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अंतिम अंक सम होगा और पहला अंक शून्य नहीं होगा। मामलों को अलग करके गुणा सिद्धांत लगाएँ। / The last digit must be even and the first digit cannot be zero. Split cases and apply the multiplication principle.
एक पासवर्ड में पहले दो स्थानों पर भिन्न बड़े अंग्रेजी अक्षर और अगले तीन स्थानों पर भिन्न अंक रखे जाते हैं। यदि अंक (0) पहले अंक-स्थान पर नहीं हो सकता तो कुल पासवर्ड कितने होंगे?
अक्षरों के लिए (26) और (25) विकल्प हैं। पहले अंक-स्थान पर (9) और फिर (9,8) विकल्प मिलते हैं। / The letters have (26) and (25) choices. The first digit-place has (9) choices and then (9,8) choices remain.
जाने के लिए A से B तक 4 और B से C तक 5 विकल्प हैं, अर्थात \(4\times5=20\) तरीके। वापसी में C से B के लिए पहले चुने गए रास्ते को छोड़कर 4 रास्ते और B से A के लिए पहले चुने गए रास्ते को छोड़कर 3 रास्ते बचते हैं। इसलिए कुल यात्राएँ \(4\times5\times4\times3=240\) हैं। विकल्प 120 में वापसी के किसी एक खंड के विकल्पों की सही गणना नहीं होती। परीक्षा टिप: प्रत्येक खंड के स्वतंत्र विकल्पों को गुणा करें और प्रतिबंधित रास्ते को उसी खंड से घटाएँ। / For the onward journey, there are 4 choices from A to B and 5 choices from B to C, giving \(4\times5=20\) ways. On the return journey, 4 routes remain from C to B after excluding the route already used, and 3 routes remain from B to A. Hence, the total number of round trips is \(4\times5\times4\times3=240\). Option 120 does not correctly account for the available choices on both return segments. Exam tip: multiply the independent choices for each segment, subtracting a forbidden route only from its own segment.
हजारों का अंक (3) से (8) तक होगा और इकाई अंक विषम होगा। हजारों के अंक के विषम या सम होने के अनुसार मामले बाँटें। / The thousands digit is from (3) to (8) and the units digit is odd. Split cases according to whether the thousands digit is odd or even.
एक परीक्षा कोड में (3) अक्षर और (2) अंक हैं। अक्षर दोहराए जा सकते हैं लेकिन अंक नहीं दोहरेंगे। यदि कोड में कम से कम एक अक्षर स्वर होना चाहिए तो कितने कोड बनेंगे?
कुल अक्षर-व्यवस्थाएँ \(26^3\) और बिना स्वर \(21^3\) हैं। अंतर को \(10 \times 9\) अंक-विकल्पों से गुणा करें। / Total letter arrangements are \(26^3\) and no-vowel arrangements are \(21^3\). Multiply the difference by \(10 \times 9\) digit choices.
दो श्रेणियों और तीनों श्रेणियों के चयन जोड़ें। (\(6 \times 5\)+\(6 \times 4\)+\(5 \times 4\)+\(6 \times 5 \times 4\)) मिलता है। / Add selections from exactly two categories and all three categories. This gives (\(6 \times 5\)+\(6 \times 4\)+\(5 \times 4\)+\(6 \times 5 \times 4\)).
5 से विभाज्यता के लिए इकाई अंक 0 या 5 होना चाहिए। इकाई अंक 0 होने पर हजारों के स्थान के लिए 1 से 5 तक 5 विकल्प हैं और बीच के दो स्थानों के लिए शेष 4 अंकों में से क्रम सहित 2 अंक चुने जाते हैं: \(5\times4\times3=60\)। इकाई अंक 5 होने पर हजारों के स्थान पर 0 नहीं आ सकता, इसलिए 1 से 4 तक 4 विकल्प हैं; बीच के स्थानों के लिए \(4\times3\) विकल्प हैं: \(4\times4\times3=48\)। अतः कुल \(60+48=108\) संख्याएँ बनेंगी। 96 का विकल्प इसलिए गलत है क्योंकि दोनों अंतिम-अंक वाले मामलों में हजारों के स्थान पर 0 की पाबंदी समान नहीं होती। परीक्षा टिप: 0 वाले अंकों की संख्या बनाते समय पहले अंक के शून्य न होने की शर्त अलग से लगाएँ। / For divisibility by 5, the units digit must be 0 or 5. If the units digit is 0, there are 5 choices (1 to 5) for the thousands digit, followed by \(4\times3\) arrangements for the two middle places: \(5\times4\times3=60\). If the units digit is 5, the thousands digit cannot be 0, so it has 4 choices (1 to 4), and the middle places can be filled in \(4\times3\) ways: \(4\times4\times3=48\). Hence, the total is \(60+48=108\). Option 96 is incorrect because the restriction on 0 in the thousands place is not the same in both ending-digit cases. Exam tip: When 0 is among the digits, handle the leading-digit restriction separately.
एक छात्र को (4) गणित पुस्तकों, (3) विज्ञान पुस्तकों और (5) भाषा पुस्तकों में से एक पुस्तक चुननी है। वह गणित या विज्ञान से चुन सकता है, पर भाषा तभी चुनेगा जब साथ में एक शब्दकोश भी चुनेगा। शब्दकोश (2) प्रकार के हैं। कुल वैध चयन कितने हैं?
गणित की पुस्तक चुनने के 4 और विज्ञान की पुस्तक चुनने के 3 तरीके हैं, अर्थात कुल \(4+3=7\) तरीके। भाषा की प्रत्येक 5 पुस्तकों के साथ 2 प्रकार के शब्दकोशों में से एक शब्दकोश लेना अनिवार्य है, इसलिए भाषा वाले वैध चयन \(5\times2=10\) हैं। अतः कुल वैध चयन \(7+10=17\) हैं। 15 प्राप्त करना भाषा-पुस्तक और शब्दकोश के लिए गुणन नियम को सही ढंग से न लगाने पर हो सकता है। परीक्षा टिप: ‘या’ के अलग-अलग मामलों को जोड़ें और ‘साथ में’ होने वाले विकल्पों को गुणा करें। / There are 4 ways to choose a mathematics book and 3 ways to choose a science book, giving \(4+3=7\) choices. For a language book, one of the 2 dictionary types must also be chosen; hence the valid language selections are \(5\times2=10\). Therefore, the total number of valid selections is \(7+10=17\). The option 15 can result from not applying the multiplication rule correctly to the language-book-and-dictionary case. Exam tip: add mutually exclusive cases connected by “or”, and multiply choices that must be selected together.
एक वाहन संख्या में पहले दो स्थानों पर भिन्न अक्षर और अगले चार स्थानों पर अंक हैं। अंक दोहरा सकते हैं, पर सभी चार अंक समान नहीं हो सकते। कुल वाहन संख्याएँ कितनी होंगी?
पहले अक्षर के लिए 26 और उससे भिन्न दूसरे अक्षर के लिए 25 विकल्प हैं, अर्थात \(26\times25=650\) विकल्प। चार अंकों के लिए कुल \(10^4=10000\) क्रम बनते हैं। इनमें \(0000,1111,\ldots,9999\) जैसे 10 क्रमों में चारों अंक समान हैं, इसलिए वैध क्रम \(10000-10=9990\) होंगे। अतः कुल वाहन संख्याएँ \(26\times25\times9990=6493500\) हैं। विकल्प B में समान अंकों वाले 10 क्रमों को हटाया नहीं गया है। परीक्षा टिप: निषिद्ध स्थितियों को कुल स्थितियों में से घटाना अक्सर सबसे तेज विधि है। / There are 26 choices for the first letter and 25 choices for the distinct second letter, giving \(26\times25=650\) letter pairs. The four-digit part has \(10^4=10000\) possible strings. Of these, exactly 10 strings—\(0000,1111,\ldots,9999\)—have all four digits identical, so valid digit strings are \(10000-10=9990\). Hence, the total is \(26\times25\times9990=6493500\). Option B incorrectly includes the 10 forbidden identical-digit strings. Exam tip: Count all cases first and subtract the restricted cases when the restriction is simple.
एक समिति के पदनाम के लिए पहले रंग, फिर आकार, फिर प्रतीक चुना जाता है। (7) रंग, (4) आकार और (6) प्रतीक हैं। यदि लाल रंग के साथ वृत्त आकार नहीं हो सकता, तो कितने पदनाम बनेंगे?
कुल \(7 \times 4 \times 6\) से निषिद्ध \(1 \times 1 \times 6\) घटाएँ। निषिद्ध स्थिति पहचानना परीक्षा में तेज तरीका है। / Subtract the forbidden \(1 \times 1 \times 6\) from total \(7 \times 4 \times 6\). Identifying the forbidden case is the quick exam method.
एक लॉकर कोड में चार अंक हैं। पहला अंक (0) नहीं हो सकता और ठीक दो अंक समान होने चाहिए, जबकि बाकी दो अंक अलग-अलग और उनसे भी अलग हों। कुल कोड कितने होंगे?
दोहराए गए अंक के (0) होने और न होने के मामले अलग करें। पहले स्थान पर (0) न आने की शर्त को अंत में न भूलें। / Separate cases according to whether the repeated digit is (0). Do not forget the first-place nonzero restriction.
अंतिम दो अंकों से (4) से विभाज्यता तय होगी। वैध अंतिम-जोड़ों में पहले अंक के (0) होने की स्थिति अलग गिनें। / Divisibility by (4) depends on the last two digits. Count valid ending pairs while separating cases where (0) remains for the first place.
एक ऑनलाइन प्रपत्र में (5) वैकल्पिक खंड हैं। प्रत्येक खंड भरा या खाली छोड़ा जा सकता है, पर कम से कम एक खंड भरना अनिवार्य है। यदि पहला और दूसरा खंड साथ-साथ नहीं भरे जा सकते, तो कुल तरीके कितने हैं?
कुल गैर-रिक्त चयन \(2^5-1\) हैं। जिनमें पहले दो साथ भरे हैं, वे \(2^3\) हैं और घटेंगे। / Total nonempty choices are \(2^5-1\). Those with the first two both filled are \(2^3\), so subtract them.
एक संकेत में (3) झंडे एक के ऊपर एक लगाए जाते हैं। (6) अलग झंडों में से चुने जाते हैं और नीला झंडा चुना जाए तो वह सबसे ऊपर नहीं हो सकता। कुल संकेत कितने बनेंगे?
कुल व्यवस्थाओं \(6 \times 5 \times 4\) में से नीला ऊपर होने वाली \(5 \times 4\) व्यवस्थाएँ घटाएँ। प्रतिबंधित स्थिति घटाना सरल है। / Subtract arrangements with blue on top, \(5 \times 4\), from total \(6 \times 5 \times 4\). Subtracting forbidden cases is simpler.
एक प्रश्नपत्र में भाग (A) से (2) में से एक प्रश्न, भाग (B) से (4) में से दो प्रश्न और भाग (C) से (3) में से एक प्रश्न करना है। भाग (B) के पहले दो प्रश्न साथ-साथ नहीं चुने जा सकते। कुल चयन कितने हैं?
भाग (B) में कुल जोड़े (6) हैं और एक निषिद्ध जोड़ा है। इसलिए \(2 \times 5 \times 3\) चयन मिलते हैं। / Section (B) has (6) pairs and one forbidden pair. Hence the count is \(2 \times 5 \times 3\).
दो सम अंक (4) में से और तीन विषम अंक (5) में से चुनें। फिर चुने गए (5) अंकों को (5!) तरीकों से सजाएँ। / Choose (2) even digits from (4) and (3) odd digits from (5). Then arrange the selected (5) digits in (5!) ways.
एक ऐप पहचान संख्या में (2) अक्षर और (3) अंक हैं। अक्षर दोहरा सकते हैं, अंक दोहरा सकते हैं, पर अंतिम अंक सम होना चाहिए और दोनों अक्षर समान नहीं होने चाहिए। कुल पहचान संख्याएँ कितनी होंगी?
अक्षरों के लिए \(26 \times 25\) विकल्प हैं। तीन अंकों में अंतिम के लिए (5) और बाकी दो के लिए (10,10) विकल्प हैं। / The letters have \(26 \times 25\) choices. For the three digits, the last has (5) choices and the other two have (10,10) choices.
एक पुस्तकालय कार्ड में (4) स्थान हैं। प्रत्येक स्थान पर (A,B,C,D,E) में से एक अक्षर आता है। यदि (A) कम से कम एक बार और (E) बिल्कुल नहीं आना चाहिए, तो कितने कार्ड बनेंगे?
(E) हटाने पर (4) अक्षर बचते हैं। इनमें से (A) न आने वाले \(3^4\) कार्ड कुल \(4^4\) से घटाएँ। / After excluding (E), (4) letters remain. Subtract cards without (A), \(3^4\), from total \(4^4\).
कुल \(2^6\) से लगातार तीन (1) वाले मामलों को व्यवस्थित गिनकर घटाएँ। छोटे अनुक्रमों में स्थिति आधारित गिनती सुरक्षित रहती है। / Subtract the cases containing three consecutive (1)'s from total \(2^6\) by organized counting. For short strings, position-based counting is reliable.
इकाई अंक निश्चित (9) है। हजारों स्थान (2,4,6,8) में से होगा और बीच के दो स्थान शेष (4) अंकों से भरेंगे। / The units digit is fixed as (9). The thousands digit is from (2,4,6,8), and the middle two places use the remaining (4) digits.
एक ड्रेस कोड में (5) शर्ट, (4) पैंट और (3) जैकेट हैं। जैकेट वैकल्पिक है, पर नीली शर्ट के साथ काली पैंट नहीं पहनी जा सकती। यदि हर बार शर्ट और पैंट अनिवार्य हैं, तो कुल पोशाकें कितनी होंगी?
जैकेट के लिए (4) विकल्प हैं क्योंकि न पहनना भी विकल्प है। कुल \(5 \times 4 \times 4\) से निषिद्ध \(1 \times 1 \times 4\) घटाएँ। / There are (4) jacket choices because wearing none is also a choice. Subtract forbidden \(1 \times 1 \times 4\) from total \(5 \times 4 \times 4\).
एक यूआरएल कोड में (3) छोटे अक्षर और (2) प्रतीक हैं। अक्षर दोहराए नहीं जाएँगे और प्रतीक (4) उपलब्ध प्रतीकों में से दो अलग-अलग स्थानों पर रखे जाएँगे। कुल कोड कितने होंगे?
तीन अक्षरों के लिए \(26 \times 25 \times 24\) विकल्प हैं। दो प्रतीक-स्थानों के लिए \(4 \times 4\) विकल्प हैं। / The three letters have \(26 \times 25 \times 24\) choices. The two symbol positions have \(4 \times 4\) choices.
एक भवन में भूतल से (5)वीं मंजिल तक जाने के लिए लिफ्ट या सीढ़ी चुनी जा सकती है। प्रत्येक मंजिल के बीच (2) विकल्प हैं, पर लगातार दो बार सीढ़ी नहीं चुनी जा सकती। कुल तरीकों की संख्या क्या है?
यह (5) स्थानों का द्वि-विकल्प अनुक्रम है जिसमें लगातार सीढ़ी नहीं है। छोटे अनुक्रम में पुनरावर्ती गिनती (13) देती है। / This is a (5)-position binary sequence with no consecutive stairs. A short recurrence count gives (13).
एक सर्वे में (4) प्रश्न हैं और हर प्रश्न के (3) उत्तर विकल्प हैं। यदि पहले दो प्रश्नों के उत्तर समान नहीं हो सकते और अंतिम दो प्रश्नों के उत्तर समान होने चाहिए, तो कुल उत्तर-पत्र कितने होंगे?
पहले प्रश्न के (3), दूसरे के (2), तीसरे के (3) और चौथा तीसरे जैसा होगा। इसलिए \(3 \times 2 \times 3\) मिलता है। / The first question has (3) choices, the second has (2), the third has (3), and the fourth matches the third. Thus \(3 \times 2 \times 3\).
एक खेल टीम की जर्सी में (8) रंग और (5) नंबर-शैलियाँ हैं। यदि सुनहरा रंग केवल विषम नंबर-शैली के साथ और चाँदी रंग केवल सम नंबर-शैली के साथ चुना जा सकता है, तो कुल जर्सियाँ कितनी होंगी?
छह सामान्य रंगों के लिए \(6 \times 5\) विकल्प हैं। सुनहरे के लिए (3) और चाँदी के लिए (2) विकल्प जोड़ें। / The six ordinary colors give \(6 \times 5\) choices. Add (3) choices for gold and (2) choices for silver.
संख्या सम होनी चाहिए और अंकों का योग (3) से विभाज्य होना चाहिए। अंतिम सम अंक के अनुसार सैकड़ों और दहाइयों के विकल्प गिनें। / The number must be even and the digit sum divisible by (3). Count choices for hundreds and tens according to the final even digit.
एक प्रवेश टिकट में (2) अक्षर, (1) रंग और (2) अंक हैं। अक्षर भिन्न हैं, अंक भिन्न हैं, और यदि रंग लाल है तो पहला अंक (0) नहीं हो सकता। (3) रंग उपलब्ध हैं। कुल टिकट कितने होंगे?
अक्षरों के \(26 \times 25\) विकल्प हैं। लाल के लिए \(9 \times 9\) और बाकी दो रंगों के लिए \(10 \times 9\) अंक-विकल्प हैं। / Letters have \(26 \times 25\) choices. Red gives \(9 \times 9\) digit choices, and the other two colors give \(10 \times 9\) choices each.
एक मोबाइल अनलॉक पैटर्न में (4) अलग बिंदु चुने जाते हैं। पहले बिंदु के लिए कोने के (4) बिंदु नहीं चुने जा सकते। कुल पैटर्न कितने होंगे यदि कुल (9) बिंदु हैं?
कुल 9 बिंदुओं में से 4 कोने के बिंदु पहले स्थान के लिए वर्जित हैं, इसलिए पहले बिंदु के लिए केवल 5 विकल्प हैं। इसके बाद 3 अलग बिंदु क्रम से चुनने के लिए 8, 7 और 6 विकल्प होंगे। अतः कुल पैटर्न \(5\times8\times7\times6=1680\) हैं। विकल्प 1920 तब मिलता यदि पहले बिंदु के लिए 5 के बजाय 8 विकल्प गलत रूप से लिए जाएँ। परीक्षा टिप: ऐसे पैटर्न प्रश्नों में क्रम महत्त्वपूर्ण होता है, इसलिए क्रमिक विकल्पों को गुणा करें। / Of the 9 points, the 4 corner points are not allowed in the first position, so there are only 5 choices for the first point. The next three distinct points can then be chosen in 8, 7, and 6 ways respectively. Hence, the total number of patterns is \(5\times8\times7\times6=1680\). The value 1920 would result from incorrectly taking 8 choices instead of 5 for the first point. Exam tip: In pattern questions, order matters, so multiply the successive choices.
दो अक्षर (6) में से चुनें और तीन स्थानों में दोनों का आना अनिवार्य रखें। प्रत्येक जोड़े के लिए \(2^3-2\) शब्द बनते हैं। / Choose (2) letters from (6) and ensure both appear in the three positions. Each pair gives \(2^3-2\) words.
पूरक विधि लगाएँ। पहले अंक के लिए 1 से 9 तक 9 विकल्प और शेष चार अंकों के लिए प्रत्येक स्थान पर 10 विकल्प हैं, इसलिए कुल पिन \(9 \times 10^4=90000\) हैं। जिन पिनों में 7 बिल्कुल नहीं है, उनमें पहले स्थान के लिए 8 विकल्प (1 से 9, पर 7 नहीं) तथा बाकी प्रत्येक स्थान के लिए 9 विकल्प हैं। ऐसे पिन \(8 \times 9^4=52488\) होंगे। अतः कम से कम एक 7 वाले पिन \(90000-52488=37512\) हैं। 52488 केवल उन पिनों की संख्या है जिनमें 7 नहीं आता। परीक्षा टिप: “कम से कम एक” वाले प्रश्नों में अक्सर “कुल − एक भी नहीं” सबसे तेज विधि होती है। / Use the complement method. There are 9 choices for the first digit (1 to 9) and 10 choices for each of the remaining four positions, so the total number of PINs is \(9 \times 10^4=90000\). For PINs with no 7 at all, the first digit has 8 choices (1 to 9 except 7), while each remaining position has 9 choices. Thus, there are \(8 \times 9^4=52488\) such PINs. Therefore, the number containing at least one 7 is \(90000-52488=37512\). Note that 52488 counts PINs containing no 7. Exam tip: for “at least one” counting questions, try total minus none first.
कुल रास्ते (10) हैं। पहले दो दाएँ होने पर बाकी (1) दाएँ और (2) ऊपर को (3) तरीकों से रखा जाता है। / Total paths are (10). If the first two are right, the remaining (1) right and (2) up moves can be arranged in (3) ways.
एक कोड में (4) अक्षर हैं। (26) अक्षरों में से केवल व्यंजन इस्तेमाल होंगे और कोई अक्षर दोहराया नहीं जाएगा। यदि पहला अक्षर (B) नहीं हो सकता, तो कुल कोड कितने होंगे?
व्यंजन (21) हैं और पहले स्थान पर (20) विकल्प हैं। फिर (20,19,18) विकल्प क्रम से मिलते हैं। / There are (21) consonants and (20) choices for the first place. Then (20,19,18) choices follow.
एक भोजन पैकेज में (1) पेय, (1) स्नैक और (1) मिठाई चुनी जाती है। (5) पेय, (6) स्नैक और (4) मिठाइयाँ हैं। यदि चॉकलेट मिठाई के साथ कॉफी पेय नहीं लिया जा सकता, तो कुल पैकेज कितने हैं?
कुल \(5 \times 6 \times 4\) पैकेज हैं। निषिद्ध कॉफी-चॉकलेट के साथ (6) स्नैक विकल्प घटाएँ। / Total packages are \(5 \times 6 \times 4\). Subtract (6) snack choices paired with the forbidden coffee-chocolate combination.
चार स्थानों की कुल व्यवस्थाएँ \(7 \times 6 \times 5 \times 4\) हैं। हजारों और इकाई में आधी व्यवस्थाओं में हजारों अंक बड़ा होगा। / Total arrangements are \(7 \times 6 \times 5 \times 4\). For the thousands and units positions, exactly half have the thousands digit larger.
एक पहचान टैग में (2) रंग और (2) आकार क्रम से चुने जाते हैं। रंग अलग-अलग होने चाहिए और आकार दोहरा सकते हैं। (6) रंग और (3) आकार हैं। यदि पहला रंग लाल है तो दोनों आकार समान नहीं हो सकते। कुल टैग कितने होंगे?
सामान्य रंग-क्रम (30) हैं। जिन (5) क्रमों में पहला लाल है, उनके आकार-विकल्प (9) के स्थान पर (6) होंगे। / There are (30) ordered color choices. For the (5) choices starting with red, shape choices reduce from (9) to (6).
विशेष फोटो न लगे तो \(6 \times 5 \times 4 \times 3\) व्यवस्थाएँ हैं। लगे तो उसके (2) किनारे और बाकी \(6 \times 5 \times 4\) विकल्प हैं। / If the special photo is not used, arrangements are \(6 \times 5 \times 4 \times 3\). If used, it has (2) end choices and the rest have \(6 \times 5 \times 4\) choices.
एक स्कूल आईडी में (3) अंकों के बाद (2) अक्षर हैं। अंक दोहराए जा सकते हैं, अक्षर भिन्न हैं। यदि तीनों अंक समान नहीं होने चाहिए और पहला अक्षर स्वर होना चाहिए, तो कुल आईडी कितनी होंगी?
अंकों के लिए \(10^3-10\) विकल्प हैं। अक्षरों में पहले स्वर के (5) और दूसरे के (25) विकल्प हैं। / The digit part has \(10^3-10\) choices. For letters, the first has (5) vowel choices and the second has (25) choices.
एक परीक्षा सीट कोड में पंक्ति (1) से (12), स्तंभ (1) से (8), और खंड (A,B,C) है। यदि खंड (C) में केवल सम पंक्ति संख्या मान्य है, तो कुल सीट कोड कितने होंगे?
खंड (A,B) के लिए \(2 \times 12 \times 8\) विकल्प हैं। खंड (C) के लिए \(6 \times 8\) विकल्प जोड़ें। / Blocks (A,B) give \(2 \times 12 \times 8\) choices. Block (C) adds \(6 \times 8\) choices.
पहले अंक के (5) विषम विकल्प और अंतिम के (5) सम विकल्प हैं। बीच के चार स्थान शेष (8) अंकों से क्रम में भरते हैं। / The first digit has (5) odd choices and the last has (5) even choices. The middle four positions are filled from the remaining (8) digits in order.
एक प्रश्न बैंक में (5) बीजगणित, (4) ज्यामिति और (3) गणना प्रश्न हैं। ठीक (3) प्रश्नों का सेट बनाना है जिसमें कम से कम एक बीजगणित और कम से कम एक ज्यामिति प्रश्न हो। कुल सेट कितने हैं?
पहले बिना किसी प्रतिबंध के 5 अक्षरों में से 4 अक्षरों के कोडों की संख्या \(^{5}P_{4}=5\times4\times3\times2=120\) है। अब उन कोडों को घटाएँ जिनमें P और Q साथ हों। P तथा Q को एक ब्लॉक मानने पर, शेष 3 अक्षरों में से 2 चुनने के 3 तरीके हैं। प्रत्येक चयन के लिए 3 इकाइयों को \(3!\) तरीकों से तथा ब्लॉक के भीतर PQ या QP को 2 तरीकों से रखा जा सकता है। अतः निषिद्ध कोड \(3\times3!\times2=36\) हैं। इसलिए आवश्यक कोड \(120-36=84\) हैं। 72 केवल सभी 5 अक्षरों की व्यवस्था में P और Q के साथ होने की संख्या घटाने जैसी गलत गिनती से आ सकता है। परीक्षा टिप: ‘साथ नहीं’ वाले प्रश्नों में अक्सर कुल व्यवस्थाएँ − निषिद्ध व्यवस्थाएँ विधि सबसे सरल रहती है। / Without the adjacency restriction, the number of four-letter codes is \(^{5}P_{4}=5\times4\times3\times2=120\). Now subtract the codes in which P and Q are adjacent. Treat P and Q as one block. The other two letters can be selected from the remaining three letters in 3 ways. For each selection, the three units can be arranged in \(3!\) ways, and the block can be PQ or QP in 2 ways. Thus, the forbidden codes are \(3\times3!\times2=36\). Hence, the required number is \(120-36=84\). The value 72 can result from incorrectly counting arrangements of all five letters instead of four-letter codes. Exam tip: for a “not adjacent” condition, use total arrangements minus the forbidden adjacent arrangements.
पहली-आखिरी विषय व्यवस्था दो प्रकार की है। गिनती (\(5 \times 4+4 \times 5\) \times 7!) होगी। / There are two subject patterns for the first and last positions. The count is (\(5 \times 4+4 \times 5\) \times 7!).
एक शब्दकोश क्रमांक में (3) स्थान हैं। हर स्थान पर (7) अक्षरों में से कोई भी आ सकता है। यदि कम से कम दो स्थानों पर एक ही अक्षर होना चाहिए, तो कुल क्रमांक कितने होंगे?
तीनों स्थानों के लिए कुल क्रमांक \(7^3=343\) हैं। जिन क्रमांकों में कोई भी अक्षर दोहराया नहीं गया है, उनकी संख्या \(7\times6\times5=210\) होगी। अतः कम से कम एक अक्षर के दोहराने वाले क्रमांक \(343-210=133\) हैं। विकल्प 210 केवल उन क्रमांकों की संख्या है जिनमें तीनों अक्षर अलग-अलग हैं। परीक्षा टिप: “कम से कम एक पुनरावृत्ति” वाले प्रश्नों में प्रायः पूरक घटना, अर्थात सभी अलग होने वाले मामले, घटाना सबसे सरल रहता है। / There are \(7^3=343\) total indices for the three positions. The number of indices with no repeated letter is \(7\times6\times5=210\). Therefore, the number with at least one repeated letter is \(343-210=133\). Option 210 counts only the indices in which all three letters are different. Exam tip: For “at least one repetition” questions, it is usually quickest to subtract the complementary case where all entries are distinct.
एक दुकान में (4) प्रकार के पेन, (5) प्रकार की कॉपी और (3) प्रकार के कवर हैं। छात्र कम से कम एक वस्तु और अधिकतम एक वस्तु हर प्रकार से चुनता है। यदि पेन चुना गया तो कवर भी चुनना जरूरी है, तो कुल चयन कितने होंगे?
कॉपी के लिए (6) विकल्प हैं और कवर के लिए (4) विकल्प हैं। पेन न चुनने और पेन चुनने के वैध मामलों को अलग जोड़ें। / Notebook has (6) choices and cover has (4) choices including none. Add valid cases separately for no pen and for choosing a pen.
एक ऑनलाइन टेस्ट में (6) सही-गलत प्रश्न हैं। उत्तर-पत्र में ठीक (4) उत्तर सही होने चाहिए और पहले प्रश्न का उत्तर सही होना चाहिए। कुल उत्तर-पत्र कितने होंगे?
पहले प्रश्न का उत्तर सही होना निश्चित है। अतः शेष 5 प्रश्नों में से ठीक 3 प्रश्नों के उत्तर सही होने चाहिए, ताकि कुल सही उत्तर 4 हों। इन 3 प्रश्नों को चुनने के तरीके \(\binom{5}{3}=10\) हैं। इसलिए 10 उत्तर-पत्र संभव हैं। 15 प्राप्त करने के लिए \(\binom{6}{4}\) लिया जाता है, लेकिन उसमें पहले प्रश्न के सही होने की शर्त शामिल नहीं होती। परीक्षा टिप: ऐसी शर्त वाले प्रश्न में पहले निश्चित स्थान को अलग करके शेष स्थानों पर संयोजन लगाएँ। / The answer to the first question is fixed as correct. Therefore, exactly 3 of the remaining 5 answers must be correct so that the total number of correct answers is 4. The number of ways to choose these 3 questions is \(\binom{5}{3}=10\). Hence, 10 response sheets are possible. The value 15 comes from \(\binom{6}{4}\), but it ignores the condition that the first answer must be correct. Exam tip: When a position is fixed, handle it first and then use combinations for the remaining positions.
हजारों स्थान (1,2,3) में से होगा और इकाई स्थान (1,3,5) में से विषम होगा। हजारों अंक विषम होने और न होने के मामले अलग करें। / The thousands digit is from (1,2,3), and the units digit is odd from (1,3,5). Separate cases according to whether the thousands digit is odd.
एक बैग कोड में (2) रंग और (1) आकार है। (5) रंगों में से रंग क्रम सहित चुने जाते हैं और दोहराए नहीं जाते। (4) आकार हैं। यदि हरा रंग चुना गया तो आकार गोल नहीं हो सकता। कुल कोड कितने होंगे?
कुल रंग-क्रम \(5 \times 4\) हैं। जिनमें हरा है वे (8) क्रम हैं और उनमें एक आकार घटता है। / Total ordered color choices are \(5 \times 4\). The (8) orders containing green lose one shape choice each.
एक प्रतियोगिता में (8) छात्रों में से प्रथम, द्वितीय और तृतीय पुरस्कार दिए जाते हैं। दो विशेष छात्र दोनों पुरस्कार-सूची में साथ नहीं आ सकते। कुल पुरस्कार-वितरण कितने होंगे?
कुल \(8 \times 7 \times 6\) वितरण हैं। दोनों विशेष छात्र आने पर तीसरा स्थान (6) छात्रों में से और क्रम (3!) होगा। / Total assignments are \(8 \times 7 \times 6\). If both special students appear, choose the third from (6) students and arrange the (3) winners.
एक डिब्बे में (4) लाल, (3) नीली और (2) हरी गेंदें अलग-अलग हैं। क्रम सहित (3) गेंदें निकाली जाती हैं। पहली गेंद लाल नहीं और तीसरी गेंद हरी होनी चाहिए। बिना वापसी के कुल तरीके कितने हैं?
तीसरी गेंद के हरे होने को तय करके पहले स्थान की वैधता अलग देखें। पहली हरी या नीली होने पर बीच के विकल्प अलग होते हैं। / Fix the third ball as green and count first-place validity separately. The middle choices differ when the first ball is green or blue.
एक सुरक्षा प्रश्न में (5) संकेत-चित्रों में से (3) क्रम से चुने जाते हैं। कोई चित्र दोहराया नहीं जाता और तारा चित्र चुना जाए तो वह दूसरे स्थान पर होना चाहिए। कुल उत्तर कितने होंगे?
तारा न चुने जाने पर \(4 \times 3 \times 2\) उत्तर हैं। तारा चुने जाने पर दूसरा स्थान निश्चित और बाकी \(4 \times 3\) विकल्प हैं। / If star is not chosen, there are \(4 \times 3 \times 2\) answers. If star is chosen, the second position is fixed and the other two positions have \(4 \times 3\) choices.
