Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
In a subset, every element of the first set must be in the second set.
Step 2
Why this answer is correct
(2,4,6) are all present in (B), so \(A \subseteq B\) is correct.
Step 3
Exam Tip
In exams, check each element one by one. चरण 1: उपसमुच्चय में पहले समुच्चय का हर अवयव दूसरे समुच्चय में होना चाहिए। चरण 2: (2,4,6) सभी (B) में हैं, इसलिए \(A \subseteq B\) सही है। चरण 3: परीक्षा में हर अवयव को अलग-अलग मिलाकर देखें।
Order does not matter in a set so both have the same elements. In exams always compare the elements.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वे समान समुच्चय हैं / They are equal sets. Order does not matter in a set so both have the same elements. In exams always compare the elements.
Step 3
Exam Tip
समुच्चय में क्रम का महत्व नहीं होता इसलिए दोनों में वही अवयव हैं। परीक्षा में हमेशा अवयवों को मिलाकर जांचें।
The integers in the given range are exactly (-1,0,1,2) so both sets are equal. In exams first convert set-builder form to roster form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (A=B). The integers in the given range are exactly (-1,0,1,2) so both sets are equal. In exams first convert set-builder form to roster form.
Step 3
Exam Tip
दी गई सीमा में पूर्णांक (-1,0,1,2) ही हैं इसलिए दोनों समुच्चय समान हैं। परीक्षा में पहले वर्णन रूप को सूची रूप में बदलें।
A. (7) समुच्चय (B) में नहीं है/(7) is not in set (B)
Step 1
Concept
\(A\subseteq B\) holds only when every element of (A) is in (B).
Step 2
Why this answer is correct
(7) is in (A) but not in (B), so the relation is false.
Step 3
Exam Tip
Even one missing element breaks the subset relation. चरण 1: \(A\subseteq B\) तभी होगा जब (A) का हर अवयव (B) में हो। चरण 2: (7) (A) में है पर (B) में नहीं है, इसलिए संबंध गलत है। चरण 3: एक भी छूटा अवयव उपसमुच्चय संबंध को गलत कर देता है।
After fixing (a) and (b), the remaining (3) elements can be chosen freely. So the number is \(2^3=8\) and fixed elements should be separated in such questions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (8). After fixing (a) and (b), the remaining (3) elements can be chosen freely. So the number is \(2^3=8\) and fixed elements should be separated in such questions.
Step 3
Exam Tip
(a) और (b) को निश्चित रखने पर बाकी (3) अवयव स्वतंत्र चुने जाते हैं। इसलिए संख्या \(2^3=8\) है और ऐसे प्रश्नों में निश्चित अवयव अलग कर दें।
So there is no element that can fail to belong to (A), hence \(\varnothing \subseteq A\).
Step 3
Exam Tip
This rule is very useful in subset questions. चरण 1: रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता। चरण 2: इसलिए ऐसा कोई अवयव नहीं मिलता जो (A) में न हो, अतः \(\varnothing \subseteq A\) माना जाता है। चरण 3: यह नियम उपसमुच्चय के प्रश्नों में बहुत उपयोगी है।
Every element of a set is certainly in the same set.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore (A) is completely contained in itself and \(A \subseteq A\) is correct.
Step 3
Exam Tip
Remember that every set is a subset of itself. चरण 1: किसी समुच्चय का हर अवयव उसी समुच्चय में अवश्य होता है। चरण 2: इसलिए (A) अपने ही भीतर पूरी तरह शामिल है और \(A \subseteq A\) सही है। चरण 3: हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है, इसे याद रखें।
While counting, include the empty set and the whole set too. चरण 1: (n) अवयवों वाले समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है। चरण 2: यहाँ (n=4), इसलिए \(2^4=16\)। चरण 3: संख्या गिनते समय रिक्त समुच्चय और पूरा समुच्चय भी शामिल करें।
A proper subset does not include the whole set, so (8-1=7).
Step 3
Exam Tip
For proper subsets, remove only the full set. चरण 1: (3) अवयवों वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चय \(2^3=8\) होंगे। चरण 2: उचित उपसमुच्चय में पूरा समुच्चय शामिल नहीं होता, इसलिए (8-1=7)। चरण 3: उचित उपसमुच्चय में केवल पूर्ण समुच्चय को हटाना होता है।
({0}) is not empty because it contains (0) as an element. Keep the empty set and the set containing zero separate.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\varnothing\subseteq A\). ({0}) is not empty because it contains (0) as an element. Keep the empty set and the set containing zero separate.
Step 3
Exam Tip
({0}) रिक्त नहीं है क्योंकि इसमें (0) अवयव है। रिक्त समुच्चय और शून्य वाले समुच्चय में अंतर रखें।
(P(A)) contains all subsets of (A) as its elements.
Step 2
Why this answer is correct
({1}) is a subset of (A), so it is an element of (P(A)).
Step 3
Exam Tip
Always distinguish between (1) and ({1}). चरण 1: (P(A)) में (A) के सभी उपसमुच्चय अवयव बनते हैं। चरण 2: ({1}), (A) का उपसमुच्चय है, इसलिए यह (P(A)) का अवयव है। चरण 3: (1) और ({1}) में अंतर अवश्य पहचानें।
Use \(2^n\) to find (n(P(A))). चरण 1: घात समुच्चय (P(A)) में सभी उपसमुच्चय रखे जाते हैं। चरण 2: जब (n(A)=5), तब (n(P(A))=25=32)। चरण 3: (n(P(A))) निकालते समय \(2^n\) का प्रयोग करें।
In (2<x<7), equality is not included at either end.
Step 2
Why this answer is correct
So both endpoints use round brackets and the interval is ((2,7)).
Step 3
Exam Tip
Use open ends for strict inequalities. चरण 1: (2<x<7) में दोनों सिरों पर बराबरी शामिल नहीं है। चरण 2: इसलिए दोनों सिरों पर गोल कोष्ठक लगेंगे और अंतराल ((2,7)) होगा। चरण 3: सख्त असमानता के लिए खुला सिरा लिखें।
Therefore \(3\le x\le 9\) is the correct inequality.
Step 3
Exam Tip
When you see square brackets, include equality signs. चरण 1: ([3,9]) में दोनों सिरे शामिल हैं। चरण 2: इसलिए (x) के लिए \(3\le x\le 9\) सही असमानता है। चरण 3: वर्ग कोष्ठक दिखे तो बराबरी का चिन्ह लगाना न भूलें।
A. (4) शामिल है और (10) शामिल नहीं है/(4) is included and (10) is not included
Step 1
Concept
A square bracket includes the endpoint and a round bracket excludes it.
Step 2
Why this answer is correct
In ([4,10)), (4) is included but (10) is not.
Step 3
Exam Tip
For half-open intervals, check both endpoints separately. चरण 1: वर्ग कोष्ठक वाला सिरा शामिल होता है और गोल कोष्ठक वाला सिरा शामिल नहीं होता। चरण 2: ([4,10)) में (4) शामिल है पर (10) शामिल नहीं है। चरण 3: आधे खुले अंतराल में दोनों सिरों को अलग-अलग देखें।
The left endpoint is round, so (-5) is not included.
Step 2
Why this answer is correct
The right endpoint is square, so (2) is included and the inequality is \(-5<x\le 2\).
Step 3
Exam Tip
Decide equality signs by reading the brackets. चरण 1: बायाँ सिरा गोल है, इसलिए (-5) शामिल नहीं है। चरण 2: दायाँ सिरा वर्ग है, इसलिए (2) शामिल है और असमानता \(-5<x\le 2\) बनेगी। चरण 3: कोष्ठक देखकर ही बराबरी का चिन्ह तय करें।
To identify a closed interval, look for square brackets on both sides. चरण 1: बंद अंतराल में दोनों अंतिम संख्याएँ शामिल होती हैं। चरण 2: ([1,6]) में (1) और (6) दोनों शामिल हैं। चरण 3: बंद अंतराल पहचानने के लिए दोनों ओर वर्ग कोष्ठक देखें।
A. \(A\subseteq B\) पर \(A\neq B\)/\(A\subseteq B\) but \(A\neq B\)
Step 1
Concept
All elements of (A) are in (B) but (B) has extra (7). This identifies a proper subset.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(A\subseteq B\) पर \(A\neq B\) / \(A\subseteq B\) but \(A\neq B\). All elements of (A) are in (B) but (B) has extra (7). This identifies a proper subset.
Step 3
Exam Tip
(A) के सभी अवयव (B) में हैं पर (B) में (7) अतिरिक्त है। यही उचित उपसमुच्चय की पहचान है।
The distinct letters of the word become elements of the set. The whole word and the set of letters are different.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ({M,A,T,H}). The distinct letters of the word become elements of the set. The whole word and the set of letters are different.
Step 3
Exam Tip
शब्द के अलग अलग अक्षर समुच्चय के अवयव बनते हैं। पूरा शब्द और अक्षरों का समुच्चय अलग होते हैं।
A. क्योंकि (B) का हर अवयव (A) में है/Because every element of (B) is in (A)
Step 1
Concept
For a subset, every element of the smaller set must lie in the larger set. Reversing the direction changes the statement.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि (B) का हर अवयव (A) में है / Because every element of (B) is in (A). For a subset, every element of the smaller set must lie in the larger set. Reversing the direction changes the statement.
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय में छोटे समुच्चय का हर अवयव बड़े समुच्चय में होना चाहिए। दिशा बदलने से कथन बदल जाता है।
A. \(1\in A\) और \({1}\subseteq A\)/\(1\in A\) and \({1}\subseteq A\)
Step 1
Concept
(1) is an element and ({1}) is a subset. Do not confuse \(\in\) and \(\subseteq\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(1\in A\) और \({1}\subseteq A\) / \(1\in A\) and \({1}\subseteq A\). (1) is an element and ({1}) is a subset. Do not confuse \(\in\) and \(\subseteq\).
Step 3
Exam Tip
(1) अवयव है और ({1}) उपसमुच्चय है। \(\in\) और \(\subseteq\) के प्रयोग में गलती न करें।
({1,2}) is equal to (A) but is not an element of (A). Treating the whole set as an element is a common mistake.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \({1,2}\in A\). ({1,2}) is equal to (A) but is not an element of (A). Treating the whole set as an element is a common mistake.
Step 3
Exam Tip
({1,2}) (A) के बराबर है पर (A) का अवयव नहीं है। पूरे समुच्चय को अवयव मानना सामान्य गलती है।
A. हाँ क्योंकि दोनों में समान अभाज्य संख्याएं हैं/Yes because both have the same prime numbers
Step 1
Concept
The primes less than (20) are exactly the listed numbers. Remember that (1) is not a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हाँ क्योंकि दोनों में समान अभाज्य संख्याएं हैं / Yes because both have the same prime numbers. The primes less than (20) are exactly the listed numbers. Remember that (1) is not a prime number.
Step 3
Exam Tip
(20) से कम अभाज्य संख्याएं सूची में दी गई सभी संख्याएं हैं। याद रखें (1) अभाज्य संख्या नहीं है।
A. जब उनके सभी अवयव समान हों/When all their elements are the same
Step 1
Concept
Equal sets must have every element in both sets. Names or order alone do not decide equality.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. जब उनके सभी अवयव समान हों / When all their elements are the same. Equal sets must have every element in both sets. Names or order alone do not decide equality.
Step 3
Exam Tip
समान समुच्चय में प्रत्येक अवयव दोनों समुच्चयों में होना चाहिए। केवल नाम या क्रम से समानता तय नहीं होती।
A. \(A\subset B\) में (A) का हर अवयव (B) में है और \(A\neq B\)/In \(A\subset B\), every element of (A) is in (B) and \(A\neq B\)
Step 1
Concept
A proper subset is not equal and all its elements lie in the larger set. Understand that \(\subset\) is different from \(\subseteq\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(A\subset B\) में (A) का हर अवयव (B) में है और \(A\neq B\) / In \(A\subset B\), every element of (A) is in (B) and \(A\neq B\). A proper subset is not equal and all its elements lie in the larger set. Understand that \(\subset\) is different from \(\subseteq\).
Step 3
Exam Tip
उचित उपसमुच्चय बराबर नहीं होता और सभी अवयव बड़े समुच्चय में होते हैं। चिन्ह \(\subset\) का अर्थ \(\subseteq\) से अलग समझें।
D. इनमें से कोई भी उपसमुच्चय संबंध सत्य नहीं/None of these subset relations is true
Step 1
Concept
(A) has (1,2) not in (B) and (B) has (5) not in (A). Having common elements is not enough for a subset relation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. इनमें से कोई भी उपसमुच्चय संबंध सत्य नहीं / None of these subset relations is true. (A) has (1,2) not in (B) and (B) has (5) not in (A). Having common elements is not enough for a subset relation.
Step 3
Exam Tip
(A) में (1,2) हैं जो (B) में नहीं और (B) में (5) है जो (A) में नहीं। साझा अवयव होना उपसमुच्चय होने के लिए काफी नहीं है।
