Level 14 • 50/50 questions • 30 seconds per question.
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C. (32)
पहले (n\(A\cup B\)=210-58=152), फिर (n\(A\cap B\)=96+88-152=32)। बाहर का भाग मिले तो पहले संघ निकालें। / First (n\(A\cup B\)=210-58=152), then (n\(A\cap B\)=96+88-152=32). If the outside part is given, find the union first.
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A. (46)
पहले (n\(A\cup B\)=91+87-34=144), इसलिए पूरक (190-144=46) है। बाहर का भाग निकालने से पहले संघ निकालें। / First (n\(A\cup B\)=91+87-34=144), so the complement is (190-144=46). Find the union before finding the outside region.
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If (n\(A\cup B\)=148), (n(A-B)=52), and (n(B-A)=43), what is (n\(A\cap B\))?
C. (53)
संघ के तीन अलग भाग होते हैं, इसलिए (n\(A\cap B\)=148-52-43=53)। अलग क्षेत्रों को केवल एक बार गिनें। / The union has three separate parts, so (n\(A\cap B\)=148-52-43=53). Count each separate region only once.
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If (n\(A\triangle B\)=112) and (n\(A\cap B\)=39), what is (n\(A\cup B\))?
C. (151)
संघ में सममित अंतर और साझा भाग दोनों आते हैं, इसलिए (112+39=151)। \(A\triangle B\) में साझा भाग शामिल नहीं होता। / The union contains both the symmetric difference and the common part, so (112+39=151). \(A\triangle B\) does not include the common part.
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C. 33
ठीक एक समुच्चय में आने वाले विद्यार्थियों की संख्या का सूत्र है \(\text{exactly one}=n(A)+n(B)-2n(A\cap B)\)। इसे मानों में रखकर: \(98=86+78-2n(A\cap B)=164-2x\)। अतः \(2x=66\) और \(x=33\)। सबसे निकट वाला विकल्प 31 गलत है क्योंकि उससे \(164-2\times31=102\) मिलेगा, न कि 98। परीक्षा सुझाव: "ठीक एक" वाले छात्रों के लिए हमेशा \(n(A)+n(B)-2n(A\cap B)\) का प्रयोग करें या Venn चित्र से ही निकालें। / The number in exactly one set equals \(n(A)+n(B)-2n(A\cap B)\). Substitute values: \(98=86+78-2x=164-2x\), so \(2x=66\) and \(x=33\). The closest distractor 31 is wrong because it would give \(164-2\times31=102\), not 98. Exam tip: remember the "exactly one" formula or derive it from the two-circle Venn diagram to avoid sign errors.
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B. (167)
तीन समुच्चयों का संघ (90+84+78-36-32-30+13=167) है। जोड़ी प्रतिच्छेद घटाने के बाद केंद्रीय भाग जोड़ें। / The union of three sets is (90+84+78-36-32-30+13=167). After subtracting pairwise intersections, add the central part.
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If (n(U)=160), (n(A)=92), and (n(B)=83), what is the minimum possible value of (n\(A\cap B\))?
B. (15)
न्यूनतम प्रतिच्छेद (n(A)+n(B)-n(U)=92+83-160=15) है। कुल संख्या (U) से अधिक हो तो अतिरिक्त भाग साझा होना जरूरी है। / The minimum intersection is (n(A)+n(B)-n(U)=92+83-160=15). If the total exceeds (U), the extra part must be common.
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B. (62)
ठीक दो (=(45-16)+(38-16)+(35-16)=70) होना चाहिए, इसलिए विकल्पों में सही मान (70) है। हर जोड़ी से तीनों का साझा भाग घटाएं। / Exactly two should be ((45-16)+(38-16)+(35-16)=70), so the correct option is (70). Subtract the all-three part from each pair.
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If (n(U)=190), (n(A)=74), and (n(B)=91), what is the maximum possible value of (n\(A\cap B\))?
B. (74)
प्रतिच्छेद किसी भी समुच्चय से बड़ा नहीं हो सकता, इसलिए अधिकतम मान (74) है। अधिकतम के लिए छोटे समुच्चय का मान देखें। / The intersection cannot be larger than either set, so the maximum value is (74). For maximum, use the smaller set.
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If (n(U)=180), (n(A)=105), and (n(B)=96), what is the minimum possible value of (n\(A\cap B\))?
B. (21)
न्यूनतम प्रतिच्छेद (105+96-180=21) है। जब दोनों कुल मिलकर (U) से अधिक हों, तो अतिरिक्त भाग साझा होता है। / The minimum intersection is (105+96-180=21). When the two totals exceed (U), the extra part must be common.
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If \(A\subseteq B\), (n(A)=46), (n(B)=108), and (n(U)=150), what is (n\(B^c\))?
A. (42)
\(B^c\) में (U) के वे तत्व हैं जो (B) में नहीं हैं, इसलिए (150-108=42)। उपसमुच्चय जानकारी यहां जाल है। / \(B^c\) contains elements of (U) that are not in (B), so (150-108=42). The subset information is a trap here.
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If (n\(A\cup B\)=136), (n(A-B)=49), and (n\(A\cap B\)=31), what is (n(B))?
C. (87)
पहले (n(B-A)=136-49-31=56), फिर (n(B)=56+31=87)। (B) में केवल (B) और साझा भाग दोनों आते हैं। / First (n(B-A)=136-49-31=56), then (n(B)=56+31=87). (B) contains only (B) and the common part.
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If \(A\subseteq B\subseteq C\), \(n(C)=132\), \(n(B)=84\), and \(n(A)=37\), what is \(n(C-A)\)?
C. 95
चूंकि \(A\subseteq C\), इसलिए \(C-A\) में वे तत्व होंगे जो \(C\) में हैं पर \(A\) में नहीं। इसका क्रमांक \(n(C-A)=n(C)-n(A)=132-37=95\)। विकल्प (B) का मान \(48\) तब मिलता यदि छात्र ने \(B\) को घटाया हो: \(132-84=48\), पर प्रश्न में \(A\) हटाने के लिए कहा गया है। विकल्प (D) असंभव है क्योंकि किसी उपसमुच्चय का घटाकर प्राप्त मान मूल समुच्चय \(C\) से बड़ा नहीं हो सकता। परीक्षा संकेत: किसी भी विन्न-समस्या में स्पष्ट करें कि किस समुच्चय को हटाया जा रहा है — बस दो संख्या घटाएँ। / Since \(A\subseteq C\), the elements of \(C-A\) are those in \(C\) but not in \(A\). Hence \(n(C-A)=n(C)-n(A)=132-37=95\). Option B (48) comes from subtracting \(B\) from \(C\) (\(132-84=48\)), which is a common mistake here because the question asks to remove \(A\), not \(B\). Option D (169) is impossible because you cannot get a count larger than \(n(C)\) by removing elements. Exam tip: explicitly note which set is being removed and perform the subtraction on those two counts only.
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A. (32)
(4) के गुणज (24), (6) के गुणज (16), और (12) के गुणज (8) हैं, इसलिए (24+16-8=32)। साझा भाग के लिए लघुत्तम समापवर्त्य लें। / Multiples of (4) are (24), multiples of (6) are (16), and multiples of (12) are (8), so (24+16-8=32). Use the LCM for the common part.
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A. (132)
तीन समुच्चयों का संघ (72+66+59-28-24-22+9=132) है। जोड़ी प्रतिच्छेद घटाने के बाद केंद्रीय भाग वापस जोड़ें। / The union of three sets is (72+66+59-28-24-22+9=132). After subtracting pairwise intersections, add the central part back.
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B. (40)
तीन अंदरूनी भागों का योग (48+44+28=120) है, इसलिए बाहर (160-120=40)। चारों क्षेत्र मिलकर पूरा (U) बनाते हैं। / The sum of the three inside regions is (48+44+28=120), so outside is (160-120=40). The four regions together form the whole (U).
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A. (15)
सूत्र में (162=82+76+70-34-30-27+x) होगा, इसलिए (x=15)। अज्ञात केंद्रीय भाग के लिए समीकरण बनाएं। / In the formula (162=82+76+70-34-30-27+x), so (x=15). Form an equation for the unknown central part.
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B. (58)
ठीक दो (=(36-14)+(33-14)+(31-14)=58) है। हर जोड़ी में केंद्रीय भाग शामिल होता है, इसलिए उसे घटाएं। / Exactly two (=(36-14)+(33-14)+(31-14)=58). Each pairwise intersection includes the central part, so subtract it.
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C. 33
केवल \(A\) में आने वाले तत्व = \(n(A) - \big(n(A\cap B)+n(A\cap C)-n(A\cap B\cap C)\). ऐसा इसलिए क्योंकि जिन तत्वों ने दोनों में साथ में आते हैं उन्हें दो बार घटाया गया होता है, अतः त्रि-छेद (triple intersection) को एक बार जोड़ना ज़रूरी है. गणना: \(94-(40+37-16)=94-61=33\). सबसे नज़दीकी ग़लत विकल्प 31 आमतः अंकगणितीय त्रुटि या चिह्नों (sign) की उलझन से आता है; दिया गया मान पढ़कर सही विधि अपनाते हुए जोड़-घटाव ठीक करें। परीक्षात्मक सुझाव: Venn आरेख बनाकर A के भीतर के ओवरलैप हिस्सों को पहले जोड़ें, फिर inclusion–exclusion फ़ॉर्मूला से निकालें। / Elements only in A = \(n(A)-[n(A\cap B)+n(A\cap C)-n(A\cap B\cap C)]\). Overlaps A∩B and A∩C are counted inside n(A), but their common part A∩B∩C is subtracted twice, so add it back once. Calculation: \(94-(40+37-16)=94-61=33\). The closest wrong option (31) typically arises from an arithmetic slip or mis-signing the triple intersection; re-check arithmetic when using inclusion–exclusion. Exam tip: draw the three-set Venn diagram and mark overlapping regions before applying the formula.
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B. (94)
कम से कम दो (=(48-17)+(41-17)+(39-17)+17=94) है। ठीक दो निकालकर तीनों वाला भाग जोड़ें। / At least two is ((48-17)+(41-17)+(39-17)+17=94). Find exactly two and then add the all-three part.
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A. (32)
अंदर का संघ (31+26+24+15+13+11+8=128), इसलिए बाहर (160-128=32)। सातों अंदरूनी क्षेत्रों को जोड़ें। / The inside union is (31+26+24+15+13+11+8=128), so outside is (160-128=32). Add all seven inside regions.
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If only (A=25), only \(A\cap B=14\), only \(A\cap C=12\), and \(A\cap B\cap C=9\), what is (n(A))?
B. (60)
(A) के सभी अंदरूनी भागों का योग (25+14+12+9=60) है। किसी समुच्चय की कुल संख्या उसके वृत्त के सभी भागों से मिलती है। / The sum of all inside parts of (A) is (25+14+12+9=60). The total of a set is found from all regions inside its circle.
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In a Venn diagram (n\(A\triangle B\)=96) and (n\(A\cup B\)=137). What is (n\(A\cap B\))?
B. (41)
\(A\cup B\) में \(A\triangle B\) और \(A\cap B\) दोनों भाग होते हैं, इसलिए (137-96=41)। सममित अंतर में साझा भाग नहीं आता। / \(A\cup B\) contains both \(A\triangle B\) and \(A\cap B\), so (137-96=41). The symmetric difference excludes the common part.
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If (n(A)=88), (n(B)=82), and (n\(A\triangle B\)=104), what is (n\(A\cap B\))?
B. (33)
(n\(A\triangle B\)=n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)), इसलिए (104=170-2x) से (x=33)। ठीक एक और साझा भाग अलग रखें। / (n\(A\triangle B\)=n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)), so (104=170-2x) gives (x=33). Keep exactly one and common parts separate.
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If (n(U)=240), (n\(A\cup B\)=157), and (n\(A^c\cap B^c\)=83), which relation is true?
A. (n\(A\cup B\)+n\(A^c\cap B^c\)=n(U))
क्योंकि (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c), इसलिए (157+83=240) सही है। पूरक क्षेत्र मिलकर पूरा (U) बनाते हैं। / Since (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c), (157+83=240) is true. Complementary regions together form the whole (U).
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A. 6
A \cap B में वे संख्याएँ होंगी जो 2 और 3 दोनों से विभाज्य हैं, यानी उनकी LCM = 6 के गुणज। 6 के गुणज जो 36 तक आते हैं: 6,12,18,24,30,36 — कुल 36/6 = 6 संख्या। इसलिए n\(A \cap B\) = 6। सबसे नज़दीकी विकर्षक 12 इस सेट का नहीं क्योंकि 12 वह संख्या है जो केवल 3 के गुणजों की कुल संख्या (36/3 = 12) से जुड़ी है; 18 वह है जो 2 के गुणजों की कुल संख्या (36/2 = 18) दर्शाता है। परीक्षा टिप: किसी दो विभाजकों का समुच्चय निकालते समय उनकी LCM लें और U में उस LCM के गुणजों की गिनती = \lfloor 36/LCM \rfloor करें। / Elements in A \cap B are divisible by both 2 and 3, so they are multiples of LCM(2,3) = 6. Multiples of 6 up to 36 are 6,12,18,24,30,36 — count = 36/6 = 6. Thus n\(A \cap B\) = 6. Closest distractor 12 corresponds to the number of multiples of 3 (36/3 = 12), and 18 corresponds to multiples of 2 (36/2 = 18), so they are not the intersection count. Exam tip: use LCM of divisors and divide the universe maximum by that LCM to get the intersection size quickly.
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B. (18)
(6) के गुणज (12), (8) के गुणज (9) और (24) के गुणज (3) हैं, इसलिए (12+9-3=18)। साझा भाग के लिए लघुत्तम समापवर्त्य लें। / Multiples of (6) are (12), multiples of (8) are (9), and multiples of (24) are (3), so (12+9-3=18). Use the LCM for the common part.
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A. ({2})
अभाज्य संख्याएँ वे हैं जिनके केवल 1 और स्वयं ही गुणक होते हैं। सम संख्याएँ 2 के गुणज होती हैं। 2 ही एकमात्र ऐसी संख्या है जो दोनों गुणधर्म पूरा करती है — यह सम भी है और अभाज्य भी। इसलिए A \cap B = {2}। निकटतम भ्रम पैदा करने वाली विकल्प C गलत है क्योंकि अन्य सम संख्याएँ (4,6,...) अभाज्य नहीं हैं। परीक्षा-सुझाव: गुणधर्मों पर ध्यान दें — «सम» और «अभाज्य» की परिभाषा तुरंत सही उत्तर बताती है। / Primes have no divisors other than 1 and themselves; even numbers are multiples of 2. The only number that is both prime and even is 2, so A \cap B = {2}. The tempting option C is incorrect because other even numbers like 4,6,... are composite, not prime. Exam tip: recall definitions first — intersection means elements satisfying both properties simultaneously, so look for numbers that meet both definitions.
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B. (3)
तीनों में आने के लिए संख्या (30) से विभाज्य होगी, यानी (30,60,90)। इसलिए संख्या (3) है। / To be in all three sets, a number must be divisible by (30), namely (30,60,90). Hence the count is (3).
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A. \(C=A\cap B\)
(12) से विभाज्य संख्या (3) और (4) दोनों से विभाज्य होती है, इसलिए \(C=A\cap B\)। वेन आरेख में (C) साझा भाग है। / A number divisible by (12) is divisible by both (3) and (4), so \(C=A\cap B\). In the Venn diagram, (C) is the common part.
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A. इनसे (n\(A\cup B\cup C\)) निश्चित हो जाता हैThese determine (n\(A\cup B\cup C\))
केवल कुछ अंतर क्षेत्रों से पूरा संघ निश्चित नहीं होता क्योंकि कई साझा भाग अज्ञात रहते हैं। डेटा पर्याप्त है या नहीं, पहले जांचें। / A few difference regions alone do not determine the whole union because many common regions remain unknown. First check whether the data is sufficient.
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If (n(A)=56), (n(B)=61), (n(A-B)=19), and (n(B-A)=24), what is (n\(A\cap B\))?
B. (37)
(n\(A\cap B\)=56-19=37) है और (61-24=37) से पुष्टि होती है। दोनों तरफ से समान साझा भाग मिलना चाहिए। / (n\(A\cap B\)=56-19=37), and (61-24=37) confirms it. The same common part should be obtained from both sides.
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A. आंकड़े असंगत हैंThe data are inconsistent
(A) से साझा भाग (64-22=42), लेकिन (B) से (59-20=39) मिलता है। दोनों बराबर नहीं हैं, इसलिए आंकड़े असंगत हैं। / From (A), the common part is (64-22=42), but from (B), it is (59-20=39). Since these are not equal, the data are inconsistent.
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B. (56)
संघ (118+104+92-48-41-37+16=204) है, इसलिए कोई नहीं (260-204=56)। पहले तीन-समुच्चय संघ निकालें। / The union is (118+104+92-48-41-37+16=204), so none is (260-204=56). First find the three-set union.
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A. (16)
ज्ञात छह अंदरूनी क्षेत्रों का योग (38+34+29+21+18+16=156) है, इसलिए केंद्रीय भाग (172-156=16)। संघ में सातों अंदरूनी क्षेत्र आते हैं। / The sum of the six known inside regions is (38+34+29+21+18+16=156), so the central part is (172-156=16). The union contains all seven inside regions.
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C. 165
\(n(A\cup B\cup C)\) में उन सभी क्षेत्र‑ों के तत्व आते हैं जो परस्पर अलग (disjoint) हैं: ठीक एक वाले, ठीक दो वाले और तीनों वाले। इसलिए कुल = 84 + 63 + 18 = 165। निकटतम भ्रामक विकल्प 147 तब बनता है जब कोई तीनों में आने वाले 18 को भूल जाए (84+63) — यह गलत है क्योंकि तीनों में आने वाले अलग से जोड़े गए हैं। परिक्षा सुझाव: दिया गया मान "exactly" है; पहले यह सुनिश्चित कर लें कि मान अलग‑अलग (disjoint) क्षेत्रों का प्रतिनिधित्व करते हैं या नहीं। / The union counts every disjoint region once: elements in exactly one set, exactly two sets, and all three sets. So |A∪B∪C| = 84 + 63 + 18 = 165. A common mistake gives 147 by omitting the 18 that belong to all three (84+63), which is incorrect. Exam tip: always check whether given numbers mean "exactly" (disjoint regions) or "at least" (may require inclusion–exclusion adjustments).
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C. (65)
ठीक दो (156-74-17=65) हैं। संघ को ठीक एक, ठीक दो और तीनों में बांटकर हल करें। / Exactly two is (156-74-17=65). Solve by dividing the union into exactly one, exactly two, and all three.
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A. (65)
कुल सदस्यता (96+88+82=266) है। यह ठीक एक \(+2\times69+3\times21\) के बराबर है, इसलिए ठीक एक (266-138-63=65)। / Total memberships are (96+88+82=266). This equals exactly one \(+2\times69+3\times21\), so exactly one is (266-138-63=65).
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If (n\(A\cup B\)=128), (n\(A\cap B\)=32), and (n(A-B)=45), what is (n(B))?
C. (83)
पहले (n(B-A)=128-45-32=51), फिर (n(B)=51+32=83)। (B) में केवल (B) और साझा भाग दोनों आते हैं। / First (n(B-A)=128-45-32=51), then (n(B)=51+32=83). (B) contains only (B) and the common part.
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If (n(A)=102), (n(B)=95), (n\(A\cup B\)=143), and (n(U)=190), what is (n\(A^c\cap B^c\))?
A. (47)
(A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c), इसलिए (190-143=47)। डी मॉर्गन नियम से बाहर का क्षेत्र पहचानें। / (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c), so (190-143=47). Use De Morgan's law to identify the outside region.
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If (n(U)=210), (n\(A\cap B\)=52), and (n\(A^c\cup B^c\)=170), what can be said about the given data?
A. आंकड़े असंगत हैंThe data are inconsistent
डी मॉर्गन से (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), इसलिए इसका मान (210-52=158) होना चाहिए। (170) मिलने से आंकड़े असंगत हैं। / By De Morgan's law, (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), so its value should be (210-52=158). Since (170) is given, the data are inconsistent.
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B. (55)
\(A^c\) में (B-A) और बाहर का भाग आएगा, इसलिए (37+18=55)। (A) के बाहर के सभी क्षेत्रों को जोड़ें। / \(A^c\) includes (B-A) and the outside region, so (37+18=55). Add all regions outside (A).
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If (n(A-B)=44), (n(B-A)=36), (n\(A\cap B\)=29), and (n(U)=150), what is (n\(A^c\cup B^c\))?
D. (121)
(A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), इसलिए (150-29=121)। साझा भाग का पूरक (U) से साझा भाग घटाकर मिलता है। / (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), so (150-29=121). The complement of the common part is found by subtracting it from (U).
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A. (29)
तीन अंदरूनी भागों का योग (41+34+26=101) है, इसलिए बाहर (130-101=29)। चार क्षेत्र मिलकर पूरा (U) बनाते हैं। / The sum of the three inside regions is (41+34+26=101), so outside is (130-101=29). The four regions together form the whole (U).
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A. आंकड़े असंगत हैंThe data are inconsistent
(A\triangle B=\(A\cap B^c\)\cup\(A^c\cap B\)), इसलिए इसका मान (52+39=91) होना चाहिए। (100) दिया है, इसलिए आंकड़े असंगत हैं। / (A\triangle B=\(A\cap B^c\)\cup\(A^c\cap B\)), so its value should be (52+39=91). Since (100) is given, the data are inconsistent.
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B. 51
कुल सदस्यता (membership) का योग है \(84+78+72=234\)। यदि x = ठीक दो समुच्चयों में तत्वों की संख्या हो तो सदस्यता योग को समूहों के योगदान के रूप में लिखा जा सकता है: ठीक एक समुच्चय के तत्व एक-एक बार गिने जाते हैं, ठीक दो समुच्चयों के तत्व प्रत्येक दो बार गिने जाते हैं, और तीनों में के तत्व तीन बार गिने जाते हैं। इसलिए \(234 = 96 + 2x + 3\times12\). इससे \(2x = 234-96-36 = 102\) और \(x = 51\)। गलत विकल्पों की जाँच: यदि x=60 होता तो \(96+2\times60+3\times12=252\) जो 234 के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: Venn आरेख बनाकर प्रत्येक क्षेत्र की multiplicity याद रखें — ठीक दो वाले हिस्से को दो बार गिनना होता है और तीनों में वाले को तीन बार। / Total membership count is \(84+78+72=234\). Let x be the number of elements in exactly two sets. In the sum of memberships each element in exactly one is counted once, each element in exactly two is counted twice, and each element in all three is counted three times. Thus \(234 = 96 + 2x + 3\times12\). So \(2x = 234-96-36 = 102\) and \(x = 51\). Why the nearest distractor is wrong: plugging x=60 gives \(96+2\times60+3\times12=252\neq234\). Exam tip: draw the three-set Venn diagram and write the total-membership equation \(\text{sum}=\text{one}+2\times\text{two}+3\times\text{three}\) before solving.
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If (n\(A\cup B\)=139), (n(A)=82), (n(B)=76), and (n(U)=190), what is (n\(A^c\cup B^c\))?
D. (170)
पहले (n\(A\cap B\)=82+76-139=19)। फिर (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), इसलिए (190-19=171)। दिए गए विकल्पों में कोई भी सही नहीं है। / First (n\(A\cap B\)=82+76-139=19). Then (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), so (190-19=171). None of the given options is correct.
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If \(A\) and \(B\) are two overlapping sets, what is \(A-(A\cap B)\) equal to?
A. \(A-B\)
\(A-(A\cap B)=A\cap (A\cap B)^c\) होता है। डि मॉर्गन से \((A\cap B)^c=A^c\cup B^c\) और इसलिए \(A\cap (A^c\cup B^c)=(A\cap A^c)\cup (A\cap B^c)=\varnothing\cup (A\cap B^c)=A\cap B^c\)। यह वही है जो हम सामान्यतः \(A-B\) लिखते हैं। सबसे नजदीकी विकर्षक विकल्प \(A\cap B\) है, पर वह दोनों का साझा भाग है जिसे हटाया गया है, अतः बचा नहीं रहता। परीक्षा-सुझाव: सेट-घटाव को इंटरसेक्शन व कम्प्लीमेंट में बदल कर सरल करें या वैन आरेख पर छायांकित क्षेत्र बनाकर जाँच करें। / Compute directly: \(A-(A\cap B)=A\cap (A\cap B)^c\). By De Morgan, \((A\cap B)^c=A^c\cup B^c\), so \(A\cap(A^c\cup B^c)=(A\cap A^c)\cup(A\cap B^c)=\varnothing\cup(A\cap B^c)=A\cap B^c\), which is exactly \(A-B\). The closest distractor \(A\cap B\) is the part removed (the common region), not the remainder. Exam tip: convert set difference to intersection with complement or use a Venn diagram to visualise the shaded region quickly.
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B. 98
कोर विचार: किसी भी तीन समुच्चयों का समेक (union) आपस में अलग-चिन्हित भागों का योग होता है — ठीक एक समुच्चय में वाले + ठीक दो समुच्चयों में वाले + तीनों में वाले। यहाँ दिया है \(n(A\cup B\cup C)=205\), ठीक दो में कुल = 83 और तीनों में = 24। अत: ठीक एक = \(205-83-24=98\)। निकटतम भ्रामक विकल्प 107 इसलिए गलत है क्योंकि यह उस गलत धारणा से मिल सकता है कि किसी दिए हुए हिस्से को अलग तरह से घटाया गया हो; सही तरीका है यूनियन को disjoint भागों में विभाजित करना। परीक्षा टिप: सभी भागों को "ठीक एक, ठीक दो, तीनों" के रूप में अलग-अलग लिखकर ही घटाव करें ताकि ओवरलैप दोबारा न गिनें। / Core idea: The union of three sets breaks into disjoint parts: elements in exactly one set + exactly two sets + all three. Given \(n(A\cup B\cup C)=205\), exactly two = 83 and exactly three = 24, so exactly one = \(205-83-24=98\). Why the closest distractor (107) is wrong: 107 would arise only by a mistaken manipulation of the given counts (for example misinterpreting which counts are disjoint); the correct method is to decompose the union into disjoint categories before subtracting. Exam tip: Always partition the union into disjoint regions (label them) to avoid double-counting or misinterpretation of "exactly two" vs pairwise intersections.
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If (n(A-B)=x), (n(B-A)=3x), (n\(A\cap B\)=24), and (n\(A\cup B\)=120), what is (x)?
B. (24)
संघ के भागों से (x+3x+24=120), इसलिए (4x=96) और (x=24)। अज्ञात क्षेत्र को समीकरण से हल करें। / From the union regions, (x+3x+24=120), so (4x=96) and (x=24). Solve unknown regions by forming an equation.
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