Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
संबंध (A) से (B) तक हमेशा \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। परीक्षा में पहले कार्तीय गुणनफल पहचानें। / A relation from (A) to (B) is always a subset of \(A\times B\). In exams, identify the Cartesian product first.
परिभाषा क्षेत्र में ordered pairs के पहले घटक लिए जाते हैं। इसलिए (R) का परिभाषा क्षेत्र ( {1,2,3} ) है। / The domain contains the first components of the ordered pairs. Hence the domain of (R) is ( {1,2,3} ).
पहचान संबंध में प्रत्येक तत्व अपने साथ जुड़ता है। इसलिए केवल ( (5,5) ) और ( (7,7) ) आएंगे। / In the identity relation, each element is related to itself. So only ( (5,5) ) and ( (7,7) ) appear.
परिसर में ordered pairs के दूसरे घटक लिए जाते हैं। इसलिए (R) का परिसर ( {5,7,9} ) है। / The range contains the second components of the ordered pairs. Hence the range of (R) is ( {5,7,9} ).
सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) होता है और (n\(A\times A\)=32=9)। universal relation में सभी possible pairs शामिल होते हैं। / The universal relation is \(A\times A\), and (n\(A\times A\)=32=9). A universal relation contains all possible pairs.
A. समुच्चय \(A\) से समुच्चय \(A\) का संबंध/a relation from set \(A\) to set \(A\)
Explanation
Simple Explanation
संबंध \(R\) के प्रत्येक क्रमित युग्म के प्रथम और द्वितीय दोनों घटक समुच्चय \(A\) के सदस्य हैं। इसलिए \(R\subseteq A\times A\), अतः \(R\), \(A\) से \(A\) का संबंध है। यह \(R\) से \(R\) का संबंध नहीं है, क्योंकि संख्याएँ \(R\) के सदस्य नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: संबंध \(A\) पर होने के लिए उसके सभी क्रमित युग्म \(A\times A\) में होने चाहिए। / In every ordered pair of \(R\), both the first and second components belong to set \(A\). Therefore, \(R\subseteq A\times A\), so \(R\) is a relation from \(A\) to \(A\). It is not a relation from \(R\) to \(R\), because the numbers are not elements of \(R\). Exam tip: To identify a relation on \(A\), check whether every ordered pair belongs to \(A\times A\).
R में वही क्रमित युग्म होंगे जिनके दोनों अवयव A में हों और उनका योग 7 हो। विकल्प (3,4) के लिए 3+4=7, इसलिए (3,4)∈R है। विकल्प (1,4), (2,4) और (2,3) के अवयवों का योग क्रमशः 5, 6 और 5 है, इसलिए वे R में नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में प्रत्येक युग्म के अवयवों का योग सीधे जाँचें। / A pair belongs to R only when both of its elements are in A and their sum is 7. For (3,4), 3+4=7, so (3,4)∈R. The sums for (1,4), (2,4), and (2,3) are 5, 6, and 5 respectively, so those pairs are not in R. Exam tip: directly check the sum of the two entries in each ordered pair.
दिए गए set से ( (3,4) ) और ( (4,3) ) बनते हैं। ordered pair में क्रम बदलने से pair बदल जाता है। / From the given set, ( (3,4) ) and ( (4,3) ) are formed. In ordered pairs, changing the order changes the pair.
हर क्रमित युग्म \((x,y)\) में दूसरा घटक पहले घटक का वर्ग है: \(4=2^2\), \(9=3^2\) और \(16=4^2\)। इसलिए सही नियम \(y=x^2\) है। विकल्प \(y=x+2\) केवल पहले युग्म पर सही है, जबकि \(y=2x\) और \(x=y^2\) सभी युग्मों को संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा-युक्ति: किसी नियम की जाँच करने के लिए प्रत्येक क्रमित युग्म में \(x\) और \(y\) के मान रखकर देखें। / In every ordered pair \((x,y)\), the second component is the square of the first: \(4=2^2\), \(9=3^2\), and \(16=4^2\). Hence, the correct rule is \(y=x^2\). The rule \(y=x+2\) works only for the first pair, while \(y=2x\) and \(x=y^2\) do not satisfy all the pairs. Exam tip: Test a proposed relation by substituting the values of \(x\) and \(y\) from each ordered pair.
(5=2+3), इसलिए ( (2,5) ) condition पूरी करता है। (x) और (y) की जगह सही घटक रखें। / Since (5=2+3), ( (2,5) ) satisfies the condition. Substitute the correct components for (x) and (y).
(3<1) असत्य है, इसलिए \((3,1)\notin R\)। inequality relation में order बहुत महत्वपूर्ण है। / The statement (3<1) is false, so \((3,1)\notin R\). Order is very important in an inequality relation.
युग्म \((a,b)\) तभी \(R\) में होगा जब \(a\ge b\) हो। \((5,3)\) के लिए \(5\ge3\) सत्य है, इसलिए \((5,3)\in R\)। अन्य विकल्पों में पहला घटक दूसरे से छोटा है, इसलिए वे संबंध में नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले युग्म के पहले घटक को \(a\) और दूसरे घटक को \(b\) मानकर दी गई असमता जाँचें। / An ordered pair \((a,b)\) belongs to \(R\) only when \(a\ge b\). For \((5,3)\), the inequality \(5\ge3\) is true, so \((5,3)\in R\). In all the other options, the first component is smaller than the second, so they do not satisfy the relation. Exam tip: Treat the first and second entries as \(a\) and \(b\), respectively, and then test the given inequality.
(2) संख्या (4) को divide करती है। divisibility relation में ( (2,4) ) और ( (4,2) ) समान नहीं होते। / The number (2) divides (4). In a divisibility relation, ( (2,4) ) and ( (4,2) ) are not the same.
\(A\times A\) में \(3^2=9\) pairs होते हैं और उनके \(2^9\) subsets बनते हैं। संबंधों की संख्या \(2^{n(A)^2}\) होती है। / There are \(3^2=9\) pairs in \(A\times A\), and they form \(2^9\) subsets. The number of relations is \(2^{n(A)^2}\).
(n\(A\times B\)=2\cdot4=8), इसलिए संबंधों की संख्या \(2^8\) है। पहले (n\(A\times B\)) निकालें। / Here (n\(A\times B\)=2\cdot4=8), so the number of relations is \(2^8\). Find (n\(A\times B\)) first.
B. क्योंकि \((4,4)\) संबंध में नहीं है/Because \((4,4)\) does not belong to the relation
Explanation
Simple Explanation
किसी संबंध \(R\) के \(A\) पर स्वपरावर्ती होने के लिए प्रत्येक \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) होना आवश्यक है। यहाँ \((1,1),(2,2)\) और \((3,3)\) तो \(R\) में हैं, लेकिन \((4,4)\) नहीं है; इसलिए \(R\) स्वपरावर्ती नहीं है। परीक्षा-युक्ति: स्वपरावर्तिता जाँचने के लिए समुच्चय के प्रत्येक अवयव का विकर्ण युग्म \((a,a)\) देखें। / A relation \(R\) on \(A\) is reflexive only if \((a,a)\in R\) for every \(a\in A\). Here \((1,1),(2,2)\), and \((3,3)\) are present, but \((4,4)\) is missing; therefore, \(R\) is not reflexive. Exam tip: To test reflexivity, check the diagonal pair \((a,a)\) for every element of the set.
( (x,x) ) और ( (y,y) ) दोनों मौजूद हैं। extra pair ( (x,y) ) reflexive property को नहीं रोकता। / Both ( (x,x) ) and ( (y,y) ) are present. The extra pair ( (x,y) ) does not stop reflexivity.
( (1,4) ) के साथ ( (4,1) ) है और ( (2,2) ) अपना reverse खुद है। इसलिए (R) symmetric है। / The pair ( (4,1) ) is present with ( (1,4) ), and ( (2,2) ) is its own reverse. Hence (R) is symmetric.
\((3,4)\in R\) है लेकिन \((4,3)\notin R\) है। एक reverse pair missing होने से relation symmetric नहीं होता। / Here \((3,4)\in R\), but \((4,3)\notin R\). One missing reverse pair makes the relation non-symmetric.
( (1,2) ) और ( (2,4) ) से ( (1,4) ) जरूरी है। यह pair मौजूद है इसलिए यह chain पूरी है। / From ( (1,2) ) and ( (2,4) ), ( (1,4) ) is required. This pair is present, so this chain is complete.
( (1,3) ) और ( (3,5) ) होने पर ( (1,5) ) चाहिए। इसके बिना transitive property पूरी नहीं होती। / When ( (1,3) ) and ( (3,5) ) are present, ( (1,5) ) is needed. Without it, transitivity is not satisfied.
स्वपरावर्ती के लिए ( (1,1),(2,2),(3,3) ) चाहिए। empty relation में ये pairs नहीं हैं। / For reflexivity, ( (1,1),(2,2),(3,3) ) are needed. These pairs are not present in the empty relation.
\(A\times A\) के सभी pairs लेने पर universal relation बनता है। इसे complete relation भी समझ सकते हैं। / Taking all pairs of \(A\times A\) gives the universal relation. You can think of it as a complete relation.
( (1,3) ) में दोनों घटक बराबर नहीं हैं। (a=b) relation में केवल diagonal pairs आते हैं। / In ( (1,3) ), the two components are not equal. A relation (a=b) contains only diagonal pairs.
\(A\times A\) में (16) pairs हैं और (4) diagonal pairs हटेंगे। इसलिए (16-4=12) pairs बचेंगे। / There are (16) pairs in \(A\times A\), and (4) diagonal pairs are removed. So (16-4=12) pairs remain.
किसी क्रमित युग्म \((x,y)\) के \(R\) में होने के लिए \(x+y\) सम होना चाहिए। विकल्प C में \(3+7=10\), जो सम है; इसलिए \((3,7)\in R\)। अन्य विकल्पों में योग क्रमशः 3, 7 और 11 है, जो विषम हैं। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले युग्म के दोनों घटकों का योग करके उसकी सम-विषम प्रकृति जाँचें। / An ordered pair \((x,y)\) belongs to \(R\) when \(x+y\) is even. For option C, \(3+7=10\), which is even; hence \((3,7)\in R\). The sums in the other options are 3, 7 and 11, all odd. Exam tip: add the two components and check whether the sum is even or odd.
(4+8=12) सम है, इसलिए यह odd-sum relation में नहीं आएगा। विषम योग के लिए एक संख्या सम और दूसरी विषम होनी चाहिए। / Since (4+8=12) is even, it will not belong to the odd-sum relation. For an odd sum, one number should be even and the other odd.
(4=2+2), इसलिए ( (2,4) ) relation में है। ordered pair का क्रम बदलने से उत्तर बदल सकता है। / Since (4=2+2), ( (2,4) ) belongs to the relation. Changing the order of an ordered pair can change the answer.
(5), (3) से (2) अधिक है, इसलिए ( (5,3) ) सही है। शब्दों वाली condition को equation में बदलें। / The number (5) is (2) more than (3), so ( (5,3) ) is correct. Convert the word condition into an equation.
\(4=2\cdot2\), इसलिए \((2,4)\in R\) है। गुणा वाले rule में second component ध्यान से देखें। / Since \(4=2\cdot2\), \((2,4)\in R\). In multiplication rules, check the second component carefully.
\(2\cdot3=6\), इसलिए ( (2,3) ) relation में है। product condition में दोनों घटकों का गुणनफल देखें। / Since \(2\cdot3=6\), ( (2,3) ) belongs to the relation. In a product condition, check the product of both components.
इस condition से ( (2,3) ) और ( (3,2) ) मिलते हैं। ordered pairs में दोनों अलग माने जाते हैं। / This condition gives ( (2,3) ) and ( (3,2) ). In ordered pairs, these two are considered different.
R में किसी क्रमित युग्म (a, b) के होने के लिए a + b < 5 होना आवश्यक है। (1, 2), (2, 2) और (3, 1) के योग क्रमशः 3, 4 और 4 हैं, इसलिए वे R में हैं। (4, 2) के लिए 4 + 2 = 6 और 6 < 5 असत्य है; अतः यह R में नहीं है। परीक्षा-युक्ति: प्रत्येक विकल्प के लिए पहले दोनों अवयवों का योग निकालकर दी गई असमानता जाँचें। / An ordered pair (a, b) belongs to R only when a + b < 5. The sums for (1, 2), (2, 2), and (3, 1) are 3, 4, and 4, respectively, so these pairs belong to R. For (4, 2), a + b = 6, and 6 < 5 is false; therefore, it does not belong to R. Exam tip: For each option, add the two components and test the given inequality.
(5-3=2), इसलिए \((5,3)\in R\) है। subtraction relation में order बदलने से value बदल जाती है। / Since (5-3=2), \((5,3)\in R\). In a subtraction relation, changing the order changes the value.
(|5-4|=1), इसलिए ( (5,4) ) relation में है। absolute value में difference का sign मायने नहीं रखता। / Since (|5-4|=1), ( (5,4) ) belongs to the relation. In absolute value, the sign of the difference does not matter.
संक्रमणीयता के लिए यदि \((a,b)\) और \((b,c)\) संबंध में हों, तो \((a,c)\) भी संबंध में होना चाहिए। यहाँ \((1,2)\) और \((2,3)\) उपस्थित हैं, इसलिए \((1,3)\) भी होना चाहिए; लेकिन यह \(R\) में नहीं है। अतः \(R\) संक्रमणीय नहीं है। परीक्षा-युक्ति: लगातार जुड़े दो ordered pairs देखकर उनके पहले और अंतिम तत्वों का pair जाँचें। / For transitivity, whenever \((a,b)\) and \((b,c)\) belong to the relation, \((a,c)\) must also belong to it. Here, \((1,2)\) and \((2,3)\) are present, so \((1,3)\) must be present, but it is missing from \(R\). Therefore, \(R\) is not transitive. Exam tip: Check the pair formed by the first element of the first ordered pair and the second element of the next pair.
यदि समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) दिया गया है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा गुण \(R\) निश्चित रूप से संतुष्ट करता है?
स्वपरावर्ती संबंध के लिए प्रत्येक \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) होना चाहिए। यहाँ \((1,1),(2,2)\) और \((3,3)\) तीनों युग्म मौजूद हैं, इसलिए \(R\) स्वपरावर्ती है। यह स्वविरोधी नहीं हो सकता, क्योंकि स्वविरोधी संबंध में कोई भी \((a,a)\) नहीं होता; साथ ही यह सार्वत्रिक भी नहीं है, क्योंकि \((1,3)\) जैसे सभी संभव युग्म इसमें नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: diagonal pairs \((a,a)\) जाँचकर सबसे पहले reflexive property निर्धारित करें। / A relation is reflexive if \((a,a)\in R\) for every \(a\in A\). Here, all three diagonal pairs \((1,1),(2,2)\), and \((3,3)\) are present, so \(R\) is reflexive. It is not irreflexive because an irreflexive relation contains no pair of the form \((a,a)\), and it is not universal because pairs such as \((1,3)\) are missing. Exam tip: check the diagonal pairs \((a,a)\) first when testing reflexivity.
B. स्वपरावर्ती, सममित और संक्रामक/reflexive, symmetric and transitive
Explanation
Simple Explanation
identity relation सभी diagonal pairs रखता है और reverse भी वही pair होता है। यह transitive भी होता है। / The identity relation contains all diagonal pairs, and each reverse is the same pair. It is also transitive.
A. स्वपरावर्ती, सममित और संक्रामक/reflexive, symmetric and transitive
Explanation
Simple Explanation
universal relation में सभी possible pairs होते हैं। इसलिए reflexive, symmetric और transitive तीनों conditions पूरी होती हैं। / A universal relation contains all possible pairs. Hence reflexive, symmetric, and transitive conditions are all satisfied.
C. दोनों आवश्यक स्वपरावर्ती युग्म अनुपस्थित हैं/Both required reflexive pairs are absent
Explanation
Simple Explanation
स्वपरावर्ती संबंध में आधार समुच्चय के प्रत्येक तत्व \(a\) के लिए \((a,a)\) संबंध में होना चाहिए। यहाँ \(A=\{1,2\}\) है, इसलिए \((1,1)\) और \((2,2)\) दोनों आवश्यक हैं, लेकिन वे \(R\) में नहीं हैं। \((1,2)\) और \((2,1)\) का उपस्थित होना स्वपरावर्तिता सिद्ध नहीं करता। परीक्षा में स्वपरावर्ती जाँचने के लिए हमेशा सभी diagonal pairs \((a,a)\) देखें। / For a relation to be reflexive, \((a,a)\) must belong to the relation for every element \(a\) of the base set. Since \(A=\{1,2\}\), both \((1,1)\) and \((2,2)\) are required, but neither is in \(R\). The presence of \((1,2)\) and \((2,1)\) does not make the relation reflexive. Exam tip: to test reflexivity, check all diagonal pairs \((a,a)\).
समुच्चय \(A\) पर सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) के सभी क्रमित युग्मों का समुच्चय होता है। यहाँ दिए गए युग्म ठीक \(\{1,2\}\times\{1,2\}\) के सभी चार युग्म हैं, इसलिए \(A=\{1,2\}\) सही है। \(\{1,2,3\}\) पर \(3\) से जुड़े युग्म भी होने चाहिए, जो दिए नहीं गए हैं। परीक्षा-युक्ति: सार्वत्रिक संबंध पहचानने के लिए पहले \(|A|^2\) युग्मों की संख्या जाँचें। / The universal relation on a set \(A\) is the set of all ordered pairs in \(A\times A\). The given relation contains exactly the four pairs of \(\{1,2\}\times\{1,2\}\), so \(A=\{1,2\}\) is correct. For \(\{1,2,3\}\), pairs involving 3 would also be required, but they are absent. Exam tip: for a universal relation, check that the number of ordered pairs is \(|A|^2\).
(1) और (3) दोनों विषम हैं, इसलिए same parity है। parity relation में सम-सम या विषम-विषम pair सही होता है। / Both (1) and (3) are odd, so they have the same parity. In a parity relation, even-even or odd-odd pairs are correct.
(5), (6) का factor नहीं है। factor relation में पहला घटक दूसरे को divide करना चाहिए। / The number (5) is not a factor of (6). In a factor relation, the first component should divide the second.
(6), (3) का multiple है, इसलिए \((6,3)\in R\) है। multiple और factor relations में order याद रखें। / The number (6) is a multiple of (3), so \((6,3)\in R\). Remember the order in multiple and factor relations.
योग (2) देने वाले pairs ( (0,2),(1,1),(2,0) ) हैं। ordered pairs में सभी संभव क्रम देखें। / The pairs giving sum (2) are ( (0,2),(1,1),(2,0) ). Check all possible orders in ordered pairs.
\(A\times A\) के प्रत्येक क्रमित युग्म के लिए \(a+b>5\) जाँचना है। केवल \((3,3)\) के लिए \(3+3=6>5\) होता है। \((2,3)\) और \((3,2)\) का योग 5 है, इसलिए वे शामिल नहीं होंगे। अतः \(R=\{(3,3)\}\)। परीक्षा-युक्ति: ‘से बड़ा’ \((>)\) में बराबर का मान शामिल नहीं किया जाता। / Check the condition \(a+b>5\) for every ordered pair in \(A\times A\). Only \((3,3)\) satisfies it because \(3+3=6>5\). The pairs \((2,3)\) and \((3,2)\) have sum exactly 5, so they are not included. Hence, \(R=\{(3,3)\}\). Exam tip: the symbol \(>\) excludes equality.
A×A के युग्मों में शर्त a+b<3 जाँचते हैं। केवल (1,1) के लिए 1+1=2<3 है। (1,2) और (2,1) के लिए योग 3 है, जो 3 से छोटा नहीं है; इसलिए वे शामिल नहीं होंगे। अतः R={(1,1)}। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में सभी क्रमित युग्म बनाकर दिए गए असमिकता-प्रतिबंध की जाँच करें। / Check the condition a+b<3 for the ordered pairs in A×A. Only (1,1) satisfies it because 1+1=2<3. The pairs (1,2) and (2,1) have sum 3, which is not less than 3, so they are excluded. Therefore, R={(1,1)}. Exam tip: List the ordered pairs and test the given inequality one pair at a time.
पहला घटक (1) fixed है और दूसरा घटक (A) के (4) मान ले सकता है। इसलिए (4) pairs होंगे। / The first component is fixed as (1), and the second component can take (4) values from (A). Hence there will be (4) pairs.
दूसरा घटक (5) fixed है और पहला घटक (A) के (5) मान ले सकता है। इसलिए (5) pairs होंगे। / The second component is fixed as (5), and the first component can take (5) values from (A). Hence there will be (5) pairs.
Transitive rule में ( (a,b) ) और ( (b,c) ) से ( (a,c) ) चाहिए। यहाँ जरूरी pair ( (2,4) ) है। / In the transitive rule, ( (a,b) ) and ( (b,c) ) require ( (a,c) ). Here the needed pair is ( (2,4) ).
