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A. परावर्ती है पर न सममित न संक्रामक/Reflexive but neither symmetric nor transitive
Step 1
Concept
All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) is present but ((2,1)) is not, so symmetry fails.
Step 3
Exam Tip
((2,3)) and ((3,4)) are present but ((2,4)) is missing, so transitivity also fails. चरण 1: सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। चरण 2: ((1,2)) है लेकिन ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममितता नहीं है। चरण 3: ((2,3)) और ((3,4)) हैं पर ((2,4)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता भी नहीं है।
A. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
Every number divides itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a\mid b\) and \(b\mid c\), then \(a\mid c\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
\(2\mid4\) is true but \(4\mid2\) is not, so it is not symmetric. चरण 1: हर संख्या स्वयं को विभाजित करती है, इसलिए संबंध परावर्ती है। चरण 2: यदि \(a\mid b\) और \(b\mid c\), तो \(a\mid c\), इसलिए संक्रामकता है। चरण 3: \(2\mid4\) सही है पर \(4\mid2\) सही नहीं, इसलिए सममितता नहीं है।
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
(a-a=0) is divisible by (7), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a-b) is divisible by (7), then (b-a) is also divisible by (7), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
The sum of two differences divisible by (7) is also divisible by (7), so it is transitive. चरण 1: (a-a=0) (7) से विभाज्य है, इसलिए परावर्तन है। चरण 2: यदि (a-b) (7) से विभाज्य है, तो (b-a) भी (7) से विभाज्य है, इसलिए सममितता है। चरण 3: दो (7) से विभाज्य अंतरों का योग भी (7) से विभाज्य होता है, इसलिए संक्रामकता है।
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
\(|a-a|=0\le2\), so every element is related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
(|a-b|=|b-a|), so the relation is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,3)) and ((3,5)) exist but ((1,5)) does not, so transitivity fails. चरण 1: \(|a-a|=0\le2\), इसलिए हर तत्व स्वयं से संबंधित है। चरण 2: (|a-b|=|b-a|), इसलिए संबंध सममित है। चरण 3: ((1,3)) और ((3,5)) हैं पर ((1,5)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता असफल है।
For every (a), \(a^2=a^2\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a^2=b^2\), then \(b^2=a^2\), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
Equality of squares passes through a third element, so it is transitive. चरण 1: हर (a) के लिए \(a^2=a^2\), इसलिए परावर्तन है। चरण 2: \(a^2=b^2\) होने पर \(b^2=a^2\), इसलिए सममितता है। चरण 3: समान वर्ग का संबंध तीसरे तत्व तक भी जाता है, इसलिए संक्रामकता पूरी होती है।
(a-a=0) is rational, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a-b) is rational, then (b-a) is rational, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
The sum of rational differences is rational, so it is transitive. चरण 1: (a-a=0) परिमेय है, इसलिए संबंध परावर्ती है। चरण 2: यदि (a-b) परिमेय है, तो (b-a) भी परिमेय है, इसलिए सममितता है। चरण 3: परिमेय अंतरों का योग परिमेय रहता है, इसलिए संक्रामकता है।
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
(a-a=0) is rational, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a-b) is irrational, then (b-a) is irrational, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
\(0R\sqrt{2}\) and \(\sqrt{2}R0\) hold but (0R0) does not, so transitivity fails. चरण 1: (a-a=0) परिमेय है, इसलिए परावर्ती नहीं है। चरण 2: यदि (a-b) अपरिमेय है तो (b-a) भी अपरिमेय है, इसलिए सममितता है। चरण 3: \(0R\sqrt{2}\) और \(\sqrt{2}R0\) सही हैं पर (0R0) सही नहीं, इसलिए संक्रामकता टूटती है।
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
(a+a=5) is not true for every (a), so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a+b=5), then (b+a=5), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,4)) and ((4,1)) exist but ((1,1)) does not, so it is not transitive. चरण 1: हर (a) के लिए (a+a=5) नहीं होता, इसलिए परावर्तन नहीं है। चरण 2: (a+b=5) होने पर (b+a=5) भी होगा, इसलिए सममितता है। चरण 3: ((1,4)) और ((4,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है।
The condition (a=b) gives all self-pairs, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The condition (a+b=5) is unchanged by reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
The relation forms closed classes ({1,4}) and ({2,3}), so it is also transitive. चरण 1: (a=b) से सभी स्वयुग्म मिलते हैं, इसलिए परावर्तन है। चरण 2: (a+b=5) में क्रम बदलने से शर्त नहीं बदलती, इसलिए सममितता है। चरण 3: संबंध ({1,4}) और ({2,3}) जैसे बंद वर्ग बनाता है, इसलिए संक्रामकता भी है।
There are \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) unordered pairs of distinct elements.
Step 3
Exam Tip
For symmetry, each such pair is either included in both directions or excluded, so the number is \(2^{10}\). चरण 1: परावर्तन के कारण (5) स्वयुग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: अलग-अलग तत्वों के \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) अनियोजित जोड़े बचते हैं। चरण 3: सममितता में हर ऐसा जोड़ा साथ चुना या छोड़ा जाता है, इसलिए संख्या \(2^{10}\) है।
There are (\frac{n(n-1)}{2}) unordered pairs of distinct elements.
Step 3
Exam Tip
Total independent choices are (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}). चरण 1: (n) स्वयुग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। चरण 2: अलग-अलग तत्वों के (\frac{n(n-1)}{2}) अनियोजित जोड़े हैं। चरण 3: कुल स्वतंत्र चुनाव (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}) हैं।
Reflexive relations have (4) compulsory self-pairs, so their number is \(2^{12}\).
Step 3
Exam Tip
The ratio is \(2^{12}:2^{16}=1:2^4\). चरण 1: कुल संबंधों की संख्या \(2^{16}\) है। चरण 2: परावर्ती संबंधों में (4) स्वयुग्म अनिवार्य हैं, इसलिए संख्या \(2^{12}\) है। चरण 3: अनुपात \(2^{12}:2^{16}=1:2^4\) होगा।
\(a\equiv b \pmod{3}\) means both have the same remainder on division by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(1) and (4) both leave remainder (1).
Step 3
Exam Tip
Hence the equivalence class of (1) is ({1,4}). चरण 1: \(a\equiv b \pmod{3}\) का अर्थ है कि दोनों का (3) से भाग देने पर शेषफल समान हो। चरण 2: (1) और (4) दोनों का शेषफल (1) है। चरण 3: इसलिए (1) का तुल्यता वर्ग ({1,4}) है।
In an equivalence relation, all ordered pairs within each class are included.
Step 2
Why this answer is correct
({1,2}) gives \(2^2=4\) pairs and ({3,4}) gives \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (4+4=8). चरण 1: तुल्यता संबंध में हर वर्ग के भीतर सभी क्रमित युग्म शामिल होते हैं। चरण 2: ({1,2}) से \(2^2=4\) और ({3,4}) से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। चरण 3: कुल (4+4=8) युग्म होंगे।
All ordered pairs are formed inside each equivalence class.
Step 2
Why this answer is correct
The first class gives \(3^2=9\) pairs and the second gives \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
The total number is (9+4=13). चरण 1: प्रत्येक तुल्यता वर्ग के भीतर सभी क्रमित युग्म बनते हैं। चरण 2: पहले वर्ग से \(3^2=9\) और दूसरे वर्ग से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। चरण 3: कुल संख्या (9+4=13) होगी।
Transitivity requires ((1,3)) from ((1,2)) and ((2,3)).
Step 2
Why this answer is correct
Adding only ((1,3)) creates no further missing forced chain.
Step 3
Exam Tip
Hence this is the smallest transitive extension. चरण 1: संक्रामकता के लिए ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। चरण 2: केवल ((1,3)) जोड़ने पर कोई नई जरूरी शृंखला नहीं टूटती। चरण 3: इसलिए सबसे छोटा संक्रामक विस्तार यही है।
Then ((1,4)) is also forced by ((1,3)) and ((3,4)). चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। चरण 2: ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) चाहिए। चरण 3: फिर ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी अनिवार्य हो जाता है।
No chain involves (3), so these are the minimum additions. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए। चरण 2: ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए। चरण 3: (3) से कोई शृंखला नहीं बनती, इसलिए यही न्यूनतम जोड़ हैं।
A. \(R\cap S\) परावर्ती होगा/\(R\cap S\) will be reflexive
Step 1
Concept
Since (R) is reflexive, every ((a,a)) belongs to (R).
Step 2
Why this answer is correct
Since (S) is reflexive, every ((a,a)) belongs to (S).
Step 3
Exam Tip
Therefore all self-pairs belong to \(R\cap S\), so it is reflexive. चरण 1: परावर्ती होने से (R) में हर ((a,a)) है। चरण 2: परावर्ती होने से (S) में भी हर ((a,a)) है। चरण 3: इसलिए हर स्वयुग्म दोनों में साझा होगा और \(R\cap S\) परावर्ती रहेगा।
A. \(R\cap S\) संक्रामक होगा/\(R\cap S\) will be transitive
Step 1
Concept
If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R\cap S\), they are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity of both (R) and (S) gives ((a,c)) in both.
Step 3
Exam Tip
Hence ((a,c)) is also in \(R\cap S\). चरण 1: यदि ((a,b)) और ((b,c)) दोनों \(R\cap S\) में हैं, तो वे (R) और (S) दोनों में हैं। चरण 2: (R) और (S) दोनों की संक्रामकता से ((a,c)) दोनों में होगा। चरण 3: इसलिए ((a,c)) \(R\cap S\) में भी होगा।
A. \(R\cup S\) सममित होगा/\(R\cup S\) will be symmetric
Step 1
Concept
If a pair is in \(R\cup S\), it is in (R) or in (S).
Step 2
Why this answer is correct
In that relation, symmetry gives the reverse pair.
Step 3
Exam Tip
Therefore the reverse pair is also in \(R\cup S\), so the union is symmetric. चरण 1: यदि कोई युग्म \(R\cup S\) में है, तो वह (R) या (S) में होगा। चरण 2: जिस संबंध में युग्म है, उसके सममित होने से उल्टा युग्म भी उसी में होगा। चरण 3: इसलिए उल्टा युग्म \(R\cup S\) में भी होगा और संघ सममित रहेगा।
A. यह हमेशा संक्रामक नहीं होता/It is not always transitive
Step 1
Concept
Transitivity needs a third pair from two connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
In \(R\cup S\), one pair may come from (R) and the other from (S).
Step 3
Exam Tip
The required third pair may be missing, so the union need not be transitive. चरण 1: संक्रामकता में जुड़े हुए दो युग्मों से तीसरा युग्म चाहिए। चरण 2: \(R\cup S\) में पहला युग्म (R) से और दूसरा (S) से आ सकता है। चरण 3: तब जरूरी तीसरा युग्म संघ में न भी हो, इसलिए संघ हमेशा संक्रामक नहीं होता।
A. संक्रामक है पर परावर्ती और सममित नहीं/Transitive but neither reflexive nor symmetric
Step 1
Concept
(R^{-1}={(2,1),(3,2),(3,1)}).
Step 2
Why this answer is correct
It has no self-pair and does not contain all reverse pairs.
Step 3
Exam Tip
From ((3,2)) and ((2,1)), ((3,1)) is present, so it is transitive. चरण 1: (R^{-1}={(2,1),(3,2),(3,1)}) होगा। चरण 2: इसमें कोई स्वयुग्म नहीं है और उल्टे युग्म भी पूरे नहीं हैं। चरण 3: ((3,2)) और ((2,1)) से ((3,1)) मौजूद है, इसलिए यह संक्रामक है।
In a symmetric relation, ((b,a)) is present whenever ((a,b)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
The inverse relation reverses all pairs.
Step 3
Exam Tip
Since the reversed pairs are already present, \(R^{-1}=R\). चरण 1: सममित संबंध में ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी होता है। चरण 2: विलोम संबंध सभी युग्मों को उलटता है। चरण 3: पहले से उल्टे युग्म मौजूद होने के कारण \(R^{-1}=R\) होता है।
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(1) and (4) are not prime, so their self-pairs are absent.
Step 2
Why this answer is correct
The condition that both elements are prime is unchanged by reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
The relation is complete inside ({2,3}), so it is transitive. चरण 1: (1) और (4) अभाज्य नहीं हैं, इसलिए उनके स्वयुग्म नहीं आएंगे। चरण 2: दोनों तत्वों के अभाज्य होने की शर्त क्रम बदलने पर नहीं बदलती, इसलिए सममितता है। चरण 3: संबंध केवल ({2,3}) के भीतर पूरा है, इसलिए संक्रामकता बनी रहती है।
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
Self-pairs of (3,4,5) are not in the relation, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The condition that both elements are less than (3) is unchanged by reversal, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
The relation is complete inside ({1,2}), so it is transitive. चरण 1: (3,4,5) के स्वयुग्म संबंध में नहीं होंगे, इसलिए परावर्तन नहीं है। चरण 2: दोनों तत्वों के (3) से छोटे होने की शर्त क्रम बदलने पर सही रहती है, इसलिए सममितता है। चरण 3: संबंध ({1,2}) के भीतर पूरा है, इसलिए संक्रामकता है।
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
For ((1,1)), the maximum is (1), so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The maximum value does not change on reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,5)) and ((5,2)) exist but ((1,2)) does not, so it is not transitive. चरण 1: ((1,1)) में अधिकतम मान (1) है, इसलिए परावर्तन नहीं है। चरण 2: अधिकतम मान क्रम बदलने से नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। चरण 3: ((1,5)) और ((5,2)) हैं पर ((1,2)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है।
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
For ((1,1)), the minimum is (1), so not all self-pairs occur.
Step 2
Why this answer is correct
The minimum value remains the same when order is reversed, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((3,2)) and ((2,4)) exist but ((3,4)) does not, so transitivity fails. चरण 1: ((1,1)) में न्यूनतम मान (1) है, इसलिए सभी स्वयुग्म नहीं मिलते। चरण 2: न्यूनतम मान क्रम बदलने से समान रहता है, इसलिए सममितता है। चरण 3: ((3,2)) और ((2,4)) हैं पर ((3,4)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता असफल है।
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
\(a\cdot a=a^2\ge0\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Since (ab=ba), it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
(1R0) and (0R(-1)) hold but (1R(-1)) does not, so transitivity fails. चरण 1: \(a\cdot a=a^2\ge0\), इसलिए परावर्तन है। चरण 2: (ab=ba), इसलिए सममितता है। चरण 3: (1R0) और (0R(-1)) सही हैं पर (1R(-1)) सही नहीं, इसलिए संक्रामकता नहीं है।
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
\(0\cdot0=0\), so (0) is not related to itself and reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
If (ab>0), then (ba>0), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
The relation stays within positive and negative groups separately, so it is transitive. चरण 1: \(0\cdot0=0\), इसलिए (0) अपने आप से संबंधित नहीं है और परावर्तन नहीं है। चरण 2: (ab>0) होने पर (ba>0), इसलिए सममितता है। चरण 3: यह संबंध धनात्मकों और ऋणात्मकों के अलग-अलग समूहों में बंद रहता है, इसलिए संक्रामकता है।
A. संक्रामक है पर न परावर्ती न सममित/Transitive but neither reflexive nor symmetric
Step 1
Concept
No number is less than itself, so reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
If (a<b), then (b<a) cannot hold, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
From (a<b) and (b<c), we get (a<c), so it is transitive. चरण 1: कोई संख्या स्वयं से छोटी नहीं होती, इसलिए परावर्तन नहीं है। चरण 2: (a<b) होने पर (b<a) नहीं हो सकता, इसलिए सममितता नहीं है। चरण 3: (a<b) और (b<c) से (a<c), इसलिए संक्रामकता है।
A. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
For every (a), \(a\le a\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
\(1\le2\) is true but \(2\le1\) is not, so symmetry fails.
Step 3
Exam Tip
\(a\le b\) and \(b\le c\) imply \(a\le c\), so it is transitive. चरण 1: हर (a) के लिए \(a\le a\), इसलिए परावर्तन है। चरण 2: \(1\le2\) सही है पर \(2\le1\) सही नहीं, इसलिए सममितता नहीं है। चरण 3: \(a\le b\) और \(b\le c\) से \(a\le c\), इसलिए संक्रामकता है।
If (a+b) is even, then (b+a) is even, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
This is the same-parity relation, so it is transitive too. चरण 1: (a+a=2a) सम है, इसलिए परावर्तन है। चरण 2: (a+b) सम होने पर (b+a) भी सम है, इसलिए सममितता है। चरण 3: यह समान सम-विषम प्रकार का संबंध है, इसलिए संक्रामकता भी पूरी होती है।
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
(a+a=2a) is even, so no element is related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
If (a+b) is odd, then (b+a) is also odd, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) and ((2,1)) exist but ((1,1)) does not, so transitivity fails. चरण 1: (a+a=2a) सम होता है, इसलिए कोई तत्व स्वयं से संबंधित नहीं है। चरण 2: (a+b) विषम होने पर (b+a) भी विषम है, इसलिए सममितता है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है।
(3) and (6) are multiples, while (1,2,4,5) are not.
Step 3
Exam Tip
Hence the classes are ({3,6}) and ({1,2,4,5}). चरण 1: (3) के गुणज एक वर्ग में रखे जाएंगे। चरण 2: (3) और (6) गुणज हैं, जबकि (1,2,4,5) गुणज नहीं हैं। चरण 3: इसलिए वर्ग ({3,6}) और ({1,2,4,5}) होंगे।
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
All self-pairs are given, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Reverse pairs of ((1,2)) and ((2,4)) are also present, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
From ((1,2)) and ((2,4)), ((1,4)) is required but missing, so it is not transitive. चरण 1: सभी स्वयुग्म दिए गए हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,4)) के उल्टे युग्म भी मौजूद हैं, इसलिए सममितता है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है।
Reverse pairs of ((1,3)) and ((2,4)) are present, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
({1,3}) and ({2,4}) are closed blocks, so transitivity holds. चरण 1: सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए परावर्तन है। चरण 2: ((1,3)) और ((2,4)) के उल्टे भी मौजूद हैं, इसलिए सममितता है। चरण 3: ({1,3}) और ({2,4}) बंद समूह हैं, इसलिए संक्रामकता भी पूरी है।
Because of (a=b), every self-pair is in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
The condition that both elements are greater than (2) is unchanged by reversal.
Step 3
Exam Tip
The classes are ({1},{2},{3,4}), so it is an equivalence relation. चरण 1: (a=b) के कारण हर स्वयुग्म संबंध में है। चरण 2: दोनों तत्वों के (2) से बड़े होने की शर्त क्रम बदलने पर नहीं बदलती। चरण 3: वर्ग ({1},{2},{3,4}) बनते हैं, इसलिए संबंध तुल्यता है।
Equality of cubes works in both directions, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
If \(a^3=b^3\) and \(b^3=c^3\), then \(a^3=c^3\), so it is transitive. चरण 1: हर (a) के लिए \(a^3=a^3\), इसलिए परावर्तन है। चरण 2: समान घन होने की शर्त दोनों दिशाओं में समान रहती है, इसलिए सममितता है। चरण 3: यदि \(a^3=b^3\) और \(b^3=c^3\), तो \(a^3=c^3\), इसलिए संक्रामकता है।
Equality of absolute values passes through a third element, so it is transitive. चरण 1: (|a|=|a|), इसलिए संबंध परावर्ती है। चरण 2: (|a|=|b|) होने पर (|b|=|a|), इसलिए सममितता है। चरण 3: समान निरपेक्ष मान तीसरे तत्व तक भी समान रहता है, इसलिए संक्रामकता है।
Both ((1,2)) and ((2,1)) are present, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
All required pairs inside ({1,2}) are present, so it is transitive. चरण 1: विकल्प A में ((3,3)) नहीं है, इसलिए परावर्ती नहीं है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए सममितता है। चरण 3: ({1,2}) के भीतर सभी जरूरी युग्म हैं, इसलिए संक्रामकता भी है।
Option A contains all self-pairs, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) is present but ((2,1)) is not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is missing, so it is not transitive. चरण 1: विकल्प A में सभी स्वयुग्म हैं, इसलिए परावर्तन है। चरण 2: ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममितता नहीं है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है।
From (aRb) and (bRc), we get (aRc); then from (aRc) and (cRd), we get (aRd).
Step 3
Exam Tip
In a long chain, remove middle elements step by step. चरण 1: तुल्यता संबंध में संक्रामकता होती है। चरण 2: (aRb) और (bRc) से (aRc) मिलेगा, फिर (aRc) और (cRd) से (aRd) मिलेगा। चरण 3: लंबी शृंखला में मध्य तत्वों को क्रम से हटाते चलें।
Symmetry is compulsory in an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
If (aRb), symmetry gives (bRa).
Step 3
Exam Tip
Relation with any third element is not guaranteed without more information. चरण 1: तुल्यता संबंध में सममितता अनिवार्य होती है। चरण 2: (aRb) होने पर सममितता से (bRa) मिलेगा। चरण 3: किसी तीसरे तत्व से संबंध बिना अतिरिक्त सूचना के निश्चित नहीं होता।
No conclusion involving (3) can be drawn without more information. चरण 1: तुल्यता संबंध में संक्रामकता होती है। चरण 2: (1R2) और (2R4) से (1R4) मिलता है। चरण 3: (3) से जुड़ा कोई निष्कर्ष बिना जानकारी के नहीं निकाला जा सकता।
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
On a non-empty set, reflexivity needs self-pairs, but the empty relation has no pair.
Step 2
Why this answer is correct
There is no pair that can violate symmetry or transitivity.
Step 3
Exam Tip
Hence it is symmetric and transitive, but not reflexive. चरण 1: अरिक्त समुच्चय पर परावर्तन के लिए स्वयुग्म चाहिए, पर रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं है। चरण 2: सममितता या संक्रामकता को तोड़ने वाला कोई युग्म भी नहीं है। चरण 3: इसलिए यह सममित और संक्रामक माना जाता है, पर परावर्ती नहीं।
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
The universal relation contains every ((a,a)), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
For every ((a,b)), ((b,a)) is also present, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
Since all possible pairs are present, transitivity also holds. चरण 1: सार्वत्रिक संबंध में हर ((a,a)) होता है, इसलिए परावर्तन है। चरण 2: हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी होता है, इसलिए सममितता है। चरण 3: सभी संभावित युग्म मौजूद होने से संक्रामकता भी पूरी होती है।
The identity relation has all self-pairs, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of ((a,a)) is itself, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
A chain of self-pairs again gives a self-pair, so it is transitive. चरण 1: पहचान संबंध में सभी स्वयुग्म होते हैं, इसलिए परावर्तन है। चरण 2: ((a,a)) का उल्टा वही ((a,a)) है, इसलिए सममितता है। चरण 3: स्वयुग्मों की शृंखला फिर स्वयुग्म ही देती है, इसलिए संक्रामकता भी है।
A reflexive relation must contain the self-pair of every element.
Step 2
Why this answer is correct
There are (5) elements, so (5) self-pairs are compulsory.
Step 3
Exam Tip
In the minimum case, only these (5) pairs are present. चरण 1: परावर्ती संबंध में हर तत्व का स्वयुग्म होना जरूरी है। चरण 2: यहां (5) तत्व हैं, इसलिए (5) स्वयुग्म अनिवार्य हैं। चरण 3: न्यूनतम स्थिति में केवल यही (5) युग्म होंगे।
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
No self-pair is present, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Every listed pair has its reverse, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
From ((1,2)) and ((2,1)), ((1,1)) is required but missing, so it is not transitive. चरण 1: कोई भी स्वयुग्म नहीं है, इसलिए परावर्तन नहीं है। चरण 2: हर दिए गए युग्म का उल्टा भी मौजूद है, इसलिए सममितता है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है।
