यदि (f(x)=x+1), (g(x)=2x) और (h(x)=x-2 ), तो (\(h\circ g\circ f\)(x)) क्या है?
If (f(x)=x+1), (g(x)=2x), and (h(x)=x-2 ), what is (\(h\circ g\circ f\)(x))?
#composition
#three-functions
#algebra
A \(4x^2+8x+4\)
B \(2x^2+2\)
C \(4x^2+1\)
D \(x^2+2x+1\)
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Correct Answer
A. \(4x^2+8x+4\)
Step 1
Concept
पहले (f(x)=x+1) लगाएँ। / First apply (f(x)=x+1).
Step 2
Why this answer is correct
फिर (g(f(x))=2(x+1)=2x+2)। / Then (g(f(x))=2(x+1)=2x+2).
Step 3
Exam Tip
अंत में (h(2x+2)=(2x+2)2 =4x-2 +8x+4)। / Finally (h(2x+2)=(2x+2)2 =4x-2 +8x+4).
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यदि \(f:A\to B\) है, \(A=\{1,2\}\) और \(B=\{3,4,5\}\), तो (A) से (B) में आच्छादी फलनों की संख्या क्या है?
If \(f:A\to B\), \(A=\{1,2\}\), and \(B=\{3,4,5\}\), how many onto functions exist from (A) to (B)?
#onto-functions
#finite-sets
#impossible-case
A (0)
B (3)
C (6)
D (9)
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Step 1
Concept
आच्छादी फलन में (B) के सभी (3) तत्व छवि के रूप में आने चाहिए। / In an onto function, all (3) elements of (B) must appear as images.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में केवल (2) तत्व हैं, इसलिए अधिकतम (2) अलग छवियाँ मिल सकती हैं। / (A) has only (2) elements, so at most (2) distinct images are possible.
Step 3
Exam Tip
जब प्रांत छोटा हो और सहप्रांत बड़ा हो, आच्छादी फलन संभव नहीं होता। / When the domain is smaller than the codomain, an onto function is impossible.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-2 +2x+2), तो (f) का परास क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 +2x+2), what is the range of (f)?
#range
#quadratic
#complete-square
A \([0,\infty\))
B \([1,\infty\))
C \([2,\infty\))
D \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
B. \([1,\infty\))
Step 1
Concept
वर्ग पूर्ण करें: (x-2 +2x+2=(x+1)2 +1)। / Complete the square: (x-2 +2x+2=(x+1)2 +1).
Step 2
Why this answer is correct
((x+1)2 \geq 0), इसलिए न्यूनतम मान (1) है। / Since ((x+1)2 \geq 0), the minimum value is (1).
Step 3
Exam Tip
अतः परास \([1,\infty\)) है। / Thus the range is \([1,\infty\)).
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यदि (f(x)=\frac{2x-3}{x+4}), तो (x=-4) को प्रांत से क्यों हटाया जाता है?
If (f(x)=\frac{2x-3}{x+4}), why is (x=-4) excluded from the domain?
#domain
#rational-function
#denominator
A क्योंकि अंश शून्य हो जाता है / Because the numerator becomes zero
B क्योंकि हर शून्य हो जाता है / Because the denominator becomes zero
C क्योंकि मान (1) हो जाता है / Because the value becomes (1)
D क्योंकि फलन स्थिर हो जाता है / Because the function becomes constant
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Correct Answer
B. क्योंकि हर शून्य हो जाता है / Because the denominator becomes zero
Step 1
Concept
भिन्न वाले फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। / In a rational function, the denominator cannot be zero.
Step 2
Why this answer is correct
(x=-4) रखने पर (x+4=0) हो जाता है। / Substituting (x=-4) gives (x+4=0).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (x=-4) प्रांत का भाग नहीं होगा। / Hence (x=-4) is not included in the domain.
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यदि (f(x)=3x-1) और (g(x)=\frac{x+1}{3}), तो \(g\circ f\) कैसा फलन है?
If (f(x)=3x-1) and (g(x)=\frac{x+1}{3}), what kind of function is \(g\circ f\)?
#identity-function
#composition
#inverse
A शून्य फलन / Zero function
B स्थिर फलन / Constant function
C तत्समक फलन / Identity function
D वर्ग फलन / Square function
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Correct Answer
C. तत्समक फलन / Identity function
Step 1
Concept
(\(g\circ f\)(x)=g(3x-1))। / (\(g\circ f\)(x)=g(3x-1)).
Step 2
Why this answer is correct
(g(3x-1)=\frac{3x-1+1}{3}=x)। / (g(3x-1)=\frac{3x-1+1}{3}=x).
Step 3
Exam Tip
जिसका मान हर (x) पर (x) ही हो, वह तत्समक फलन होता है। / A function that gives (x) for every (x) is the identity function.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-4 +1), तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-4 +1), why is (f) not onto?
#onto-function
#range
#polynomial
A क्योंकि (f(x)\geq 1) होता है / Because (f(x)\geq 1)
B क्योंकि (f(x)\leq 1) होता है / Because (f(x)\leq 1)
C क्योंकि (f(0)=0) होता है / Because (f(0)=0)
D क्योंकि हर मान ऋणात्मक होता है / Because every value is negative
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(x)\geq 1) होता है / Because (f(x)\geq 1)
Step 1
Concept
हर वास्तविक (x) के लिए \(x^4\geq 0\) होता है। / For every real (x), \(x^4\geq 0\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (f(x)=x-4 +1\geq 1), और (0) जैसा वास्तविक मान छवि नहीं बनता। / Therefore (f(x)=x-4 +1\geq 1), so a real number like (0) is not attained.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी जाँचते समय सहप्रांत के छूटे हुए मान खोजें। / To test onto, look for values in the codomain that are missed.
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यदि \(f:A\to B\) एकैकी और आच्छादी दोनों है, तो \(f^{-1}\) के बारे में कौन सा कथन सही है?
If \(f:A\to B\) is both one-one and onto, which statement about \(f^{-1}\) is correct?
#inverse-function
#bijection
#theory
A \(f^{-1}\) मौजूद है और \(B\to A\) फलन है / \(f^{-1}\) exists and is a function from (B) to (A)
B \(f^{-1}\) हमेशा स्थिर होता है / \(f^{-1}\) is always constant
C \(f^{-1}\) केवल \(A\to B\) होता है / \(f^{-1}\) is only from (A) to (B)
D \(f^{-1}\) कभी मौजूद नहीं होता / \(f^{-1}\) never exists
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Correct Answer
A. \(f^{-1}\) मौजूद है और \(B\to A\) फलन है / \(f^{-1}\) exists and is a function from (B) to (A)
Step 1
Concept
एकैकी होने से हर छवि का मूल तत्व अलग और निश्चित होता है। / One-one ensures each image has a unique original element.
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादी होने से (B) का हर तत्व किसी न किसी (A) तत्व की छवि है। / Onto ensures every element of (B) is actually an image.
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रतिलोम फलन \(B\to A\) के रूप में मौजूद होता है। / Therefore, the inverse function exists from (B) to (A).
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यदि (f(x)=x-2 ) और (g(x)=x+2), तो (\(f\circ g\)(x)) और (\(g\circ f\)(x)) के बारे में सही कथन क्या है?
If (f(x)=x-2 ) and (g(x)=x+2), which statement about (\(f\circ g\)(x)) and (\(g\circ f\)(x)) is correct?
#composition
#non-commutative
#functions
A दोनों हमेशा समान हैं / They are always equal
B (\(f\circ g\)(x)=x-2 +2)
C (\(g\circ f\)(x)=x-2 +2)
D दोनों परिभाषित नहीं हैं / Both are not defined
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Correct Answer
C. (\(g\circ f\)(x)=x-2 +2)
Step 1
Concept
(\(f\circ g\)(x)=f(x+2)=(x+2)2 )। / (\(f\circ g\)(x)=f(x+2)=(x+2)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
(\(g\circ f\)(x)=g\(x^2\)=x-2 +2)। / (\(g\circ f\)(x)=g\(x^2\)=x-2 +2).
Step 3
Exam Tip
संयुक्त फलन सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं होता। / Composition of functions is generally not commutative.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=|x-2|), तो (f) का न्यूनतम मान किस (x) पर आएगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|x-2|), at which (x) will (f) attain its minimum value?
#absolute-value
#minimum
#function-value
A (x=-2)
B (x=0)
C (x=2)
D (x=4)
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Step 1
Concept
निरपेक्ष मान हमेशा (0) या धनात्मक होता है। / An absolute value is always (0) or positive.
Step 2
Why this answer is correct
(|x-2|) का न्यूनतम (0) तब मिलेगा जब (x-2=0)। / The minimum of (|x-2|) is (0), which occurs when (x-2=0).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (x=2) पर फलन न्यूनतम है। / Therefore, the function is minimum at (x=2).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\frac{x}{1+x-2 }), तो (f(2)+f\left\(\frac{1}{2}\right\)) का मान क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{x}{1+x-2 }), what is the value of (f(2)+f\left\(\frac{1}{2}\right\))?
#function-evaluation
#rational-function
#algebra
A \(\frac{2}{5}\)
B \(\frac{4}{5}\)
C \(\frac{1}{5}\)
D \(\frac{8}{5}\)
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Correct Answer
B. \(\frac{4}{5}\)
Step 1
Concept
(f(2)=\frac{2}{1+4}=\frac{2}{5})। / (f(2)=\frac{2}{1+4}=\frac{2}{5}).
Step 2
Why this answer is correct
(f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{2}{5})। / (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{2}{5}).
Step 3
Exam Tip
दोनों को जोड़ने पर \(\frac{4}{5}\) मिलता है। / Adding them gives \(\frac{4}{5}\).
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