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दोनों पक्षों का वर्ग करने पर \(1+2\sin x\cos x=2\) मिलता है। इसलिए \(\sin x\cos x=\frac{1}{2}\); ऐसे प्रश्नों में वर्ग करना उपयोगी है। / Squaring both sides gives \(1+2\sin x\cos x=2\). Hence \(\sin x\cos x=\frac{1}{2}\); squaring is useful in such questions.
परिभाषा के अनुसार \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)। प्रश्न में \(\tan x=2\) दिया है, इसलिए \(\frac{\sin x}{\cos x}=2\)। \(\frac{1}{2}\) इसका व्युत्क्रम है, जो \(\cot x\) के बराबर होता है, न कि \(\tan x\) के। परीक्षा टिप: \(\tan x\) को हमेशा \(\sin x/\cos x\) से जोड़कर याद रखें। / By definition, \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\). Since \(\tan x=2\) is given, \(\frac{\sin x}{\cos x}=2\). The value \(\frac{1}{2}\) is the reciprocal and represents \(\cot x\), not \(\tan x\). Exam tip: Remember \(\tan x\) as \(\sin x/\cos x\).
\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\) होता है। जब \(\cos x=0\), अर्थात \(x=\frac{(2n+1)\pi}{2}\), तब हर शून्य होने से \(\tan x\) अपरिभाषित है। \(x=n\pi\) पर इसका मान 0 होता है। परीक्षा टिप: tan के लिए cos का शून्य होना याद रखें। / \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\). It is undefined when \(\cos x=0\), i.e. at \(x=\frac{(2n+1)\pi}{2}\). At \(x=n\pi\), tan equals 0, so option A is not correct. Exam tip: link tan’s domain to non-zero cosine.
\(\cosec x=\frac{1}{\sin x}\) होता है। इसलिए \(\sin x=\frac{1}{4}\); हर व्युत्क्रम फलन को जोड़ी में याद करें। / \(\cosec x=\frac{1}{\sin x}\). Hence \(\sin x=\frac{1}{4}\); learn each reciprocal function as a pair.
पाइथागोरस सर्वसमिका \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) से \(1-\cos^2 x=\sin^2 x\) प्राप्त होता है। अतः \(\frac{1-\cos^2 x}{\sin^2 x}=\frac{\sin^2 x}{\sin^2 x}=1\), जहाँ \(\sin x\ne 0\) हो। \(\sin x\), \(\cos x\) या \(\tan x\) स्वयं इस अनुपात के सरल मान नहीं हैं। परीक्षा सुझाव: ऐसे प्रश्नों में पहले \(1-\cos^2 x\) को \(\sin^2 x\) से बदलें। / Using the Pythagorean identity \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\), we get \(1-\cos^2 x=\sin^2 x\). Therefore, \(\frac{1-\cos^2 x}{\sin^2 x}=\frac{\sin^2 x}{\sin^2 x}=1\), provided \(\sin x\ne 0\). Neither \(\sin x\), \(\cos x\), nor \(\tan x\) is the simplified value of this ratio. Exam tip: first replace \(1-\cos^2 x\) with \(\sin^2 x\) in such questions.
क्योंकि \(1-\sin^2 x=\cos^2 x\), इसलिए मान (1) होगा। \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) सबसे जरूरी पहचान है। / Since \(1-\sin^2 x=\cos^2 x\), the value is (1). \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) is the most important identity.
\(\sin kx\) का काल \(\frac{2\pi}{k}\) होता है। यहाँ \(k=3\), इसलिए काल \(\frac{2\pi}{3}\) है। / The period of \(\sin kx\) is \(\frac{2\pi}{k}\). Here \(k=3\), so the period is \(\frac{2\pi}{3}\).
\(\tan kx\) का काल \(\frac{\pi}{k}\) होता है। \(k=4\) रखने पर काल \(\frac{\pi}{4}\) मिलता है। / The period of \(\tan kx\) is \(\frac{\pi}{k}\). Substituting \(k=4\) gives period \(\frac{\pi}{4}\).
चूँकि \(\cos x\) का मान \(-1\) से \(1\) के बीच होता है, इसलिए 2 से गुणा करने पर \(2\cos x\) का मान \(-2\) से \(2\) के बीच होगा। \(x=0\) पर इसका मान \(2\) तथा \(x=\pi\) पर \(-2\) मिलता है, इसलिए दोनों छोर भी शामिल हैं। \([-1,1]\) केवल \(\cos x\) का परिसर है। परीक्षा टिप: \(a\cos x\) का परिसर \([-|a|,|a|]\) होता है। / Since \(\cos x\) lies between \(-1\) and \(1\), multiplying by 2 gives values of \(2\cos x\) from \(-2\) to \(2\). The endpoints are included because \(2\cos 0=2\) and \(2\cos \pi=-2\). Thus, \([-1,1]\) is the range of \(\cos x\), not of \(2\cos x\). Exam tip: the range of \(a\cos x\) is \([-|a|,|a|]\).
क्योंकि \(\sin x\) का मान \(-1\) से \(1\) के बीच होता है, इसका अधिकतम मान \(1\) है। अतः \(3\sin x+1\) का अधिकतम मान \(3\times1+1=4\) होगा। विकल्प 3 केवल \(3\sin x\) का अधिकतम मान है; इसमें स्थिर पद \(1\) जोड़ने पर अधिकतम मान 4 हो जाता है। परीक्षा टिप: \(a\sin x+b\) का अधिकतम मान, जब \(a>0\) हो, \(a+b\) होता है। / Since \(\sin x\) lies between \(-1\) and \(1\), its maximum value is \(1\). Therefore, the maximum of \(3\sin x+1\) is \(3\times1+1=4\). Option 3 is only the maximum of \(3\sin x\); adding the constant \(1\) shifts the maximum to 4. Exam tip: for \(a\sin x+b\), when \(a>0\), the maximum value is \(a+b\).
चूँकि \(\cos x\) का मान \(-1\) से \(1\) के बीच होता है, इसलिए \(5-2\cos x\) न्यूनतम तब होगा जब \(\cos x=1\) हो। अतः न्यूनतम मान \(5-2(1)=3\) है। \(7\) अधिकतम मान है, जो \(\cos x=-1\) पर मिलता है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक गुणांक वाले त्रिकोणमितीय पद में फलन का न्यूनतम ज्ञात करने के लिए उस त्रिकोणमितीय फलन का अधिकतम मान लें। / Since \(\cos x\) lies between \(-1\) and \(1\), \(5-2\cos x\) is smallest when \(\cos x=1\). Thus, its minimum value is \(5-2(1)=3\). The value \(7\) is the maximum, obtained when \(\cos x=-1\). Exam tip: For a trigonometric term with a negative coefficient, use the maximum value of that trigonometric function to find the minimum of the expression.
\(\sin x=\frac{15}{17}\) मिलता है और \(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\) होता है। इसलिए \(\cot x=\frac{8}{15}\)। / \(\sin x=\frac{15}{17}\) and \(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\). Therefore, \(\cot x=\frac{8}{15}\).
\(\tan x=\frac{3}{4}\) से समकोण त्रिभुज में कर्ण (5) होगा। इसलिए \(\sin x=\frac{3}{5}\)। / From \(\tan x=\frac{3}{4}\), the hypotenuse in a right triangle is (5). Hence \(\sin x=\frac{3}{5}\).
\(\cot x=\frac{5}{12}\) में आसन्न (5) और सामने (12) मानें। कर्ण (13) होगा, इसलिए \(\cos x=\frac{5}{13}\)। / For \(\cot x=\frac{5}{12}\), take adjacent as (5) and opposite as (12). The hypotenuse is (13), so \(\cos x=\frac{5}{13}\).
पूरक कोण सूत्रों के अनुसार \(\sin(\pi+x)=-\sin x\) तथा \(\sin(\pi-x)=\sin x\) होता है। अतः \(\sin(\pi+x)+\sin(\pi-x)=-\sin x+\sin x=0\)। \(2\sin x\) तब मिलता है जब दोनों पद \(\sin x\) के समान चिह्न वाले हों, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा टिप: \(\pi\pm x\) वाले कोणों में चिन्ह निर्धारित करने के लिए कोण का चतुर्थांश अवश्य देखें। / Using allied-angle identities, \(\sin(\pi+x)=-\sin x\) and \(\sin(\pi-x)=\sin x\). Therefore, \(\sin(\pi+x)+\sin(\pi-x)=-\sin x+\sin x=0\). The result \(2\sin x\) would occur only if both terms had the same sign, which they do not here. Exam tip: for angles of the form \(\pi\pm x\), determine the sign by identifying the quadrant.
पूरक कोण के सूत्रों से \(\cos(\pi+x)=-\cos x\) तथा \(\cos(\pi-x)=-\cos x\) होता है। अतः \(\cos(\pi+x)+\cos(\pi-x)=-\cos x-\cos x=-2\cos x\)। \(0\) केवल विशेष मानों, जैसे \(\cos x=0\), के लिए मिल सकता है; यह सामान्य सरल रूप नहीं है। परीक्षा टिप: \(\pi\pm x\) वाले कोणों में पहले त्रिकोणमितीय फलन का चिह्न जाँचें। / Using allied-angle identities, \(\cos(\pi+x)=-\cos x\) and \(\cos(\pi-x)=-\cos x\). Hence, \(\cos(\pi+x)+\cos(\pi-x)=-\cos x-\cos x=-2\cos x\). The value \(0\) may occur only for particular values such as when \(\cos x=0\); it is not the general simplified form. Exam tip: For angles of the form \(\pi\pm x\), first check the sign of the trigonometric function.
\(\tan\) का आवर्त \(\pi\) है, इसलिए \(\tan(\pi+x)=\tan x\)। साथ ही, \(\tan(\pi-x)=\tan(-x)=-\tan x\)। अतः \(\tan(\pi+x)-\tan(\pi-x)=\tan x-(-\tan x)=2\tan x\)। \(-2\tan x\) तब मिलता यदि पदों का क्रम उलटा होता। परीक्षा टिप: \(\tan(\pi-x)\) में ऋण चिह्न अवश्य ध्यान रखें। / The period of \(\tan\) is \(\pi\), so \(\tan(\pi+x)=\tan x\). Also, \(\tan(\pi-x)=\tan(-x)=-\tan x\). Hence, \(\tan(\pi+x)-\tan(\pi-x)=\tan x-(-\tan x)=2\tan x\). The value \(-2\tan x\) would result if the order of the two terms were reversed. Exam tip: carefully retain the negative sign in \(\tan(\pi-x)\).
\(\frac{\pi}{2}+x\) वाले रूप में \(\sin\) बदलकर \(\cos\) होता है और चिन्ह धनात्मक रहता है। इसलिए उत्तर \(\cos x\) है। / In the form \(\frac{\pi}{2}+x\), \(\sin\) changes to \(\cos\) and the sign remains positive. Hence the answer is \(\cos x\).
\(\frac{\pi}{2}+x\) वाले रूप में \(\cos\) बदलकर \(\sin\) होता है और चिन्ह ऋणात्मक होता है। इसलिए \(-\sin x\) मिलता है। / In the form \(\frac{\pi}{2}+x\), \(\cos\) changes to \(\sin\) with a negative sign. Hence it becomes \(-\sin x\).
\(\frac{\pi}{2}+x\) पर \(\tan\) बदलकर \(\cot\) होता है और चिन्ह ऋणात्मक होता है। इसलिए (\tan\(\frac{\pi}{2}+x\)=-\cot x)। / At \(\frac{\pi}{2}+x\), \(\tan\) changes to \(\cot\) with a negative sign. Hence (\tan\(\frac{\pi}{2}+x\)=-\cot x).
(\cos\(\frac{\pi}{2}-x\)=\sin x), इसलिए (\sec\(\frac{\pi}{2}-x\)=\frac{1}{\sin x}=\cosec x)। पूरक कोण में सहफलन बनता है। / (\cos\(\frac{\pi}{2}-x\)=\sin x), so (\sec\(\frac{\pi}{2}-x\)=\frac{1}{\sin x}=\cosec x). Complementary angles give cofunctions.
(\sin\(\frac{\pi}{2}-x\)=\cos x), इसलिए (\cosec\(\frac{\pi}{2}-x\)=\frac{1}{\cos x}=\sec x)। व्युत्क्रम और पूरक पहचान साथ लगाएँ। / (\sin\(\frac{\pi}{2}-x\)=\cos x), so (\cosec\(\frac{\pi}{2}-x\)=\frac{1}{\cos x}=\sec x). Use reciprocal and cofunction identities together.
पहचान से \(|\cos x|=\frac{24}{25}\) मिलता है। दूसरे चतुर्थांश में \(\cos x\) ऋणात्मक होता है। / The identity gives \(|\cos x|=\frac{24}{25}\). In the second quadrant, \(\cos x\) is negative.
\(\sec^2 x=1+\tan^2 x\) से \(|\sec x|=\frac{41}{40}\) मिलता है। तीसरे चतुर्थांश में \(\sec x\) ऋणात्मक होता है। / From \(\sec^2 x=1+\tan^2 x\), \(|\sec x|=\frac{41}{40}\). In the third quadrant, \(\sec x\) is negative.
पहचान से \(|\sin x|=\frac{8}{17}\) मिलता है। चौथे चतुर्थांश में \(\sin x\) ऋणात्मक होता है। / The identity gives \(|\sin x|=\frac{8}{17}\). In the fourth quadrant, \(\sin x\) is negative.
\(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\) से \(|\cosec x|=\frac{5}{4}\) मिलता है। दूसरे चतुर्थांश में \(\cosec x\) धनात्मक होता है। / From \(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\), \(|\cosec x|=\frac{5}{4}\). In the second quadrant, \(\cosec x\) is positive.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \(\sec^2 x=1+\tan^2 x\) से \(\sec^2 x-1=\tan^2 x\) मिलता है। अतः \(\frac{\sec^2 x-1}{\tan^2 x}=\frac{\tan^2 x}{\tan^2 x}=1\), जहाँ दिया गया व्यंजक परिभाषित है। \(0\) विकल्प गलत है, क्योंकि अंश और हर समान हैं, अंश शून्य होने पर हर भी शून्य होगा और भिन्न परिभाषित नहीं होगा। परीक्षा टिप: \(\sec^2 x-1\) दिखते ही उसे \(\tan^2 x\) से बदलें। / Using the identity \(\sec^2 x=1+\tan^2 x\), we get \(\sec^2 x-1=\tan^2 x\). Therefore, \(\frac{\sec^2 x-1}{\tan^2 x}=\frac{\tan^2 x}{\tan^2 x}=1\), wherever the given expression is defined. Option \(0\) is incorrect because the numerator and denominator are equal; when they are zero, the fraction is undefined rather than zero. Exam tip: Replace \(\sec^2 x-1\) directly with \(\tan^2 x\).
पाइथागोरसीय त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\) से \(\cosec^2 x-1=\cot^2 x\) मिलता है। अतः \(\frac{\cosec^2 x-1}{\cot^2 x}=\frac{\cot^2 x}{\cot^2 x}=1\), जहाँ व्यंजक परिभाषित है। \(\cot^2 x\) उत्तर नहीं है, क्योंकि यह केवल अंश का सरल रूप है। परीक्षा टिप: \(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\) को \(\sec^2 x=1+\tan^2 x\) के साथ याद रखें। / Using the Pythagorean trigonometric identity \(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\), we get \(\cosec^2 x-1=\cot^2 x\). Therefore, \(\frac{\cosec^2 x-1}{\cot^2 x}=\frac{\cot^2 x}{\cot^2 x}=1\), wherever the expression is defined. \(\cot^2 x\) is not the final answer because it is only the simplified numerator. Exam tip: remember \(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\) alongside \(\sec^2 x=1+\tan^2 x\).
\(\cos(-x)=\cos x\) होने के कारण \(\cos x\) सम फलन है। जबकि \(\sin(-x)=-\sin x\), इसलिए \(\sin x\), \(\tan x\) और \(\cot x\) विषम हैं। परीक्षा में \(f(-x)\) लिखकर पहचान करें। / Since \(\cos(-x)=\cos x\), \(\cos x\) is an even function. In contrast, \(\sin(-x)=-\sin x\), so \(\sin x\), \(\tan x\), and \(\cot x\) are odd. Exam tip: test parity by replacing \(x\) with \(-x\).
A. \(\sin(\pi-x)=\sin x\), क्योंकि द्वितीय चतुर्थांश में साइन धनात्मक होता है।/\(\sin(\pi-x)=\sin x\), because sine is positive in the second quadrant.
Explanation
Simple Explanation
सही पहचान \(\sin(\pi-x)=\sin\pi\cos x-\cos\pi\sin x=0-(-1)\sin x=\sin x\) है। \(\pi-x\) द्वितीय चतुर्थांश में होता है, जहाँ साइन धनात्मक रहता है। परीक्षा में \(\pi\pm x\) के लिए चतुर्थांश का चिह्न जरूर जाँचें। / Using the subtraction formula, \(\sin(\pi-x)=\sin\pi\cos x-\cos\pi\sin x=0-(-1)\sin x=\sin x\). The angle \(\pi-x\) is in quadrant II, where sine is positive. Exam tip: check the quadrant sign for identities involving \(\pi\pm x\).
\\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\\) होता है। \\(x=\frac{\pi}{2}+n\pi\\) पर \\(\cos x=0\\), इसलिए शून्य से भाग नहीं हो सकता और \\(\tan x\\) अपरिभाषित है। परीक्षा टिप: हर भिन्नात्मक फलन में हर को शून्य जाँचें। / \\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\\). At \\(x=\frac{\pi}{2}+n\pi\\), \\(\cos x=0\\), so division by zero makes \\(\tan x\\) undefined. Exam tip: for a quotient function, first check where its denominator is zero.
\(\sin x\) का मान सदैव \(-1\) और \(1\) के बीच रहता है तथा दोनों मान प्राप्त भी हो सकते हैं; जैसे \(\sin(\pi/2)=1\) और \(\sin(3\pi/2)=-1\)। इसलिए सिरों को शामिल करना आवश्यक है। परीक्षा टिप: परास लिखते समय बराबर का चिह्न न भूलें। / The value of \(\sin x\) always lies from \(-1\) to \(1\), and both endpoints occur: \(\sin(\pi/2)=1\) and \(\sin(3\pi/2)=-1\). Hence the endpoints must be included. Exam tip: use inclusive inequality signs for the range of sine.
\(\cos^2 x=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\) होगा। प्रथम चतुर्थांश में \(\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\) लिया जाता है। / \(\cos^2 x=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\). In the first quadrant, \(\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\) is taken.
\(\sin^2 x=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}\) होता है। चौथे चतुर्थांश में \(\sin x\) ऋणात्मक होता है। / \(\sin^2 x=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}\). In the fourth quadrant, \(\sin x\) is negative.
\(\cos kx\) का काल \(\frac{2\pi}{k}\) होता है। यहाँ \(k=5\), इसलिए काल \(\frac{2\pi}{5}\) है। / The period of \(\cos kx\) is \(\frac{2\pi}{k}\). Here \(k=5\), so the period is \(\frac{2\pi}{5}\).
साइन फलन के रूप \(a\sin bx\) में आयाम \(|a|\) होता है। यहाँ \(a=4\) है, इसलिए आयाम \(|4|=4\) है। \(2\) का संबंध फलन के आवर्तकाल से है, आयाम से नहीं। परीक्षा टिप: आयाम ज्ञात करने के लिए \(\sin\) या \(\cos\) के बाहर के गुणांक का परम मान लें। / For a sine function of the form \(a\sin bx\), the amplitude is \(|a|\). Here, \(a=4\), so the amplitude is \(|4|=4\). The factor \(2\) affects the period of the function, not its amplitude. Exam tip: To find amplitude, take the absolute value of the coefficient outside \(\sin\) or \(\cos\).
चूँकि \(\cos x\) का मान \(-1\) से \(1\) के बीच होता है, इसलिए \(-3\cos x\) का मान \(-3\) से \(3\) के बीच होगा। जब \(\cos x=1\) होता है, तब \(-3\cos x=-3\) प्राप्त होता है, अतः न्यूनतम मान \(-3\) है। \(3\) अधिकतम मान है, जो \(\cos x=-1\) पर मिलता है। परीक्षा टिप: किसी त्रिकोणमितीय फलन को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर उसके अधिकतम और न्यूनतम मानों का क्रम बदल जाता है। / Since \(\cos x\) lies between \(-1\) and \(1\), \(-3\cos x\) lies between \(-3\) and \(3\). When \(\cos x=1\), we get \(-3\cos x=-3\); hence the minimum value is \(-3\). The value \(3\) is the maximum, obtained when \(\cos x=-1\). Exam tip: multiplying a trigonometric function by a negative number reverses the order of its maximum and minimum values.
क्योंकि \(\sin x\) का मान हमेशा \(-1\) से \(1\) के बीच होता है, इसलिए \(2+\sin x\) का न्यूनतम मान \(2-1=1\) और अधिकतम मान \(2+1=3\) है। अतः परिसर \([1,3]\) है। \([-1,1]\) केवल \(\sin x\) का परिसर है, \(2+\sin x\) का नहीं। परीक्षा टिप: किसी फलन में नियत संख्या जोड़ने पर परिसर की दोनों सीमाएँ उतनी ही संख्या से बदलती हैं। / Since \(\sin x\) always lies between \(-1\) and \(1\), the minimum value of \(2+\sin x\) is \(2-1=1\) and its maximum value is \(2+1=3\). Hence, its range is \([1,3]\). The interval \([-1,1]\) is the range of \(\sin x\) alone, not of \(2+\sin x\). Exam tip: when a constant is added to a function, add that constant to both endpoints of its range.
क्योंकि \(\cos x\) का मान \([-1,1]\) के बीच होता है, इसलिए \(1-\cos x\) का न्यूनतम मान \(0\) होता है, जब \(\cos x=1\), और अधिकतम मान \(2\) होता है, जब \(\cos x=-1\)। अतः परिसर \([0,2]\) है। विकल्प \([-1,1]\) केवल \(\cos x\) का परिसर है, \(1-\cos x\) का नहीं। परीक्षा टिप: \(a-\cos x\) के परिसर के लिए \(\cos x\in[-1,1]\) रखकर दोनों सीमांत मान जाँचें। / Since \(\cos x\) lies in \([-1,1]\), the minimum value of \(1-\cos x\) is \(0\) when \(\cos x=1\), and its maximum value is \(2\) when \(\cos x=-1\). Hence, the range is \([0,2]\). The interval \([-1,1]\) is the range of \(\cos x\), not of \(1-\cos x\). Exam tip: for an expression such as \(a-\cos x\), substitute the endpoint values \(-1\) and \(1\) of \(\cos x\).
अंश और हर को \(\cos x\) से भाग देने पर \(\frac{\tan x+1}{\tan x-1}\) मिलता है। \(\tan x=3\) रखने पर मान (2) है। / Dividing numerator and denominator by \(\cos x\) gives \(\frac{\tan x+1}{\tan x-1}\). Substituting \(\tan x=3\) gives (2).
मान \(\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\) है। हर को परिमेय करने पर \(7+4\sqrt{3}\) मिलता है। / The value is \(\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\). Rationalising the denominator gives \(7+4\sqrt{3}\).
\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\) होता है। जब \(x=\frac{(2n+1)\pi}{2}\), तब \(\cos x=0\) हो जाता है, इसलिए \(\tan x\) अपरिभाषित है। \(\sin x\) और \(\cos x\) सभी वास्तविक \(x\) के लिए परिभाषित हैं। परीक्षा टिप: हर भिन्नात्मक फलन में हर को शून्य होने से जाँचें। / \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\). For \(x=\frac{(2n+1)\pi}{2}\), \(\cos x=0\), so \(\tan x\) is undefined. In contrast, \(\sin x\) and \(\cos x\) are defined for every real \(x\). Exam tip: for a quotient function, first check where its denominator becomes zero.
सर्वसमिका \(\cosec^2 x-\cot^2 x=1\) से \((\cosec x-\cot x)(\cosec x+\cot x)=1\) मिलता है। दिया है \(\cosec x-\cot x=\frac{1}{3}\), अतः \(\frac{1}{3}(\cosec x+\cot x)=1\)। इसलिए \(\cosec x+\cot x=3\)। \(\frac{1}{3}\) दिया हुआ व्यंजक है, उसका प्रतिलोम लेने पर 3 प्राप्त होता है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में \(\cosec^2 x-\cot^2 x=1\) पहचानकर दोनों संयुग्म व्यंजकों का गुणनफल लें। / Using the identity \(\cosec^2 x-\cot^2 x=1\), we get \((\cosec x-\cot x)(\cosec x+\cot x)=1\). Given \(\cosec x-\cot x=\frac{1}{3}\), so \(\frac{1}{3}(\cosec x+\cot x)=1\). Therefore, \(\cosec x+\cot x=3\). The value \(\frac{1}{3}\) is the given expression; its reciprocal gives 3. Exam tip: recognise \(\cosec^2 x-\cot^2 x=1\) and multiply the conjugate expressions in such questions.
अंतर के वर्गों के सूत्र से \(\sin^4 x-\cos^4 x=(\sin^2 x-\cos^2 x)(\sin^2 x+\cos^2 x)\)। अब \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\), इसलिए सरल मान \(\sin^2 x-\cos^2 x\) है। विकल्प B इसका ऋणात्मक रूप है, इसलिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) लगाने के बाद मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करें। / Using the difference of squares, \(\sin^4 x-\cos^4 x=(\sin^2 x-\cos^2 x)(\sin^2 x+\cos^2 x)\). Since \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\), the simplified value is \(\sin^2 x-\cos^2 x\). Option B is its negative, so it is not correct. Exam tip: after applying \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), use the fundamental trigonometric identity.
ऊपर \(1+\tan^2 x=\sec^2 x\) और नीचे \(1+\cot^2 x=\cosec^2 x\) है। अनुपात \(\frac{\sec^2 x}{\cosec^2 x}=\tan^2 x\) होता है। / The numerator is \(1+\tan^2 x=\sec^2 x\) and the denominator is \(1+\cot^2 x=\cosec^2 x\). Their ratio is \(\frac{\sec^2 x}{\cosec^2 x}=\tan^2 x\).
हर को परिमेय करने पर (\frac{\(1+\sin x\)2}{\cos-2 x}) मिलता है। यह (\(\sec x+\tan x\)2) के बराबर है। / Rationalising the denominator gives (\frac{\(1+\sin x\)2}{\cos-2 x}). This equals (\(\sec x+\tan x\)2).
अर्ध कोण पहचान के अनुसार \(\tan^2 \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\)। अर्ध कोण रूपों को अलग से याद रखें। / By the half-angle identity, \(\tan^2 \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\). Remember half-angle forms separately.
मानक अर्ध कोण पहचान \(\tan \frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}\) है। ऐसे रूप में अर्ध कोण तुरंत पहचानें। / The standard half-angle identity is \(\tan \frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}\). Identify the half-angle form quickly.
