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पहले पूरक निकालें: \(A'=U\setminus A=\{5,6\}\), इसलिए \(n(A')=2\). किसी भी समुच्चय S के लिए पॉवर सेट का क्रम \(n(P(S))=2^{n(S)}\) होता है। अतः \(n(P(A'))=2^{n(A')}=2^2=4\). विकल्प C (8) गलत है क्योंकि वह तब मिलेगा जब \(n(A')=3\) मान लिया जाए। परीक्षा टिप: पहले कॉम्प्लीमेंट का तत्वगणना निकालें और फिर पॉवर‑सेट के लिए \(2^{n(\cdot)}\) फार्मूला लगाएँ। / Find the complement first: \(A'=U\setminus A=\{5,6\}\), so \(n(A')=2\). For any set S, the power set has \(n(P(S))=2^{n(S)}\) elements. Therefore \(n(P(A'))=2^{2}=4\). Option C (8) would be obtained only if \(n(A')\) were 3, which is not the case. Exam tip: compute the complement's size, then apply the power‑set formula \(2^{n(\cdot)}\).
(A'={1,3,5,7,9}), इसलिए ठीक (2) अवयव वाले उपसमुच्चय \(\binom{5}{2}=10\) होंगे। पहले पूरक समुच्चय निकालें फिर संयोजन लगाएं। / (A'={1,3,5,7,9}), so the subsets with exactly (2) elements are \(\binom{5}{2}=10\). First find the complement set and then use combinations.
यदि (n(A)=m), तो (n(P(P(A)))=2^{2^m}=256=28), इसलिए \(2^m=8\) और (m=3)। घातों की तुलना सीधे करें। / If (n(A)=m), then (n(P(P(A)))=2^{2^m}=256=28), so \(2^m=8\) and (m=3). Compare powers directly.
(A'={1,3,5,7,9}) और (P(A')) में एकल समुच्चय (n(A')=5) होते हैं। एकल उपसमुच्चयों की संख्या मूल अवयवों जितनी होती है। / (A'={1,3,5,7,9}), and singleton sets in (P(A')) are (n(A')=5). The number of singleton subsets equals the number of elements.
(n(A')=5), इसलिए (n(P(A'))=25=32)। इसके उचित उपसमुच्चय \(2^{32}-1\) नहीं बल्कि (P(A')) के उपसमुच्चय हैं, अतः \(2^{32}-1\) होगा। / (n(A')=5), so (n(P(A'))=25=32). Proper subsets of (P(A')) are \(2^{32}-1\), so do not confuse elements with subsets.
किसी समुच्चय का पावर सेट उस समुच्चय को पूरी तरह निर्धारित करता है, इसलिए (A=B)। समान पावर सेट का मतलब समान मूल समुच्चय होता है। / A power set uniquely determines its original set, so (A=B). Equal power sets mean equal original sets.
(P\(\varnothing\)={\varnothing}), इसलिए (P(P(A))=P\({\varnothing}\)={\varnothing,{\varnothing}})। खाली समुच्चय का पावर सेट खाली नहीं होता। / (P\(\varnothing\)={\varnothing}), so (P(P(A))=P\({\varnothing}\)={\varnothing,{\varnothing}}). The power set of an empty set is not empty.
\(A\cup B={a,c,d}\) और (\(A\cup B\)'={b,e}), इसलिए पावर सेट में \(2^2=4\) अवयव हैं। पहले संघ निकालना सुरक्षित रहता है। / \(A\cup B={a,c,d}\) and (\(A\cup B\)'={b,e}), so the power set has \(2^2=4\) elements. Find the union first.
De Morgan के अनुसार \(A'\cap B'=(A\cup B)'\) होता है। पहले \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}\) मिलेगा। इसका समपूरक (relative to \(U\)) है \((A\cup B)'=\{7,8\}\), जिसका गुणांक 2 है। किसी सेट के पावर सेट का आकार \(2^{n}\) होता है, अतः \(n(P(A'\cap B'))=2^{2}=4\)। निकटभ्रामक विकल्प (जैसे 8) गलत है क्योंकि वह \(2^{3}\) जैसा मान सूचित करता है — मानो \(A'\cap B'\) में 3 तत्त्व हों; यहाँ वास्तव में केवल 2 तत्त्व हैं। परीक्षा-सुझाव: पहले यूनियन और फिर डि-मॉर्गन लगाकर समपूरक निकालें, फिर पावर सेट के लिए \(2^{n}\) लगाएँ। / By De Morgan, \(A'\cap B'=(A\cup B)'.\) Compute \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}\), so its complement in \(U\) is \((A\cup B)'=\{7,8\}\) which has cardinality 2. The power set of a set with n elements has size \(2^{n}\), so \(n(P(A'\cap B'))=2^{2}=4\. The closest misleading choice (8) would correspond to \(2^{3}\), as if there were 3 elements in \(A'\cap B'\); that mistake comes from miscounting the complement. Exam tip: apply De Morgan to convert complements of intersections/unions first, then count elements and use \(2^{n}\).
(p) को स्थिर रखने पर बाकी (q,r) के \(2^2=4\) चयन होंगे। अनिवार्य अवयव को स्थिर मानें। / After fixing (p), the remaining (q,r) have \(2^2=4\) choices. Treat the compulsory element as fixed.
ठीक (3) अवयव वाले उपसमुच्चय \(\binom{5}{3}=10\) होते हैं। पावर सेट में आकार आधारित गिनती के लिए संयोजन लगाएं। / Subsets with exactly (3) elements are \(\binom{5}{3}=10\). Use combinations for size-based counting in a power set.
(1) स्थिर है और (4) हटाया गया है, इसलिए (2,3) के \(2^2=4\) चयन होंगे। शर्तों को पहले स्थिर करें। / (1) is fixed and (4) is excluded, so (2,3) have \(2^2=4\) choices. Fix the conditions first.
कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं और खाली उपसमुच्चय (1) है, इसलिए (15) गैर-रिक्त उपसमुच्चय हैं। गैर-रिक्त के लिए (1) घटाएं। / Total subsets are \(2^4=16\) and one subset is empty, so there are (15) non-empty subsets. Subtract (1) for non-empty subsets.
(P(A)) के अवयव (A) के सभी उपसमुच्चय हैं, जिनमें केवल (A) स्वयं उचित उपसमुच्चय नहीं है। उचित उपसमुच्चय में पूरा समुच्चय नहीं आता। / The elements of (P(A)) are all subsets of (A), and only (A) itself is not a proper subset. A proper subset excludes the whole set.
किसी (6) अवयव वाले समुच्चय में सम आकार के उपसमुच्चय \(2^{6-1}=32\) होते हैं। सम और विषम आकार वाले उपसमुच्चय बराबर होते हैं। / For a (6)-element set, even-sized subsets are \(2^{6-1}=32\). Even-sized and odd-sized subsets are equal in number.
किसी सेट के लिए विषम आकार वाले उपसमुच्चयों की संख्या का सामान्य सूत्र \(\sum_{k\ \,\text{odd}}\binom{n}{k}=2^{n-1}\) है। यह बाइनोमियल प्रमेय से निकाला जा सकता है या प्रत्येक उपसमुच्चय को उसके पूरक के साथ जोड़कर देखा जा सकता है — इससे विषम और सम आकार के उपसमुच्चयों की संख्या बराबर होती है जब \(n\ge1\)। यहाँ \(n=5\) पर संख्या \(2^{5-1}=2^{4}=16\). जांच के लिये: \(\binom{5}{1}+\binom{5}{3}+\binom{5}{5}=5+10+1=16\). निकटतम विकर्षक 15 गलत है क्योंकि वहाँ तत्वों के संयोजन का सही योग नहीं लिया गया; 32 तो कुल उपसमुच्चयों की संख्या (\(2^5\)) है, और 10 किसी विशेष एक या दो आकारों का मान है, पर समुच्चय में विषम आकारों का कुल योग नहीं। परीक्षा-सुझाव: इस पहचान \(2^{n-1}\) को याद रखें — यह प्रश्नों में तेजी से काम आता है। / For a set of size \(n\), the number of odd-cardinality subsets equals \(\sum_{k\ \text{odd}}\binom{n}{k}=2^{n-1}\). This follows from the binomial theorem or by pairing each subset with its complement, which shows odd and even counts are equal when \(n\ge1\). For \(n=5\) we get \(2^{5-1}=2^{4}=16\). Verifying: \(\binom{5}{1}+\binom{5}{3}+\binom{5}{5}=5+10+1=16\). Closest distractor 15 is incorrect due to a mis-summation of combination terms; 32 is the total number of all subsets (\(2^5\)), and 10 is just the count for a specific k-value, not the sum over odd k. Exam tip: memorize the identity \(\sum_{k\ \text{odd}}\binom{n}{k}=2^{n-1}\) or use complement pairing to answer quickly.
(P(A)) के अवयव (A) के उपसमुच्चय होते हैं, लेकिन ({{1}}) में अवयव ({1}) है जो (A) का अवयव नहीं है। ब्रेसेस की परतें ध्यान से देखें। / Elements of (P(A)) are subsets of (A), but ({{1}}) has element ({1}), which is not an element of (A). Watch the layers of braces carefully.
(A) में दो अवयव \(\varnothing\) और ({1}) हैं, इसलिए (n(P(A))=22=4)। खाली समुच्चय भी अवयव हो सकता है। / (A) has two elements, \(\varnothing\) and ({1}), so (n(P(A))=22=4). The empty set can also be an element.
हर समुच्चय स्वयं अपने पावर सेट का अवयव होता है, इसलिए \(A={\varnothing,{\varnothing}}\) शामिल है। पावर सेट में मूल समुच्चय भी आता है। / Every set is an element of its power set, so \(A={\varnothing,{\varnothing}}\) is included. The original set is also in its power set.
यहाँ \(U=\{-2,-1,0,1,2\}\) और \(A=\{-1,1\}\)। इसलिए सार्वभौमिक समुच्चय के सापेक्ष पूरक \(A'=\{-2,0,2\}\) है जिसकी परिमाण \(n(A')=3\) है। किसी भी समुच्चय S का पावर सेट \(P(S)\) में \(2^{n(S)}\) सदस्य होते हैं, अतः \(n(P(A'))=2^3=8\)। विकल्प 4 इसलिए गलत है क्योंकि वह \(2^2\) मानता है (गलत रूप से \(n(A')=2\) मान लेना)। परीक्षा-सूत्र: पहले यूनिवर्सल सेट से पूरक निकालें, फिर पावर सेट के लिए \(2^{n(\cdot)}\) सूत्र लागू करें। / Here \(U=\{-2,-1,0,1,2\}\) and \(A=\{-1,1\}\). Thus the complement relative to \(U\) is \(A'=\{-2,0,2\}\) with \(n(A')=3\). The power set of any set S has \(2^{n(S)}\) elements, so \(n(P(A'))=2^3=8\). Option 4 is incorrect because it corresponds to \(2^2\), i.e. mistakenly taking \(n(A')=2\). Quick exam tip: always determine the complement with respect to the given universal set first, then use \( |P(S)|=2^{|S|}\).
U में अभाज्य (prime) संख्याएँ \(2,3,5,7\) हैं, अत: \(A=\{2,3,5,7\}\). इसलिए पूरक \(A'=U\setminus A=\{1,4,6,8,9\}\) और \(n(A')=5\). शक्ति समूह (power set) का क्रम \(n(P(A'))=2^{n(A')}=2^5=32\). गलत विकल्पों का कारण समझें: 16 तब प्राप्त होता है जब कोई गलती से \(n(A')=4\) मान ले (अक्सर तत्वों की गिनती भूलने से), और 64 तब when mistakenly treated \(n(A')=6\) — दोनों गिनती की त्रुटियाँ हैं. परीक्षा-सुझाव: पहले सेट के तत्व गिनकर सुनिश्चित करें कि 1 को अभाज्य न माना गया हो, फिर ही \(2^n\) लागू करें। / The primes in U are \(2,3,5,7\), so \(A=\{2,3,5,7\}\). Hence the complement is \(A'=U\setminus A=\{1,4,6,8,9\}\) with \(n(A')=5\). The power set has \(2^{n(A')}=2^5=32\) elements, so 32 is correct. Why other options are wrong: 16 would arise if one incorrectly counted \(n(A')=4\) (a counting mistake), and 64 would come from wrongly assuming \(n(A')=6\). Exam tip: always count elements of the set or its complement first and remember that 1 is not a prime before applying \(2^n\).
(P(A)) में \(2^4=16\) अवयव हैं, इसलिए इसके (2)-अवयवी उपसमुच्चय \(\binom{16}{2}=120\) हैं। यहां (P(A)) को नया समुच्चय मानें। / (P(A)) has \(2^4=16\) elements, so its (2)-element subsets are \(\binom{16}{2}=120\). Treat (P(A)) as a new set here.
(2^{n(A)}=2^{n(B)}) से (n(A)=n(B)) मिलता है, पर समुच्चय समान होना जरूरी नहीं। कार्डिनैलिटी और समानता अलग बातें हैं। / From (2^{n(A)}=2^{n(B)}), we get (n(A)=n(B)), but the sets need not be equal. Cardinality and equality are different ideas.
दोनों पावर सेटों में खाली समुच्चय हमेशा होता है और कोई अन्य समान उपसमुच्चय नहीं है। असंबद्ध मूल समुच्चयों के लिए सामान्य अवयव \(\varnothing\) रहता है। / Both power sets always contain the empty set, and no other subset is common here. For disjoint original sets, the common element is \(\varnothing\).
जो समुच्चय (A) और (B) दोनों के उपसमुच्चय हैं, वे \(A\cap B\) के उपसमुच्चय होते हैं। इसलिए (P(A)\cap P(B)=P\(A\cap B\))। / Sets that are subsets of both (A) and (B) are subsets of \(A\cap B\). Hence (P(A)\cap P(B)=P\(A\cap B\)).
\(P(A)\cup P(B)\) में केवल (A) या (B) के अलग-अलग उपसमुच्चय होते हैं, जबकि (P\(A\cup B\)) में मिश्रित उपसमुच्चय भी हो सकते हैं। इस पहचान को बिना जांचे न लगाएं। / \(P(A)\cup P(B)\) contains subsets of (A) or subsets of (B), while (P\(A\cup B\)) may contain mixed subsets. Do not use this as an identity without checking.
(P(A)) और (P(B)) में \(\varnothing\) तथा ({2}) समान हैं, इसलिए कुल (4+4-2=6)। पावर सेटों के संघ में दोहराव हटाएं। / (P(A)) and (P(B)) have \(\varnothing\) and ({2}) in common, so the total is (4+4-2=6). Remove duplicates in the union of power sets.
(A) और (A') असंबद्ध हैं, इसलिए उनके पावर सेटों में केवल \(\varnothing\) समान होगा। पावर सेटों का प्रतिच्छेद एक समुच्चय के रूप में लिखें। / (A) and (A') are disjoint, so their power sets have only \(\varnothing\) in common. Write the intersection of power sets as a set.
A. क्योंकि (A) का हर उपसमुच्चय (U) का भी उपसमुच्चय है/Because every subset of (A) is also a subset of (U)
Explanation
Simple Explanation
सार्वत्रिक समुच्चय में (A) के सभी अवयव हैं, इसलिए (A) के उपसमुच्चय भी (U) के उपसमुच्चय हैं। यह पावर सेट का आधारभूत गुण है। / The universal set contains all elements of (A), so subsets of (A) are also subsets of (U). This is a basic property of power sets.
सूत्र है \(n(P(X))=2^{n(X)}\)। दिया है \(n(P(A))=16=2^4\), इसलिए \(n(A)=4\)। यूनिवर्सल सेट में कुल तत्व \(7\) हैं, अतः पूरक सेट का क्रम होगा \(n(A')=n(U)-n(A)=7-4=3\)। अत: \(n(P(A'))=2^{n(A')}=2^3=8\)।
नजदीकी विचलन: विकल्प (C) 16 यह भूल है कि 16 मूलतः \(P(A)\) का क्रम है न कि \(P(A')\)। विकल्प (A) 4 को \(n(A)\) के साथ गलती से उत्तर समझा जा सकता है।
परिक्षा टिप: पहले हमेशा पहचानें कि कौन-सा संख्या सेट का क्रम है और कौन-सा उसके पावर सेट का (यानी \(2^{n(\cdot)}\) लागू करें)। / Use the identity \(n(P(X))=2^{n(X)}\). Since \(n(P(A))=16=2^4\), we get \(n(A)=4\). With \(n(U)=7\), the complement has size \(n(A')=n(U)-n(A)=7-4=3\). Therefore \(n(P(A'))=2^{n(A')}=2^3=8\).
Why other options are wrong: (C) 16 is the size of \(P(A)\), not \(P(A')\). (A) 4 is \(n(A)\), not a power-set size here. (D) 32 would correspond to \(2^5\), which has no basis from the given data.
Exam tip: Compute \(n(A)\) from \(n(P(A))\) first using logarithms base 2, then get \(n(A')\) via \(n(U)-n(A)\).
समझने का सिद्धांत: किसी समुच्चय X के पावर सेट की संख्या \(n(P(X))=2^{n(X)}\) होती है। यहाँ \(n(P(A'))=64=2^6\) इसलिए \(n(A')=6\)। चूँकि \(A'\) सार्वभौमिक समुच्चय के सापेक्ष A का पूरक है, इसलिए \(n(A)=n(U)-n(A')=10-6=4\)। गलत विकल्पों का संक्षिप्त कारण: C (6) को अक्सर गलत समझकर उत्तर मान लेते हैं क्योंकि वह वास्तव में \(A'\) का आकार है न कि \(A\)। B (5) और D (8) गणना त्रुटियाँ हैं — 64 का आधार-2 लॉगरिदम 6 होता है, न कि 5 या 8। परीक्छा टिप: पावर-सेट की संख्या देखकर सीधे \(n=X\) निकालने के लिए \(n=\log_2(n(P(X)))\) का प्रयोग करें। / Core idea: for any set X, \(n(P(X))=2^{n(X)}\). Given \(n(P(A'))=64=2^6\), so \(n(A')=6\). Since A' is the complement of A in the universal set, \(n(A)=n(U)-n(A')=10-6=4\). Why other choices fail: C (6) is the size of A' not A — mixing complement with the set is a common mistake. B (5) and D (8) are simple calculation errors (log base 2 of 64 is 6). Exam tip: use \(n(X)=\log_2(n(P(X)))\) to invert the power-set count quickly.
पावर सेट बराबर हों तो मूल समुच्चय बराबर होते हैं, इसलिए (A'=A) चाहिए। सीमित (U) में यह तभी संभव है जब (A) अपने पूरक के बराबर हो। / If power sets are equal, the original sets are equal, so (A'=A) is required. In a finite (U), this means (A) equals its complement.
कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^6=64\) है। जिन उपसमुच्चयों में कम से कम 2 अवयव नहीं हैं वे हैं: खाली उपसमुच्चय (1) और एक-अवयवी उपसमुच्चय (कुल \(\binom{6}{1}=6\)) — कुल \(1+6=7\)। अतः कम से कम 2 अवयव वाले उपसमुच्चय = \(64-7=57\)।\nनज़दीकी विचलन: 56 इसलिए गलत है क्योंकि वह 8 घटाने की गलती का परिणाम होगा (कहीं एक और उपसमुच्चय गिन लिया गया)। 64 सभी उपसमुच्चयों को दर्शाता है और खाली/एक-अवयवी उपसमुच्चयों को अलग नहीं करता।\nपरीक्षा सुझाव: अक्सर पूरक विधि सरल रहती है — पहले \(2^n\) से आकार \(<2\) वाले उपसमुच्चयों की संख्या घटा दें, या सीधे \(\sum_{k=2}^{6}\binom{6}{k}\) की गणना करें। / Total number of subsets is \(2^6=64\). Subsets with fewer than 2 elements are the empty set (1) and the one-element subsets (\(\binom{6}{1}=6\)), total \(1+6=7\). Therefore subsets with at least 2 elements = \(64-7=57\).\nClosest distractor: 56 is wrong because it corresponds to subtracting 8 instead of 7 (a counting error). 64 is wrong because it includes size 0 and size 1 subsets.\nExam tip: Use the complement: compute \(2^n\) and subtract counts of sizes less than the required value, or evaluate \(\sum_{k=2}^{6}\binom{6}{k}\).
अधिकतम (2) अवयव वाले उपसमुच्चय \(\binom{5}{0}+\binom{5}{1}+\binom{5}{2}=1+5+10=16\) हैं। अधिकतम में सभी छोटे आकार जोड़ें। / Subsets with at most (2) elements are \(\binom{5}{0}+\binom{5}{1}+\binom{5}{2}=1+5+10=16\). For at most, add all smaller sizes.
(a,b) स्थिर हैं और शेष (3) अवयवों के \(2^3=8\) चयन हो सकते हैं। दोनों अनिवार्य हों तो उन्हें पहले रख लें। / (a,b) are fixed, and the remaining (3) elements have \(2^3=8\) choices. When both are compulsory, place them first.
कुल \(2^5=32\) उपसमुच्चय हैं और (a,b) दोनों न होने वाले \(2^3=8\) हैं। इसलिए (32-8=24)। / There are \(2^5=32\) total subsets, and \(2^3=8\) subsets contain neither (a) nor (b). Thus (32-8=24).
सम योग पाने के लिए विषम अवयवों (1,3) में से सम संख्या चुनी जाएगी और सम अवयव स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2\cdot 2^2=8\)। पैरिटी में विषम अवयवों पर ध्यान दें। / For an even sum, choose an even number of odd elements from (1,3), and even elements are free, so \(2\cdot 2^2=8\). In parity questions, focus on odd elements.
A का U के सापेक्ष पूरक \(A'=\{2,4,6,8\}\) है — इसमें कुल 4 तत्व हैं। किसी सेट के पावर सेट में उपसमुच्चयों की संख्या नियम के अनुसार \(2^n\) होती है, अतः \(P(A')\) में कुल \(2^4=16\) उपसमुच्चय होंगे। चूँकि मूल सेट \(A'\) में केवल सम संख्याएँ ही हैं, इसलिए ये सभी 16 उपसमुच्चय केवल सम संख्याएँ ही रखते हैं। निकटतम भ्रमित विकल्प 8 इस गलत धारणा से आता है कि केवल 3 स्वतंत्र तत्व हों (\(2^3\)), और 32 यह मानकर कि 5 तत्व हैं (\(2^5\)) — दोनों गलत हैं। परीक्षा सुझाव: पहले हमेशा पूरक निकालकर उसमें कितने तत्व हैं गिनें, फिर पावर सेट की गिनती \(2^n\) का प्रयोग करें। / The complement relative to U is \(A'=\{2,4,6,8\}\), which has 4 elements. The number of subsets of an n-element set is \(2^n\), so \(P(A')\) has \(2^4=16\) subsets. Because every element of \(A'\) is even, every subset contains only even numbers — hence 16. The closest wrong option 8 corresponds to mistakenly using \(2^3\); 32 would imply \(2^5\). Quick exam tip: always form the complement with respect to the given universal set, count its elements, then apply \(2^n\).
A. केवल \({1}\in P(A)\) सही है/Only \({1}\in P(A)\) is correct
Explanation
Simple Explanation
({1}) समुच्चय (A) का उपसमुच्चय है, इसलिए वह (P(A)) का अवयव है। लेकिन (1), (P(A)) का अवयव नहीं है, इसलिए \({1}\subseteq P(A)\) गलत है। / ({1}) is a subset of (A), so it is an element of (P(A)). But (1) is not an element of (P(A)), so \({1}\subseteq P(A)\) is false.
({2}) स्वयं (A) का अवयव है, इसलिए ({{2}}) (A) का उपसमुच्चय है और (P(A)) का अवयव है। परतों को गिनना जरूरी है। / ({2}) itself is an element of (A), so ({{2}}) is a subset of (A) and an element of (P(A)). Counting the layers is essential.
(P(A)) में (8) अवयव हैं और \(\varnothing\) तथा (A) हटाने पर (8-2=6) बचते हैं। ये गैर-रिक्त उचित उपसमुच्चय हैं। / (P(A)) has (8) elements, and removing \(\varnothing\) and (A) leaves (8-2=6). These are non-empty proper subsets.
पहला कदम यह है कि \(A\cap B=\{2\}\)। यहाँ ऊपर्युक्त समुच्चय का समपूरक (complement) युनिवर्सल सेट \(U\) के सापेक्ष होगा: \((A\cap B)'=U\setminus\{2\}=\{1,3,4,5\}\)। इस समुच्चय के अवयवों की संख्या \(n=4\) है। किसी सेट के पावर सेट के अवयवों की संख्या \(2^{n}\) होती है, अतः \(2^{4}=16\)। इसलिए सही उत्तर 16 है। निकटतम भ्रामक विकल्पों का कारण: 8 तब आएगा जब गलती से \(n=3\) मान लिया गया हो; 32 तब यदि पूरे युनिवर्स \(5\) के पावर सेट को माना गया हो; और 4 केवल समुच्चय के अवयवों की संख्या है न कि पावर सेट की। परीक्षा सलाह: पहले कटाक्ष (intersection) और फिर युनिवर्स के सापेक्ष complement निकालें, फिर ही \(2^{n}\) लागू करें। / Compute the intersection first: \(A\cap B=\{2\}\). The complement is taken with respect to the universal set \(U\), so \((A\cap B)'=U\setminus\{2\}=\{1,3,4,5\}\), which has cardinality \(n=4\). The power set of a set with \(n\) elements has \(2^{n}\) elements, hence \(2^{4}=16\). Thus 16 is correct. Why other choices are wrong: 8 would result from mistakenly using \(n=3\); 32 would be from (incorrectly) using the whole universe size \(5\) so \(2^{5}\); and 4 is just the size of the set, not the size of its power set. Exam tip: always find the complement relative to \(U\) and count its elements before applying \(2^{n}\).
(A'\cup B'=\(A\cap B\)'={1,2,4,5,6}), इसलिए (n(P\(A'\cup B'\))=25=32)। डी मॉर्गन नियम से गिनती आसान होती है। / (A'\cup B'=\(A\cap B\)'={1,2,4,5,6}), so (n(P\(A'\cup B'\))=25=32). De Morgan's law makes counting easier.
(n(P(A))=23=8), (n(P(P(A)))=28=256), इसलिए (n(P(P(P(A))))=2^{256})। हर पावर सेट पर नई घात लगती है। / (n(P(A))=23=8), (n(P(P(A)))=28=256), so (n(P(P(P(A))))=2^{256}). Each power set adds a new exponent.
(1) वाले उपसमुच्चय (8) हैं और आकार (2) वाले \(\binom{4}{2}=6\) हैं। दोनों में (1) और एक अन्य वाला \(\binom{3}{1}=3\) है, इसलिए (8+6-3=11)। / Subsets containing (1) are (8), and size (2) subsets are \(\binom{4}{2}=6\). Their overlap is \(\binom{3}{1}=3\), so (8+6-3=11).
(a) हटाने पर (3) अवयव बचते हैं और इनके विषम आकार के उपसमुच्चय \(2^{3-1}=4\) हैं। निष्कासन के बाद ही आकार गिनें। / After excluding (a), (3) elements remain, and their odd-sized subsets are \(2^{3-1}=4\). Count the size after exclusion.
(2) स्थिर है और (1) निषिद्ध है, इसलिए (3,4,5) के \(2^3=8\) चयन होंगे। अनिवार्य और निषिद्ध अवयव अलग-अलग संभालें। / (2) is fixed and (1) is forbidden, so (3,4,5) have \(2^3=8\) choices. Handle compulsory and forbidden elements separately.
(n(P(B))=32) और (n(P(A))=8), इसलिए अंतर में (32-8=24) अवयव हैं। \(A\subseteq B\) होने से \(P(A)\subseteq P(B)\) है। / (n(P(B))=32) and (n(P(A))=8), so the difference has (32-8=24) elements. Since \(A\subseteq B\), \(P(A)\subseteq P(B)\).
पहले \(A' = U\setminus A = \{1,3,5,7\}\) पाया जाता है। किसी उपसमुच्चय में 1 और 7 अनिवार्य रूप से शामिल होने चाहिए, इसलिए ये दो तत्व स्थिर हैं। बचे हुए तत्व \(3\) और \(5\) को हम शामिल या न शामिल कर सकते हैं — हर एक के 2 विकल्प हैं, तो कुल विकल्प \(2^2=4\)। इसलिए उत्तर 4 है। नजदीकी भ्रामक विकल्प \(8\) इसीलिए गलत है क्योंकि वह मानता है कि सिर्फ एक तत्व फिक्स हुआ है या अनावश्यक अतिरिक्त स्वतंत्रता ली गई है; पूरा पावर सेट \(2^4=16\) होता है, पर दोनों 1 और 7 फिक्स करने से स्वतंत्र विकल्प घट कर 2 तत्व रह जाते हैं। परीक्षा-मंत्र: अनिवार्य तत्व पहले फिक्स करें और बाकी तत्वों के लिए \(2^{\text{(बचे हुए तत्वों की संख्या)}}\) गिनें। / First compute \(A' = U\setminus A = \{1,3,5,7\}\). Subsets must include 1 and 7, so these two are fixed. The remaining elements 3 and 5 can each be either included or not, giving \(2\) choices each and hence \(2^2=4\) subsets. Thus the answer is 4. Closest distractor 8 is wrong because it corresponds to an incorrect count (for example, treating only one element as fixed or miscounting degrees of freedom); the full power set has \(2^4=16\) subsets, but fixing two elements reduces free choices to \(2^{2}\). Exam tip: fix required elements first, then count subsets of the remaining elements as \(2^{\text{remaining}}").
दो समुच्चय असंबद्ध तब होते हैं जब उनका परस्पर छेदन शून्य हो, अर्थात् उनका गुणनखंड (intersection) \(\varnothing\) हो। किसी भी उपसमुच्चय \(X\subseteq A\) के लिए \(X\cap A=X\) होता है (क्योंकि \(X\) के सभी तत्व \(A\) के भी तत्व हैं)। यह तभी \(\varnothing\) होगा जब \(X=\varnothing\) हो। इसलिए केवल खाली उपसमुच्चय \(\varnothing\) ही \(A\) से असंबद्ध है, इसलिए संख्या 1 है. नज़दीकी भ्रमित विकल्प: 4 उपसमुच्चय एक-तत्व वाले हैं पर उनका प्रत्येक एक तत्व \(A\) में है इसलिए वे असंबद्ध नहीं हैं। परीक्षा-सुझाव: असंबद्धता के लिए हमेशा समुच्चयों का अंतर/छेदन चेक करें — खाली समुच्चय ही किसी भी सेट से असंबद्ध हो सकता है। / Two sets are disjoint if their intersection is empty, i.e. equals \(\varnothing\). For any subset \(X\subseteq A\) we have \(X\cap A=X\), so the intersection can be \(\varnothing\) only when \(X=\varnothing\). Thus only the empty subset is disjoint from \(A\), giving 1. Closest distractor: 4 equals the number of singleton subsets, but each singleton contains an element of \(A\) so its intersection with \(A\) is not empty. Exam tip: test disjointness by computing intersection; remember \(|P(A)|=2^{|A|}=16\) but most subsets intersect \(A\) except \(\varnothing\).
