Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(\frac{x-2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2), पर \(x\ne 2\)। सरल करने के बाद भी मूल हर की शर्त याद रखें। / (\frac{x-2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2), but \(x\ne 2\). Keep the original denominator restriction even after simplification.
किसी फलन का स्थिर गुणज इस प्रकार परिभाषित होता है: \((3f)(x)=3f(x)\)। इसलिए \((3f)(x)=3(2x-3)=6x-9\)। विकल्प C में केवल \(2x\) का गुणांक बदला गया है, जबकि 3 को पूरे फलन से गुणा करना चाहिए। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में स्थिर गुणक को प्रत्येक पद पर वितरित करना याद रखें। / A scalar multiple of a function is defined by \((3f)(x)=3f(x)\). Hence, \((3f)(x)=3(2x-3)=6x-9\). Option C changes only the coefficient of \(x\), but the constant term must also be multiplied by 3. Exam tip: distribute the scalar to every term of the function.
फलनों के अंतर के लिए \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\)। इसलिए \(f(3)=7-3=4\) और \(g(3)=3+1=4\), अतः \((f-g)(3)=4-4=0\)। ध्यान रखें कि दोनों फलनों में समान \(x\)-मान रखने के बाद घटाव करना है। / For the difference of two functions, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Thus, \(f(3)=7-3=4\) and \(g(3)=3+1=4\), so \((f-g)(3)=4-4=0\). Exam tip: evaluate both functions at the same input before subtracting.
पहले \(f(1)=1+3=4\) और \(g(1)=2\times1=2\) ज्ञात करें। फलनों के गुणन के लिए \((fg)(1)=f(1)g(1)=4\times2=8\), इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प 6 जोड़ने से प्राप्त होता है, जबकि यहाँ फलनों के मानों का गुणन करना है। परीक्षा-युक्ति: \((fg)(x)\) को \(f(g(x))\) से अलग पहचानें; पहला गुणनफल और दूसरा संयोजन है। / First, \(f(1)=1+3=4\) and \(g(1)=2\times1=2\). Since \((fg)(1)=f(1)g(1)\), we get \((fg)(1)=4\times2=8\), so option A is correct. The value 6 would result from adding the two function values, but the notation here requires multiplication. Exam tip: distinguish \((fg)(x)\), which denotes the product of functions, from \(f(g(x))\), which denotes composition.
(\left\(\frac{f}{g}\right\)(2)=\frac{f(2)}{g(2)}=\frac{12}{6}=2)। हर का मान (0) नहीं होना चाहिए। / (\left\(\frac{f}{g}\right\)(2)=\frac{f(2)}{g(2)}=\frac{12}{6}=2). The denominator value must not be (0).
फलनों के योग का नियम है \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। इसलिए \(f(-1)=(-1)^2+1=2\) और \(g(-1)=-1\), अतः \((f+g)(-1)=2+(-1)=1\)। विकल्प C केवल \(f(-1)\) का मान है, उसमें \(g(-1)\) नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा-युक्ति: पहले दोनों फलनों के मान अलग-अलग निकालकर अंत में जोड़ें। / The sum of two functions is defined by \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Thus, \(f(-1)=(-1)^2+1=2\) and \(g(-1)=-1\), so \((f+g)(-1)=2+(-1)=1\). Option C is only the value of \(f(-1)\), without adding \(g(-1)\). Exam tip: evaluate the two functions separately and then add their values.
दो फलनों के गुणनफल के लिए \((fg)(x)=f(x)g(x)\) होता है। इसलिए \((fg)(x)=(x+5)\cdot 2=2x+10\)। विकल्प B में फलनों को जोड़ा गया है, गुणा नहीं किया गया। परीक्षा टिप: \((fg)(x)\) को \(f(g(x))\) से अलग पहचानें; पहला गुणनफल और दूसरा संयोजन होता है। / For the product of two functions, \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Hence, \((fg)(x)=(x+5)\cdot 2=2x+10\). Option B represents addition rather than multiplication. Exam tip: distinguish \((fg)(x)\), the product, from \(f(g(x))\), the composition.
फलनों का योग लेने पर \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(4x+1)+(x-2)=5x-1\) प्राप्त होता है। इसलिए \(x\) का गुणांक 5 है। विकल्प 4 केवल \(f(x)\) में \(x\) का गुणांक है, जबकि यहाँ दोनों फलनों को जोड़ना है। परीक्षा-युक्ति: समान घात वाले पदों के गुणांकों को जोड़ें। / Adding the two functions gives \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(4x+1)+(x-2)=5x-1\). Therefore, the coefficient of \(x\) is 5. The value 4 is only the coefficient of \(x\) in \(f(x)\), not in their sum. Exam tip: add the coefficients of like-power terms when combining linear functions.
यहाँ \((fg)(x)\) का अर्थ \(f(x)g(x)\) है। इसलिए \((fg)(x)=(x-4)(x+4)\)। पहचान \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) लगाने पर \(x^2-4^2=x^2-16\) प्राप्त होता है। विकल्प B में ऋण चिह्न की जगह धन चिह्न गलत है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में संयुग्मी द्विपदों की पहचान करके सीधे \(a^2-b^2\) का उपयोग करें। / Here, \((fg)(x)\) denotes the product \(f(x)g(x)\). Thus, \((fg)(x)=(x-4)(x+4)\). Using the identity \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), we get \(x^2-4^2=x^2-16\). Option B is incorrect because the constant term should be negative, not positive. Exam tip: when two conjugate binomials are multiplied, apply the difference-of-squares identity directly.
दो फलनों का गुणनफल \((fg)(x)=f(x)g(x)\) होता है। इसलिए \((fg)(x)=\frac{1}{x}\cdot x=1\), क्योंकि दिया गया है कि \(x\ne 0\)। विकल्प \(\frac{1}{x^2}\) भाग देने पर प्राप्त होता है, गुणा करने पर नहीं। परीक्षा-युक्ति: \((fg)(x)\) को पहले \(f(x)g(x)\) के रूप में लिखें और फिर मान रखें। / The product of two functions is defined by \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Hence, \((fg)(x)=\frac{1}{x}\cdot x=1\), since \(x\ne 0\). The expression \(\frac{1}{x^2}\) would result from division, not multiplication. Exam tip: Rewrite \((fg)(x)\) as \(f(x)g(x)\) before substituting the given functions.
\(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge 0\) चाहिए और (x+1) सभी वास्तविक (x) पर परिभाषित है। अतः डोमेन \([0,\infty\)) है। / For \(\sqrt{x}\), we need \(x\ge 0\), while (x+1) is defined for all real (x). Hence the domain is \([0,\infty\)).
\(\frac{1}{x-3}\) में (x=3) पर हर (0) हो जाता है। इसलिए योग का डोमेन \(\mathbb{R}-{3}\) है। / In \(\frac{1}{x-3}\), the denominator becomes (0) at (x=3). So the domain of the sum is \(\mathbb{R}-{3}\).
भागफल \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{x+2}{x-5}\) में हर शून्य नहीं हो सकता। इसलिए \(x-5\neq 0\), अर्थात् \(x\neq 5\), और डोमेन \(\mathbb{R}\setminus\{5\}\) है। विकल्प B में \(-2\) हटाया गया है, जो केवल अंश को शून्य करता है और अनुमत है। परीक्षा-युक्ति: भागफल का डोमेन निर्धारित करते समय केवल हर को शून्य करने वाले मान हटाएँ। / The quotient is \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{x+2}{x-5}\), so its denominator must not be zero. Thus \(x-5\neq 0\), or \(x\neq 5\), giving the domain \(\mathbb{R}\setminus\{5\}\). In option B, \(-2\) is excluded even though it only makes the numerator zero, which is allowed. Exam tip: For a quotient, exclude only the values that make the denominator zero.
फलनों के रैखिक संयोजन के अनुसार \((2f+g)(x)=2f(x)+g(x)\)। अतः \(2(x^2+3)+(2x-1)=2x^2+6+2x-1=2x^2+2x+5\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में स्थिर पद की गणना गलत है, क्योंकि \(6-1=5\), 2 नहीं। परीक्षा में पहले पूरे फलन को गुणक से गुणा करके समान घात वाले पदों को जोड़ें। / For a linear combination of functions, \((2f+g)(x)=2f(x)+g(x)\). Therefore, \(2(x^2+3)+(2x-1)=2x^2+6+2x-1=2x^2+2x+5\), so option A is correct. In option B, the constant term is calculated incorrectly; \(6-1=5\), not 2. Exam tip: multiply the entire function by its coefficient before combining like terms.
\((f+2g)(1)=f(1)+2g(1)\)। यहाँ \(f(1)=3(1)+2=5\) और \(g(1)=1^2=1\), इसलिए \((f+2g)(1)=5+2(1)=7\)। विकल्प 5 चुनना \(2g(1)\) को भूलने के कारण गलत है। परीक्षा में पहले संयुक्त फलन का नियम लिखें, फिर मान रखें। / \((f+2g)(1)=f(1)+2g(1)\). Here, \(f(1)=3(1)+2=5\) and \(g(1)=1^2=1\), so \((f+2g)(1)=5+2(1)=7\). The value 5 results from forgetting the coefficient 2 of \(g(1)\). In an exam, write the rule for the combined function before substituting the value.
फलनों के योग की परिभाषा के अनुसार \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। इसलिए \((f+g)(x)=x+x^2\)। विकल्प \(x^3\), \(f(x)g(x)\) अर्थात् फलनों के गुणन को दर्शाता है, योग को नहीं। परीक्षा-टिप: \((f+g)(x)\) में दोनों फलनों के मान जोड़े जाते हैं। / By the definition of the sum of two functions, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Therefore, \((f+g)(x)=x+x^2\). The option \(x^3\) represents \(f(x)g(x)\), the product of the function values, not their sum. Exam tip: For \((f+g)(x)\), add the values of the two functions at the same input.
फलनों के अंतर के अनुसार \((f-g)(0)=f(0)-g(0)\)। यहाँ \(f(0)=0\) और \(g(0)=3\), इसलिए \((f-g)(0)=0-3=-3\)। विकल्प B में घटाव के क्रम का ध्यान न रखने पर मिलने वाला धनात्मक मान है। परीक्षा-युक्ति: \((f-g)(x)\) में हमेशा पहले फलन का मान दूसरे फलन के मान से घटाएँ। / By the definition of the difference of two functions, \((f-g)(0)=f(0)-g(0)\). Since \(f(0)=0\) and \(g(0)=3\), we get \((f-g)(0)=0-3=-3\). Option B results from reversing the subtraction order. Exam tip: In \((f-g)(x)\), subtract the value of the second function from the value of the first function.
भागफल फलन के लिए \\(\\left(\\frac{f}{g}\\right)(0)=\\frac{f(0)}{g(0)}\\)। यहाँ \\(f(0)=0^2-1=-1\\) और \\(g(0)=0+1=1\\), इसलिए मान \\(\\frac{-1}{1}=-1\\) है। विकल्प B में अंश के ऋणात्मक चिह्न की उपेक्षा की गई है। परीक्षा-युक्ति: भागफल फलन का मान निकालते समय पहले अंश और हर के फलनों के मान अलग-अलग ज्ञात करें और जाँचें कि हर शून्य न हो। / For the quotient function, \\(\\left(\\frac{f}{g}\\right)(0)=\\frac{f(0)}{g(0)}\\). Here, \\(f(0)=0^2-1=-1\\) and \\(g(0)=0+1=1\\), so the value is \\(\\frac{-1}{1}=-1\\). Option B is incorrect because it ignores the negative sign in the numerator. Exam tip: For a quotient of functions, evaluate the numerator and denominator separately and verify that the denominator is not zero.
फलनों के योग की परिभाषा के अनुसार \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। इसलिए \((x+6)+(x-6)=2x\), क्योंकि \(+6\) और \(-6\) एक-दूसरे को समाप्त कर देते हैं। विकल्प B फलनों के गुणन से संबंधित है, योग से नहीं। परीक्षा में पहले फलन-संचालक की परिभाषा लिखकर फिर सरलीकरण करें। / By definition of the sum of two functions, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Thus, \((x+6)+(x-6)=2x\), since \(+6\) and \(-6\) cancel each other. Option B would arise from multiplying the functions, not adding them. In an exam, first write the definition of the function operation and then simplify.
दो वास्तविक फलनों के गुणनफल के लिए \((fg)(x)=f(x)g(x)\)। इसलिए \(f(0)=1\) और \(g(0)=2\), अतः \((fg)(0)=1\times2=2\)। परीक्षा-युक्ति: \(fg\) को फलनों का गुणनफल समझें; फलन-संयोजन के लिए \(f\circ g\) लिखा जाता है। / For the product of two real functions, \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Here, \(f(0)=1\) and \(g(0)=2\), so \((fg)(0)=1\times2=2\). Exam tip: interpret \(fg\) as the product of functions; composition is written as \(f\circ g\).
फलनों के अंतर की परिभाषा के अनुसार \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\)। अतः \(f(2)=2^2=4\) और \(g(2)=2\times2=4\), इसलिए \((f-g)(2)=4-4=0\)। विकल्प B केवल \(f(2)\) या \(g(2)\) का मान है, अंतर का नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले दोनों फलनों के मान निकालकर फिर घटाएँ। / By definition, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Thus, \(f(2)=2^2=4\) and \(g(2)=2\times2=4\), so \((f-g)(2)=4-4=0\). Option B is the value of either function separately, not their difference. Exam tip: calculate both function values before subtracting.
\(\sqrt{x-1}\) के लिए \(x-1\ge 0\), यानी \(x\ge 1\)। गुणन का डोमेन दोनों डोमेन का प्रतिच्छेद होता है। / For \(\sqrt{x-1}\), \(x-1\ge 0\), so \(x\ge 1\). The product domain is the intersection of both domains.
योग फलन (f+g)(x)=f(x)+g(x)=x+1+\frac{1}{x} है। फलन f सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है, जबकि g में हर x शून्य नहीं हो सकता। इसलिए दोनों फलनों के डोमेन का प्रतिच्छेद \mathbb{R}\setminus\{0\} है। परीक्षा-युक्ति: योग या अंतर फलन का डोमेन संबंधित दोनों फलनों के डोमेन का प्रतिच्छेद होता है। / The sum is (f+g)(x)=f(x)+g(x)=x+1+\frac{1}{x} . The function f is defined for every real number, but g is undefined at x=0 because its denominator becomes zero. Hence the domain is the intersection of the two domains, \mathbb{R}\setminus\{0\} . Exam tip: The domain of a sum or difference is the intersection of the domains of the individual functions.
\((fg)(x)=\frac{x}{x+2}(x-1)\) है। हर \(x+2\) शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \(x+2=0\) रखने पर \(x=-2\) मिलता है। अतः \(-2\) डोमेन से बाहर है। ध्यान रखें कि गुणनफल का डोमेन दोनों फलनों के डोमेन का प्रतिच्छेद होता है; केवल अंश के शून्य होने से कोई मान डोमेन से बाहर नहीं होता। / Here, \((fg)(x)=\frac{x}{x+2}(x-1)\). The denominator cannot be zero, so \(x+2=0\) gives \(x=-2\). Therefore, \(-2\) is excluded from the domain. Remember that the domain of a product is the intersection of the domains of the two functions; a zero in the numerator does not by itself exclude a value.
दो फलनों का योग \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\) होता है। इसलिए \((f+g)(x)=2x^2+(x^2+3)=3x^2+3\)। यहाँ समान घात वाले पद \(2x^2\) और \(x^2\) जोड़े जाते हैं, जबकि स्थिरांक \(3\) अलग रहता है। परीक्षा में फलनों के योग के लिए पहले \(f(x)+g(x)\) लिखना न भूलें। / The sum of two functions is defined by \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Hence, \((f+g)(x)=2x^2+(x^2+3)=3x^2+3\). The like terms \(2x^2\) and \(x^2\) combine, while the constant 3 remains unchanged. In an exam, first write \(f(x)+g(x)\) when finding the sum of functions.
दो फलनों के अंतर की परिभाषा है: \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\)। इसलिए \((f-g)(x)=(x^2+5)-(x^2-2)=x^2+5-x^2+2=7\)। दूसरे कोष्ठक के आगे ऋण चिह्न होने के कारण उसके दोनों पदों के चिह्न बदल जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: फलनों का घटाव करते समय हमेशा \(f(x)-g(x)\) लिखकर कोष्ठक खोलें। / The difference of two functions is defined as \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Hence, \((f-g)(x)=(x^2+5)-(x^2-2)=x^2+5-x^2+2=7\). The minus sign before the second bracket changes both signs inside it. Exam tip: Always write \(f(x)-g(x)\) with brackets before simplifying a function difference.
((x+2)(x+3)=x-2+5x+6), इसलिए स्थिर पद (6) है। स्थिर पद अक्सर स्थिरों के गुणन से मिलता है। / ((x+2)(x+3)=x-2+5x+6), so the constant term is (6). The constant term often comes from multiplying constants.
दो फलनों के अंतर की परिभाषा के अनुसार \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\)। इसलिए \((f-g)(x)=4-(x^2-1)=4-x^2+1=5-x^2\)। ऋण चिह्न के कारण पूरे \(g(x)\) को घटाते समय कोष्ठक का ध्यान रखें। परीक्षा-युक्ति: \(f-g\) में पहले फलन में से दूसरे फलन को घटाया जाता है। / By the definition of the difference of two functions, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Hence, \((f-g)(x)=4-(x^2-1)=4-x^2+1=5-x^2\). The brackets are important because the minus sign changes the signs inside \(g(x)\). Exam tip: in \(f-g\), subtract the second function from the first.
(g-f)(x) का अर्थ g(x)-f(x) होता है। इसलिए (g-f)(x)=(3x+2)-(x-1)=3x+2-x+1=2x+3। विकल्प D, f(x) और g(x) के गुणनफल (x-1)(3x+2) से प्राप्त होता है, अंतर से नहीं। परीक्षा-युक्ति: फलनों के घटाव में क्रम अवश्य देखें; (g-f) और (f-g) के परिणाम विपरीत हो सकते हैं। / (g-f)(x) means g(x)-f(x). Thus, (g-f)(x)=(3x+2)-(x-1)=3x+2-x+1=2x+3. Option D results from multiplying f(x) and g(x), namely (x-1)(3x+2), not from subtracting them. Exam tip: Always follow the order in function subtraction; (g-f) and (f-g) generally give opposite results.
(f−g)(−2)=f(−2)−g(−2)=(-2)²−(-2)=4+2=6। यहाँ ऋणात्मक संख्या को घटाने पर जोड़ हो जाता है। इसलिए सही उत्तर 6 है; 4 केवल f(−2) का मान है। परीक्षा-युक्ति: पहले दोनों फलनों के मान अलग-अलग निकालें, फिर संक्रिया लागू करें। / (f−g)(−2)=f(−2)−g(−2)=(-2)²−(-2)=4+2=6. Subtracting the negative value of g(−2) changes the subtraction into addition. Thus, 6 is correct; 4 is only the value of f(−2). Exam tip: evaluate both functions first and then apply the indicated operation.
फलनों का योग बिंदुवार लिया जाता है: \((f+g+h)(x)=f(x)+g(x)+h(x)\)। अतः \((x+1)+(x+2)+(x+3)=3x+6\)। विकल्प B में \(x\) को केवल एक बार लिया गया है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा में फलनों के योग के लिए उनके समान इनपुट वाले मानों को जोड़ना याद रखें। / The sum of functions is defined pointwise: \((f+g+h)(x)=f(x)+g(x)+h(x)\). Therefore, \((x+1)+(x+2)+(x+3)=3x+6\). Option B is incorrect because it counts the term \(x\) only once. Exam tip: for a sum of functions, add their values at the same input.
(\left\(\frac{f}{g}\right\)(1)=\frac{f(1)}{g(1)}=\frac{7}{1}=7)। भागफल में हर का मान जांचना जरूरी है। / (\left\(\frac{f}{g}\right\)(1)=\frac{f(1)}{g(1)}=\frac{7}{1}=7). Always check the denominator value in a quotient.
(\frac{x-2-9}{x+3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}=x-3)। शर्त \(x\ne -3\) मूल हर से आती है। / (\frac{x-2-9}{x+3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}=x-3). The condition \(x\ne -3\) comes from the original denominator.
\(f+g\) का डोमेन, \(f\) और \(g\) के डोमेन का प्रतिच्छेद होता है। \(f(x)\) के लिए \(x-1\neq 0\), इसलिए \(x\neq 1\); और \(g(x)\) के लिए \(x+1\neq 0\), इसलिए \(x\neq -1\)। अतः डोमेन से 1 और -1 दोनों हटेंगे। केवल एक हर को देखकर दूसरा मान छोड़ देना गलत होगा। परीक्षा-टिप: योग या अंतर के डोमेन में सभी संबंधित फलनों की प्रतिबंधित संख्याएँ हटाएँ। / The domain of \(f+g\) is the intersection of the domains of \(f\) and \(g\). For \(f(x)\), \(x-1\neq 0\), so \(x\neq 1\); for \(g(x)\), \(x+1\neq 0\), so \(x\neq -1\). Therefore, both 1 and -1 are excluded. Choosing only one value ignores the restriction from the other denominator. Exam tip: For the sum or difference of functions, exclude every value that makes any relevant denominator zero.
दो फलनों का योग \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\) होता है। इसलिए \(f(5)=5+4=9\) और \(g(5)=2(5)-3=7\), अतः \((f+g)(5)=9+7=16\)। परीक्षा-युक्ति: पहले दोनों फलनों के मान निकालकर उन्हें जोड़ें, या सीधे \((f+g)(x)=3x+1\) का उपयोग करें। / The sum of two functions is defined by \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Thus, \(f(5)=5+4=9\) and \(g(5)=2(5)-3=7\), so \((f+g)(5)=9+7=16\). Exam tip: either add the two function values or first simplify to \((f+g)(x)=3x+1\).
\(f(2)=3(2)-2=4\) और \(g(2)=2+5=7\)। इसलिए \((fg)(2)=f(2)\,g(2)=4\times7=28\)। ध्यान रखें कि \((fg)(x)\) का अर्थ यहाँ दोनों फलनों के मानों का गुणनफल है, रचना \(f(g(x))\) नहीं। परीक्षा में पहले दोनों फलनों के मान अलग-अलग निकालकर गुणा करें। / \(f(2)=3(2)-2=4\) and \(g(2)=2+5=7\). Therefore, \((fg)(2)=f(2)\,g(2)=4\times7=28\). Here, \((fg)(x)\) denotes the product of the two function values, not the composition \(f(g(x))\). In an exam, evaluate both functions first and then multiply.
फलनों के योग के लिए \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=x^2+2+2x=x^2+2x+2\)। अब \(x^2+2x+2=(x^2+2x+1)+1=(x+1)^2+1\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(2x\) के स्थान पर \(-2x\) प्राप्त होता है। परीक्षा में \(x^2+2x+a=(x+1)^2+(a-1)\) का उपयोग करके शीघ्रता से पूर्ण वर्ग बनाइए। / For the sum of two functions, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=x^2+2+2x=x^2+2x+2\). Completing the square gives \(x^2+2x+2=(x^2+2x+1)+1=(x+1)^2+1\), so option A is correct. Option B would produce the term \(-2x\) instead of \(+2x\). Exam tip: for \(x^2+2x+a\), write it as \((x+1)^2+(a-1)\).
दोनों फलन समान हैं, इसलिए उनका अंतर हर (x) पर (0) है। समान फलनों का अंतर शून्य फलन होता है। / The two functions are identical, so their difference is (0) for every (x). The difference of identical functions is the zero function.
फलनों का गुणनफल c(fg)(x)=f(x)g(x)c होता है। इसलिए c(fg)(x)=1\cdot\(x^2+2x\)=x-2+2xc। विकल्प B जोड़ cf(x)+g(x)c से प्राप्त होता है, गुणनफल से नहीं। परीक्षा-युक्ति: c(fg)(x) को cf(g(x)) यानी संयोजन से अलग पहचानें। / The product of two functions is defined by c(fg)(x)=f(x)g(x) . Hence, c(fg)(x)=1\cdot\(x^2+2x\)=x-2+2x . Option B would result from adding the functions, not multiplying them. Exam tip: Do not confuse the product c(fg)(x) with the composition cf(g(x)) .
फलनों के योग का नियम है \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। इसलिए \((f+g)(x)=0+(x+7)=x+7\)। शून्य फलन जोड़ने पर दूसरा फलन अपरिवर्तित रहता है; अतः विकल्प B नहीं, क्योंकि \(g(x)\) शून्य फलन नहीं है। परीक्षा-युक्ति: फलनों के योग में पहले दोनों फलनों के \(x\) वाले मानों को जोड़ें। / The sum of two functions is defined by \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Thus, \((f+g)(x)=0+(x+7)=x+7\). Adding the zero function leaves the other function unchanged, so option B is incorrect because \(g(x)\) is not the zero function. Exam tip: For a sum of functions, add their values at the same input \(x\).
फलनों के रैखिक संयोजन में \((f+3g)(x)=f(x)+3g(x)\) होता है। अतः \(x^2-2x+3x=x^2+x\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(3x\) को घटाया गया है। परीक्षा-युक्ति: पहले संयोजन का नियम लिखें, फिर प्रत्येक फलन का मान रखें। / For the linear combination, \((f+3g)(x)=f(x)+3g(x)\). Therefore, \(x^2-2x+3x=x^2+x\), so option A is correct. Option B results from subtracting \(3x\) instead of adding it. Exam tip: write the combination rule first, then substitute the functions.
\(\frac{1}{x+4}\) में (x=-4) पर हर (0) है। अंतर का डोमेन भी \(\mathbb{R}-{-4}\) होगा। / In \(\frac{1}{x+4}\), the denominator is (0) at (x=-4). The domain of the difference is also \(\mathbb{R}-{-4}\).
\(\frac{g}{f}\) में हर (f(x)=x+1) है, इसलिए (x=-1) हटेगा। भागफल में हर वाले फलन को ध्यान से देखें। / In \(\frac{g}{f}\), the denominator is (f(x)=x+1), so (x=-1) is excluded. Identify the denominator function carefully.
फलनों का गुणनफल \((fg)(x)=f(x)g(x)\) होता है। अतः \((fg)(x)=(2x+3)(2x-3)\)। अंतर के वर्ग का सूत्र \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) लगाने पर \((2x)^2-3^2=4x^2-9\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। ध्यान रखें कि \((fg)(x)\) यहाँ गुणनफल है, फलनों का संयोजन नहीं। / The product of two functions is defined by \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Therefore, \((fg)(x)=(2x+3)(2x-3)\). Using the difference-of-squares identity \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\), we get \((2x)^2-3^2=4x^2-9\). Hence, option A is correct. Exam tip: do not confuse the product \((fg)(x)\) with the composition \((f\circ g)(x)\).
क्योंकि (f(x)=g(x)), इसलिए (\frac{f(x)}{g(x)}=1)। यहाँ \(x^2+1\) कभी (0) नहीं होता, इसलिए सभी वास्तविक (x) मान्य हैं। / Since (f(x)=g(x)), (\frac{f(x)}{g(x)}=1). Here \(x^2+1\) is never (0), so all real (x) are valid.
दो फलनों का योग समान इनपुट पर उनके मानों का योग होता है: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। इसलिए \((x^2+4x)+(2x^2-x)=3x^2+3x\)। यहाँ \(x^2\) वाले पदों और \(x\) वाले पदों को अलग-अलग जोड़ा गया है। परीक्षा-युक्ति: फलनों को जोड़ते समय केवल समान घात वाले पदों को मिलाएँ। / The sum of two functions is obtained by adding their values at the same input: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Thus, \((x^2+4x)+(2x^2-x)=3x^2+3x\). The quadratic terms and linear terms are combined separately. Exam tip: while adding algebraic functions, combine only like terms.
(f(1)=7) और (g(1)=-5), इसलिए ((f-g)(1)=7-(-5)=12)। ऋणात्मक मान घटाते समय सावधानी रखें। / (f(1)=7) and (g(1)=-5), so ((f-g)(1)=7-(-5)=12). Be careful while subtracting a negative value.
(f(2)=4) और (g(2)=0), इसलिए ((fg)(2)=4\cdot 0=0)। गुणन में किसी एक मान के (0) होने पर उत्पाद (0) होता है। / (f(2)=4) and (g(2)=0), so ((fg)(2)=4\cdot 0=0). In multiplication, if one value is (0), the product is (0).
\(\sqrt{x+2}\) के लिए \(x\ge -2\) और \(\frac{1}{x-1}\) के लिए \(x\ne 1\) चाहिए। दोनों शर्तों को साथ लगाएं। / For \(\sqrt{x+2}\), \(x\ge -2\), and for \(\frac{1}{x-1}\), \(x\ne 1\). Apply both conditions together.
फलनों के अंतर की परिभाषा के अनुसार \((g-f)(x)=g(x)-f(x)\)। इसलिए \((g-f)(x)=(x^2+1)-(x^2-1)=x^2+1-x^2+1=2\)। विकल्प B में \(x^2\) पदों का सही निरसन नहीं हुआ है। परीक्षा-टिप: दूसरे फलन को घटाते समय उसके कोष्ठक के अंदर के सभी चिह्न बदल दें। / By the definition of the difference of two functions, \((g-f)(x)=g(x)-f(x)\). Hence, \((g-f)(x)=(x^2+1)-(x^2-1)=x^2+1-x^2+1=2\). Option B results from not handling the subtraction of the second bracket correctly. Exam tip: When subtracting a bracket, change the signs of every term inside it.
