Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
समुच्चय में क्रम का महत्व नहीं होता इसलिए दोनों में वही अवयव हैं। परीक्षा में हमेशा अवयवों को मिलाकर जांचें। / Order does not matter in a set so both have the same elements. In exams always compare the elements.
दी गई सीमा में पूर्णांक (-1,0,1,2) ही हैं इसलिए दोनों समुच्चय समान हैं। परीक्षा में पहले वर्णन रूप को सूची रूप में बदलें। / The integers in the given range are exactly (-1,0,1,2) so both sets are equal. In exams first convert set-builder form to roster form.
समुच्चय में दोहराए गए अवयव एक ही बार गिने जाते हैं। परीक्षा में पुनरावृत्ति को नजरअंदाज करें। / Repeated elements in a set are counted only once. In exams ignore repetition in set notation.
(a) और (b) को निश्चित रखने पर बाकी (3) अवयव स्वतंत्र चुने जाते हैं। इसलिए संख्या \(2^3=8\) है और ऐसे प्रश्नों में निश्चित अवयव अलग कर दें। / After fixing (a) and (b), the remaining (3) elements can be chosen freely. So the number is \(2^3=8\) and fixed elements should be separated in such questions.
रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता। / The empty set has no element.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ऐसा कोई अवयव नहीं मिलता जो (A) में न हो, अतः \(\varnothing \subseteq A\) माना जाता है। / So there is no element that can fail to belong to (A), hence \(\varnothing \subseteq A\).
Step 3
Exam Tip
यह नियम उपसमुच्चय के प्रश्नों में बहुत उपयोगी है। / This rule is very useful in subset questions.
दोनों समुच्चयों में अवयव (2,4,6) ही हैं। रोस्टर और वर्णन रूप को पहले समान रूप में बदलें। / Both sets contain only (2,4,6). First convert roster and description forms to the same form.
किसी समुच्चय का हर अवयव उसी समुच्चय में अवश्य होता है। / Every element of a set is certainly in the same set.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (A) अपने ही भीतर पूरी तरह शामिल है और \(A \subseteq A\) सही है। / Therefore (A) is completely contained in itself and \(A \subseteq A\) is correct.
Step 3
Exam Tip
हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है, इसे याद रखें। / Remember that every set is a subset of itself.
(A) का हर अवयव (B) में है और (B) में अतिरिक्त (7) है। उपसमुच्चय जांचते समय हर अवयव देखें। / Every element of (A) is in (B) and (B) has extra (7). Check every element when testing subset.
({0}) रिक्त नहीं है क्योंकि इसमें (0) अवयव है। रिक्त समुच्चय और शून्य वाले समुच्चय में अंतर रखें। / ({0}) is not empty because it contains (0) as an element. Keep the empty set and the set containing zero separate.
(10) से कम धनात्मक सम संख्याएं (2,4,6,8) हैं। वर्णन को रोस्टर रूप में बदलना उपयोगी है। / The positive even numbers less than (10) are (2,4,6,8). Converting description to roster form is useful.
बायाँ सिरा गोल है, इसलिए (-5) शामिल नहीं है। / The left endpoint is round, so (-5) is not included.
Step 2
Why this answer is correct
दायाँ सिरा वर्ग है, इसलिए (2) शामिल है और असमानता \(-5<x\le 2\) बनेगी। / The right endpoint is square, so (2) is included and the inequality is \(-5<x\le 2\).
Step 3
Exam Tip
कोष्ठक देखकर ही बराबरी का चिन्ह तय करें। / Decide equality signs by reading the brackets.
दोनों तरफ से उपसमुच्चय होने का अर्थ है दोनों में समान अवयव हैं। समानता सिद्ध करने का यह मानक तरीका है। / Being subsets of each other means both have the same elements. This is the standard method to prove equality.
({3}) पूरा एक अवयव है जबकि (3) अलग से अवयव नहीं है। अवयव और उपसमुच्चय का अंतर ध्यान रखें। / ({3}) is one whole element while (3) is not separately listed. Keep element and subset different.
(1) और ({3}) दोनों (A) के अवयव हैं। (3) स्वयं (A) में नहीं है इसलिए उससे बने विकल्प गलत हो सकते हैं। / Both (1) and ({3}) are elements of (A). Since (3) itself is not in (A), options using it may be false.
शब्द के अलग अलग अक्षर समुच्चय के अवयव बनते हैं। पूरा शब्द और अक्षरों का समुच्चय अलग होते हैं। / The distinct letters of the word become elements of the set. The whole word and the set of letters are different.
A. क्योंकि (B) का हर अवयव (A) में है/Because every element of (B) is in (A)
Explanation
Simple Explanation
उपसमुच्चय में छोटे समुच्चय का हर अवयव बड़े समुच्चय में होना चाहिए। दिशा बदलने से कथन बदल जाता है। / For a subset, every element of the smaller set must lie in the larger set. Reversing the direction changes the statement.
({1,2}) (A) के बराबर है पर (A) का अवयव नहीं है। पूरे समुच्चय को अवयव मानना सामान्य गलती है। / ({1,2}) is equal to (A) but is not an element of (A). Treating the whole set as an element is a common mistake.
(12) के धनात्मक भाजक (1,2,3,4,6,12) हैं। भाजक वाले प्रश्नों में कोई भाजक छूटना नहीं चाहिए। / The positive divisors of (12) are (1,2,3,4,6,12). In divisor questions no divisor should be missed.
A. हाँ क्योंकि दोनों में समान अभाज्य संख्याएं हैं/Yes because both have the same prime numbers
Explanation
Simple Explanation
(20) से कम अभाज्य संख्याएं सूची में दी गई सभी संख्याएं हैं। याद रखें (1) अभाज्य संख्या नहीं है। / The primes less than (20) are exactly the listed numbers. Remember that (1) is not a prime number.
दो अवयव चुनने की संख्या \(\binom{5}{2}=10\) होती है। उपसमुच्चय में क्रम नहीं गिना जाता। / The number of ways to choose two elements is \(\binom{5}{2}=10\). Order is not counted in subsets.
यहां \(A=\{1,2,3\}\) है और ({1,2}) इसका उचित उपसमुच्चय है। उचित उपसमुच्चय पूरे समुच्चय के बराबर नहीं होता। / Here \(A=\{1,2,3\}\) and ({1,2}) is its proper subset. A proper subset is not equal to the whole set.
पावर सेट में सभी उपसमुच्चय होते हैं इसलिए संख्या \(2^3=8\) है। (P(A)) की संख्या उपसमुच्चयों की कुल संख्या होती है। / The power set contains all subsets so the number is \(2^3=8\). The size of (P(A)) equals the total number of subsets.
A. जब उनके सभी अवयव समान हों/When all their elements are the same
Explanation
Simple Explanation
समान समुच्चय में प्रत्येक अवयव दोनों समुच्चयों में होना चाहिए। केवल नाम या क्रम से समानता तय नहीं होती। / Equal sets must have every element in both sets. Names or order alone do not decide equality.
A. \(A\subset B\) में (A) का हर अवयव (B) में है और \(A\neq B\)/In \(A\subset B\), every element of (A) is in (B) and \(A\neq B\)
Explanation
Simple Explanation
उचित उपसमुच्चय बराबर नहीं होता और सभी अवयव बड़े समुच्चय में होते हैं। चिन्ह \(\subset\) का अर्थ \(\subseteq\) से अलग समझें। / A proper subset is not equal and all its elements lie in the larger set. Understand that \(\subset\) is different from \(\subseteq\).
D. इनमें से कोई भी उपसमुच्चय संबंध सत्य नहीं/None of these subset relations is true
Explanation
Simple Explanation
(A) में (1,2) हैं जो (B) में नहीं और (B) में (5) है जो (A) में नहीं। साझा अवयव होना उपसमुच्चय होने के लिए काफी नहीं है। / (A) has (1,2) not in (B) and (B) has (5) not in (A). Having common elements is not enough for a subset relation.
