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रेखीय फलन (f(x)=x+3) हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है। परीक्षा में हर रेखीय फलन का प्रांत सामान्यतः \(\mathbb{R}\) लें। / The linear function (f(x)=x+3) is defined for every real (x). In exams, the domain of a basic linear function is usually \(\mathbb{R}\).
किसी भी वास्तविक (x) के लिए \(x^2 \ge 0\) होता है। इसलिए सबसे छोटा मान (0) है और परिसर \([0,\infty\)) है। / For every real (x), \(x^2 \ge 0\). So the least value is (0), and the range is \([0,\infty\)).
वास्तविक संख्याओं में \(\sqrt{x}\) तभी परिभाषित होता है जब \(x\geq 0\) हो। अतः \(0\) तथा सभी धनात्मक वास्तविक संख्याएँ डोमेन में होंगी, इसलिए वास्तविक प्रांत \([0,\infty)\) है। विकल्प D में \(0\) शामिल नहीं है, जबकि \(\sqrt{0}=0\) परिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में मूल चिह्न के भीतर का व्यंजक \(\geq 0\) रखें। / Over the real numbers, \(\sqrt{x}\) is defined only when \(x\geq 0\). Therefore, zero and every positive real number belong to the domain, giving \([0,\infty)\). Option D excludes zero, but \(\sqrt{0}=0\) is defined. Exam tip: For a square-root function, require the expression inside the radical to be \(\geq 0\).
हर में (x) है, इसलिए (x=0) पर फलन परिभाषित नहीं है। परीक्षा में हर को (0) न बनने दें। / The denominator is (x), so the function is not defined at (x=0). In exams, make sure the denominator is not (0).
यह स्थिर फलन है और हर (x) पर मान (5) ही देता है। स्थिर फलन का परिसर एकल समुच्चय होता है। / This is a constant function and gives only the value (5). The range of a constant function is a singleton set.
फलन में fx के स्थान पर 3 रखने पर f(3)=2(3)-1=6-1=5 प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 5 है। 6 चुनने पर अंतिम -1 घटाना छूट जाता है। परीक्षा-युक्ति: किसी फलन का मान ज्ञात करने के लिए दिए गए इनपुट को चर के स्थान पर सीधे रखें। / Substitute 3 for fx in the function: f(3)=2(3)-1=6-1=5. Therefore, the correct answer is 5. The option 6 results from forgetting to subtract 1. Exam tip: To find a function value, replace the variable with the given input and simplify carefully.
वर्गमूल के अंदर \(x-2 \ge 0\) होना चाहिए। इसलिए \(x \ge 2\) और प्रांत \([2,\infty\)) है। / The expression inside the square root must satisfy \(x-2 \ge 0\). Thus \(x \ge 2\), so the domain is \([2,\infty\)).
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\) होता है। इसलिए \(f(x)=x^2+1\ge 1\)। जब \(x=0\), तब \(f(0)=1\), अतः 1 परास में शामिल है और फलन का परास \([1,\infty)\) है। विकल्प B में \(+1\) का प्रभाव नहीं लिया गया है, जबकि विकल्प D में 1 को अनावश्यक रूप से बाहर कर दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग वाले फलन में पहले वर्ग का न्यूनतम मान ज्ञात करें और फिर स्थिर पद जोड़ें। / For every real value of \(x\), \(x^2\ge 0\). Hence, \(f(x)=x^2+1\ge 1\). At \(x=0\), \(f(0)=1\), so 1 is included in the range, giving \([1,\infty)\). Option B ignores the effect of the added 1, while option D incorrectly excludes the attainable endpoint 1. Exam tip: For a quadratic of the form \(x^2+c\), find the minimum of \(x^2\) first and then add \(c\).
किसी भी वास्तविक x के लिए \(|x|\ge 0\) होता है, और x=0 रखने पर f(x)=0 प्राप्त होता है। इसलिए फलन का परास \([0,\infty)\) है। विकल्प D गलत है क्योंकि उसमें 0 शामिल नहीं है, जबकि 0 फलन का मान है। परीक्षा-युक्ति: मॉड्यूलस फलन का मान कभी ऋणात्मक नहीं होता। / For every real x, \(|x|\ge 0\), and putting x=0 gives f(x)=0. Hence, the range of the function is \([0,\infty)\). Option D is incorrect because it excludes 0, which is a value of the function. Exam tip: The output of a modulus function can never be negative.
परिमेय फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। यहाँ हर \(x-4\) है, इसलिए \(x-4=0\) होने पर \(x=4\) प्राप्त होता है। अतः 4 को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ प्रांत में शामिल हैं, अर्थात् \(\mathbb{R}\setminus\{4\}\)। परीक्षा-युक्ति: भिन्न वाले फलन का प्रांत ज्ञात करते समय हर को शून्य रखकर निषिद्ध मान निकालें। / The denominator of a rational function cannot be zero. Here, \(x-4=0\) gives \(x=4\), so 4 must be excluded while every other real number is allowed. Therefore, the domain is \(\mathbb{R}\setminus\{4\}\). Exam tip: For a fractional function, set the denominator equal to zero to find the values excluded from the domain.
दिए गए फलन में \(x=-2\) रखने पर \(f(-2)=3(-2)=-6\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। विकल्प B में ऋणात्मक चिन्ह छूट गया है। परीक्षा में ऋणात्मक संख्या से गुणा करते समय चिन्हों का विशेष ध्यान रखें। / Substituting \(x=-2\) into the given function gives \(f(-2)=3(-2)=-6\). Therefore, option A is correct. Option B results from missing the negative sign. In such questions, check the sign carefully when multiplying by a negative number.
वास्तविक वर्गमूल के लिए वर्गमूल के भीतर का व्यंजक ऋणात्मक नहीं होना चाहिए। अतः \(5-x\geq 0\), जिससे \(x\leq 5\) प्राप्त होता है। इसलिए परिभाषा-क्षेत्र \(( -\infty,5]\) है। विकल्प C में \(x=5\) छूट जाता है, जबकि \(f(5)=0\) वास्तविक है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में पहले उसके भीतर के व्यंजक को \(\geq 0\) रखें। / For a real square root, the expression inside the root cannot be negative. Hence, \(5-x\geq 0\), which gives \(x\leq 5\). Therefore, the domain is \(( -\infty,5]\). Option C wrongly excludes \(x=5\), although \(f(5)=0\) is real. Exam tip: For a square-root function, first set the expression inside the root to be \(\geq 0\).
प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\geq 0\) होता है, इसलिए \(f(x)=2x^2\geq 0\)। \(x=0\) पर \(f(0)=0\) मिलता है। साथ ही, किसी भी \(y>0\) के लिए \(x=\sqrt{y/2}\) लेने पर \(f(x)=y\) प्राप्त होता है। अतः फलन के सभी और केवल अऋणात्मक वास्तविक मान मिलते हैं, इसलिए परास \([0,\infty)\) है। विकल्प B निकटतम गलत विकल्प है क्योंकि उसमें \(0\) शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(a>0\) वाले \(ax^2\) का न्यूनतम मान \(0\) होता है, यदि परिभाषा-क्षेत्र \(\mathbb{R}\) हो। / For every real \(x\), \(x^2\geq 0\), so \(f(x)=2x^2\geq 0\). At \(x=0\), we get \(f(0)=0\). Also, for any \(y>0\), taking \(x=\sqrt{y/2}\) gives \(f(x)=y\). Thus the function attains all and only non-negative real values, so its range is \([0,\infty)\). Option B is the closest incorrect choice because it excludes \(0\). Exam tip: for \(ax^2\) with \(a>0\) and domain \(\mathbb{R}\), the minimum value is \(0\).
A. प्रांत \(\mathbb{R}\), परिसर \(\mathbb{R}\)/Domain \(\mathbb{R}\), range \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
घन फलन हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है और हर वास्तविक मान ले सकता है। इसलिए दोनों \(\mathbb{R}\) हैं। / The cubic function is defined for every real (x) and can take every real value. Hence both are \(\mathbb{R}\).
प्रांत के प्रत्येक मान पर फलन लगाएँ: \(f(1)=2\), \(f(2)=3\) और \(f(3)=4\)। इसलिए परास \(\{2,3,4\}\) है। विकल्प B प्रांत है, परास नहीं। परीक्षा में सीमित प्रांत के लिए सभी दिए गए मानों पर फलन लागू करके प्राप्त मानों का समुच्चय लिखें। / Apply the function to every element of the domain: \(f(1)=2\), \(f(2)=3\), and \(f(3)=4\). Therefore, the range is \(\{2,3,4\}\). Option B is the domain itself, not the range. Exam tip: for a finite domain, evaluate the function at each given input and collect the resulting outputs.
हर वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2+1\ge 1>0\)। अतः हर वास्तविक \(x\) पर हर भाजक शून्य से भिन्न रहता है और फलन परिभाषित है। इसलिए इसका प्रांत \(\mathbb{R}\) है। विकल्प B गलत है, क्योंकि \(x=0\) रखने पर भी भाजक \(1\) मिलता है। परीक्षा-युक्ति: परिमेय फलन का प्रांत निकालते समय भाजक को शून्य करने वाले मानों को हटाएँ। / For every real \(x\), \(x^2\ge 0\), so \(x^2+1\ge 1>0\). Thus the denominator is never zero, and the function is defined for every real number. Therefore, its domain is \(\mathbb{R}\). Option B is incorrect because at \(x=0\), the denominator is \(1\), not zero. Exam tip: For a rational function, exclude only those values that make the denominator zero.
वास्तविक वर्गमूल के लिए उसके अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए। इसलिए \(x+3\ge 0\), अर्थात \(x\ge -3\)। अतः प्रांत \([-3,\infty)\) है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलट दी गई है और \(x=-3\) को शामिल किया गया है, जबकि सही प्रांत में \(-3\) शामिल है और इसके बाद की सभी वास्तविक संख्याएँ आती हैं। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाले फलन का प्रांत ज्ञात करने के लिए मूलांक के अंदर के व्यंजक को \(\ge 0\) रखें। / For a real square root, the expression under the radical must be zero or positive. Thus, \(x+3\ge 0\), which gives \(x\ge -3\). Therefore, the domain is \([-3,\infty)\). Option B reverses the inequality and includes values less than or equal to \(-3\), which do not make \(x+3\) non-negative except at the endpoint. Exam tip: For a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero to find the domain.
निरपेक्ष मान 8|x-2|9 हमेशा 0 या उससे बड़ा होता है। जब 8x=29, तब 8|x-2|=|2-2|=09 होता है, इसलिए न्यूनतम मान 0 है। विकल्प 2 केवल कुछ मानों पर फलन का मान हो सकता है, न्यूनतम मान नहीं। परीक्षा में 8|x-a|9 का न्यूनतम मान सीधे 0 याद रखें, जो 8x=a9 पर प्राप्त होता है। / An absolute value 8|x-2|9 is always greater than or equal to 0. At 8x=29, 8|x-2|=|2-2|=09, so the minimum value is 0. The value 2 can occur for some inputs, but it is not the minimum. Exam tip: for 8|x-a|9, the minimum value is 0, attained at 8x=a9.
प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए \(|x-2|\) का मान कभी ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए \(f(x)\ge 0\)। \(x=2\) रखने पर \(f(2)=0\) मिलता है, और \(x\) को 2 से दूर ले जाने पर कोई भी गैर-ऋणात्मक मान प्राप्त किया जा सकता है। अतः परास \([0,\infty)\) है। विकल्प \([2,\infty)\) इनपुट में 2 के स्थानांतरण को परास का स्थानांतरण मानने की त्रुटि है। परीक्षा-युक्ति: \(|x-a|\) का न्यूनतम मान 0 होता है, यदि \(x=a\) डोमेन में हो। / For every real \(x\), \(|x-2|\) can never be negative, so \(f(x)\ge 0\). At \(x=2\), \(f(2)=0\), and every non-negative value is obtained by taking \(x\) suitably far from 2. Therefore, the range is \([0,\infty)\). The option \([2,\infty)\) incorrectly treats the horizontal shift in the input as a shift in the range. Exam tip: \(|x-a|\) has minimum value 0 when \(x=a\) lies in the domain.
दिए गए फलन में x=0 रखने पर (f(0)=4-0=4) प्राप्त होता है, इसलिए सही उत्तर 4 है। विकल्प B में फलन के मान के बजाय केवल x का मान लिया गया है। परीक्षा में (f(a)) निकालने के लिए फलन के सूत्र में x के स्थान पर a रखें। / Substituting x=0 into the function gives (f(0)=4-0=4), so the correct answer is 4. Option B is only the input value, not the function value. Exam tip: To find (f(a)), replace x by a in the given formula.
भिन्नात्मक फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। यहाँ हर \(x+1\) है, जो \(x=-1\) पर शून्य हो जाता है। इसलिए \(-1\) को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ प्रांत में होंगी, अर्थात् \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\)। विकल्प B में \(1\) को हटाया गया है, जबकि \(x=1\) पर फलन परिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: किसी भिन्नात्मक फलन का प्रांत निकालते समय हर को शून्य रखकर निषिद्ध मान ज्ञात करें। / The denominator of a fractional function cannot be zero. Here, the denominator \(x+1\) is zero when \(x=-1\), so every real number except \(-1\) belongs to the domain. Therefore, the domain is \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\). Option B incorrectly excludes \(1\), although the function is defined at \(x=1\). Exam tip: To find the domain of a rational function, set its denominator equal to zero and exclude the resulting values.
वर्गमूल के लिए \(9-x^2 \ge 0\) चाहिए। इससे \(x^2 \le 9\), यानी \(-3 \le x \le 3\) मिलता है। / For the square root, \(9-x^2 \ge 0\) is needed. This gives \(x^2 \le 9\), that is \(-3 \le x \le 3\).
शर्त \(9-x^2 \ge 0\) से ([-3,3]) मिलता है। सिरों को शामिल करें क्योंकि वर्गमूल (0) हो सकता है। / The condition \(9-x^2 \ge 0\) gives ([-3,3]). Include the endpoints because the square root can be (0).
किसी भी वास्तविक संख्या \\(x\\) के लिए \\(x^2\ge 0\\) होता है। इसलिए \\(f(x)=x^2-4\ge -4\\), और \\(x=0\\) पर \\(f(0)=-4\\) प्राप्त होता है। अतः न्यूनतम मान \\(-4\\) है। ध्यान रखें: \\(x^2+c\\) का न्यूनतम मान सामान्यतः \\(c\\) होता है, जब \\(x=0\\)। / For every real number \\(x\\), \\(x^2\ge 0\\). Hence, \\(f(x)=x^2-4\ge -4\\), and equality occurs at \\(x=0\\), giving \\(f(0)=-4\\). Therefore, the minimum value is \\(-4\\). Exam tip: For a function of the form \\(x^2+c\\), the minimum value is \\(c\\) at \\(x=0\\).
\(x^2\) का न्यूनतम मान (0) है, इसलिए \(x^2-4\) का न्यूनतम मान (-4) है। अतः परिसर \([-4,\infty\)) है। / The minimum value of \(x^2\) is (0), so the minimum value of \(x^2-4\) is (-4). Hence the range is \([-4,\infty\)).
दिए गए प्रत्येक अवयव का मान निकालने पर f(−1) = (−1)² = 1, f(0) = 0² = 0 और f(1) = 1² = 1 मिलता है। इसलिए प्राप्त अलग-अलग मानों का समुच्चय {0, 1} है, जो फलन का परास है। विकल्प B मूल समुच्चय A यानी प्रांत है, परास नहीं। परीक्षा-युक्ति: परास लिखते समय दोहराए गए फलन-मूल्यों को केवल एक बार लिखें। / Evaluating the function at each element gives f(−1) = (−1)² = 1, f(0) = 0² = 0, and f(1) = 1² = 1. Thus, the set of distinct output values is {0, 1}, which is the range. Option B is the original set A, the domain, not the range. Exam tip: list each output value only once when forming the range.
हर \(x^2\) है, जो केवल \(x=0\) पर शून्य होता है। चूँकि किसी भिन्न का हर शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \(x=0\) को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ प्रांत में शामिल होंगी। अतः प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) है। ध्यान रखें कि ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ भी प्रांत में शामिल हैं; इसलिए विकल्प C और D सही नहीं हैं। / The denominator is \(x^2\), which equals zero only when \(x=0\). Since a fraction cannot have a zero denominator, every real number except zero belongs to the domain. Hence, the domain is \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Remember that negative real numbers are also included, so options C and D are incomplete.
\(x^2\) प्रत्येक वास्तविक x के लिए परिभाषित और अऋणात्मक होता है, इसलिए \(x^2+1\) भी हमेशा वास्तविक है। \(\sqrt{x-1}\) के लिए x≥1 चाहिए। परीक्षा टिप: हर विकल्प की प्रतिबंधित शर्त जाँचें। / Since \(x^2\) is defined and real for every real x, \(x^2+1\) is also real for all real inputs. In contrast, \(\sqrt{x-1}\) needs x≥1. Exam tip: check input restrictions such as roots, denominators and logs.
\(x^2+1\) में किसी वास्तविक \(x\) के लिए न तो वर्गमूल की पाबंदी है और न हर के शून्य होने की समस्या, इसलिए इसका प्रांत \(\mathbb{R}\) है। \(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge0\) चाहिए। परीक्षा टिप: हर को शून्य करने वाले मान अवश्य हटाएँ। / For \(x^2+1\), squaring and adding 1 are valid for every real \(x\), so its domain is \(\mathbb{R}\). In contrast, \(\sqrt{x}\) requires \(x\ge0\). Exam tip: always exclude values that make a denominator zero.
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\), इसलिए \(f(x)=x^2+4\ge 4\)। जब \(x=0\), तब \(f(0)=4\), इसलिए 4 भी परास में शामिल है। अतः परास \([4,\infty)\) है। विकल्प B केवल \(x^2\) का परास दर्शाता है, जबकि विकल्प C में 4 को अनावश्यक रूप से बाहर रखा गया है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग वाले फलन में न्यूनतम मान पहले पहचानें। / For every real \(x\), \(x^2\ge 0\), so \(f(x)=x^2+4\ge 4\). At \(x=0\), \(f(0)=4\), so 4 is included in the range. Therefore, the range is \([4,\infty)\). Option B is the range of \(x^2\) before adding 4, while option C incorrectly excludes the endpoint 4. Exam tip: For a quadratic involving a square, first identify its minimum value.
\(\sqrt{x^2}\) का मान हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, इसलिए यह (|x|) के बराबर है। सामान्य गलती इसे सीधे (x) लिखना है। / \(\sqrt{x^2}\) is always non-negative, so it equals (|x|). A common mistake is writing it directly as (x).
A. जिसका हर मान \(\mathbb{R}\) में हो/Its every value lies in \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक मान वाला फलन वह है जिसके निर्गत मान वास्तविक संख्याएँ होते हैं। यहाँ मुख्य ध्यान सहप्रांत या मानों पर होता है। / A real valued function has output values in the real numbers. The key focus is on the codomain or values.
फलन \(f:A\to\mathbb{R}\) में \(A\) वह समुच्चय है जिससे फलन के लिए इनपुट मान लिए जाते हैं, इसलिए इसे प्रांत (Domain) कहते हैं। \(\mathbb{R}\) सहप्रांत है, जबकि परिसर केवल वे वास्तविक मान हैं जो फलन वास्तव में प्राप्त करता है और यह \(\mathbb{R}\) का उपसमुच्चय होता है। परीक्षा-युक्ति: तीर के बाईं ओर का समुच्चय प्रांत और दाईं ओर का समुच्चय सहप्रांत होता है। / In \(f:A\to\mathbb{R}\), the set \(A\) contains the input values of the function, so it is called the domain. The set \(\mathbb{R}\) is the codomain, while the range consists only of the values actually produced by the function and is a subset of \(\mathbb{R}\). Exam tip: in function notation, the set before the arrow is the domain and the set after the arrow is the codomain.
\(f:A\to\mathbb{R}\) में \(\mathbb{R}\) वह समुच्चय है जिसमें मान जाने हैं। यह सहप्रांत कहलाता है। / In \(f:A\to\mathbb{R}\), \(\mathbb{R}\) is the set where outputs are expected to lie. It is called the codomain.
((-2)2=4) और \(2^2=4\), इसलिए केवल एक अलग मान मिलता है। परिसर में दोहराए गए मान एक बार लिखते हैं। / ((-2)2=4) and \(2^2=4\), so only one distinct value is obtained. Repeated values are written once in the range.
परिमेय फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। यहाँ हर \(x-2\) है, इसलिए \(x-2=0\) रखने पर \(x=2\) मिलता है और 2 प्रांत से बाहर होगा। \(x=0\) मान्य है, क्योंकि \(f(0)=0\), इसलिए विकल्प B गलत है। अतः प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\) है। परीक्षा-युक्ति: किसी भिन्नात्मक फलन का प्रांत निकालते समय हर को शून्य करने वाले मानों को वास्तविक संख्याओं से हटा दें। / The denominator of a rational function cannot be zero. Here, \(x-2=0\) when \(x=2\), so 2 must be excluded from the real numbers. The value \(x=0\) is allowed because \(f(0)=0\), so option B is incorrect. Therefore, the domain is \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\). Exam tip: For a fractional function, set the denominator equal to zero and exclude the resulting values from the real numbers.
वास्तविक वर्गमूल के लिए मूलांक के अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए। इसलिए \(2x-6\geq 0\), जिससे \(x\geq 3\) प्राप्त होता है। अतः प्रांत \([3,\infty)\) है। विकल्प B में \(3\) शामिल नहीं है, जबकि \(x=3\) पर \(f(3)=0\) परिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले वास्तविक फलन में मूलांक को हमेशा \(\geq 0\) रखें। / For a real square root, the expression inside the radical must be non-negative. Thus, \(2x-6\geq 0\), which gives \(x\geq 3\). Therefore, the domain is \([3,\infty)\). Option B excludes \(3\), but \(f(3)=0\) is defined. Exam tip: For a real square-root function, always set the radicand to be \(\geq 0\).
वास्तविक वर्गमूल के लिए मूलांक के अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए: \(4-2x\ge 0\)। इससे \(x\le 2\) प्राप्त होता है, इसलिए प्रांत \((- infty,2]\) है। विकल्प B में असमिका की दिशा उलट दी गई है, जबकि \(x=2\) को शामिल करना आवश्यक है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में पहले मूलांक \(\ge 0\) की शर्त लगाएँ। / For a real square root, the expression under the radical must be non-negative: \(4-2x\ge 0\). Solving this inequality gives \(x\le 2\), so the domain is \((- infty,2]\). Option B reverses the inequality, and the endpoint \(x=2\) must be included because the square root of zero is defined. Exam tip: For a square-root function, set the radicand \(\ge 0\) to find the domain.
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(|x|\geq 0\), इसलिए \(f(x)=|x|+2\geq 2\)। \(|x|\) का न्यूनतम मान \(0\) तब मिलता है जब \(x=0\), अतः फलन का न्यूनतम मान \(2\) है। इसके बाद \(|x|\) कोई भी गैर-ऋणात्मक मान ले सकता है, इसलिए परास \([2,\infty)\) है। विकल्प B में 2 का जोड़ छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: \(|x|\) वाले फलन में पहले उसका न्यूनतम मान ज्ञात करें। / For every real \(x\), \(|x|\geq 0\), so \(f(x)=|x|+2\geq 2\). The minimum value of \(|x|\) is \(0\), attained at \(x=0\); hence the minimum value of the function is \(2\). Since \(|x|\) can take every non-negative value, the range is \([2,\infty)\). Option B omits the added 2. Exam tip: For a modulus function, first identify the minimum value of the modulus expression.
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(|x|\geq 0\) होता है। इसलिए \(f(x)=3-|x|\leq 3\), और यह अधिकतम मान \(|x|=0\), अर्थात् \(x=0\), पर प्राप्त होता है। विकल्प 0 केवल \(|x|=3\) पर फलन का एक मान है, अधिकतम मान नहीं। परीक्षा टिप: \(a-|x|\) का अधिकतम मान हमेशा \(a\) होता है और वह \(x=0\) पर मिलता है। / For every real \(x\), \(|x|\geq 0\). Hence \(f(x)=3-|x|\leq 3\), and the maximum value 3 is attained when \(|x|=0\), that is, at \(x=0\). The value 0 occurs when \(|x|=3\), but it is not the maximum. Exam tip: For a function of the form \(a-|x|\), the maximum value is \(a\), attained at \(x=0\).
(|x|) जितना बड़ा होगा, (3-|x|) उतना छोटा होगा। अधिकतम (3) है और नीचे कोई सीमा नहीं है। / As (|x|) becomes larger, (3-|x|) becomes smaller. The maximum is (3), and there is no lower bound.
दिए गए फलन में \(x=5\) रखने पर \(f(5)=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 3 है। 2 केवल अंश को सही ढंग से 6 निकालने के बाद 2 से भाग न देने पर मिल सकता है। परीक्षा-टिप: फलन का मान ज्ञात करने के लिए दिए गए मान को हर \(x\) के स्थान पर रखें और फिर सरल करें। / Substituting \(x=5\) into the function gives \(f(5)=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3\). Therefore, the correct answer is 3. The option 2 results from failing to divide the numerator value 6 by 2. Exam tip: To find a function value, substitute the given input for every occurrence of \(x\) and simplify the resulting expression.
दिए गए फलन में x=1 रखने पर 8f(1)=12+2(1)+1=1+2+1=49 प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 4 है। विकल्प 3 में एक पद को छोड़ देने जैसी गणना-त्रुटि हो सकती है। परीक्षा में फलन का मान निकालते समय दिए गए x के मान को प्रत्येक पद में सावधानी से रखें। / Substituting x=1 in the given function gives 8f(1)=12+2(1)+1=1+2+1=49. Therefore, the correct answer is 4. Option 3 may result from omitting one term during calculation. In an exam, substitute the given value of x carefully in every term.
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \((x-1)^2\ge 0\) होता है। \(x=1\) पर इसका न्यूनतम मान \(0\) मिलता है, और \(x\) के बढ़ने या घटने पर फलन के मान अनंत तक बढ़ सकते हैं। इसलिए परास \([0,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि न्यूनतम मान \(1\) नहीं, बल्कि \(0\) है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग वाले फलन का परास ज्ञात करने के लिए उसके न्यूनतम या अधिकतम मान की जाँच करें। / For every real \(x\), \((x-1)^2\ge 0\). Its minimum value is \(0\) when \(x=1\), and the function can increase without bound as \(x\) moves away from 1. Therefore, the range is \([0,\infty)\). Option B is incorrect because the minimum value is \(0\), not \(1\). Exam tip: For a squared function, find its minimum or maximum value first to determine the range.
\(f(x)=x^3\) प्रत्येक वास्तविक मान ले सकता है; किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\sqrt[3]{y}\) रखने पर \(f(x)=y\) मिलता है। \(x^2\) और \(|x|\) ऋणात्मक मान नहीं देते। परीक्षा टिप: घात विषम हो तो घन बहुपद का परास सामान्यतः सभी वास्तविक संख्याएँ होता है। / \(f(x)=x^3\) can produce every real value: for any \(y\in\mathbb{R}\), choose \(x=\sqrt[3]{y}\), giving \(f(x)=y\). In contrast, \(x^2\) and \(|x|\) never give negative outputs. Exam tip: an odd-power cubic with real domain has range \(\mathbb{R}\).
हर वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2+4\ge 4>0\)। अतः हर कभी शून्य नहीं होता और किसी भी वास्तविक \(x\) को हटाने की आवश्यकता नहीं है; इसलिए प्रांत \(\mathbb{R}\) है। विकल्प B और C में 2 या \(-2\) को हटाना गलत है, क्योंकि \((-2)^2+4=8\) और \(2^2+4=8\), दोनों शून्य नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: भिन्न वाले फलन में उन मानों को ही प्रांत से हटाएँ जिन पर हर शून्य हो जाता है। / For every real \(x\), \(x^2\ge 0\), so \(x^2+4\ge 4>0\). Thus the denominator is never zero, and no real value of \(x\) must be excluded; hence the domain is \(\mathbb{R}\). Options B and C are incorrect because at \(x=2\) and \(x=-2\), the denominator equals 8, not 0. Exam tip: for a fractional function, exclude only those input values that make the denominator zero.
\(\sqrt{x}\) वास्तविक होने के लिए \(x \ge 0\) चाहिए। (2) से गुणा करने पर प्रांत नहीं बदलता। / For \(\sqrt{x}\) to be real, \(x \ge 0\) is needed. Multiplication by (2) does not change the domain.
वास्तविक \(x\) के लिए \(\sqrt{x}\) तभी परिभाषित है जब \(x\ge 0\), और इसका मान हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है। इसलिए \(f(x)=2\sqrt{x}\ge 0\)। \(x=0\) पर \(f(0)=0\), इसलिए 0 भी परास में शामिल है और परास \([0,\infty)\) है। विकल्प B में 0 को गलत रूप से बाहर कर दिया गया है। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाले फलन का परास निकालते समय पहले जाँचें कि न्यूनतम मान प्राप्त होता है या नहीं। / For real \(x\), \(\sqrt{x}\) is defined only when \(x\ge 0\), and its value is always non-negative. Hence \(f(x)=2\sqrt{x}\ge 0\). Since \(f(0)=0\), the value 0 is included in the range, so the range is \([0,\infty)\). Option B incorrectly excludes 0. Exam tip: For a square-root function, check whether the minimum value is attained when writing the range.
हर में \(\sqrt{x-1}\) है, इसलिए (x-1>0) चाहिए। इस कारण (x>1) और प्रांत (\(1,\infty\)) है। / The denominator is \(\sqrt{x-1}\), so (x-1>0) is required. Thus (x>1), and the domain is (\(1,\infty\)).
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(|x+1|\geq 0\) होता है। इसका न्यूनतम मान \(0\) तब प्राप्त होता है जब \(x=-1\)। इसलिए \(f(x)=|x+1|-3\) का न्यूनतम मान \(0-3=-3\) है। परीक्षा-युक्ति: \(|x-a|\) का न्यूनतम मान \(0\) होता है। / For every real \(x\), \(|x+1|\geq 0\). Its minimum value is \(0\), attained when \(x=-1\). Hence, the minimum value of \(f(x)=|x+1|-3\) is \(0-3=-3\). Exam tip: An absolute-value expression has minimum value \(0\) before any constant is added or subtracted.
