Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
In a subset, every element of the first set must be in the second set.
Step 2
Why this answer is correct
All elements (2,4,6) of (A) are present in (B).
Step 3
Exam Tip
In exams, check each element of the smaller set carefully. चरण 1: उपसमुच्चय में पहले समुच्चय का हर अवयव दूसरे समुच्चय में होना चाहिए। चरण 2: (A) के सभी अवयव (2,4,6), (B) में उपस्थित हैं। चरण 3: परीक्षा में पहले छोटे समुच्चय के सभी अवयव मिलाकर जाँचें।
It is important to distinguish between an element and a subset.
Step 2
Why this answer is correct
(1) is directly an element of (A), so \(1\in A\) is true.
Step 3
Exam Tip
Before writing a single number as a subset, it must be written as a set. चरण 1: किसी अवयव और उपसमुच्चय में अंतर समझना जरूरी है। चरण 2: (1) सीधे (A) का अवयव है, इसलिए \(1\in A\) सही है। चरण 3: अकेली संख्या को उपसमुच्चय लिखने से पहले उसे समुच्चय रूप में लिखना पड़ता है।
Natural numbers are usually taken to start from (1).
Step 2
Why this answer is correct
The one-digit even natural numbers are (2,4,6,8).
Step 3
Exam Tip
Always check whether the question includes (0) or not. चरण 1: प्राकृतिक संख्याएँ सामान्यतः (1) से शुरू मानी जाती हैं। चरण 2: एक अंक वाली सम प्राकृतिक संख्याएँ (2,4,6,8) हैं। चरण 3: (0) को प्राकृतिक संख्या मानना है या नहीं, प्रश्न की भाषा से जाँचें।
The power set contains all subsets of the original set.
Step 2
Why this answer is correct
({a,c}) contains (c), which is not in (A). So it is not a subset of (A).
Step 3
Exam Tip
In power set questions, first check whether the given set is truly a subset. चरण 1: घात समुच्चय में मूल समुच्चय के सभी उपसमुच्चय आते हैं। चरण 2: ({a,c}) में (c) है, जो (A) में नहीं है। इसलिए यह (A) का उपसमुच्चय नहीं है। चरण 3: घात समुच्चय के प्रश्न में पहले जाँचें कि दिया गया समुच्चय वास्तव में उपसमुच्चय है या नहीं।
\(2x\geq 6\), so \(x\geq 3\). Hence the interval is \([3,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
When \(\geq\) appears, include the starting endpoint. चरण 1: असमानता \(2x-1\geq 5\) को हल करें। चरण 2: \(2x\geq 6\), इसलिए \(x\geq 3\)। अतः अंतराल \([3,\infty\)) है। चरण 3: \(\geq\) होने पर आरंभिक छोर शामिल करें।
Match powers of (2) to find the number of elements quickly. चरण 1: उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है। चरण 2: \(2^n=16=2^4\), इसलिए (n=4) है। चरण 3: घातों को बराबर करके अवयवों की संख्या जल्दी मिलती है।
\(A\setminus B\) contains elements of (A) that are not in (B).
Step 2
Why this answer is correct
Since (B) includes (-2) and the numbers after it, the remaining part of (A) is ((-4,-2)).
Step 3
Exam Tip
In set difference, pay close attention to the endpoints of the removed part. चरण 1: \(A\setminus B\) में (A) के वे अवयव आते हैं जो (B) में नहीं हैं। चरण 2: (B) में (-2) शामिल है और आगे की संख्याएँ भी शामिल हैं, इसलिए (A) में बचा भाग ((-4,-2)) है। चरण 3: अंतर समुच्चय में हटाए गए भाग के छोरों पर विशेष ध्यान दें।
A proper subset does not include the set itself, so (16-1=15).
Step 3
Exam Tip
When proper subsets are asked, subtract the original set. चरण 1: कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) होंगे। चरण 2: उचित उपसमुच्चय में पूरा समुच्चय स्वयं शामिल नहीं होता, इसलिए (16-1=15)। चरण 3: उचित उपसमुच्चय पूछे जाने पर पूरे समुच्चय को घटाएँ।
Check open and closed brackets before deciding endpoint membership. चरण 1: वर्ग कोष्ठक का अर्थ है कि छोर शामिल हैं। चरण 2: ([2,5]) में (2) और (5) दोनों शामिल हैं। चरण 3: खुले और बंद कोष्ठक देखकर ही छोरों की सदस्यता तय करें।
B. (3) शामिल नहीं है और (9) शामिल है/(3) is not included and (9) is included
Step 1
Concept
A round bracket means the endpoint is not included.
Step 2
Why this answer is correct
A square bracket means the endpoint is included, so (3) is out and (9) is in.
Step 3
Exam Tip
In mixed intervals, check both endpoints separately. चरण 1: गोल कोष्ठक वाला छोर शामिल नहीं होता। चरण 2: वर्ग कोष्ठक वाला छोर शामिल होता है, इसलिए ((3,9]) में (3) नहीं और (9) शामिल है। चरण 3: मिश्रित अंतरालों में दोनों छोर अलग-अलग जाँचें।
In (-1<x<4), both (-1) and (4) are excluded, so ((-1,4)).
Step 3
Exam Tip
Use round brackets for (<) and square brackets for \(\leq\). चरण 1: कठोर असमानता में छोर शामिल नहीं होते। चरण 2: (-1<x<4) में (-1) और (4) दोनों बाहर हैं, इसलिए ((-1,4))। चरण 3: (<) के लिए गोल कोष्ठक और \(\leq\) के लिए वर्ग कोष्ठक लगाएँ।
In ([-2,6)), (-2) is included and (6) is excluded.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore the inequality is \(-2\leq x<6\).
Step 3
Exam Tip
Convert each endpoint separately when changing interval form to set-builder form. चरण 1: ([-2,6)) में (-2) शामिल है और (6) शामिल नहीं है। चरण 2: इसलिए असमानता \(-2\leq x<6\) होगी। चरण 3: अंतराल से असमानता बनाते समय हर छोर का चिह्न अलग देखकर लिखें।
Intersection contains numbers common to both intervals.
Step 2
Why this answer is correct
(2) is not in (B), while (4) is in both intervals. So (A\cap B=(2,4]).
Step 3
Exam Tip
In intersections, write the common part with correct endpoint brackets. चरण 1: प्रतिच्छेद में केवल वे संख्याएँ आती हैं जो दोनों अंतरालों में हों। चरण 2: (2) (B) में शामिल नहीं है, पर (4) दोनों में शामिल है। इसलिए (A\cap B=(2,4])। चरण 3: प्रतिच्छेद में साझा भाग को छोरों सहित सावधानी से लिखें।
(3) is not included in (A) because the right endpoint is open.
Step 2
Why this answer is correct
(3) is included in (B), but there is no common number.
Step 3
Exam Tip
When endpoints meet, check whether the common endpoint belongs to both intervals. चरण 1: (A) में (3) शामिल नहीं है क्योंकि दायाँ छोर खुला है। चरण 2: (B) में (3) शामिल है, पर साझा संख्या कोई नहीं बचती। चरण 3: छोर समान दिखे तो भी देखें कि वह दोनों में शामिल है या नहीं।
The two intervals meet only at (5). Hence the intersection is ({5}).
Step 3
Exam Tip
A single common number is best written as a set, not an interval. चरण 1: (A) में (5) शामिल है और (B) में भी (5) शामिल है। चरण 2: दोनों अंतराल केवल (5) पर मिलते हैं। इसलिए प्रतिच्छेद ({5}) है। चरण 3: एक अकेली साझा संख्या को अंतराल नहीं, समुच्चय रूप में लिखना बेहतर है।
The intervals overlap from (0) to (2), so together they form ([-3,5]).
Step 3
Exam Tip
The union of overlapping intervals often becomes one larger interval. चरण 1: संघ में दोनों अंतरालों की सभी संख्याएँ ली जाती हैं। चरण 2: ये अंतराल (0) से (2) तक मिलते हैं, इसलिए मिलकर ([-3,5]) बनाते हैं। चरण 3: जुड़े हुए अंतरालों का संघ अक्सर एक बड़ा अंतराल बन जाता है।
There is a gap between ((1,2)) and ((3,4)), so they cannot be merged into one interval.
Step 3
Exam Tip
For separated parts, write the union as separate intervals. चरण 1: संघ में दोनों अंतराल शामिल होंगे। चरण 2: ((1,2)) और ((3,4)) के बीच खाली भाग है, इसलिए इन्हें एक ही अंतराल नहीं बना सकते। चरण 3: अलग-अलग हिस्सों वाले संघ को अलग अंतरालों के संघ के रूप में लिखें।
Every element of a subset must belong to the original set.
Step 2
Why this answer is correct
({1,3}) contains (3), which is not in (A).
Step 3
Exam Tip
Even one outside element makes a set not a subset. चरण 1: उपसमुच्चय का हर अवयव मूल समुच्चय में होना चाहिए। चरण 2: ({1,3}) में (3) है, जो (A) में नहीं है। चरण 3: एक भी बाहरी अवयव मिलने पर वह उपसमुच्चय नहीं रहता।
A. रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय है/The empty set is a subset of every set
Step 1
Concept
The empty set has no element.
Step 2
Why this answer is correct
So there is no element that can fail to belong to another set. Hence \(\emptyset\) is a subset of every set.
Step 3
Exam Tip
Remember that \(\emptyset\) and ({0}) are different. चरण 1: रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता। चरण 2: इसलिए ऐसा कोई अवयव नहीं मिल सकता जो दूसरे समुच्चय में न हो। इसी कारण \(\emptyset\) हर समुच्चय का उपसमुच्चय है। चरण 3: \(\emptyset\) और ({0}) में अंतर याद रखें।
\(A\subseteq B\) means every element of (A) is in (B).
Step 2
Why this answer is correct
\(B\subseteq A\) means every element of (B) is in (A). Therefore the two sets are equal.
Step 3
Exam Tip
To prove equality of sets, prove subset relation in both directions. चरण 1: \(A\subseteq B\) का अर्थ है (A) का हर अवयव (B) में है। चरण 2: \(B\subseteq A\) का अर्थ है (B) का हर अवयव (A) में है। इसलिए दोनों समुच्चय बराबर हैं। चरण 3: बराबर समुच्चय सिद्ध करने के लिए दोनों दिशाओं का उपसमुच्चय संबंध दिखाएँ।
Do not confuse a solution set of an equation with an interval. चरण 1: \(x^2=4\) के हल (x=2) और (x=-2) हैं। चरण 2: इसलिए समुच्चय में दोनों वास्तविक हल आएँगे। चरण 3: समीकरण वाले समुच्चय को अंतराल समझने की गलती न करें।
All real numbers greater than (3) are included, so the interval is \([3,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
Always use a round bracket with \(\infty\). चरण 1: \(x\geq 3\) में (3) शामिल है। चरण 2: (3) से बड़ी सभी वास्तविक संख्याएँ भी शामिल हैं, इसलिए \([3,\infty\))। चरण 3: \(\infty\) के साथ हमेशा गोल कोष्ठक लगाया जाता है।
All real numbers less than (-2) are included, so (\(-\infty,-2\)).
Step 3
Exam Tip
Use a round bracket at the endpoint for a strict inequality. चरण 1: (x<-2) में (-2) शामिल नहीं है। चरण 2: (-2) से छोटी सभी वास्तविक संख्याएँ शामिल हैं, इसलिए (\(-\infty,-2\))। चरण 3: कठोर असमानता में छोर पर गोल कोष्ठक लगाएँ।
(B) contains numbers greater than (1), excluding (1). The common part is ((1,4]).
Step 3
Exam Tip
Even with infinite intervals, decide endpoint inclusion carefully. चरण 1: (A) में (4) तक की संख्याएँ हैं और (4) शामिल है। चरण 2: (B) में (1) से बड़ी संख्याएँ हैं, पर (1) शामिल नहीं है। साझा भाग ((1,4]) है। चरण 3: अनंत वाले अंतरालों में भी साझा सीमा ध्यान से तय करें।
Integers are included in rational numbers, and rational numbers are included in real numbers.
Step 3
Exam Tip
Remember the chain \(N\subseteq Z\subseteq Q\subseteq R\). चरण 1: प्राकृतिक संख्याएँ पूर्णांकों में आती हैं। चरण 2: पूर्णांक परिमेय संख्याओं में और परिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं में आती हैं। चरण 3: संख्या-समुच्चयों की श्रेणी \(N\subseteq Z\subseteq Q\subseteq R\) याद रखें।
C. \(A\subseteq B\) और \(A\neq B\)/\(A\subseteq B\) and \(A\neq B\)
Step 1
Concept
\(A=\{1,2,3,4\}\).
Step 2
Why this answer is correct
Every element of (A) is in (B), but (5) is not in (A).
Step 3
Exam Tip
Keep the difference between subset and equal set clear. चरण 1: \(A=\{1,2,3,4\}\) है। चरण 2: (A) का हर अवयव (B) में है, पर (5) (A) में नहीं है। चरण 3: उपसमुच्चय और बराबर समुच्चय में अंतर ध्यान रखें।
([0,10]) contains all real numbers from (0) to (10), including endpoints.
Step 2
Why this answer is correct
All elements (0,5,10) lie in this interval.
Step 3
Exam Tip
Check each element against the interval boundary. चरण 1: ([0,10]) में (0) से (10) तक सभी वास्तविक संख्याएँ शामिल हैं। चरण 2: ({0,5,10}) के तीनों अवयव इसी अंतराल में हैं। चरण 3: उपसमुच्चय जाँचते समय हर अवयव की सीमा से तुलना करें।
Every point of a subinterval must lie inside the original interval.
Step 2
Why this answer is correct
All points of ([3,7]) lie within ([2,8]).
Step 3
Exam Tip
Compare both endpoints to identify subintervals quickly. चरण 1: उपअंतराल का हर बिंदु मूल अंतराल के अंदर होना चाहिए। चरण 2: ([3,7]) के सभी बिंदु ([2,8]) के अंदर हैं। चरण 3: दोनों छोरों की तुलना करके उपअंतराल जल्दी पहचाना जा सकता है।
In the open interval ((2,6)), endpoints (2) and (6) are not included.
Step 2
Why this answer is correct
(4) lies between them, so \(4\in A\).
Step 3
Exam Tip
In open intervals, middle points are included but endpoints are not. चरण 1: खुले अंतराल ((2,6)) में छोर (2) और (6) शामिल नहीं हैं। चरण 2: (4) दोनों के बीच है, इसलिए \(4\in A\)। चरण 3: खुले अंतराल में बीच की संख्याएँ आती हैं, छोर नहीं।
In ([-5,-1)), (-5) is included but (-1) is not included.
Step 2
Why this answer is correct
(-3) and (-4.5) lie inside the interval.
Step 3
Exam Tip
If the right endpoint has a round bracket, that endpoint is excluded. चरण 1: ([-5,-1)) में (-5) शामिल है पर (-1) शामिल नहीं है। चरण 2: (-3) और (-4.5) बीच में हैं, इसलिए शामिल हैं। चरण 3: दाएँ छोर पर गोल कोष्ठक हो तो वह संख्या बाहर रहती है।
The symbol \(\leq\) means the boundary is included.
Step 2
Why this answer is correct
Here both (0) and (1) are included, so (A=[0,1]).
Step 3
Exam Tip
Use square brackets when \(\leq\) appears. चरण 1: \(\leq\) का अर्थ है कि सीमा भी शामिल है। चरण 2: यहाँ (0) और (1) दोनों शामिल हैं, इसलिए (A=[0,1])। चरण 3: \(\leq\) दिखे तो वर्ग कोष्ठक का प्रयोग करें।
Order does not matter in a subset. चरण 1: दो अवयवों वाले उपसमुच्चय चुनने हैं। चरण 2: वे ({1,2},{1,3},{2,3}) हैं, कुल (3)। चरण 3: उपसमुच्चय में क्रम का महत्व नहीं होता।
One-element subsets are formed by taking one element at a time.
Step 2
Why this answer is correct
({p},{q},{r}) are the three such subsets.
Step 3
Exam Tip
A set with (n) elements has (n) one-element subsets. चरण 1: एक अवयव वाले उपसमुच्चय एक-एक अवयव से बनते हैं। चरण 2: ({p},{q},{r}) तीन ऐसे उपसमुच्चय हैं। चरण 3: किसी समुच्चय में (n) अवयव हों तो एक अवयव वाले उपसमुच्चय (n) होते हैं।
The endpoints are not included because the inequality is strict. Hence (A=(-3,3)).
Step 3
Exam Tip
For squared inequalities, find both negative and positive boundaries. चरण 1: \(x^2<9\) का अर्थ है (-3<x<3)। चरण 2: छोर शामिल नहीं हैं क्योंकि असमानता कठोर है। इसलिए (A=(-3,3))। चरण 3: वर्ग वाली असमानता में दोनों ओर की सीमाएँ ध्यान से निकालें।
Equality is included, so both endpoints are included.
Step 3
Exam Tip
Use square brackets when equality is allowed. चरण 1: \(x^2\leq 16\) से \(-4\leq x\leq 4\) मिलता है। चरण 2: बराबरी शामिल है, इसलिए दोनों छोर शामिल होंगे। चरण 3: \(\leq\) होने पर वर्ग कोष्ठक लगाना न भूलें।
((0,1)) contains only numbers strictly between (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
Both \(\frac{1}{4}\) and \(\frac{3}{4}\) lie inside it.
Step 3
Exam Tip
In an open interval, endpoints (0) and (1) are not included. चरण 1: ((0,1)) में केवल (0) और (1) के बीच की संख्याएँ हैं। चरण 2: \(\frac{1}{4}\) और \(\frac{3}{4}\) दोनों इसी के अंदर हैं। चरण 3: खुले अंतराल में छोर (0) और (1) शामिल नहीं होते।
So every element of (B) belongs to (A), hence \(B\subseteq A\).
Step 3
Exam Tip
Compare the smaller interval with the larger interval to decide the relation. चरण 1: ((4,6)) की हर संख्या (2) और (8) के बीच आती है। चरण 2: इसलिए (B) का हर अवयव (A) में है, अतः \(B\subseteq A\)। चरण 3: छोटे अंतराल को बड़े अंतराल से तुलना करके संबंध तय करें।
(B) excludes (2) and (8), but includes all numbers between them.
Step 2
Why this answer is correct
(A) includes those numbers and also the endpoints. Thus \(B\subseteq A\).
Step 3
Exam Tip
With the same boundaries, open and closed endpoints can change the subset relation. चरण 1: (B) में (2) और (8) शामिल नहीं हैं, पर बीच की सभी संख्याएँ हैं। चरण 2: (A) में ये सभी संख्याएँ तथा छोर भी शामिल हैं। इसलिए \(B\subseteq A\)। चरण 3: समान सीमाओं में खुले और बंद छोर संबंध बदल सकते हैं।
A proper subset has all elements from the original set but is not equal to it.
Step 2
Why this answer is correct
({1,2,3}) lies inside (A) and is smaller than (A).
Step 3
Exam Tip
The set itself is not counted as a proper subset. चरण 1: उचित उपसमुच्चय में सभी अवयव मूल समुच्चय से होते हैं, पर वह मूल समुच्चय के बराबर नहीं होता। चरण 2: ({1,2,3}) (A) के अंदर है और (A) से छोटा है। चरण 3: पूरा समुच्चय उचित उपसमुच्चय नहीं माना जाता।
When (Z) is given, count only integers, not all real numbers. चरण 1: (Z) का अर्थ पूर्णांकों का समुच्चय है। चरण 2: (-2) से (2) तक के पूर्णांक (-2,-1,0,1,2) हैं। चरण 3: जब (Z) दिया हो, तो केवल पूर्णांक गिनें, सभी वास्तविक संख्याएँ नहीं।
Since \(-2\leq x\leq 2\) includes both endpoints, the interval is ([-2,2]).
Step 3
Exam Tip
Understanding the difference between (Z) and (R) is very important. चरण 1: (R) का अर्थ सभी वास्तविक संख्याएँ है। चरण 2: \(-2\leq x\leq 2\) में दोनों छोर शामिल हैं, इसलिए अंतराल ([-2,2]) है। चरण 3: (Z) और (R) में अंतर समझना बहुत जरूरी है।
First writing the set in roster form makes counting easier. चरण 1: \(A=\{1,2,3,4\}\), इसलिए इसमें (4) अवयव हैं। चरण 2: उपसमुच्चयों की संख्या \(2^4=16\) होगी। चरण 3: पहले समुच्चय को रोस्टर रूप में लिखना गिनती आसान कर देता है।
In combined questions, first find the required set and then test subsets. चरण 1: पहले \(A\cap B\) निकालें, जो ({2,3}) है। चरण 2: ({2,4}) में (4) है, जो ({2,3}) में नहीं है। चरण 3: मिश्रित प्रश्नों में पहले मुख्य समुच्चय निकालें, फिर उपसमुच्चय जाँचें।
The complement of (A) contains elements of (U) that are not in (A).
Step 2
Why this answer is correct
The complement is ({1,3,5}), and ({1,3}) is its subset.
Step 3
Exam Tip
First remove the given set from the universal set. चरण 1: (A) का पूरक (U) में वे अवयव हैं जो (A) में नहीं हैं। चरण 2: पूरक ({1,3,5}) है और ({1,3}) इसका उपसमुच्चय है। चरण 3: पहले सार्वत्रिक समुच्चय में से दिए गए समुच्चय को हटाएँ।
(\(-\infty,5\)) contains all real numbers less than (5).
Step 2
Why this answer is correct
(5) itself is not included because of the round bracket.
Step 3
Exam Tip
\(\infty\) is not an endpoint number, so it always takes a round bracket. चरण 1: (\(-\infty,5\)) में (5) से छोटी सभी वास्तविक संख्याएँ आती हैं। चरण 2: (5) स्वयं शामिल नहीं है क्योंकि (5) पर गोल कोष्ठक है। चरण 3: \(\infty\) सीमा नहीं होती, इसलिए उसके साथ भी गोल कोष्ठक ही लगता है।
In ((-2,3]), (-2) is excluded and (3) is included.
Step 2
Why this answer is correct
(0) and (2.5) lie inside the interval, so they are included.
Step 3
Exam Tip
Pay special attention to endpoints when finding a false statement. चरण 1: ((-2,3]) में (-2) शामिल नहीं है और (3) शामिल है। चरण 2: (0) और (2.5) बीच में हैं, इसलिए वे शामिल हैं। चरण 3: गलत कथन खोजते समय छोरों पर विशेष ध्यान दें।
(A) contains numbers greater than (1) and up to (6).
Step 2
Why this answer is correct
(2,4,6) all satisfy this condition.
Step 3
Exam Tip
A subset must not contain even one element outside the boundary. चरण 1: (A) में (1) से बड़ी और (6) तक की संख्याएँ हैं। चरण 2: (2,4,6) सभी इस सीमा में हैं। चरण 3: उपसमुच्चय में एक भी सीमा से बाहर अवयव नहीं होना चाहिए।
(B) contains (0) and numbers greater than it. Only (0) is common.
Step 3
Exam Tip
With \(\leq\) and \(\geq\), the common boundary may be included. चरण 1: (A) में (0) और उससे छोटी संख्याएँ हैं। चरण 2: (B) में (0) और उससे बड़ी संख्याएँ हैं। केवल (0) दोनों में है। चरण 3: \(\leq\) और \(\geq\) होने पर साझा सीमा शामिल हो सकती है।
The two intervals join at (2), and (2) is included in both.
Step 2
Why this answer is correct
Together they contain all numbers from (0) to (4), excluding (0) and (4).
Step 3
Exam Tip
Connected intervals can often be written as one simple interval. चरण 1: दोनों अंतराल (2) पर जुड़े हैं और (2) दोनों में शामिल है। चरण 2: मिलकर वे (0) से (4) तक की सभी संख्याएँ देते हैं, पर (0) और (4) शामिल नहीं हैं। चरण 3: जुड़े हुए अंतरालों का संघ एक सरल अंतराल बन सकता है।
(|x|<2) means (x) is less than (2) units away from (0).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore (-2<x<2), which is ((-2,2)).
Step 3
Exam Tip
For absolute value inequalities, write both side boundaries together. चरण 1: (|x|<2) का अर्थ है कि (x), (0) से (2) से कम दूरी पर है। चरण 2: इसलिए (-2<x<2), यानी ((-2,2))। चरण 3: परम मान वाली असमानता में दोनों दिशाओं की सीमा साथ-साथ लिखें।
