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दो फलनों का योग \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\) होता है। इसलिए \((f+g)(x)=(2x+3)+(x-5)=3x-2\)। विकल्प B में पदों को सही ढंग से जोड़ने के बजाय घटाव के स्थिरांकों को गलत माना गया है। परीक्षा में फलनों के योग के लिए उनके समान इनपुट वाले मानों को सीधे जोड़ना याद रखें। / The sum of two functions is defined by \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Hence, \((f+g)(x)=(2x+3)+(x-5)=3x-2\). Option B results from handling the constant terms incorrectly. In exams, remember to add the values of both functions at the same input.
दो फलनों का अंतर ((f-g)(x)=f(x)-g(x)) होता है। इसलिए ((f-g)(x)=(7x-4)-(2x+9)=7x-4-2x-9=5x-13)। यहाँ दूसरे कोष्ठक के आगे ऋण चिह्न होने के कारण उसके दोनों पदों के चिह्न बदलते हैं। परीक्षा-युक्ति: फलनों को घटाते समय पूरे दूसरे फलन को कोष्ठक में लिखें। / The difference of two functions is ((f-g)(x)=f(x)-g(x)). Thus, ((f-g)(x)=(7x-4)-(2x+9)=7x-4-2x-9=5x-13). The minus sign before the second bracket changes the signs of both terms inside it. Exam tip: Always place the entire function being subtracted in parentheses.
दो वास्तविक फलनों का गुणनफल (fg)(x) = f(x)g(x) होता है। इसलिए (fg)(x) = (x + 6)(x − 2) = x² + 4x − 12। विकल्प C में मध्य पद का गुणांक गलत है। परीक्षा-युक्ति: (fg)(x) को f(g(x)) से अलग समझें; पहला गुणनफल और दूसरा संयोजन है। / The product of two real functions is defined by (fg)(x) = f(x)g(x). Hence, (fg)(x) = (x + 6)(x − 2) = x² + 4x − 12. Option C has an incorrect coefficient for the middle term. Exam tip: distinguish (fg)(x), which denotes the product, from f(g(x)), which denotes composition.
(\frac{4x-2+8x}{4x}=\frac{4x(x+2)}{4x}=x+2), जहाँ \(x\neq0\)। काटने से पहले हर की शर्त देखें। / (\frac{4x-2+8x}{4x}=\frac{4x(x+2)}{4x}=x+2), where \(x\neq0\). Check the denominator condition before cancellation.
दो फलनों के योग के लिए \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। अतः \(f(2)=2^2+2=6\) और \(g(2)=3(2)-1=5\)। इसलिए \((f+g)(2)=6+5=11\), अतः विकल्प C सही है। परीक्षा में पहले दोनों फलनों के मान अलग-अलग निकालकर जोड़ना सबसे सुरक्षित तरीका है। / For the sum of two functions, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Thus, \(f(2)=2^2+2=6\) and \(g(2)=3(2)-1=5\). Therefore, \((f+g)(2)=6+5=11\), so option C is correct. In an exam, calculate the values of the two functions separately before adding them to avoid substitution errors.
दो फलनों के अंतर के लिए \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\)। इसलिए \(f(3)=5(3)+2=17\) और \(g(3)=3^2=9\), अतः \((f-g)(3)=17-9=8\)। ध्यान रखें कि \((g-f)(3)\) लेने पर उत्तर \(-8\) होगा। परीक्षा-टिप: पहले दोनों फलनों के मान निकालकर दिए गए क्रम में घटाएँ। / The difference of two functions is defined by \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Thus, \(f(3)=5(3)+2=17\) and \(g(3)=3^2=9\), so \((f-g)(3)=17-9=8\). Reversing the order, as in \((g-f)(3)\), would give \(-8\). Exam tip: Evaluate both functions first and subtract them in the stated order.
फलनों के गुणन के लिए \((fg)(x)=f(x)g(x)\)। इसलिए \(f(2)=2(2)-1=3\) और \(g(2)=2+4=6\), अतः \((fg)(2)=3\times6=18\)। 21 जैसे विकल्प में गणना की त्रुटि हो सकती है; परीक्षा में पहले दोनों फलनों के मान अलग-अलग निकालकर उनका गुणा करें। / For the product of functions, \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Thus, \(f(2)=2(2)-1=3\) and \(g(2)=2+4=6\), so \((fg)(2)=3\times6=18\). An answer such as 21 results from an arithmetic mistake; in the exam, evaluate both functions first and then multiply their values.
(\left\(\frac{f}{g}\right\)(5)=\frac{25-16}{5-4}=9)। भाग में हर का मान शून्य नहीं होना चाहिए। / (\left\(\frac{f}{g}\right\)(5)=\frac{25-16}{5-4}=9). In division, the denominator value must not be zero.
फलनों का योग बिंदुवार किया जाता है: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=3x^2+(2x^2+1)=5x^2+1\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में गुणा और घातों का गलत प्रयोग किया गया है। परीक्षा-युक्ति: समान घात वाले पदों के गुणांक जोड़ें, घात नहीं। / The sum of two functions is found pointwise: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=3x^2+(2x^2+1)=5x^2+1\). Hence, option A is correct. Option B incorrectly combines the expressions as if they were multiplied and also changes the powers. Exam tip: when adding like terms, add their coefficients and keep the common power unchanged.
दो फलनों का अंतर \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\) होता है। इसलिए \((f-g)(x)=(9x-2)-(4x-7)=9x-2-4x+7=5x+5\)। ध्यान रखें कि \(-(4x-7)=-4x+7\) होता है; कोष्ठक हटाते समय दोनों पदों के चिह्न बदलते हैं। परीक्षा-युक्ति: घटाव वाले कोष्ठक के आगे ऋण चिह्न हो, तो उसके अंदर के प्रत्येक पद का चिह्न बदलें। / The difference of two functions is defined as \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Thus, \((f-g)(x)=(9x-2)-(4x-7)=9x-2-4x+7=5x+5\). The key step is that \(-(4x-7)=-4x+7\), so both signs inside the brackets change. Exam tip: when subtracting a bracketed expression, reverse the sign of every term inside it.
दो वास्तविक फलनों का गुणनफल \((fg)(x)=f(x)g(x)\) होता है। इसलिए \((fg)(x)=x^3\cdot 2x=2x^{3+1}=2x^4\), अतः विकल्प C सही है। विकल्प B में गुणांक 2 छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: समान आधार की घातों को गुणा करते समय घातांक जोड़ें। / The product of two real functions is defined by \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Thus, \((fg)(x)=x^3\cdot 2x=2x^{3+1}=2x^4\), so option C is correct. Option B misses the coefficient 2. Exam tip: when multiplying powers with the same base, add their exponents.
(\left\(\frac{f}{g}\right\)(x)=\frac{10x-3}{5x}=2x-2), जहाँ \(x\neq0\)। भाग में घातें घटती हैं। / (\left\(\frac{f}{g}\right\)(x)=\frac{10x-3}{5x}=2x-2), where \(x\neq0\). In division, powers are subtracted.
फलनों के बीजीय संक्रियाओं में 3f(x) का अर्थ है 3 को पूरे फलन f(x) से गुणा करना। इसलिए 3f(x)=3(x-8)=3x-24। विकल्प A में 3 केवल x से गुणा किया गया है, जबकि स्थिर पद -8 भी 3 से गुणा होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: किसी फलन को स्थिरांक से गुणा करते समय कोष्ठक के अंदर के प्रत्येक पद को उस स्थिरांक से गुणा करें। / In algebra of functions, 3f(x) means multiplying the entire function f(x) by 3. Hence, 3f(x)=3(x-8)=3x-24. Option A is incorrect because it multiplies only x by 3, not the constant term -8. Exam tip: When multiplying a function by a constant, multiply every term inside the expression by that constant.
(\left\(\frac{1}{2}f\right\)(x)=\frac{1}{2}(4x+6)=2x+3)। भिन्न गुणक को हर पद पर लगाएँ। / (\left\(\frac{1}{2}f\right\)(x)=\frac{1}{2}(4x+6)=2x+3). Apply the fractional multiplier to every term.
\((-f)(x)=-f(x)=-(2x^2-5)=-2x^2+5\)। ऋण चिह्न पूरे फलन के प्रत्येक पद पर लागू होता है, इसलिए \(-5\) का चिह्न बदलकर \(+5\) हो जाता है। विकल्प D मूल फलन \(f(x)\) है, जबकि विकल्प B में \(2x^2\) का चिह्न नहीं बदला गया है। परीक्षा-टिप: पूरे फलन के आगे ऋण चिह्न होने पर कोष्ठक खोलते समय हर पद का चिह्न बदलें। / \((-f)(x)=-f(x)=-(2x^2-5)=-2x^2+5\). The negative sign applies to every term inside the function, so the sign of \(-5\) changes to \(+5\). Option D is the original function \(f(x)\), while option B fails to change the sign of \(2x^2\). Exam tip: when a minus sign precedes a bracket, reverse the sign of every term while expanding it.
फलनों के योग की परिभाषा के अनुसार \((f+f)(x)=f(x)+f(x)=2f(x)\)। इसलिए \((f+f)(x)=2(x^2+4x)=2x^2+8x\), अतः विकल्प B सही है। विकल्प C में केवल \(x^2\) का गुणांक 1 रखा गया है, जबकि दोनों समान फलनों को जोड़ने पर प्रत्येक पद दोगुना होता है। परीक्षा-युक्ति: \(f+f\) को \(2f\) लिखकर दिए गए फलन से गुणा करें। / By the definition of addition of functions, \((f+f)(x)=f(x)+f(x)=2f(x)\). Hence, \((f+f)(x)=2(x^2+4x)=2x^2+8x\), so option B is correct. In option C, only the \(4x\) term has effectively been doubled, whereas adding two identical functions doubles every term. Exam tip: Rewrite \(f+f\) as \(2f\) before substituting the given function.
फलनों के गुणनफल की परिभाषा के अनुसार \((ff)(x)=f(x)\cdot f(x)\)। इसलिए \((ff)(x)=(x-3)(x-3)=(x-3)^2=x^2-6x+9\), अतः विकल्प C सही है। विकल्प A \(f(x)+f(x)\) से प्राप्त होता है, गुणनफल से नहीं। परीक्षा-युक्ति: \((fg)(x)\) को \(f(x)g(x)\) और \((f+g)(x)\) को \(f(x)+g(x)\) के रूप में पहचानें। / By the definition of the product of functions, \((ff)(x)=f(x)\cdot f(x)\). Hence, \((ff)(x)=(x-3)(x-3)=(x-3)^2=x^2-6x+9\), so option C is correct. Option A results from adding \(f(x)\) to itself, not from multiplying the functions. Exam tip: interpret \((fg)(x)\) as \(f(x)g(x)\), whereas \((f+g)(x)\) means \(f(x)+g(x)\).
समान फलनों का अंतर (0) होता है, इसलिए ((f-g)(x)=0)। परीक्षा में पहले पहचानें कि दोनों फलन समान हैं। / The difference of equal functions is (0), so ((f-g)(x)=0). In exams, first notice if both functions are equal.
शून्य फलन से गुणा करने पर ((fg)(x)=0) होता है। गुणन में (0) पूरे गुणनफल को शून्य कर देता है। / Multiplying by the zero function gives ((fg)(x)=0). In multiplication, (0) makes the whole product zero.
दो फलनों का योग \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\) होता है। इसलिए \((f+g)(x)=1+(5x-6)=5x-5\)। विकल्प B में स्थिरांक \(1\) को जोड़ना भूल गया है। परीक्षा में फलनों के योग का नियम पहले लिखकर, फिर समान पदों को संयोजित करें। / The sum of two functions is defined by \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Hence, \((f+g)(x)=1+(5x-6)=5x-5\). Option B results from forgetting to add the constant \(1\). In an exam, first write the function-addition rule and then combine like terms.
दो फलनों के योग का नियम है: (f + g)(x) = f(x) + g(x)। अतः (f + g)(x) = (x + 9) + (9 - x) = x - x + 18 = 18। इसलिए सही उत्तर B है। ध्यान रखें कि x और -x एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं; इसे 2x नहीं माना जा सकता। / The sum of two functions is defined pointwise: (f + g)(x) = f(x) + g(x). Therefore, (f + g)(x) = (x + 9) + (9 - x) = x - x + 18 = 18. Hence, option B is correct. Exam tip: the terms x and -x cancel each other, so the result is not 2x.
दो फलनों का अंतर \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\) होता है। अतः \((f-g)(x)=(x^2+5x)-(x^2+2x)=3x\)। यहाँ समान \(x^2\) पद एक-दूसरे को काट देते हैं। परीक्षा-युक्ति: फलनों का घटाव करते समय दूसरे फलन के प्रत्येक पद के आगे ऋण चिह्न लगाएँ। / The difference of two functions is defined as \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Therefore, \((f-g)(x)=(x^2+5x)-(x^2+2x)=3x\). The like terms \(x^2\) cancel each other. Exam tip: when subtracting functions, change the sign of every term in the second function before combining like terms.
दो फलनों का गुणनफल (fg)(x)=f(x)g(x) होता है। इसलिए f(1)=1+7=8 और g(1)=3(1)-2=1। अतः (fg)(1)=8×1=8। परीक्षा-युक्ति: (fg)(x) को f(g(x)) से अलग समझें; पहला फलनों का गुणनफल है, जबकि दूसरा संयोजनफल। / The product of two functions is defined by (fg)(x)=f(x)g(x). Here, f(1)=1+7=8 and g(1)=3(1)-2=1. Therefore, (fg)(1)=8×1=8. Exam tip: Do not confuse (fg)(x), the product of functions, with f(g(x)), their composition.
पहले \(f(1)=1^2+10=11\) और \(g(1)=1^2+4=5\) निकालते हैं। इसलिए \((f-g)(1)=f(1)-g(1)=11-5=6\)। सीधे \(f(x)-g(x)=(x^2+10)-(x^2+4)=6\) भी प्राप्त किया जा सकता है, क्योंकि \(x^2\) वाले पद कट जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: \((f-g)(a)\) में हमेशा \(f(a)-g(a)\) करें, जोड़ नहीं। / First, \(f(1)=1^2+10=11\) and \(g(1)=1^2+4=5\). Hence, \((f-g)(1)=f(1)-g(1)=11-5=6\). Equivalently, \(f(x)-g(x)=(x^2+10)-(x^2+4)=6\), since the \(x^2\) terms cancel. Exam tip: For \((f-g)(a)\), always calculate \(f(a)-g(a)\), not their sum.
भागफल फलन \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\) होता है। इसलिए \(f(0)=1\) और \(g(0)=3\), अतः \(\left(\frac{f}{g}\right)(0)=\frac{1}{3}\)। विकल्प B में केवल हर का मान लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: पहले दोनों फलनों के दिए गए बिंदु पर मान निकालें, फिर भाग दें; साथ ही जाँचें कि हर शून्य न हो। / The quotient function is \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\). Here, \(f(0)=1\) and \(g(0)=3\), so \(\left(\frac{f}{g}\right)(0)=\frac{1}{3}\). Option B gives only the denominator value, not the quotient. Exam tip: evaluate both functions at the given input and divide, ensuring that the denominator is not zero.
दो फलनों का योग \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\) होता है। इसलिए \((f+g)(4)=f(4)+g(4)=\sqrt{4+5}+4=\sqrt{9}+4=3+4=7\)। अतः सही उत्तर 7 है। परीक्षा-युक्ति: पहले फलनों का योग लिखें, फिर दिए गए मान को प्रतिस्थापित करें। विकल्प 6 में वर्गमूल का मान गलत लिया गया है। / The sum of two functions is defined by \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Hence, \((f+g)(4)=f(4)+g(4)=\sqrt{4+5}+4=\sqrt{9}+4=3+4=7\). Therefore, the correct answer is 7. Exam tip: write the sum of the functions first and then substitute the given value. The value 6 results from evaluating the square-root term incorrectly.
यहाँ ((fg)(x)) का अर्थ (f(x)g(x)) है, न कि फलनों का संयोजन। इसलिए (f(4)=42+1=17) और (g(4)=\sqrt{4}=2)। अतः ((fg)(4)=17\times2=34)। विकल्प 18 जोड़ने से मिलने वाला मान है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-सुझाव: (fg) को \(f\circ g\) से अलग पहचानें। / Here, ((fg)(x)) denotes the product (f(x)g(x)), not composition. Thus, (f(4)=42+1=17) and (g(4)=\sqrt{4}=2). Therefore, ((fg)(4)=17\times2=34)। Option 18 results from adding the two values, so it is incorrect. Exam tip: Distinguish (fg) from composition, written as \(f\circ g\).
फलनों का गुणनफल लेने पर \((fg)(3)=f(3)g(3)\)। यहाँ \(f(3)=\frac{2}{3}\) और \(g(3)=3^2=9\), इसलिए \((fg)(3)=\frac{2}{3}\times 9=6\)। विकल्प C केवल \(f(3)\) का मान है, जबकि विकल्प B केवल \(g(3)\) का मान है। परीक्षा-युक्ति: \((fg)(a)\) को \(f(a)g(a)\) समझें, इसे फलनों की रचना न मानें। / For the product of two functions, \((fg)(3)=f(3)g(3)\). Here, \(f(3)=\frac{2}{3}\) and \(g(3)=3^2=9\), so \((fg)(3)=\frac{2}{3}\times9=6\). Option C is only \(f(3)\), while option B is only \(g(3)\). Exam tip: interpret \((fg)(a)\) as \(f(a)g(a)\), not as the composition of the functions.
(\left\(\frac{f}{g}\right\)(3)=\frac{15}{6}=\frac{5}{2})। अंतिम उत्तर को सरल भिन्न में लिखें। / (\left\(\frac{f}{g}\right\)(3)=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}). Write the final answer in simplest fraction form.
यहाँ \((fg)(x)=f(x)g(x)=(x+4)(x-4)\) है। यह \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) के रूप में है, जहाँ \(a=x\) और \(b=4\); इसलिए परिणाम \(x^2-16\) होगा। विकल्प B और C क्रमशः वर्गों के योग तथा \((a-b)^2\) से संबंधित हैं, इसलिए लागू नहीं होते। परीक्षा में \((a+b)(a-b)\) देखते ही अंतर के वर्ग की पहचान याद रखें। / Here, \((fg)(x)=f(x)g(x)=(x+4)(x-4)\). This matches the identity \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\), with \(a=x\) and \(b=4\), giving \(x^2-16\). Options B and C represent the sum of squares and \((a-b)^2\), respectively, so they do not apply. Exam tip: whenever conjugate binomials appear, look for the difference-of-squares identity.
दो फलनों के योग के लिए (f+g)(x)=f(x)+g(x)। इसलिए f(1)=2(1)2+3=5 और g(1)=1+5=6। अतः (f+g)(1)=5+6=11, इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प A केवल g(1) का मान है, योग का नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले दोनों फलनों के मान अलग-अलग निकालकर अंत में जोड़ें। / For the sum of two functions, (f+g)(x)=f(x)+g(x). Thus, f(1)=2(1)2+3=5 and g(1)=1+5=6. Therefore, (f+g)(1)=5+6=11, so option C is correct. Option A is only the value of g(1), not the sum. Exam tip: evaluate both functions separately and then add their values.
दो फलनों के अंतर के लिए \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\)। अतः \((f-g)(x)=(5x^2+2)-(2x^2-7)=5x^2+2-2x^2+7=3x^2+9\)। विकल्प A में स्थिर पद का चिह्न गलत है, क्योंकि \(-(-7)=+7\) होता है। परीक्षा युक्ति: कोष्ठक से पहले ऋण चिह्न होने पर कोष्ठक के भीतर प्रत्येक पद का चिह्न बदल दें। / For the difference of two functions, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Therefore, \((f-g)(x)=(5x^2+2)-(2x^2-7)=5x^2+2-2x^2+7=3x^2+9\). Option A has the wrong constant-term sign because \(-(-7)=+7\). Exam tip: when a minus sign precedes parentheses, change the sign of every term inside them.
गुणनफल फलन के लिए \((fg)(x)=f(x)g(x)\) होता है। इसलिए \((fg)(x)=(x-6)x=x^2-6x\)। विकल्प B, \(f(x)+g(x)\), का मान है, गुणनफल का नहीं। परीक्षा टिप: \((fg)(x)\) को सामान्यतः फलनों के गुणनफल के रूप में पढ़ें, जबकि \(f\circ g\) संयोजन फलन को दर्शाता है। / For the product of two functions, \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Hence, \((fg)(x)=(x-6)x=x^2-6x\). Option B represents \(f(x)+g(x)\), not their product. Exam tip: \((fg)(x)\) denotes the product of functions, whereas \(f\circ g\) denotes function composition.
दो फलनों का योग �\((f+g)(x)=f(x)+g(x)\) होता है। इसलिए \((4x+11)+(x-6)=4x+x+11-6=5x+5\)। विकल्प B में फलनों का घटाव \(f-g\) किया गया है, जबकि विकल्प D गुणनफल से संबंधित है। परीक्षा-टिप: फलनों का योग निकालते समय समान घात वाले पद और स्थिर पद अलग-अलग जोड़ें। / The sum of two functions is defined by \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Thus, \((4x+11)+(x-6)=4x+x+11-6=5x+5\). Option B results from subtracting the functions, while option D is related to their product. Exam tip: combine like terms separately when adding algebraic functions.
दो फलनों के अंतर के लिए \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\) होता है। इसलिए \((f-g)(x)=8-(x^2-3x)=8-x^2+3x\)। विकल्प A में घटाने का क्रम उलट गया है। परीक्षा-युक्ति: कोष्ठक के बाहर ऋण चिह्न होने पर अंदर के सभी पदों के चिह्न बदल जाते हैं। / For the difference of two functions, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Thus, \((f-g)(x)=8-(x^2-3x)=8-x^2+3x\). Option A reverses the order of subtraction. Exam tip: when a minus sign precedes a bracket, the signs of all terms inside the bracket change.
\(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x^2-25}{x+5}\)। अंतर के वर्ग का सूत्र लगाने पर \(x^2-25=(x-5)(x+5)\), इसलिए \(\frac{(x-5)(x+5)}{x+5}=x-5\)। यहाँ \(x\ne -5\) आवश्यक है, क्योंकि मूल भिन्न में हर शून्य नहीं हो सकता। परीक्षा-युक्ति: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) पहचानकर गुणनखंड करें। / \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x^2-25}{x+5}\). Using the difference of squares, \(x^2-25=(x-5)(x+5)\), so \(\frac{(x-5)(x+5)}{x+5}=x-5\). The restriction \(x\ne -5\) is essential because the original denominator cannot be zero. Exam tip: look for the identity \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) before simplifying.
\(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x^2-4x+4}{x-2}\)। अंश को \((x-2)^2\) के रूप में गुणनखंडित करने पर \(\frac{(x-2)^2}{x-2}=x-2\) मिलता है, बशर्ते \(x\ne2\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C केवल उस स्थिति में भागफल बताता है जब अंश और हर समान हों, जो यहाँ सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: भाग देने से पहले अंश का गुणनखंडन करें और मूल हर के कारण प्रतिबंधित मान को डोमेन से न हटाएँ। / \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x^2-4x+4}{x-2}\). Factoring the numerator as \((x-2)^2\) gives \(\frac{(x-2)^2}{x-2}=x-2\), provided \(x\ne2\). Hence, option A is correct. Option C would be obtained only if the numerator and denominator were identical, which they are not before simplification. Exam tip: factor the numerator first and retain any value excluded by the original denominator.
दो फलनों के योग के लिए (f+g)(1)=f(1)+g(1) होता है। यहाँ f(1)=1-1=0 और g(1)=1+10=11, इसलिए (f+g)(1)=0+11=11। ध्यान रखें कि योगफल फलन में दोनों फलनों के मान जोड़े जाते हैं; केवल g(1) लेने पर भी 11 आएगा, लेकिन यह सामान्य नियम नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पहले प्रत्येक फलन का दिए गए x पर मान निकालें, फिर उन्हें जोड़ें। / For the sum of two functions, (f+g)(1)=f(1)+g(1). Here, f(1)=1-1=0 and g(1)=1+10=11, so (f+g)(1)=0+11=11. Although g(1) alone is also 11 in this case, the general rule requires adding the values of both functions. Exam tip: evaluate each function at the given input first, then add the results.
फलनों का गुणनफल \\( (fg)(x)=f(x)g(x) \\) होता है। इसलिए \\(f(3)=15\\) और \\(g(3)=4\\), अतः \\( (fg)(3)=15\\times4=60\\)। विकल्प 45 केवल आंशिक गणना से प्राप्त हो सकता है, जबकि सही विधि में दोनों फलनों के मानों का गुणन किया जाता है। परीक्षा में \\(fg\\) को संयोजन \\(f\\circ g\\) न समझें; यहाँ यह गुणनफल है। / The product of two functions is defined by \\( (fg)(x)=f(x)g(x) \\). Thus, \\(f(3)=15\\) and \\(g(3)=4\\), so \\( (fg)(3)=15\\times4=60\\). The value 45 can result from incomplete or incorrect calculation, whereas both function values must be multiplied. Exam tip: do not confuse \\(fg\\) with composition \\(f\\circ g\\); here it denotes the product of functions.
दो फलनों का योग \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\) होता है। इसलिए \((f+g)(x)=(x^2-4)+(x^2+4)=2x^2\), क्योंकि \(-4\) और \(+4\) एक-दूसरे को काट देते हैं। विकल्प D में स्थिर पद को गलत ढंग से जोड़ा गया है। परीक्षा-युक्ति: फलनों के योग में समान \(x\) वाले पद और स्थिर पद अलग-अलग जोड़ें। / The sum of two functions is defined by \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Thus, \((f+g)(x)=(x^2-4)+(x^2+4)=2x^2\), since \(-4\) and \(+4\) cancel each other. Option D incorrectly retains an extra constant term. Exam tip: add like terms separately when combining functions.
फलनों का अंतर (f-g)(x)=f(x)-g(x) होता है। इसलिए (f-g)(x)=\(4x^2-3\)-\(x^2+8\)=4x-2-3-x-2-8=3x-2-11। विकल्प D में x-2 के गुणांक घटाने के बजाय जोड़ दिए गए हैं। परीक्षा-टिप: दूसरे फलन के पूरे व्यंजक के आगे ऋण चिह्न होने पर उसके दोनों पदों के चिह्न बदलें। / The difference of two functions is defined as (f-g)(x)=f(x)-g(x). Thus, (f-g)(x)=\(4x^2-3\)-\(x^2+8\)=4x-2-3-x-2-8=3x-2-11. In option D, the coefficients of x-2 have been added instead of subtracted. Exam tip: When subtracting a function in parentheses, change the signs of all its terms.
दो फलनों के गुणनफल के लिए \((fg)(x)=f(x)g(x)\) होता है। इसलिए \((fg)(x)=(x-5)\cdot3=3x-15\)। विकल्प C में केवल \(x\) का गुणांक 3 किया गया है, जबकि \(-5\) को भी 3 से गुणा करना आवश्यक है। परीक्षा-युक्ति: \((fg)(x)\) को फलनों के गुणनफल के रूप में पढ़ें, जबकि \(f(g(x))\) संयोजन को दर्शाता है। / For the product of two functions, \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Hence, \((fg)(x)=(x-5)\cdot3=3x-15\). Option C is incorrect because multiplying by 3 must also multiply the constant term \(-5\). Exam tip: \((fg)(x)\) denotes the product of functions, whereas \(f(g(x))\) denotes composition.
दो फलनों के भागफल की परिभाषा के अनुसार \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\)। इसलिए \(\frac{12x-6}{6}=\frac{12x}{6}-\frac{6}{6}=2x-1\)। अतः सही उत्तर विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: स्थिर हर से भाग देते समय अंश के प्रत्येक पद को उस हर से भाग दें। / By the definition of the quotient of two functions, \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\). Hence, \(\frac{12x-6}{6}=\frac{12x}{6}-\frac{6}{6}=2x-1\). Therefore, option A is correct. Exam tip: When dividing an algebraic expression by a constant, divide every term in the numerator by that constant.
फलनों का योग बिंदुवार किया जाता है: (f+g)(x)=f(x)+g(x)=(2x-11)+(11-2x)=0। यहाँ 2x और -2x तथा -11 और 11 एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। इसलिए विकल्प A सही है; विकल्प B में चिह्नों का सही प्रकार से संयोजन नहीं किया गया है। परीक्षा-युक्ति: विपरीत चिह्न वाले समान पदों को जोड़ते समय उनका योग शून्य होता है। / The sum of two functions is found pointwise: (f+g)(x)=f(x)+g(x)=(2x-11)+(11-2x)=0. The terms 2x and -2x cancel each other, as do -11 and 11. Therefore, option A is correct; option B results from combining the terms with incorrect signs. Exam tip: like terms with opposite signs cancel to zero.
दो फलनों का अंतर \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\) होता है। इसलिए \((f-g)(x)=(3x+8)-(3x-8)=3x+8-3x+8=16\)। अतः सही उत्तर 16 है। विकल्प \(6x+16\) जोड़ने पर प्राप्त होता है, घटाने पर नहीं। परीक्षा-युक्ति: कोष्ठक के पहले ऋण चिह्न होने पर अंदर के प्रत्येक पद का चिह्न बदल दें। / The difference of two functions is defined by \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Thus, \((f-g)(x)=(3x+8)-(3x-8)=3x+8-3x+8=16\). Therefore, 16 is correct. The expression \(6x+16\) would result from adding the two functions, not subtracting them. Exam tip: when a minus sign precedes parentheses, change the sign of every term inside.
फलनों के गुणनफल के लिए \\((fg)(x)=f(x)g(x)\\)। इसलिए \\((fg)(x)=x^5\cdot x^2=x^{5+2}=x^7\\)। विकल्प B, \\(x^{10}\\), फलनों की संरचना जैसे \\(g(f(x))\\) से प्राप्त हो सकता है, गुणनफल से नहीं। परीक्षा में \\((fg)(x)\\) को \\(f(g(x))\\) से अलग पहचानें। / For the product of two functions, \\((fg)(x)=f(x)g(x)\\). Hence, \\((fg)(x)=x^5\cdot x^2=x^{5+2}=x^7\\). Option B, \\(x^{10}\\), can result from composition such as \\(g(f(x))\\), not from multiplication. Exam tip: distinguish \\((fg)(x)\\) from \\(f(g(x))\\).
(\left\(\frac{f}{g}\right\)(x)=\frac{x-6}{x-3}=x-3), जहाँ \(x\neq0\)। भाग में समान आधार की घातें घटाएँ। / (\left\(\frac{f}{g}\right\)(x)=\frac{x-6}{x-3}=x-3), where \(x\neq0\). In division, subtract powers of the same base.
दोनों बहुपद पूरे \(\mathbb{R}\) पर परिभाषित हैं, इसलिए गुणनफल का डोमेन \(\mathbb{R}\) है। डोमेन सामान्य मानों का समुच्चय होता है। / Both polynomials are defined on all \(\mathbb{R}\), so the product domain is \(\mathbb{R}\). The domain is the set of common allowed values.
\(\sqrt{x}\) के लिए \(x\geq0\) चाहिए, इसलिए योग का डोमेन \([0,\infty\)) है। साझा डोमेन लें। / For \(\sqrt{x}\), we need \(x\geq0\), so the domain of the sum is \([0,\infty\)). Take the common domain.
भाग में (g(x)\neq0) चाहिए, और \(x^2-9=0\) से \(x=\pm3\) मिलता है। इसलिए डोमेन \(\mathbb{R}-{-3,3}\) है। / In division, (g(x)\neq0) is needed, and \(x^2-9=0\) gives \(x=\pm3\). So the domain is \(\mathbb{R}-{-3,3}\).
