Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
द्विध्रुव पर बल आघूर्ण कोण की ज्या पर निर्भर करता है। / Torque on a dipole depends on the sine of the angle.
Step 2
Why this answer is correct
ज्या का मान नब्बे अंश पर सबसे अधिक होता है। / The sine value is maximum at ninety degrees.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में अधिकतम बल आघूर्ण के लिए द्विध्रुव क्षेत्र के लंबवत होना याद रखें। / For maximum torque, remember that the dipole must be perpendicular to the field.
सममित विस्तार में दिए गए सभी युग्म बने रहते हैं और जिनके उल्टे नहीं हैं, वे जोड़े जाते हैं। / A symmetric extension keeps all given pairs and adds only the missing reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
((2,4)) का उल्टा ((4,2)) अनुपस्थित है, जबकि बाकी गैर-समान युग्मों के उल्टे मौजूद हैं। / The reverse of ((2,4)) is ((4,2)), and it is missing, while other unequal pairs already have reverses.
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटा विस्तार पूछे जाने पर केवल आवश्यक उल्टे युग्म ही जोड़ें। / For the smallest extension, add only the compulsory reverse pairs.
वास्तविक पूंजी वृद्धि शुद्ध निवेश से स्पष्ट होती है। यह सकल निवेश से मूल्यह्रास घटाने के बाद मिलती है। / Real capital growth is shown by net investment. It is obtained after deducting depreciation from gross investment.
स्वतुल्य होने से सभी विकर्ण युग्म निश्चित रूप से संबंध में होंगे। / Reflexivity forces all diagonal pairs to be included.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता में केवल (n(n-1)/2) गैर-विकर्ण जोड़ी समूहों को चुनना होता है, इसलिए संख्या \(2^{\frac{6\cdot5}{2}}=2^{15}\) होगी। / For symmetry, we choose from (n(n-1)/2) unordered off-diagonal pair groups, so the count is \(2^{\frac{6\cdot5}{2}}=2^{15}\).
Step 3
Exam Tip
स्वतुल्य शर्त होने पर विकर्ण युग्मों के लिए अलग चुनाव नहीं बचता। / When reflexivity is fixed, do not count diagonal choices separately.
शुद्ध निवेश एक हजार में से नौ सौ साठ घटाकर चालीस है। धनात्मक शुद्ध निवेश पूंजी स्टॉक में वृद्धि दिखाता है। / Net investment is one thousand minus nine hundred sixty, which is forty. Positive net investment shows an increase in capital stock.
कोई विकर्ण युग्म नहीं होने का अर्थ है कि ((a,a)) जैसे सभी युग्म अनुपस्थित रहेंगे। / No diagonal pair means every pair of the form ((a,a)) is absent.
Step 2
Why this answer is correct
अब केवल (5) अवयवों के \(5\cdot4/2=10\) गैर-विकर्ण जोड़ी समूहों में चुनाव बचेगा। / Only the \(5\cdot4/2=10\) unordered off-diagonal pair groups remain optional.
Step 3
Exam Tip
सममित संबंध में गैर-विकर्ण युग्म अकेले नहीं, अपने उल्टे के साथ चुने जाते हैं। / In symmetric relations, off-diagonal pairs are selected together with their reverses.
B. मूल्यह्रास सकल निवेश से अधिक है/Depreciation is greater than gross investment
Explanation
Simple Explanation
नई मशीन खरीदना सकल निवेश है पर यदि मूल्यह्रास अधिक है तो शुद्ध निवेश ऋणात्मक होगा। इसलिए पूंजी स्टॉक घट सकता है। / Buying new machines is gross investment, but if depreciation is higher, net investment becomes negative. Therefore capital stock can fall.
A. (S) का सममित होना आवश्यक नहीं है/(S) need not be symmetric
Step 1
Concept
बड़े संबंध के सममित होने से उसके हर उपसंबंध में उल्टे युग्म अपने-आप नहीं रहते। / A symmetric relation can have a subset that does not contain all reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
उदाहरण के लिए \(R=\{(1,2),(2,1)\}\) सममित है, लेकिन \(S=\{(1,2)\}\) सममित नहीं है। / For example, \(R=\{(1,2),(2,1)\}\) is symmetric, but \(S=\{(1,2)\}\) is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय वाले प्रश्न में यह न मानें कि सभी गुण नीचे चले जाते हैं। / Do not assume that every property passes to subsets.
B. ( Net Investment \(=\) Gross Investment - Depreciation )
Explanation
Simple Explanation
शुद्ध निवेश के लिए सकल निवेश से मूल्यह्रास घटाया जाता है। परीक्षा में संकेत और घटाव को ध्यान से देखें। / Depreciation is deducted from gross investment to get net investment. In exams, check the sign and subtraction carefully.
A. (R-S) हमेशा सममित होगा/(R-S) will always be symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b)\in R-S\), तो \((a,b)\in R\) और \((a,b)\notin S\) होगा। / If \((a,b)\in R-S\), then \((a,b)\in R\) and \((a,b)\notin S\).
Step 2
Why this answer is correct
(R) सममित है इसलिए \((b,a)\in R\), और (S) सममित होने से यदि \((b,a)\in S\) होता तो \((a,b)\in S\) भी होता, जो असत्य है। / Since (R) is symmetric, \((b,a)\in R\), and since (S) is symmetric, \((b,a)\in S\) would imply \((a,b)\in S\), which is false.
Step 3
Exam Tip
अंतर वाले प्रमाण में शामिल और अनुपस्थित दोनों शर्तों को साथ जाँचें। / In difference proofs, handle membership and non-membership together.
B. पूंजी स्टॉक घट रहा है/Capital stock is decreasing
Explanation
Simple Explanation
ऋणात्मक शुद्ध निवेश बताता है कि पूंजी की घिसावट नई पूंजी जोड़ से अधिक है। इससे पूंजी स्टॉक घटता है। / Negative net investment means wear of capital exceeds new capital addition. This reduces capital stock.
स्थितिज ऊर्जा का मान कोण की कोज्या पर निर्भर करता है। / Potential energy depends on the cosine of the angle.
Step 2
Why this answer is correct
कोण शून्य पर कोज्या का मान सबसे बड़ा होता है और ऋण चिह्न के कारण ऊर्जा न्यूनतम होती है। / At zero degrees cosine is maximum, and the negative sign makes energy minimum.
Step 3
Exam Tip
इसलिए द्विध्रुव क्षेत्र की दिशा में सबसे अधिक स्थिर होता है। / Thus the dipole is most stable along the field.
उल्टे संबंध के नियम से (\(R\circ S\)^{-1}=S^{-1}\circ R^{-1}) होता है। / For inverse relations, (\(R\circ S\)^{-1}=S^{-1}\circ R^{-1}).
Step 2
Why this answer is correct
(R) और (S) सममित हैं, इसलिए \(R^{-1}=R\) और \(S^{-1}=S\), अतः (\(R\circ S\)^{-1}=S\circ R)। / Since (R) and (S) are symmetric, \(R^{-1}=R\) and \(S^{-1}=S\), so (\(R\circ S\)^{-1}=S\circ R).
Step 3
Exam Tip
यदि \(R\circ S=S\circ R\), तो संयुक्त संबंध अपने उल्टे के बराबर होकर सममित हो जाएगा। / If \(R\circ S=S\circ R\), then the composite equals its inverse and is symmetric.
सकल और शुद्ध निवेश का अंतर मूल्यह्रास होता है। दोनों बराबर हों तो अंतर शून्य है। / The difference between gross and net investment is depreciation. If both are equal, the difference is zero.
B. जब द्विध्रुव क्षेत्र के विपरीत समांतर हो/When the dipole is antiparallel to the field
Step 1
Concept
स्थितिज ऊर्जा क्षेत्र और द्विध्रुव आघूर्ण के बीच कोण पर निर्भर करती है। / Potential energy depends on the angle between the dipole moment and the field.
Step 2
Why this answer is correct
विपरीत समांतर स्थिति में ऊर्जा सबसे अधिक होती है। / In the antiparallel position, the energy is maximum.
Step 3
Exam Tip
यह स्थिति अस्थायी संतुलन का उदाहरण है। / This position is an example of unstable equilibrium.
यदि (a+b=0), तो क्रम बदलने पर (b+a=0) भी सत्य होगा। / If (a+b=0), then after swapping the order, (b+a=0) is also true.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी है। / Hence \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
योग वाले नियम में क्रम बदलने से योग नहीं बदलता, इसलिए सममितता जल्दी पहचानी जा सकती है। / In sum-based rules, the order does not change the sum, so symmetry is often easier to detect.
पूंजी में शुद्ध वृद्धि शुद्ध निवेश है। मूल्यह्रास दो सौ में से पचास घटाकर एक सौ पचास लाख होगा। / Net increase in capital is net investment. Depreciation is two hundred minus fifty, which is one hundred fifty lakh.
C. सकल निवेश मूल्यह्रास के बराबर हो/Gross investment equals depreciation
Explanation
Simple Explanation
जब सकल निवेश मूल्यह्रास के बराबर होता है तो केवल घिसी पूंजी की भरपाई होती है। कोई शुद्ध पूंजी वृद्धि नहीं होती। / When gross investment equals depreciation, only worn out capital is replaced. There is no net capital addition.
शुद्ध निवेश सकल निवेश और मूल्यह्रास के अंतर पर निर्भर करता है। मूल्यह्रास अधिक बढ़े तो यह अंतर घट सकता है। / Net investment depends on the gap between gross investment and depreciation. If depreciation rises more, this gap may fall.
बल आघूर्ण एक सदिश राशि है। / Torque is a vector quantity.
Step 2
Why this answer is correct
इसकी दिशा द्विध्रुव आघूर्ण और विद्युत क्षेत्र के सदिश गुणनफल से मिलती है। / Its direction is given by the cross product of dipole moment and electric field.
Step 3
Exam Tip
सदिश गुणनफल की दिशा दायाँ हाथ नियम से ज्ञात की जाती है। / The direction of a cross product is found using the right-hand rule.
B. मूल्यह्रास घटाया जाता है/Depreciation is deducted
Explanation
Simple Explanation
शुद्ध माप स्थिर पूंजी के क्षय को घटाने के बाद मिलते हैं। इसलिए मूल्यह्रास को घटाया जाता है। / Net measures are obtained after deducting consumption of fixed capital. Therefore depreciation is deducted.
(4) विकर्ण युग्मों में से ठीक (2) चुनने के तरीके \(\binom{4}{2}=6\) हैं। / Exactly two diagonal pairs can be selected in \(\binom{4}{2}=6\) ways.
Step 2
Why this answer is correct
गैर-विकर्ण जोड़ी समूहों की संख्या \(4\cdot3/2=6\) है, जिनके लिए \(2^6\) चुनाव हैं। / There are \(4\cdot3/2=6\) unordered off-diagonal pair groups, giving \(2^6\) choices.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण चुनाव और गैर-विकर्ण सममित चुनाव को गुणा करें। / Multiply the diagonal choices and off-diagonal symmetric choices.
B. सकल पूंजी निर्माण से मूल्यह्रास घटाना/Subtract depreciation from gross capital formation
Explanation
Simple Explanation
शुद्ध पूंजी निर्माण सकल पूंजी निर्माण से मूल्यह्रास घटाकर मिलता है। यह शुद्ध निवेश के समान तर्क पर आधारित है। / Net capital formation is found by deducting depreciation from gross capital formation. It is based on the same logic as net investment.
बल आघूर्ण विद्युत क्षेत्र के सीधे समानुपाती होता है। / Torque is directly proportional to the electric field.
Step 2
Why this answer is correct
कोण और द्विध्रुव आघूर्ण वही रहने पर क्षेत्र दोगुना करने से बल आघूर्ण दोगुना होगा। / If angle and dipole moment remain fixed, doubling the field doubles the torque.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में समानुपात को ध्यान से देखें। / In such questions, focus on proportionality.
दिए गए तीनों युग्म गैर-विकर्ण हैं। / All three given pairs are off-diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता के कारण ((2,1),(3,2),(4,3)) भी होने जरूरी हैं, इसलिए कुल (6) गैर-विकर्ण युग्म हो जाते हैं। / Symmetry forces ((2,1),(3,2),(4,3)), making (6) off-diagonal pairs in total.
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम संख्या पूछी हो तो अतिरिक्त विकर्ण या अन्य युग्म न जोड़ें। / For a minimum count, do not add extra diagonal or unrelated pairs.
A. चालीस की शुद्ध पूंजी कमी/Net capital fall of forty
Explanation
Simple Explanation
सकल निवेश मूल्यह्रास से चालीस कम है। इसलिए शुद्ध निवेश ऋणात्मक चालीस होगा। / Gross investment is forty less than depreciation. Therefore net investment will be negative forty.
A. सकल निवेश में मूल्यह्रास शामिल होता है जबकि शुद्ध निवेश में मूल्यह्रास घट चुका होता है/Gross investment includes depreciation while net investment has depreciation deducted
Explanation
Simple Explanation
सकल निवेश कुल निवेश है और शुद्ध निवेश मूल्यह्रास घटाने के बाद का निवेश है। यही मुख्य परीक्षा बिंदु है। / Gross investment is total investment and net investment is investment after deducting depreciation. This is the key exam point.
\(R^{-1}\) में (R) के हर युग्म का उल्टा युग्म होता है। / \(R^{-1}\) contains the reverse of every pair in (R).
Step 2
Why this answer is correct
\(R\cup R^{-1}\) में कोई भी युग्म आएगा तो उसका उल्टा भी उसी संघ में मिल जाएगा। / In \(R\cup R^{-1}\), whenever a pair appears, its reverse also appears in the same union.
Step 3
Exam Tip
किसी संबंध का सबसे सीधा सममित विस्तार अक्सर \(R\cup R^{-1}\) होता है। / A direct symmetric extension of a relation is often \(R\cup R^{-1}\).
चार सौ पचास में से एक सौ अस्सी घटाने पर दो सौ सत्तर मिलता है। यही शुद्ध निवेश है। / Four hundred fifty minus one hundred eighty gives two hundred seventy. That is net investment.
(R) को सममित बनाने के लिए हर युग्म का उल्टा जोड़ना पड़ता है। / To make (R) symmetric, every pair needs its reverse.
Step 2
Why this answer is correct
\(R^{-1}\) यही उल्टे युग्म देता है, इसलिए \(R\cup R^{-1}\) सभी आवश्यक युग्म रखता है। / \(R^{-1}\) provides exactly those reverse pairs, so \(R\cup R^{-1}\) contains all required pairs.
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटा शब्द देखकर अनावश्यक अतिरिक्त युग्म जोड़ने वाले विकल्प हटाएँ। / When the word smallest appears, reject options that add unnecessary pairs.
मूल्यह्रास सकल निवेश और शुद्ध निवेश का अंतर है। दो सौ बीस में से पचानवे घटाने पर एक सौ पच्चीस होगा। / Depreciation is the difference between gross and net investment. Two hundred twenty minus ninety five gives one hundred twenty five.
\(R\cap R^{-1}=R\) से \(R\subseteq R^{-1}\) मिलता है। / \(R\cap R^{-1}=R\) implies \(R\subseteq R^{-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि (R) के हर युग्म का उल्टा भी (R) में है, इसलिए संबंध सममित है। / This means every pair of (R) has its reverse in (R), so (R) is symmetric.
Step 3
Exam Tip
सममितता सिद्ध करने में \(R\subseteq R^{-1}\) और \(R^{-1}\subseteq R\) जैसी समावेशन भाषा मदद करती है। / Inclusion statements such as \(R\subseteq R^{-1}\) are useful for proving symmetry.
A. यह उत्पादन क्षमता बढ़ा सकता है/It can increase productive capacity
Explanation
Simple Explanation
धनात्मक शुद्ध निवेश पूंजी स्टॉक में वास्तविक वृद्धि दिखाता है। अधिक पूंजी उत्पादन क्षमता बढ़ा सकती है। / Positive net investment shows a real rise in capital stock. More capital can raise productive capacity.
B. ऋण आवेश से धन आवेश की ओर/From negative charge to positive charge
Step 1
Concept
विद्युत द्विध्रुव में दो बराबर विपरीत आवेश होते हैं। / An electric dipole has two equal and opposite charges.
Step 2
Why this answer is correct
द्विध्रुव आघूर्ण की दिशा परंपरा से ऋण आवेश से धन आवेश की ओर होती है। / The dipole moment is conventionally directed from negative charge to positive charge.
Step 3
Exam Tip
इसी दिशा का उपयोग क्षेत्र के साथ कोण निकालने में किया जाता है। / This direction is used while measuring the angle with the field.
