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यहां (A') में (6) तत्व हैं, इसलिए (|\mathcal{P}(A')|=26=64)। परीक्षा में complement हमेशा (U) के सापेक्ष निकालें। / Here (A') has (6) elements, so (|\mathcal{P}(A')|=26=64). In exams, always find complement with respect to (U).
(|\mathcal{P}(A)|=256=28), इसलिए (|A|=8) और (|A'|=8)। non-empty subsets की संख्या \(2^8-1=255\) है। / Since (|\mathcal{P}(A)|=256=28), (|A|=8) and (|A'|=8). The number of non-empty subsets is \(2^8-1=255\).
दिया है \(|\mathcal{P}(A)|=64=2^6\). सामान्य सूत्र के अनुसार \(|\mathcal{P}(X)|=2^{|X|}\) है, अतः \(|A|=6\). चूँकि \(|U|=14\) और \(A\subseteq U\), इसलिए परिशिष्ट (complement) का कार्दिनेलिटी \(|A'|=14-6=8\). इस कारण \(|\mathcal{P}(A')|=2^{|A'|}=2^8\). निकटवर्ती विचलन: \(2^7\) तब गलत होगा जब कोई \(|A'|\) को 7 मान ले ले; ध्यान रखें कि परिशिष्ट का आकार = \(|U|-|A|\). परीक्षा सुझाव: पावर सेट का आकार तुरंत \(2^{|\cdot|}\) से निकालेँ — यह सबसे तेज़ रास्ता है। / Since \(|\mathcal{P}(A)|=64=2^6\) and generally \(|\mathcal{P}(X)|=2^{|X|}\), we get \(|A|=6\). With \(|U|=14\) and \(A\subseteq U\), the complement has size \(|A'|=14-6=8\). Therefore \(|\mathcal{P}(A')|=2^{|A'|}=2^8\). Closest distractor \(2^7\) would be wrong only if one incorrectly computed \(|A'|=7\). Exam tip: convert power-set sizes to the element count using \( |\mathcal{P}(X)|=2^{|X|} \) then use \(|A'|=|U|-|A|\).
\(A\cap B={4,10}\), इसलिए (\(A\cap B\)') में (9) तत्व हैं। अतः (|\mathcal{P}(\(A\cap B\)')|=29=512)। / \(A\cap B={4,10}\), so (\(A\cap B\)') has (9) elements. Hence (|\mathcal{P}(\(A\cap B\)')|=29=512).
समुच्चय (A) में (3) अलग-अलग तत्व हैं, इसलिए (|\mathcal{P}(A)|=23=8)। परीक्षा में \(\varnothing\), (1), और ({1}) को अलग मानें। / The set (A) has (3) distinct elements, so (|\mathcal{P}(A)|=23=8). In exams, treat \(\varnothing\), (1), and ({1}) as different.
(a) fixed है और (b) excluded है, इसलिए बाकी (3) तत्व (5) तत्वों से चुनने होंगे। संख्या \(\binom{5}{3}=10\) है। / (a) is fixed and (b) is excluded, so the remaining (3) elements must be chosen from (5) elements. The number is \(\binom{5}{3}=10\).
ऐसे subsets की संख्या \(\binom{4}{2}=6\) है। परीक्षा में fixed size subsets के लिए \(\binom{n}{r}\) लगाएं। / The number of such subsets is \(\binom{4}{2}=6\). In exams, use \(\binom{n}{r}\) for fixed-size subsets.
\(A\cup B={1,2,3,4,5}\), इसलिए complement में (3) तत्व हैं। अतः (|\mathcal{P}(\(A\cup B\)')|=23=8)। / \(A\cup B={1,2,3,4,5}\), so the complement has (3) elements. Hence (|\mathcal{P}(\(A\cup B\)')|=23=8).
क्योंकि \(A\in\mathcal{P}(A)\), इसलिए \(A\in\mathcal{P}(B)\) और \(A\subseteq B\)। इसी तरह \(B\subseteq A\), इसलिए (A=B)। / Since \(A\in\mathcal{P}(A)\), \(A\in\mathcal{P}(B)\) and \(A\subseteq B\). Similarly \(B\subseteq A\), so (A=B).
(|A|=9-4=5), इसलिए (A) के proper subsets \(2^5-1=31\) हैं। परीक्षा में proper subset के लिए पूरा set हटाएं। / (|A|=9-4=5), so proper subsets of (A) are \(2^5-1=31\). In exams, exclude the whole set for proper subsets.
(1) fixed है और (2) excluded है, इसलिए बाकी (3) तत्वों से \(2^3=8\) subsets बनेंगे। परीक्षा में compulsory और forbidden elements अलग करें। / (1) is fixed and (2) is excluded, so the remaining (3) elements give \(2^3=8\) subsets. In exams, separate compulsory and forbidden elements.
(p) और (q) हटाने पर (4) तत्व बचते हैं, इसलिए \(2^4=16\) subsets होंगे। परीक्षा में neither condition में दोनों तत्व हटाएं। / After removing (p) and (q), (4) elements remain, so there are \(2^4=16\) subsets. In exams, remove both elements for a neither condition.
जब \(|A|=n\geq1\), even cardinality subsets की संख्या \(2^{n-1}\) होती है। यहां \(2^6=64\) है। / When \(|A|=n\geq1\), the number of even cardinality subsets is \(2^{n-1}\). Here it is \(2^6=64\).
(6) fixed है, इसलिए बाकी (5) तत्वों में even संख्या चुननी होगी। ऐसे choices \(2^{5-1}=16\) हैं। / (6) is fixed, so an even number must be chosen from the remaining (5) elements. Such choices are \(2^{5-1}=16\).
({2,3}) स्वयं (A) का तत्व है, इसलिए ({{2,3}}) (A) का subset है। परीक्षा में nested element को एक object मानें। / ({2,3}) itself is an element of (A), so ({{2,3}}) is a subset of (A). In exams, treat a nested element as one object.
(\mathcal{P}(A)) में (1) सदस्य और (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) में (2) सदस्य हैं। इसलिए अगले power set में \(2^2=4\) सदस्य होंगे। / (\mathcal{P}(A)) has (1) member and (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) has (2) members. Hence the next power set has \(2^2=4\) members.
यदि \(|A|=n\) हो तो पहले पॉवर सेट का आकार \(|\mathcal{P}(A)|=2^n\) होगा और फिर उसके पॉवर सेट का आकार \(|\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))|=2^{2^n}\) होगा. दिया गया है \(2^{2^n}=256=2^8\), इसलिए \(2^n=8\) और \(n=3\). विकल्प C (4) तब होता है जब कोई छात्र भूलकर \(2^{2^n}\) को \(2^{2n}\) समझ लेता है: फिर \(2^{2n}=256\Rightarrow2n=8\Rightarrow n=4\), इसलिए C गलत है. परीक्षा टिप: पॉवर-सेट पर दो बार ऑपरेशन लगाने पर घात के अंदर फिर से घात बनता है — इसे कदम-दर-कदम लिखकर भूलने से बचें। / Let \(|A|=n\). Then \(|\mathcal{P}(A)|=2^n\) and \(|\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))|=2^{2^n}\). Given \(2^{2^n}=256=2^8\), so \(2^n=8\) and hence \(n=3\). A common mistake (leading to option C = 4) is to treat \(2^{2^n}\) as \(2^{2n}\); that yields \(2^{2n}=256\Rightarrow n=4\), which is incorrect. Exam tip: evaluate iterated power sets stepwise — first find \(2^n\), then raise 2 to that power.
क्योंकि \(\mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)\), इसलिए अंतर \(2^6-2^3=64-8=56\) है। परीक्षा में nested power sets में सीधे घटाएं। / Since \(\mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)\), the difference is \(2^6-2^3=64-8=56\). In exams, subtract directly for nested power sets.
(\mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B)=\mathcal{P}\(A\cap B\)), इसलिए संख्या \(2^4=16\) है। परीक्षा में common subsets की identity याद रखें। / (\mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B)=\mathcal{P}\(A\cap B\)), so the number is \(2^4=16\). In exams, remember the identity for common subsets.
दोनों power sets में common member केवल \(\varnothing\) है। इसलिए \(2^4+2^3-1=16+8-1=23\)। / The only common member of the two power sets is \(\varnothing\). Therefore \(2^4+2^3-1=16+8-1=23\).
पहला कदम है \(A-B\) निकालना: \(A-B=\{1,7,9\}\) क्योंकि \(3\) और \(5\) दोनों \(B\) में भी हैं। यहाँ ' (प्राइम) का अर्थ है मानक यूनिवर्सल सेट \(U\) के सापेक्ष समपूर्ण (complement)। अतः \((A-B)'=U-\{1,7,9\}=\{2,3,4,5,6,8\}\) — इसमें कुल 6 तत्व हैं। किसी सेट का power set में उपसामूहिकों की संख्या \(2^{n}\) होती है, जहाँ \(n\) उस सेट के तत्वों की संख्या है, इसलिए \(|\mathcal{P}((A-B)')|=2^{6}=64\)। ध्यान रहे कि एक सामान्य गलतियाँ: 32 (\(2^5\)) चुनना तब होता है जब कोई एक तत्व छूट जाए; 128 (\(2^7\)) तब जब गलत तरह से अतिरिक्त तत्व जोड़ लिए जाएँ। परीक्षा-टिप: प्राइम (') हमेशा यूनिवर्सल सेट के सापेक्ष है — पहले difference, फिर complement पर स्पष्ट रहें। / Compute \(A-B\) first: \(A-B=\{1,7,9\}\) since 3 and 5 are also in \(B\). The prime (') denotes complement with respect to the universal set \(U\), so \((A-B)'=U-\{1,7,9\}=\{2,3,4,5,6,8\}\), which has 6 elements. The power set has \(2^n\) subsets for an \(n\)-element set, so \(|\mathcal{P}((A-B)')|=2^{6}=64\). Common mistake: choosing 32 (\(2^5\)) comes from miscounting elements; 128 (\(2^7\)) comes from incorrectly adding elements. Exam tip: perform set operations in the correct order and always take complements relative to the given universal set.
कम से कम (6) तत्वों वाले subsets की संख्या \(\binom{7}{6}+\binom{7}{7}=7+1=8\) है। परीक्षा में at least का मतलब सभी बड़े sizes जोड़ना है। / The number of subsets with at least (6) elements is \(\binom{7}{6}+\binom{7}{7}=7+1=8\). In exams, at least means adding all larger sizes.
संख्या \(\binom{8}{0}+\binom{8}{1}+\binom{8}{2}=1+8+28=37\) है। परीक्षा में at most में (0) size वाला subset भी जोड़ें। / The number is \(\binom{8}{0}+\binom{8}{1}+\binom{8}{2}=1+8+28=37\). In exams, include the subset of size (0) in at most.
(a,b) में से ठीक एक चुनने के (2) तरीके हैं और बाकी (3) तत्व स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2\cdot2^3=16\)। / There are (2) ways to choose exactly one of (a,b), and the remaining (3) elements are free. Hence \(2\cdot2^3=16\).
(1) fixed और (6) excluded है, इसलिए (2) तत्व ({2,3,4,5}) से चुनेंगे। संख्या \(\binom{4}{2}=6\) है। / (1) is fixed and (6) is excluded, so choose (2) elements from ({2,3,4,5}). The number is \(\binom{4}{2}=6\).
Disjoint subsets केवल ({3,4,5}) से बनेंगे, इसलिए \(2^3=8\) हैं। परीक्षा में disjoint condition के लिए forbidden elements हटा दें। / Disjoint subsets are formed only from ({3,4,5}), so there are \(2^3=8\). In exams, remove forbidden elements for a disjoint condition.
किसी भी सदस्य को \(A\) को उपसमुच्चय रखने के लिए वह सदस्य रूप से \(A\cup S\) होना चाहिए जहाँ \(S\subseteq U\setminus A\)। \(U\) में कुल 8 तत्व हैं और \(A\) में 3 तत्व हैं, अतः \(U\setminus A\) में 5 तत्व बचते हैं। उन 5 तत्वों का कोई भी उपसमुच्चय चुना जा सकता है, अतः संभव विकल्पों की संख्या \(2^5=32\) है। निकटतम भ्रमित विकल्प \(16\) तब आएगा जब केवल 4 अतिरिक्त तत्व माने जाएँ (\(2^4=16\)) — यह यहाँ गलत है क्योंकि वास्तव में 5 अतिरिक्त तत्व हैं। परीक्षा टिप: "किसी सेट को उपसमुच्चय रखने वाले पावर-सेट के सदस्य = 2^{|U|-|A|}" फॉर्मूले का तुरंत प्रयोग करें। / Any subset of \(U\) that contains \(A\) has the form \(A\cup S\) where \(S\subseteq U\setminus A\). Since \(|U|=8\) and \(|A|=3\), the complement \(U\setminus A\) has 5 elements. Each of those 5 elements may be either present or absent in \(S\), giving \(2^5=32\) possibilities. The closest wrong option 16 would correspond to mistakenly treating only 4 optional elements (\(2^4=16\)), which is not the case here. Exam tip: use the formula number = \(2^{|U|-|A|}\) to answer quickly.
(A'={1,3,5,7}) में (4) तत्व हैं, इसलिए उसके subsets \(2^4=16\) हैं। परीक्षा में यह (\mathcal{P}(A')) की cardinality है। / (A'={1,3,5,7}) has (4) elements, so its subsets are \(2^4=16\). In exams, this is the cardinality of (\mathcal{P}(A')).
Singleton members ({1},{2},{3},{4}) हैं, इसलिए संख्या (4) है। परीक्षा में \(\varnothing\) singleton नहीं होता। / The singleton members are ({1},{2},{3},{4}), so the number is (4). In exams, \(\varnothing\) is not a singleton.
(\mathcal{P}(A)) में \(2^4=16\) सदस्य हैं, इसलिए उसके power set में (16) singleton members होंगे। परीक्षा में singleton members की संख्या base set की cardinality होती है। / (\mathcal{P}(A)) has \(2^4=16\) members, so its power set has (16) singleton members. In exams, the number of singleton members equals the cardinality of the base set.
क्योंकि \({1}\in\mathcal{P}(A)\) और \({2}\in\mathcal{P}(A)\), इसलिए दिया गया set (\mathcal{P}(A)) का subset है। परीक्षा में outer braces को ध्यान से पढ़ें। / Since \({1}\in\mathcal{P}(A)\) and \({2}\in\mathcal{P}(A)\), the given set is a subset of (\mathcal{P}(A)). In exams, read the outer braces carefully.
({1}) (A) का subset है, इसलिए \({1}\in\mathcal{P}(A)\) सत्य है। पर \({1}\subseteq\mathcal{P}(A)\) के लिए \(1\in\mathcal{P}(A)\) चाहिए, जो गलत है। / ({1}) is a subset of (A), so \({1}\in\mathcal{P}(A)\) is true. But \({1}\subseteq\mathcal{P}(A)\) would require \(1\in\mathcal{P}(A)\), which is false.
(1) से (15) तक (3) से विभाज्य (5) संख्याएं हैं, इसलिए (|A'|=10)। अतः (|\mathcal{P}(A')|=2^{10})। / There are (5) numbers divisible by (3) from (1) to (15), so (|A'|=10). Hence (|\mathcal{P}(A')|=2^{10}).
(1) से (20) तक primes (8) हैं, इसलिए (|A'|=12)। Non-empty subsets \(2^{12}-1=4095\) हैं। / There are (8) primes from (1) to (20), so (|A'|=12). The non-empty subsets are \(2^{12}-1=4095\).
समुच्चय \(A=\{-2,-1,0,1,2,3\}\) में कुल 6 तत्व हैं। किसी भी n-तत्वीय समुच्चय का शक्ति-समुच्चय \(|\mathcal{P}(A)|=2^n\) होता है, अतः \(|\mathcal{P}(A)|=2^6=64\)। विकल्प B (32) तब आता है जब गलती से तत्वों की संख्या 5 ली जाए; विकल्प D (128) तब गलत है जबा 7 तत्व गिने गए हों। परीक्षा युक्ति: पूर्णांकों के लिए सीमाओं को शामिल करके गिनें और शक्ति-समुच्चय के लिए हमेशा \(2^n\) लागू करें। / The set \(A=\{-2,-1,0,1,2,3\}\) contains 6 elements. For any set with n elements, the power set has size \(|\mathcal{P}(A)|=2^n\); therefore \(|\mathcal{P}(A)|=2^6=64\). Option B (32) would result from mistakenly counting 5 elements; option D (128) corresponds to counting 7 elements — both are incorrect counting errors. Exam tip: when integers are given with inequalities, count inclusive endpoints and then apply \(2^n\).
(A') में even numbers (6) हैं, इसलिए (3)-element subsets की संख्या \(\binom{6}{3}=20\) है। परीक्षा में पहले (A') की size निकालें। / (A') contains (6) even numbers, so the number of (3)-element subsets is \(\binom{6}{3}=20\). In exams, first find the size of (A').
किसी सेट A के सभी उपसमुच्चयों की कुल संख्या \(2^n\) होती है। Proper subsets वे होते हैं जो सेट A के बराबर नहीं होते, इसलिए proper subsets की संख्या \(2^n-1\) होगी। प्रश्नानुसार \(2^n-1=31\) देता है, अतः \(2^n=32\) और \(n=5\)। नज़दीकी विकर्षकों का परीक्षण: यदि \(n=4\) होता तो \(2^4-1=15\) मिलता (गलत), और \(n=6\) पर \(2^6-1=63\) मिलता (गलत)। परीक्षा-टिप: proper subsets गिनते समय पूरे सेट को शामिल न करें — कुल उपसमुच्चय \(2^n\) में से एक घटा कर रखें। / The total number of subsets of an n-element set is \(2^n\). Proper subsets exclude the set itself, so their count is \(2^n-1\). Given \(2^n-1=31\), we get \(2^n=32\) and hence \(n=5\). Checking distractors: for \(n=4\) we would have \(2^4-1=15\), and for \(n=6\) we would have \(2^6-1=63\), so those are incorrect. Quick exam tip: remember to subtract 1 from \(2^n\) when asked for proper subsets (exclude the set itself).
क्योंकि (|A'|=2m-m=m), इसलिए दोनों power sets की cardinality \(2^m\) होगी। परीक्षा में complement की size पहले निकालें। / Since (|A'|=2m-m=m), both power sets have cardinality \(2^m\). In exams, first find the size of the complement.
पावर सेट का आकार किसी सेट S के लिए \(|\mathcal{P}(S)|=2^{|S|}\) होता है। यहाँ \(|\mathcal{P}(A')|=1024=2^{10}\) से \(|A'|=10\)। चूँकि \(A'\) यूनिवर्सल सेट \(U\) का समपूरक है और \(|U|=18\), इसलिए \(|A|=|U|-|A'|=18-10=8\)। अतः \(|\mathcal{P}(A)|=2^{|A|}=2^8\). निकटतम ग़लत विकल्प: \(2^{10}\) उसी \(|\mathcal{P}(A')|\) को दर्शाता है न कि \(|\mathcal{P}(A)|\)। परीक्षा टिप: 1024 को तुरंत \(2^{10}\) समझें और समपूरक का नियम \(|A|=|U|-|A'|\) लागू करें। / For any set S, the power set size is \(|\mathcal{P}(S)|=2^{|S|}\). Given \(|\mathcal{P}(A')|=1024=2^{10}\), so \(|A'|=10\). Since \(A'\) is the complement in the universal set \(U\) with \(|U|=18\), we have \(|A|=|U|-|A'|=18-10=8\). Therefore \(|\mathcal{P}(A)|=2^{|A|}=2^8\). Closest distractor \(2^{10}\) corresponds to \(|\mathcal{P}(A')|\), not \(|\mathcal{P}(A)|\). Exam tip: convert 1024 to \(2^{10}\) quickly and use \(|A|=|U|-|A'|\).
यदि सेट A में 4 सदस्य हैं तो उसकी पावर-सेट \(\mathcal{P}(A)\) में कुल उपसंग्रहों की संख्या \(2^n\) के नियम से \(2^4=16\) होगी। इस कुल में A स्वयं भी एक उपसंग्रह है; इसलिए A को हटाने पर बचते हैं \(16-1=15\)। विकल्प C (16) गलत है क्योंकि वह पूरा पावर-सेट है — A को हटाने के बाद संख्या कम हो जाएगी। विकल्प A (14) गलत है क्योंकि वह दो सदस्यों की कमी मानता है; यहाँ केवल एक ही उपसंग्रह (A) हटाया गया है। परीक्षा टिप: किसी सेट के उपसंग्रहों की गिनती के लिए हमेशा \(2^{|A|}\) याद रखें और यदि कोई उपसंग्रह हटाना हो तो उससे 1 घटा दें। / If set A has 4 elements then the power set \(\mathcal{P}(A)\) contains \(2^n\) subsets, so \(2^4=16\). Since A itself is one of those subsets, excluding A leaves \(16-1=15\). Option C (16) is incorrect because it counts the whole power set including A; option A (14) is wrong as it subtracts two instead of one. Quick exam tip: use \(2^{|A|}\) to count subsets, then subtract 1 when excluding a specific subset.
Cardinality (2) से विभाज्य होने का अर्थ even cardinality है। (6)-element set के even subsets \(2^{6-1}=32\) होते हैं। / Cardinality divisible by (2) means even cardinality. A (6)-element set has \(2^{6-1}=32\) even subsets.
बुनियादी विचार: \(\{1,2\}\) को रखना अनिवार्य है और \(5\) निष्कासित है। बचते हुए तत्व हैं \(3\) और \(4\) — ये प्रत्येक शामिल या न शामिल हो सकते हैं। इसलिए संभावनाएँ = \(2^{2}=4\)। विकल्प C (8) तब आता है जब तीन तत्वों को वैकल्पिक माना जाए (उदाहरण के लिए अगर \(5\) को भी वैकल्पिक मान लिया गया हो), जो यहाँ सही नहीं है। परीक्षा-सूत्र: आवश्यक और निषिद्ध तत्वों को अलग कर दें; शेष तत्वों की संख्या पर \(2^{n}\) लागू करें। / Core idea: \(\{1,2\}\) must be present and \(5\) is excluded. The remaining elements are 3 and 4, each may be either included or excluded, giving \(2^{2}=4\) subsets. Option C (8) would be obtained if three elements were treated as optional (for example if 5 were also allowed), which is not the case. Exam tip: fix required/excluded elements first, then count subsets of the remaining elements as \(2^{\text{(number of optional elements)}}\).
कुल subsets \(2^5=32\) हैं और (a,b) दोनों न रखने वाले \(2^3=8\) हैं। इसलिए उत्तर (32-8=24) है। / Total subsets are \(2^5=32\), and subsets containing neither (a,b) are \(2^3=8\). Therefore the answer is (32-8=24).
(A'\cap B'=\(A\cup B\)') और \(A\cup B={1,2,3,4,5,6}\) है। complement में (2) तत्व हैं, इसलिए \(2^2=4\)। / (A'\cap B'=\(A\cup B\)') and \(A\cup B={1,2,3,4,5,6}\). The complement has (2) elements, so \(2^2=4\).
(A'\cup B'=\(A\cap B\)') और \(A\cap B={4,5}\) है। complement में (7) तत्व हैं, इसलिए \(2^7=128\)। / (A'\cup B'=\(A\cap B\)') and \(A\cap B={4,5}\). The complement has (7) elements, so \(2^7=128\).
({1,2}) fixed है, इसलिए बाकी (2) तत्व ({3,4,5,6}) से चुनने हैं। संख्या \(\binom{4}{2}=6\) है। / ({1,2}) is fixed, so choose the remaining (2) elements from ({3,4,5,6}). The number is \(\binom{4}{2}=6\).
यदि किसी समुच्चय के सदस्यों की संख्या \(|A|=n\) हो तो उसके शक्ति समुच्चय की कुल संख्या \(2^n\) होती है। यहाँ \(n=5\) है, इसलिए \(|\mathcal{P}(A)|=2^5=32\)। शक्ति समुच्चय में हमेशा \(A\) और \(\varnothing\) दोनों उपस्थित रहते हैं; इन्हें निकालने पर बचते हैं \(32-2=30\) सदस्य। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प \(31\) तब होता यदि केवल एक ही (या केवल शून्य) निकालना हो; \(32\) वह विकल्प है जिसमें कोई निकालना नहीं हुआ। परीक्षा सुझाव: शक्ति समुच्चय के आकार का सूत्र \(2^{|A|}\) याद रखें और हटाने से पहले कुल गिनती अवश्य लें। / For any set with \(|A|=n\), the power set has \(2^n\) elements. Here \(n=5\), so \(|\mathcal{P}(A)|=2^5=32\). The power set always contains both \(A\) and \(\varnothing\); removing them leaves \(32-2=30\) elements. The common distractor 31 would correspond to removing only one of them; 32 corresponds to removing none. Exam tip: first compute \(2^{|A|}\) then subtract the exact number of excluded subsets.
\(|A\cup B|=6\) और \(|A\cap B|=2\), इसलिए \(2^6-2^2=64-4=60\)। परीक्षा में पहले union और intersection की size निकालें। / \(|A\cup B|=6\) and \(|A\cap B|=2\), so \(2^6-2^2=64-4=60\). In exams, first find the sizes of union and intersection.
(|U|=|A|+|A'|=4+5=9), इसलिए (|\mathcal{P}(U)|=29=512)। परीक्षा में (A) और (A') मिलकर पूरा (U) बनाते हैं। / (|U|=|A|+|A'|=4+5=9), so (|\mathcal{P}(U)|=29=512). In exams, (A) and (A') together form the whole (U).
Fixed (4)-element subset से disjoint member केवल शेष (6) तत्वों से बनेगा। इसलिए संख्या \(2^6=64\) है। / A member disjoint from the fixed (4)-element subset can be formed only from the remaining (6) elements. Therefore the number is \(2^6=64\).
