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दोनों शून्यकों का औसत (4) है इसलिए दूसरा शून्यक (10) होगा। टिप: सममिति अक्ष को शून्यकों के मध्य मान से जोड़ें। / The average of the two zeroes is (4), so the other zero is (10). Tip: connect the axis of symmetry with the midpoint of zeroes.
B. (x=-6) पर स्पर्श और (x=2) पर कटान/Touches at (x=-6) and crosses at (x=2)
Explanation
Simple Explanation
सम घात वाला कारक ((x+6)2) स्पर्श देता है और एकल कारक (x-2) कटान देता है। टिप: कारक की घात से ग्राफ का व्यवहार पहचानें। / The even-power factor ((x+6)2) gives touching and the single factor (x-2) gives crossing. Tip: identify graph behavior from the power of the factor.
(x=-1) दोनों शून्यकों के बीच है और ऊपर खुलने वाले परवलय में बीच का भाग नीचे होता है। टिप: शून्यकों के बीच संकेत क्षेत्र देखें। / (x=-1) lies between the zeroes and an upward-opening parabola is below the axis there. Tip: check the sign region between zeroes.
इस अंतराल में पहला कारक धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक है इसलिए बाहर का ऋण चिन्ह मान को धनात्मक बनाता है। टिप: हर कारक का चिह्न अलग जांचें। / In this interval the first factor is positive and the second is negative, so the outside negative makes the value positive. Tip: check each factor's sign separately.
\(p(x)=x^2-6kx+9k^2=(x-3k)^2\) है, इसलिए बहुपद का शून्यक पुनरावृत्त (double root) है और वह \(x=3k\) पर है। इसका अर्थ है कि ग्राफ x-अक्ष को केवल इस बिंदु पर स्पर्श करेगा। निकटभ्रष्ट विकल्प \(x=k\) गलत है क्योंकि \(p(k)=k^2-6k^2+9k^2=4k^2\), जो सामान्य रूप से शून्य नहीं होता। परीक्षा टिप: बहुपद को पूर्ण वर्ग में बदलकर या विभेदक \(\Delta=b^2-4ac\) की जाँच (यहाँ \(\Delta=0\)) कर लें। / Factorising gives \(p(x)=x^2-6kx+9k^2=(x-3k)^2\), so there is a repeated (double) root at \(x=3k\); the graph therefore touches the x-axis at that x-value. The closest distractor \(x=k\) is wrong because \(p(k)=k^2-6k^2+9k^2=4k^2\), which is not zero for general k. Exam tip: look for a perfect square form or check the discriminant (here \(\Delta=0\)) to detect a tangent/double root.
यह ((x-u)(x-v)) है इसलिए शून्यक (u) और (v) हैं। टिप: शून्यक को ((x,0)) बिंदु के रूप में लिखें। / It is ((x-u)(x-v)), so the zeroes are (u) and (v). Tip: write each zero as the point ((x,0)).
दो शून्यकों का औसत (3) है इसलिए दूसरा शून्यक (-5) होगा। टिप: \(\frac{a+b}{2}\) को सममिति अक्ष के बराबर रखें। / The average of the two zeroes is (3), so the other zero is (-5). Tip: set \(\frac{a+b}{2}\) equal to the axis of symmetry.
दिए गए शून्यक (-8) और (3) हैं इसलिए योग (-5) है। टिप: केवल (p(x)=0) वाले (x)-मान लें। / The given zeroes are (-8) and (3), so their sum is (-5). Tip: take only the (x)-values where (p(x)=0).
(x-3-25x=x(x-5)(x+5)) है इसलिए तीन अलग शून्यक हैं। टिप: पहले सामान्य गुणनखंड निकालें। / (x-3-25x=x(x-5)(x+5)), so there are three distinct zeroes. Tip: first take out the common factor.
B. दोनों शून्यकों पर स्पर्श करेगा/It will touch at both zeroes
Explanation
Simple Explanation
दोनों कारक सम घात में हैं इसलिए दोनों स्थानों पर स्पर्श होगा। टिप: सम घात वाला शून्यक सामान्यतः कटान नहीं बल्कि स्पर्श देता है। / Both factors have even powers, so the graph touches at both places. Tip: an even-power zero usually gives touching, not crossing.
शून्यक (4) और (-7) हैं पर (-7) दोहराया गया है। टिप: अलग शून्यक में दोहराव को एक बार गिनें। / The zeroes are (4) and (-7), but (-7) is repeated. Tip: count repetition once for distinct zeroes.
मध्यबिंदु (\left\(\frac{-11+5}{2},0\right\)=(-3,0)) है। टिप: (x)-अक्ष पर मध्यबिंदु का (y)-मान (0) रहता है। / The midpoint is (\left\(\frac{-11+5}{2},0\right\)=(-3,0)). Tip: on the (x)-axis the midpoint has (y=0).
परास सबसे बड़े और सबसे छोटे शून्यक का अंतर है (8-(-12)=20)। टिप: परास ऋणात्मक नहीं होती। / The range is the difference between the greatest and smallest zero, (8-(-12)=20). Tip: range is not negative.
(x-2-8x-33=(x-11)(x+3)) है इसलिए शून्यक (11) और (-3) हैं। टिप: गुणनखंडों से बिंदु ((x,0)) बनाएं। / (x-2-8x-33=(x-11)(x+3)), so the zeroes are (11) and (-3). Tip: form ((x,0)) points from factors.
A. (0) शून्यक है क्योंकि बिंदु x-अक्ष पर भी है/(0) is a zero because the point also lies on the x-axis
Explanation
Simple Explanation
किसी बहुपद y = p(x) का शून्यक वह x‑मान है जिसके लिए p(x)=0, यानी ग्राफ़ x-अक्ष (y=0) को छूता या काटता है। बिंदु (0,0) पर y का मान 0 है, अतः p(0)=0 और x=0 बहुपद का शून्यक है। विकल्प B और C गलत हैं क्योंकि (0,0) में y=0 होने से स्पष्ट रूप से p(0)=0 मिलता है; इसे केवल y‑कटान मानने या निष्कर्ष न निकाले जाने का तर्क गलत है। परीक्षा टिप: किसी दिए बिंदु को देखकर सीधे उसके y‑निर्देशांक की जाँच करें — यदि y=0 है तो उसका x शून्यक है। / A zero (root) of a polynomial y = p(x) is an x-value for which p(x)=0, i.e. a point on the x-axis (y=0). The point (0,0) has y=0, so p(0)=0 and x=0 is a root. Options B and C are incorrect because the origin being on the graph directly gives p(0)=0; it is not merely a y‑intercept that excludes being a root nor is it inconclusive. Exam tip: check the y‑coordinate of the intersection — if y=0, the corresponding x is a root (here x=0).
(x-2+14x+49=(x+7)2) है इसलिए स्पर्श बिंदु ((-7,0)) है। टिप: पूर्ण वर्ग में चिह्न बदलकर शून्यक मिलता है। / (x-2+14x+49=(x+7)2), so the touching point is ((-7,0)). Tip: in a perfect square, change the sign to get the zero.
शून्यक (m), (n), (r) हैं इसलिए माध्य \(\frac{m+n+r}{3}\) है। टिप: प्रतीकात्मक बिंदुओं में भी पहला निर्देशांक लें। / The zeroes are (m), (n), (r), so the mean is \(\frac{m+n+r}{3}\). Tip: take the first coordinate even in symbolic points.
A. क्योंकि यह ((x-4)2+4) है/Because it is ((x-4)2+4)
Explanation
Simple Explanation
((x-4)2+4) हमेशा धनात्मक है इसलिए (p(x)=0) नहीं होगा। टिप: वर्ग में धनात्मक संख्या जुड़ने पर कटान रुक सकता है। / ((x-4)2+4) is always positive, so (p(x)=0) will not occur. Tip: adding a positive number to a square can prevent intersection.
B. ग्राफ (x)-अक्ष को स्पर्श करेगा/The graph will touch the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
((x+4)2) सम घात का कारक है इसलिए (x=-4) पर स्पर्श होगा। टिप: घात (2) दोहराया शून्यक दिखाती है। / ((x+4)2) is an even-power factor, so the graph touches at (x=-4). Tip: power (2) shows a repeated zero.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है (\frac{(c-7)+(c+3)}{2}=c-2)। टिप: प्रतीकों में भी औसत का नियम लागू होता है। / The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(c-7)+(c+3)}{2}=c-2). Tip: the average rule also works with symbols.
यदि r किसी बहुपद का शून्यक है तो उस शून्यक का ग्राफ पर बिंदु (r,0) होता है क्योंकि y‑मान शून्य होता है। इसलिए शून्यक -6, 2 और 9 के छेदन बिंदु (-6,0), (2,0), (9,0) होंगे। विकल्प A गलत है क्योंकि (0,-6) आदि y‑अक्ष पर बिंदु हैं (ये y‑इंटरसेप्ट हैं), विकल्प C में जो जोड़े दिए गए हैं वे शून्य के स्वरूप (r,0) में नहीं हैं, और विकल्प D में संकेत उल्टे कर दिए गए हैं। परीक्षा सुझाव: शून्यक को हमेशा x‑निर्देशांक मानकर लिखें और y को 0 रखें। / If r is a zero of the polynomial, the graph meets the x‑axis at (r,0) because the y‑value is zero. Thus for zeros -6, 2 and 9 the intersection points are (-6,0), (2,0), (9,0). Option A is wrong since (0,-6) etc. are y‑axis points (y‑intercepts), option C pairs values incorrectly so they are not of the form (r,0), and option D has the signs flipped. Exam tip: always place the zero as the x‑coordinate and set y=0 when converting a zero to a point.
इस अंतराल में पहले दो कारक धनात्मक और तीसरा ऋणात्मक है इसलिए गुणनफल ऋणात्मक है। टिप: कारकों के चिह्न अलग-अलग जांचें। / In this interval the first two factors are positive and the third is negative, so the product is negative. Tip: check factor signs separately.
A. दूसरा (5), कटान ((4,0)), ((5,0))/Other (5), intersections ((4,0)), ((5,0))
Explanation
Simple Explanation
द्विघात में शून्यकों का योग (9) है इसलिए दूसरा शून्यक (5) है। टिप: शून्यक को तुरंत ((x,0)) में बदलें। / In the quadratic, the sum of zeroes is (9), so the other zero is (5). Tip: quickly convert a zero to ((x,0)).
B. शून्यक परस्पर विपरीत हैं और योग (0) है/The zeroes are opposites and their sum is (0)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (-8) और (8) विपरीत संख्याएँ हैं। टिप: विपरीत शून्यक (y)-अक्ष से समान दूरी पर होते हैं। / The zeroes (-8) and (8) are opposite numbers. Tip: opposite zeroes are equally distant from the (y)-axis.
x-अक्ष पर कटान तब मिलते हैं जब p(x)=0 हो। \(16x^2-9=0\) को घटक-फंक्शन में लिखें: \(16x^2-9=(4x-3)(4x+3)=0\)। अत: \(4x-3=0\) या \(4x+3=0\) से \(x=\pm 3/4\)। इसलिए कटान बिंदु \((3/4,0)\) और \((-3/4,0)\) हैं। विकल्प B गलती से 16 का वर्गमूल लेने में त्रुटि दर्शाता है (कुछ विद्यार्थी सीधे \(x=\pm3\) मान लेते हैं); विकल्प C उल्टा अनुपात देता है। परीक्षात्मक सुझाव: \(16x^2\) को \((4x)^2\) समझकर सीधे स्क्वायर रूट लें ताकि गलतियाँ न हों। / x-axis intercepts occur where p(x)=0. Solve \(16x^2-9=0\): factor as \(16x^2-9=(4x-3)(4x+3)=0\). Hence \(4x-3=0\) or \(4x+3=0\) giving \(x=\pm 3/4\). So the intercepts are \((3/4,0)\) and \((-3/4,0)\). Option B is wrong because it effectively ignores the factor 4 (mistakenly giving \(x=\pm3\)); option C is an incorrect reciprocal. Exam tip: view \(16x^2\) as \((4x)^2\) or take square roots carefully to avoid sign or scaling errors.
((-5,0)) दोहराया गया है इसलिए अलग शून्यक (-5) और (4) हैं। टिप: समान (x)-मान को एक बार गिनें। / ((-5,0)) is repeated, so the distinct zeroes are (-5) and (4). Tip: count the same (x)-value once.
शून्यक (-6) और (2) हैं इसलिए बहुपद ((x+6)(x-2)=x-2+4x-12) है। टिप: कटान से गुणनखंड बनाएं। / The zeroes are (-6) and (2), so the polynomial is ((x+6)(x-2)=x-2+4x-12). Tip: form factors from intersections.
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,18)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,18)) does not show a zero.
(x-4-81=\(x^2-9\)\(x^2+9\)) है और वास्तविक शून्यक केवल \(\pm3\) हैं। टिप: \(x^2+9\) वास्तविक शून्यक नहीं देता। / (x-4-81=\(x^2-9\)\(x^2+9\)), and the real zeroes are only \(\pm3\). Tip: \(x^2+9\) gives no real zero.
छह अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (6) होनी चाहिए। टिप: अलग शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For six distinct real zeroes, the degree must be at least (6). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
C. ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता/The graph does not cut the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
(x-2-2x+10=(x-1)2+9) है इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं है। टिप: हमेशा धनात्मक रूप कटान नहीं देता। / (x-2-2x+10=(x-1)2+9), so there is no real zero. Tip: an always positive form gives no intersection.
(x-3-8x-2+15x=x(x-3)(x-5)) है इसलिए शून्यक (0,3,5) हैं। टिप: पहले (x) सामान्य गुणनखंड निकालें। / (x-3-8x-2+15x=x(x-3)(x-5)), so the zeroes are (0,3,5). Tip: first take (x) as the common factor.
A. यह दोनों शून्यकों का मध्य है/It is the midpoint of the two zeroes
Explanation
Simple Explanation
\(12=\frac{6+18}{2}\) है इसलिए यह दोनों शून्यकों का मध्य है। टिप: मध्य बिंदु शून्यक हो यह जरूरी नहीं। / \(12=\frac{6+18}{2}\), so it is the midpoint of the two zeroes. Tip: the midpoint need not be a zero.
(4x-2-24x+36=4(x-3)2) है इसलिए (x=3) पर स्पर्श होगा। टिप: बाहरी (4) शून्यक नहीं बदलता। / (4x-2-24x+36=4(x-3)2), so it touches at (x=3). Tip: the outside (4) does not change the zero.
(x<-9) पर दोनों कारक ऋणात्मक हैं और बाहर का ऋण चिन्ह मान को ऋणात्मक बनाता है। टिप: पहले कारकों का चिह्न देखें। / For (x<-9), both factors are negative and the outside negative makes the value negative. Tip: check factor signs first.
ग्राफ के शून्यक x = 7 और x = -4 हैं। स्पर्श बिंदु भी शून्यक होता है (समान्यतः सम घातांक — multiplicity — पर स्पर्श होता है), इसलिए शून्यकों का योग 7 + (−4) = 3 है। विकल्प B (11) तब होता यदि दोनों मानों का परस्पर संकेत न लिया जाता; विकल्प D (−3) केवल संकेत उल्टा करने पर मिलता। परीक्षा टिप: ग्राफ का स्पर्श बिंदु भी शून्यक माना जाता — केवल स्पर्श या क्रॉस होने से उसके मान में कोई बदलाव नहीं आता, केवल घातांक (multiplicity) बदलता है। / The zeros are x = 7 and x = −4. A touching point still gives a zero (typically with even multiplicity), so the sum is 7 + (−4) = 3. Option B (11) would arise if you added absolute values 7 + 4 ignoring the sign; option D (−3) is the negative of the correct sum. Exam tip: count a touching point as a root — touching vs crossing affects multiplicity (shape), not the x-value of the zero.
यदि किसी बहुपद के ग्राफ का x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु \( (0,0) \) और \( (d,0) \) हैं जहाँ \( d\neq 0 \), तो उस बहुपद के शून्यकों का गुणनफल क्या होगा?
x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु के x-निर्देशांक वही बहुपद के शून्यक होते हैं, इसलिए शून्यक \(0\) और \(d\) हैं। उनका गुणनफल \(0\times d=0\)। नज़दीकी विचलन: \(d\) गलत है क्योंकि एक शून्यक 0 है; \(d^2\) तब ही सही होता यदि दोनों शून्यक \(d\) होते; \(-d\) साइन की त्रुटि है। परीक्षा-टिप: यदि शून्यकों में \(0\) शामिल हो तो कुल गुणनफल अवश्य \(0\) होगा। / The x-coordinates of x-axis intersections are the polynomial's zeroes, so the zeroes are \(0\) and \(d\). Their product is \(0\times d=0\). Closest distractors: \(d\) is wrong because one factor is zero; \(d^2\) would be correct only if both zeroes were \(d\); \(-d\) is incorrect due to sign. Exam tip: if one root is \(0\), the product of roots is always \(0\).
(x-2-15x+56=(x-7)(x-8)) है इसलिए दूरी (8-7=1) है। टिप: पहले शून्यक निकालें फिर दूरी लें। / (x-2-15x+56=(x-7)(x-8)), so the distance is (8-7=1). Tip: find zeroes first and then take distance.
नीचे खुलने वाले परवलय में शून्यकों के बाहर मान ऋणात्मक होते हैं। टिप: खुलने की दिशा संकेत क्षेत्र बदलती है। / For a downward-opening parabola, values outside the zeroes are negative. Tip: opening direction changes sign regions.
वास्तविक (x) के लिए \(x^8\geq0\), इसलिए \(x^8+1>0\) है। टिप: हमेशा धनात्मक बहुपद (x)-अक्ष को नहीं काटता। / For real (x), \(x^8\geq0\), so \(x^8+1>0\). Tip: an always positive polynomial does not cut the (x)-axis.
शून्यक की परिभाषा: किसी बहुपद का शून्यक वह \(x\)-मान है जिसके लिए \(p(x)=0\) होता है। यहाँ \(p(-9)=0\), \(p(2)=0\) और \(p(6)=0\) हैं, अतः तीन शून्यक हैं। \(p(-4)=2\) शून्य नहीं है इसलिए इसे गिनना गलत होगा। नज़दीकी गलती: कुछ विद्यार्थी केवल दो शून्यक गिन सकते हैं यदि वे किसी एक को मिस कर दें; चार चुनने वाले ने संभवतः \(p(-4)=2\) को भी शून्य समझ लिया। परीक्षा टिप: हर दिए हुए बिंदु पर सीधे \(p(x)\) का मान जांचें — केवल तभी उसे शून्यक मानें जब वह ठीक-ठीक \(0\) हो। / Definition: an x-value is a zero (root) of a polynomial when \(p(x)=0\). Here \(p(-9)=0\), \(p(2)=0\) and \(p(6)=0\), so there are three zeros. Since \(p(-4)=2\) (not zero), it must not be counted. Closest distractor: choosing two usually means one zero was overlooked; choosing four means incorrectly counting \(x=-4\). Exam tip: always check the given \(p(x)\) values and count only those equal to \(0\).
ध्यान दें कि \(p(x)=x^2-cx\) को गुणनखंड में लिखें: \(p(x)=x(x-c)\)। किसी बिंदु पर ग्राफ x-अक्ष को काटेगा जब \(p(x)=0\) हो, अतः \(x(x-c)=0\) से \(x=0\) या \(x=c\) मिलता है। इसलिए x-अक्ष के कटान बिंदु हैं \((0,0)\) और \((c,0)\)। नज़दीकी विकर्षक (B) गलत है क्योंकि वहाँ मान लिया गया है कि दूसरा शून्य \(-c\) है; पर समीकरण से सकारात्मक \(c\) आता है, न कि \(-c\)। परीक्षा टिप: बहुपद को गुणनखंडों में विभाजित कर शून्य प्राप्त करें — सामान्य रूप से सामान्य कारक (यहाँ \(x\)) बाहर निकालें। / Write the polynomial as a product: \(p(x)=x^2-cx=x(x-c)\). The graph meets the x-axis where \(p(x)=0\), so from \(x(x-c)=0\) we get \(x=0\) or \(x=c\). Thus the x-intercepts are \((0,0)\) and \((c,0)\). The closest distractor (B) is wrong because it assumes the second root is \(-c\), whereas solving gives \(+c\). Exam tip: factor the polynomial first and set each factor to zero to find x-intercepts; always check signs carefully.
A. (14) को (6) करना होगा/(14) must be changed to (6)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-6) के साथ (6) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (6) is needed with (-6). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
A. दो बिंदु, (x=-3) पर स्पर्श/Two points, touching at (x=-3)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (-3) और (10) हैं तथा ((x+3)2) के कारण (-3) पर स्पर्श है। टिप: बाहरी (7) शून्यक नहीं बदलता। / The zeroes are (-3) and (10), and ((x+3)2) causes touching at (-3). Tip: the outside (7) does not change the zeroes.
इस अंतराल में चिह्न (+), (-), (-) हैं इसलिए गुणनफल धनात्मक है। टिप: दो ऋणात्मक कारकों का गुणन धनात्मक होता है। / In this interval the signs are (+), (-), (-), so the product is positive. Tip: the product of two negative factors is positive.
A. क्योंकि इसका विविक्तकर ऋणात्मक है/Because its discriminant is negative
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर \(d^2-4d^2=-3d^2<0\) है इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: ऋणात्मक विविक्तकर का अर्थ (x)-अक्ष कटान नहीं है। / The discriminant is \(d^2-4d^2=-3d^2<0\), so there are no real zeroes. Tip: a negative discriminant means no (x)-axis intersection.
शीर्ष (x)-अक्ष पर है इसलिए परवलय ((-5,0)) पर स्पर्श करेगा। टिप: शीर्ष का (y)-मान (0) हो तो एक अलग शून्यक होता है। / The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((-5,0)). Tip: if the vertex has (y=0), there is one distinct zero.
विविक्तकर (144-204=-60) है इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: ऋणात्मक विविक्तकर पर परवलय (x)-अक्ष से नहीं मिलता। / The discriminant is (144-204=-60), so there are no real zeroes. Tip: with negative discriminant a parabola does not meet the (x)-axis.
यह ((x-b)2-16) है इसलिए \(x-b=\pm4\) और शून्यक (b-4), (b+4) हैं। टिप: वर्गों के अंतर का उपयोग करें। / It is ((x-b)2-16), so \(x-b=\pm4\) and the zeroes are (b-4), (b+4). Tip: use difference of squares.
शून्यक के रूप में उन बिंदुओं के x‑मान लें: -2, 4 और 10। माध्य = \\(
\frac{-2+4+10}{3}=4
\\)। विकल्प B (12) कुल योग है, न कि माध्य — कुछ विद्यार्थी योग को ही उत्तर मान लेते हैं। विकल्प C (-4) संकेत त्रुटि से आता है और विकल्प D (10) केवल एक अकेला x‑मान है। परीक्षा टिप: पहले छेदन बिंदुओं से केवल x‑मान पढ़ें और फिर कुल जोड़ को तत्वों की संख्या से भाग दें। / Take the x‑values of the intersections: -2, 4 and 10. The mean = \\(
\frac{-2+4+10}{3}=4
\\). Option B (12) mistakes the sum for the mean. Option C (-4) is a sign/error slip, and option D (10) is just the largest root, not the average. Exam tip: always extract the x‑coordinates first, then apply mean = (sum of x‑values)/(number of zeros).
