरण 3: इसलिए संख्या \(\frac{30}{2}=15\) है।
A three-element class can be chosen in \(\binom{6}{3}=20\) ways.
Step 2
Why this answer is correct
The remaining three elements automatically form the other class.
Step 3
Exam Tip
Since interchanging the two classes does not create a new partition, the count is \(\frac{20}{2}=10\). चरण 1: एक तीन-अवयवी वर्ग चुनने के तरीके \(\binom{6}{3}=20\) हैं। चरण 2: दूसरा वर्ग अपने आप बचा हुआ बन जाता है। चरण 3: दोनों वर्गों की अदला-बदली से वही विभाजन मिलता है, इसलिए संख्या \(\frac{20}{2}=10\) है।
We must split six elements into three two-element classes.
Step 2
Why this answer is correct
The count is (\frac{6!}{(2!)3\cdot3!}).
Step 3
Exam Tip
This equals (15), so there are (15) such equivalence relations. चरण 1: छह अवयवों को तीन दो-अवयवी वर्गों में बांटना है। चरण 2: गिनती (\frac{6!}{(2!)3\cdot3!}) होगी। चरण 3: इसका मान (15) है, इसलिए इतने समतुल्यता संबंध बनेंगे।
The number of partitions of three units is (5), so the answer is (5). चरण 1: (1,2,3) को एक संयुक्त समूह मान लें। चरण 2: अब तीन इकाइयां हैं: ({1,2,3},4,5)। चरण 3: तीन इकाइयों के विभाजन (5) होते हैं, इसलिए उत्तर (5) है।
Element (3) must not be in that block, while (4) and (5) may be placed freely.
Step 3
Exam Tip
Partitions with (1,2) together are (15), and those with (1,2,3) together are (5), so the answer is (15-5=10). चरण 1: पहले (1) और (2) को साथ रखकर एक समूह मानें। चरण 2: (3) को उस समूह से अलग रहना है, जबकि (4) और (5) कहीं भी जुड़ सकते हैं। चरण 3: कुल साथ वाले विभाजन (15) हैं और (1,2,3) साथ वाले (5) हैं, इसलिए (15-5=10) मिलते हैं।
Its class contains all integers of the form (8k+5).
Step 3
Exam Tip
Converting a negative representative to a positive remainder helps avoid mistakes. चरण 1: (-3) को (8) के शेषफल रूप में (8k+5) लिखा जा सकता है। चरण 2: उसी वर्ग में वे सभी पूर्णांक होंगे जिनका शेष (5) है। चरण 3: ऋणात्मक प्रतिनिधि को धनात्मक शेषफल में बदलना परीक्षा में गलती कम करता है।
\(3a+4b\equiv 0 \pmod{7}\) gives \(a\equiv b \pmod{7}\), so reversing the order also works.
Step 3
Exam Tip
Same-remainder relations are transitive, so this is an equivalence relation. चरण 1: (3a+4a=7a), इसलिए प्रतिवर्तिता है। चरण 2: \(3a+4b\equiv 0 \pmod{7}\) से \(a\equiv b \pmod{7}\) मिलता है, इसलिए दिशा बदलने पर भी शर्त रहती है। चरण 3: समान शेषफल का संबंध संक्रामी होता है, इसलिए यह समतुल्यता संबंध है।
(2a+2b) treats (a) and (b) equally, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
The condition means (a+b) is even, so (a) and (b) have the same parity; hence transitivity holds. चरण 1: (2a+2a=4a), इसलिए प्रतिवर्तिता है। चरण 2: (2a+2b) में (a) और (b) की भूमिका समान है, इसलिए सममितता है। चरण 3: शर्त का अर्थ है (a+b) सम है, यानी दोनों की समता समान है; इसलिए संक्रामकता भी है।
Therefore the class of (1) is the set of all odd integers.
Step 3
Exam Tip
In parity-based relations, identify even and odd groups first. चरण 1: (1+b) सम तभी होगा जब (b) विषम हो। चरण 2: इसलिए (1) का वर्ग सभी विषम पूर्णांकों का समुच्चय है। चरण 3: समता आधारित संबंधों में वर्गों को सम और विषम समूहों में पहचानें।
A number (x) must satisfy \(x-\frac{1}{2}\in\mathbb{Z}\).
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(x=\frac{1}{2}+n\), where \(n\in\mathbb{Z}\).
Step 3
Exam Tip
To write the class, add all allowed integer differences to the representative. चरण 1: किसी (x) के लिए \(x-\frac{1}{2}\) पूर्णांक होना चाहिए। चरण 2: इसलिए \(x=\frac{1}{2}+n\), जहां \(n\in\mathbb{Z}\)। चरण 3: वर्ग लिखते समय प्रतिनिधि में अनुमत पूर्णांक अंतर जोड़ें।
Two classes are equal when the difference of their representatives is rational.
Step 2
Why this answer is correct
(\(\sqrt{2}+3\)-\sqrt{2}=3), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Therefore \([\sqrt{2}+3]=[\sqrt{2}]\). चरण 1: दो वर्ग समान होंगे जब उनके प्रतिनिधियों का अंतर परिमेय हो। चरण 2: (\(\sqrt{2}+3\)-\sqrt{2}=3), जो परिमेय है। चरण 3: इसलिए \([\sqrt{2}+3]=[\sqrt{2}]\) है।
Negative zero and positive zero are not distinct elements. चरण 1: (xR0) के लिए \(x^2=0^2\) होना चाहिए। चरण 2: इससे \(x^2=0\), इसलिए केवल (x=0) मिलेगा। चरण 3: शून्य का ऋणात्मक और धनात्मक रूप अलग अवयव नहीं होते।
For every (a), \(\lfloor a\rfloor=\lfloor a\rfloor\), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Equality remains true when reversed, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
Having the same greatest-integer value passes through a middle element, so it is transitive. चरण 1: हर (a) के लिए \(\lfloor a\rfloor=\lfloor a\rfloor\), इसलिए प्रतिवर्तिता है। चरण 2: बराबरी पलटने पर भी सही रहती है, इसलिए सममितता है। चरण 3: समान पूर्णांक भाग की शृंखला आगे भी समान पूर्णांक भाग देती है, इसलिए संक्रामकता है।
\(\frac{5}{2}=2.5\) has greatest-integer value (2).
Step 2
Why this answer is correct
Real numbers with greatest-integer value (2) lie in ([2,3)).
Step 3
Exam Tip
Do not include the right endpoint (3), because its greatest-integer value is (3). चरण 1: \(\frac{5}{2}=2.5\) का पूर्णांक भाग (2) है। चरण 2: जिन वास्तविक संख्याओं का पूर्णांक भाग (2) है, वे ([2,3)) में आती हैं। चरण 3: दाएं सिरे (3) को शामिल न करें क्योंकि उसका पूर्णांक भाग (3) है।
A. पहचान संबंध और समतुल्यता संबंध/identity relation and equivalence relation
Step 1
Concept
(|a-b|=0) holds exactly when (a=b).
Step 2
Why this answer is correct
Thus the relation contains only pairs of the form ((a,a)).
Step 3
Exam Tip
It is the identity relation and is reflexive, symmetric and transitive. चरण 1: (|a-b|=0) तभी होता है जब (a=b)। चरण 2: इसका अर्थ है कि संबंध में केवल ((a,a)) प्रकार के युग्म हैं। चरण 3: यह पहचान संबंध है और प्रतिवर्ती, सममित तथा संक्रामी भी है।
A. न प्रतिवर्ती, न सममित, पर संक्रामी/neither reflexive nor symmetric but transitive
Step 1
Concept
(|a|<|a|) is never true, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(|1|<|2|) is true but (|2|<|1|) is false, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
If (|a|<|b|) and (|b|<|c|), then (|a|<|c|), so it is transitive. चरण 1: (|a|<|a|) कभी सही नहीं, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। चरण 2: (|1|<|2|) सही है पर (|2|<|1|) गलत, इसलिए सममित नहीं है। चरण 3: यदि (|a|<|b|) और (|b|<|c|), तो (|a|<|c|), इसलिए संक्रामी है।
The condition \(a^2+b^2=1\) is unchanged when (a) and (b) are interchanged, so it is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
\(2a^2=1\) is not true for every (a), so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
((1,0)) and ((0,1)) belong, but ((1,1)) does not, so it is not transitive. चरण 1: \(a^2+b^2=1\) में (a) और (b) की जगह बदलने से शर्त नहीं बदलती, इसलिए सममितता है। चरण 2: हर (a) पर \(2a^2=1\) सही नहीं, इसलिए प्रतिवर्तिता नहीं है। चरण 3: ((1,0)) और ((0,1)) हैं, पर ((1,1)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है।
A. सममित पर न प्रतिवर्ती और न संक्रामी/symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
If (a+b=6), then (b+a=6), so the relation is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
Not all diagonal pairs are present, for example ((1,1)) is absent, so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
From ((1,5)) and ((5,1)), transitivity would need ((1,1)), which is absent. चरण 1: (a+b=6) हो तो (b+a=6) भी होगा, इसलिए सममित है। चरण 2: सभी ((a,a)) नहीं हैं, जैसे ((1,1)) नहीं है, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। चरण 3: ((1,5)) और ((5,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामी नहीं है।
A. सममित है पर प्रतिवर्ती नहीं/symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
If \(a+b\le6\), then \(b+a\le6\), so the relation is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
((5,5)) is absent because \(10\le6\) is false, so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
Since ((5,1)) and ((1,5)) are present but ((5,5)) is absent, it is not transitive. चरण 1: \(a+b\le6\) होने पर \(b+a\le6\) भी होगा, इसलिए सममितता है। चरण 2: ((5,5)) नहीं है क्योंकि \(10\le6\) गलत है, इसलिए प्रतिवर्तिता नहीं है। चरण 3: ((1,5)) और ((5,1)) हैं, पर ((1,1)) है; फिर भी ((2,4)) और ((4,2)) से समस्या नहीं; संक्रामकता को ((5,1)) और ((1,5)) से ((5,5)) चाहिए, जो नहीं है।
Modulo (4), the counts are remainder (0:1), remainder (1:2), remainder (2:1), and remainder (3:1).
Step 2
Why this answer is correct
Sum divisible by (4) needs remainder pairs ((0,0),(1,3),(3,1),(2,2)).
Step 3
Exam Tip
The count is \(1\cdot1+2\cdot1+1\cdot2+1\cdot1=6\). चरण 1: (4) से भाग देने पर शेष (0) वाला (4), शेष (1) वाले (1,5), शेष (2) वाला (2), और शेष (3) वाला (3) है। चरण 2: योग विभाज्य होने के लिए शेष जोड़े ((0,0),(1,3),(3,1),(2,2)) चाहिए। चरण 3: गिनती \(1\cdot1+2\cdot1+1\cdot2+1\cdot1=6\) होगी।
Each of the three remainder classes modulo (3) has two elements.
Step 2
Why this answer is correct
Only ordered pairs with the same remainder belong to the relation.
Step 3
Exam Tip
The total number is \(2^2+2^2+2^2=12\). चरण 1: (3) से भाग देने पर तीनों शेष वर्गों में दो-दो अवयव हैं। चरण 2: समान शेष वाले क्रमित युग्म ही संबंध में आएंगे। चरण 3: कुल संख्या \(2^2+2^2+2^2=12\) होगी।
(\gcd(2,3)=1), so ((2,3)) belongs to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
(\gcd(2,4)=2), so ((2,4)) does not belong.
Step 3
Exam Tip
(\gcd(5,6)=1), so ((5,6)) also belongs. चरण 1: (\gcd(2,3)=1), इसलिए ((2,3)) संबंध में है। चरण 2: (\gcd(2,4)=2), इसलिए ((2,4)) संबंध में नहीं है। चरण 3: (\gcd(5,6)=1), इसलिए ((5,6)) भी संबंध में है।
An upper bound must be divisible by both (6) and (8).
Step 2
Why this answer is correct
In (A), (24) works, while (12) is not divisible by (8).
Step 3
Exam Tip
Therefore the least upper bound is (24). चरण 1: ऊपरी बाध्य वह होगा जिसे (6) और (8) दोनों विभाजित करें। चरण 2: (A) में (24) ऐसा अवयव है और (12) को (8) विभाजित नहीं करता। चरण 3: इसलिए न्यूनतम ऊपरी बाध्य (24) है।
Under divisibility, the greatest among them is (4). चरण 1: निचला बाध्य वह है जो (8) और (12) दोनों को विभाजित करे। चरण 2: (1,2,4) ऐसे अवयव हैं। चरण 3: विभाज्यता क्रम में इनमें सबसे बड़ा (4) है।
A maximal element has no distinct element above it in the set.
Step 2
Why this answer is correct
Neither (12) nor (18) divides another distinct element of (A).
Step 3
Exam Tip
Elements (2,4,6) have elements above them, so the maximal elements are (12) and (18). चरण 1: अधिकतम अवयव वह है जिसके ऊपर समुच्चय में कोई अलग अवयव न हो। चरण 2: (12) को (A) का कोई बड़ा अवयव विभाजित रूप में ऊपर नहीं ले जाता और (18) के लिए भी ऐसा ही है। चरण 3: (2,4,6) ऊपर किसी न किसी अवयव से जुड़े हैं, इसलिए अधिकतम अवयव (12) और (18) हैं।
A minimal element has no distinct element below it.
Step 2
Why this answer is correct
There is no distinct element of (A) below (2).
Step 3
Exam Tip
Each of (4,6,12,18) has (2) or another element below it, so there is only (1) minimal element. चरण 1: न्यूनतम अवयव के नीचे समुच्चय का कोई अलग अवयव नहीं होना चाहिए। चरण 2: (2) के नीचे कोई अलग अवयव नहीं है। चरण 3: (4,6,12,18) सभी के नीचे (2) या कोई अन्य अवयव है, इसलिए केवल (1) न्यूनतम अवयव है।
Two elements are comparable if one divides the other.
Step 2
Why this answer is correct
The comparable pairs are ({1,2},{1,3},{1,6},{2,6},{3,6}).
Step 3
Exam Tip
({2,3}) is not comparable, so the count is (5). चरण 1: तुलनीय होने के लिए एक अवयव दूसरे को विभाजित करे। चरण 2: जोड़े हैं ({1,2},{1,3},{1,6},{2,6},{3,6})। चरण 3: ({2,3}) तुलनीय नहीं है, इसलिए कुल (5) तुलनीय जोड़े हैं।
In a chain, every two elements must be comparable.
Step 2
Why this answer is correct
\(1\mid2\mid6\) and \(1\mid3\mid6\) are chains of three elements.
Step 3
Exam Tip
Since (2) and (3) are not comparable, a four-element chain is impossible. चरण 1: एक श्रृंखला में हर दो अवयव तुलनीय होने चाहिए। चरण 2: \(1\mid2\mid6\) और \(1\mid3\mid6\) तीन-तीन अवयवों की श्रृंखलाएं हैं। चरण 3: (2) और (3) तुलनीय नहीं हैं, इसलिए चार अवयवों की श्रृंखला नहीं बन सकती।
An upper bound must be divisible by both (2) and (8).
Step 2
Why this answer is correct
(8) and (16) are upper bounds.
Step 3
Exam Tip
Under divisibility, the least among them is (8). चरण 1: ऊपरी बाध्य वह है जिसे (2) और (8) दोनों विभाजित करें। चरण 2: (8) और (16) ऐसे ऊपरी बाध्य हैं। चरण 3: विभाज्यता क्रम में इनमें न्यूनतम (8) है।
Under divisibility, the greatest among them is (4). चरण 1: निचला बाध्य (4) और (16) दोनों को विभाजित करेगा। चरण 2: (1,2,4) सभी निचले बाध्य हैं। चरण 3: विभाज्यता क्रम में इनमें सबसे बड़ा (4) है।
Combining both inclusions gives \(R\circ R=R\). चरण 1: प्रतिवर्तिता से \(R\subseteq R\circ R\) मिलता है। चरण 2: संक्रामकता से \(R\circ R\subseteq R\) मिलता है। चरण 3: दोनों समावेशन मिलाकर \(R\circ R=R\) होता है।
There is no other two-step chain, so this is \(R\circ R\). चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मिलता है। चरण 2: ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) मिलता है। चरण 3: दो चरणों की और कोई शृंखला नहीं है, इसलिए यही \(R\circ R\) है।
A triple composition represents a three-step chain.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(1\to2\to3\to4\) is the only three-step chain.
Step 3
Exam Tip
Therefore (R\circ R\circ R={(1,4)}). चरण 1: तीन बार संयोजन का अर्थ तीन चरणों की शृंखला है। चरण 2: यहां \(1\to2\to3\to4\) एकमात्र तीन-चरण शृंखला है। चरण 3: इसलिए (R\circ R\circ R={(1,4)}) होगा।
\(1\to2\to1\) gives ((1,1)), and \(1\to2\to3\) gives ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
\(3\to2\to1\) gives ((3,1)).
Step 3
Exam Tip
There is no two-step chain from (1) to (2), so ((1,2)) is not in \(R\circ R\). चरण 1: \(1\to2\to1\) से ((1,1)) और \(1\to2\to3\) से ((1,3)) मिलता है। चरण 2: \(3\to2\to1\) से ((3,1)) भी मिलता है। चरण 3: (1) से (2) तक दो चरणों की शृंखला नहीं बनती, इसलिए ((1,2)) नहीं होगा।
A. यह \(R\circ R\) के बराबर होगा/it will be equal to \(R\circ R\)
Step 1
Concept
For a symmetric relation, \(R^{-1}=R\).
Step 2
Why this answer is correct
So in \(R\circ R^{-1}\), we may replace \(R^{-1}\) by (R).
Step 3
Exam Tip
Hence \(R\circ R^{-1}=R\circ R\). चरण 1: सममित संबंध के लिए \(R^{-1}=R\) होता है। चरण 2: इसलिए \(R\circ R^{-1}\) में \(R^{-1}\) की जगह (R) रख सकते हैं। चरण 3: अतः \(R\circ R^{-1}=R\circ R\)।
Reversing twice brings each pair back to its original direction.
Step 3
Exam Tip
Therefore (\(R^{-1}\)^{-1}=R). चरण 1: प्रतिलोम लेने पर हर युग्म की दिशा बदलती है। चरण 2: दो बार दिशा बदलने पर युग्म अपनी मूल दिशा में लौट आता है। चरण 3: इसलिए (\(R^{-1}\)^{-1}=R) होता है।
Its reverse will then lie in \(R^{-1}\) or in \(S^{-1}\).
Step 3
Exam Tip
Hence (\(R\cup S\)^{-1}=R^{-1}\cup S^{-1}). चरण 1: संघ में जो युग्म (R) या (S) में होता है, उसका उल्टा प्रतिलोम में आएगा। चरण 2: यदि युग्म (R) से आया है तो उल्टा \(R^{-1}\) में होगा, और यदि (S) से आया है तो \(S^{-1}\) में होगा। चरण 3: इसलिए प्रतिलोम \(R^{-1}\cup S^{-1}\) है।
A pair is in the intersection only when it belongs to both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
Its reverse then belongs to both \(R^{-1}\) and \(S^{-1}\).
Step 3
Exam Tip
Therefore (\(R\cap S\)^{-1}=R^{-1}\cap S^{-1}). चरण 1: प्रतिच्छेद में युग्म तभी होगा जब वह (R) और (S) दोनों में हो। चरण 2: उसका उल्टा तब \(R^{-1}\) और \(S^{-1}\) दोनों में होगा। चरण 3: इसलिए (\(R\cap S\)^{-1}=R^{-1}\cap S^{-1}) है।
Therefore \((a,b)\in S^{-1}\), so \(R^{-1}\subseteq S^{-1}\). चरण 1: यदि \((a,b)\in R^{-1}\), तो \((b,a)\in R\)। चरण 2: \(R\subseteq S\) होने से \((b,a)\in S\) भी होगा। चरण 3: इसलिए \((a,b)\in S^{-1}\), अतः \(R^{-1}\subseteq S^{-1}\)।
Combining the first two factors into (R) shows \(R^3\subseteq R\). चरण 1: संक्रामकता से \(R\circ R\subseteq R\) मिलता है। चरण 2: \(R^3=R\circ R\circ R\) है। चरण 3: पहले दो चरणों को (R) में समेटने पर \(R^3\subseteq R\) मिलता है।
Transitivity requires ((1,1)) from these two pairs.
Step 3
Exam Tip
Therefore ((1,1)) is a compulsory pair to add. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) संबंध में हैं। चरण 2: संक्रामकता के लिए इनसे ((1,1)) का होना आवश्यक है। चरण 3: इसलिए ((1,1)) उन युग्मों में से है जिसे अवश्य जोड़ना पड़ेगा।
There is a chain \(1\to2\), \(2\to3\), and \(3\to4\).
Step 2
Why this answer is correct
The transitive closure adds all reachable pairs.
Step 3
Exam Tip
Since (4) is reachable from (1), ((1,4)) will be included. चरण 1: \(1\to2\), \(2\to3\), और \(3\to4\) की शृंखला बनती है। चरण 2: संक्रामी आवरण सभी पहुंच योग्य युग्म जोड़ता है। चरण 3: इसलिए (1) से (4) तक पहुंच होने के कारण ((1,4)) शामिल होगा।
Because of ((1,2)) and ((2,3)), elements (1,2,3) must be in one class.
Step 2
Why this answer is correct
Element (4) remains a singleton class.
Step 3
Exam Tip
The class ({1,2,3}) gives \(3^2=9\) pairs and ({4}) gives (1), so the total is (10). चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) के कारण (1,2,3) एक ही वर्ग में होंगे। चरण 2: (4) अलग अकेला वर्ग रहेगा। चरण 3: ({1,2,3}) से \(3^2=9\) युग्म और ({4}) से (1) युग्म मिलकर (10) युग्म देते हैं।
The first class gives \(3^2=9\) pairs and the second gives \(2^2=4\), so the total is (13). चरण 1: (1,2,3) एक वर्ग में जुड़ते हैं। चरण 2: (4,5) दूसरा वर्ग बनाते हैं। चरण 3: पहले वर्ग से \(3^2=9\) और दूसरे से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं, कुल (13)।
The given pairs connect (1,2,3) into one equivalence class.
Step 2
Why this answer is correct
Element (4) is not connected to them, so it forms a singleton class.
Step 3
Exam Tip
The three-element class gives (9) pairs and the singleton class gives (1), totaling (10). चरण 1: दिए गए युग्म (1,2,3) को एक ही वर्ग में जोड़ देते हैं। चरण 2: (4) किसी से जुड़ा नहीं है, इसलिए वह अकेला वर्ग बनेगा। चरण 3: (3) अवयवों के वर्ग से (9) युग्म और अकेले वर्ग से (1) युग्म, कुल (10) होंगे।
