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दो शून्यकों का औसत (1) होगा इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है। / The average of the two zeroes is (1), so the other zero is (7). Tip: the axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes.
A. (x=3) पर स्पर्श और (x=-4) पर कटान/Touches at (x=3) and crosses at (x=-4)
Explanation
Simple Explanation
सम घात वाला कारक ((x-3)2) स्पर्श देता है और एकल कारक (x+4) कटान देता है। टिप: गुणनखंड की घात से व्यवहार पहचानें। / The even-power factor ((x-3)2) gives touching and the single factor (x+4) gives crossing. Tip: identify behavior from factor power.
(x=-3) दोनों शून्यकों के बीच है और ऊपर खुलने वाले परवलय में बीच का भाग नीचे होता है। टिप: शून्यकों के बीच संकेत देखें। / (x=-3) lies between the two zeroes, and an upward parabola is below the axis there. Tip: check the sign between zeroes.
इस अंतराल में पहला कारक धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक है, बाहर का ऋण चिन्ह मान को धनात्मक करता है। टिप: हर कारक का चिह्न अलग देखें। / In this interval the first factor is positive and the second is negative, and the outside negative makes the value positive. Tip: check each factor's sign separately.
यह ((x-2k)2) है इसलिए दोहराया शून्यक (2k) है। टिप: पूर्ण वर्ग पहचानना तेज तरीका है। / It is ((x-2k)2), so the repeated zero is (2k). Tip: recognizing a perfect square is a quick method.
\(p(x)=x^2-(m+n)x+mn\) को गुणनखंडों में लिखें: \(p(x)=(x-m)(x-n)\). इसलिए शून्यविकल्प (roots) \(x=m\) और \(x=n\) हैं। ग्राफ x-अक्ष पर तब कटता है जब \(y=p(x)=0\), अतः काटने के बिंदु \((m,0)\) और \((n,0)\) होंगे। निकटतम भ्रमित विकल्प \((-m,0)\) और \((-n,0)\) इसलिए गलत है क्योंकि संकेत उल्टा है; \((0,m)\) जैसे विकल्प y-अक्ष के बिंदु बताते हैं और वे यहाँ लागू नहीं होते। परीक्षा टिप: बहुपद को हमेशा गुणनखंडों में लिखकर शून्य निकालें और उत्तर को बिंदु के रूप में \(( ext{root},0)\) लिखें। / Factorize: \(p(x)=x^2-(m+n)x+mn=(x-m)(x-n)\). So the zeros are \(x=m\) and \(x=n\). The graph meets the x-axis where \(p(x)=0\), i.e. at points \((m,0)\) and \((n,0)\). The distractor with \((-m,0)\) and \((-n,0)\) is wrong because the signs of the roots are reversed; \((0,m)\)-type choices refer to y-axis points and are irrelevant here. Exam tip: always factor the quadratic (or substitute candidate roots) and report x-intercepts as \(( ext{root},0)\).
दो शून्यकों का औसत (2) है, इसलिए दूसरा शून्यक (-5) होगा। टिप: \( \frac{a+b}{2} \) को सममिति अक्ष के बराबर रखें। / The average of the two zeroes is (2), so the other zero is (-5). Tip: set \( \frac{a+b}{2} \) equal to the axis of symmetry.
दिए गए शून्यक (-6) और (4) हैं, इसलिए गुणनफल (-24) है। टिप: केवल (p(x)=0) वाले (x)-मान लें। / The given zeroes are (-6) and (4), so the product is (-24). Tip: take only (x)-values where (p(x)=0).
(x-3-16x=x(x-4)(x+4)) है, इसलिए तीन अलग शून्यक हैं। टिप: पहले सामान्य गुणनखंड निकालें। / (x-3-16x=x(x-4)(x+4)), so there are three distinct zeroes. Tip: first take out the common factor.
B. दोनों शून्यकों पर स्पर्श करेगा/It will touch at both zeroes
Explanation
Simple Explanation
दोनों कारक सम घात में हैं, इसलिए दोनों स्थानों पर स्पर्श होगा। टिप: सम घात वाला शून्यक आमतौर पर कटान नहीं बल्कि स्पर्श देता है। / Both factors have even powers, so the graph touches at both places. Tip: an even-power zero usually gives touching, not crossing.
शून्यक (2) और (-6) हैं, पर (-6) दोहराया गया है। टिप: अलग शून्यक में दोहराव एक बार गिनें। / The zeroes are (2) and (-6), but (-6) is repeated. Tip: count repetition once for distinct zeroes.
मध्यबिंदु (\left\(\frac{-9+3}{2},0\right\)=(-3,0)) है। टिप: (x)-अक्ष पर मध्यबिंदु का (y)-मान (0) रहता है। / The midpoint is (\left\(\frac{-9+3}{2},0\right\)=(-3,0)). Tip: on the (x)-axis the midpoint has (y=0).
परास सबसे बड़े और सबसे छोटे शून्यक का अंतर है, (6-(-10)=16)। टिप: परास ऋणात्मक नहीं होती। / The range is the difference between the greatest and smallest zero, (6-(-10)=16). Tip: range is not negative.
(x-2-4x-21=(x-7)(x+3)) है, इसलिए शून्यक (7) और (-3) हैं। टिप: गुणनखंडों से बिंदु ((x,0)) बनाएं। / (x-2-4x-21=(x-7)(x+3)), so the zeroes are (7) and (-3). Tip: form ((x,0)) points from factors.
A. (0) शून्यक है क्योंकि बिंदु x-अक्ष पर भी है/(0) is a zero because the point lies on the x-axis as well
Explanation
Simple Explanation
यदि ग्राफ़ y = p(x) किसी बिंदु (0,0) से गुजरता है तो उस बिंदु का y-मान p(0)=0 होगा, अत: x=0 एक शून्यक (root) है। विकल्प B गलत है क्योंकि (0,0) दोनों अक्षों पर होता है — यह सिर्फ़ y-अक्ष पर कटना नहीं कहता कि x=0 शून्यक नहीं होगा। विकल्प C बिंदु के दिए हुए निर्देशांक से टकराता है; (0,0) होने पर p(0) कोई अन्य मान नहीं ले सकता। विकल्प D अतिदर्शित है — किसी भी y-अक्ष-अन्तरछेदन से सभी x शून्यक नहीं बनते। परीक्षा-टिप: किसी भी संभावित शून्यक a के लिये सीधे \(p(a)\) पर मान लगाकर देखें; यदि \(p(a)=0\) है तो a शून्यक है। / If the graph of y = p(x) passes through (0,0), then the y-value at x=0 is \(p(0)=0\); therefore x=0 is a root (zero) of the polynomial. Option B is incorrect because the origin lies on both axes, so saying it only intersects the y-axis does not exclude x=0 being a zero. Option C contradicts the given point: if the graph goes through (0,0) then \(p(0)\) cannot be nonzero. Option D is false — intersecting the y-axis does not imply every x is a zero. Exam tip: test a candidate root a by evaluating \(p(a)\); if \(p(a)=0\), then a is a zero.
(x-2-12x+36=(x-6)2) है, इसलिए स्पर्श बिंदु ((6,0)) है। टिप: पूर्ण वर्ग में चिह्न बदलकर शून्यक मिलता है। / (x-2-12x+36=(x-6)2), so the touching point is ((6,0)). Tip: in a perfect square, change the sign to get the zero.
शून्यक (a), (b), (c) हैं, इसलिए गुणनफल (abc) है। टिप: प्रतीकात्मक बिंदु में भी पहला निर्देशांक शून्यक है। / The zeroes are (a), (b), (c), so their product is (abc). Tip: even in symbolic points, the first coordinate is the zero.
A. क्योंकि यह ((x+2)2+4) है/Because it is ((x+2)2+4)
Explanation
Simple Explanation
((x+2)2+4) हमेशा धनात्मक है, इसलिए (p(x)=0) नहीं होगा। टिप: वर्ग में धनात्मक संख्या जुड़ने पर कटान रुक सकता है। / ((x+2)2+4) is always positive, so (p(x)=0) will not occur. Tip: adding a positive number to a square can prevent intersection.
B. ग्राफ (x)-अक्ष को स्पर्श करेगा/The graph will touch the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
((x-3)2) सम घात का कारक है, इसलिए (x=3) पर स्पर्श होगा। टिप: घात (2) दोहराया शून्यक दिखाती है। / ((x-3)2) is an even-power factor, so the graph touches at (x=3). Tip: power (2) shows a repeated zero.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है, (\frac{(b-5)+(b+1)}{2}=b-2)। टिप: प्रतीकों में भी औसत का नियम लागू होता है। / The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(b-5)+(b+1)}{2}=b-2). Tip: the average rule also works with symbols.
किसी शून्यक r का ग्राफ़ पर x-अक्ष पर छेदन बिंदु (r,0) होता है क्योंकि उस बिंदु पर y=0 होता है। दिए गए शून्यक −4, 1 और 8 के लिए सही बिंदु (-4,0), (1,0), (8,0) हैं इसलिए विकल्प B σωिçत है। विकल्प A गलत है क्योंकि उसने (0,−4) आदि दिए हैं — वे y-अक्ष के बिंदु हैं (x=0) न कि x-अक्ष के। विकल्प C और D क्रमशः जोड़े मिले-जुले या संकेत उल्टे हैं और वे शून्यक के अर्थ का उल्लंघन करते हैं। परीक्षा टिप: शून्यक को पहले निर्देशांक में लिखें और y को शून्य रखें — यानी (r,0)। / A zero r corresponds to the x-axis intersection point (r,0) because at a zero the y-value is 0. For the zeros −4, 1 and 8 the correct points are (-4,0), (1,0), (8,0), so option B is correct. Option A lists (0,−4) etc., which are y-axis points (x=0), not x-axis intersections. Option C mixes coordinates incorrectly and option D flips signs, so both are incorrect. Exam tip: always place the zero as the x-coordinate and set y=0 to form (r,0).
इस अंतराल में पहले दो कारक धनात्मक और तीसरा ऋणात्मक है, इसलिए गुणनफल ऋणात्मक है। टिप: कारकों के चिह्न अलग-अलग जाँचें। / In this interval the first two factors are positive and the third is negative, so the product is negative. Tip: check factor signs separately.
A. दूसरा (4), कटान ((3,0)), ((4,0))/Other (4), intersections ((3,0)), ((4,0))
Explanation
Simple Explanation
द्विघात में शून्यकों का योग (7) है, इसलिए दूसरा शून्यक (4) है। टिप: शून्यक को तुरंत ((x,0)) में बदलें। / In the quadratic, the sum of zeroes is (7), so the other zero is (4). Tip: quickly convert a zero to ((x,0)).
B. शून्यक परस्पर विपरीत हैं और योग (0) है/The zeroes are opposites and their sum is (0)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (-6) और (6) विपरीत संख्याएँ हैं। टिप: विपरीत शून्यक (y)-अक्ष से समान दूरी पर होते हैं। / The zeroes (-6) and (6) are opposite numbers. Tip: opposite zeroes are equally distant from the (y)-axis.
A. \(\left(\frac{4}{3},0\right),\;\left(-\frac{4}{3},0\right)\)
Explanation
Simple Explanation
ग्राफ का x-अक्ष छेदन बिंदु उन x-मूल्यों के अनुरूप होते हैं जिनके लिए \(p(x)=0\)। इसलिए \(9x^2-16=0\) हल करें। यह देता है \(9x^2=16\Rightarrow x^2=\frac{16}{9}\Rightarrow x=\pm\frac{4}{3}\)। वैकल्पिक रूप से यह अभिव्यक्ति अंतर वर्गों का रूप है: \(9x^2-16=(3x-4)(3x+4)\), जिससे स्पष्ट होता है कि \(x=\frac{4}{3}\) और \(x=-\frac{4}{3}\) शून्य बनाते हैं। निकटतम भ्रमित विकल्प \(\left(\frac{3}{4},0\right)\) है — यह केवल हर स्थानिक भाग के व्युत्क्रम के कारण गलत होगा; जबकि \((4,0)\) या \((-4,0)\) पर \(p(x)\) शून्य नहीं होता। परीक्षा-टिप: \(9x^2\) को \((3x)^2\) के रूप में सोचें या सीधे अंतर-व्यंजक सूत्र लागू करें। / The x-intercepts correspond to x-values where \(p(x)=0\). So solve \(9x^2-16=0\). This gives \(9x^2=16\Rightarrow x^2=\frac{16}{9}\Rightarrow x=\pm\frac{4}{3}\). Alternatively factor as a difference of squares: \(9x^2-16=(3x-4)(3x+4)\), showing zeros at \(x=\frac{4}{3}\) and \(x=-\frac{4}{3}\). The closest distractor \(\left(\frac{3}{4},0\right)\) is wrong because it flips numerator and denominator; \((4,0)\) and \((-4,0)\) do not make \(p(x)=0\) either. Exam tip: spot \(9x^2\) as \((3x)^2\) to quickly apply difference of squares or take square roots after isolating \(x^2\).
((2,0)) दोहराया गया है, इसलिए अलग शून्यक (2) और (9) हैं। टिप: समान (x)-मान को एक बार गिनें। / ((2,0)) is repeated, so the distinct zeroes are (2) and (9). Tip: count the same (x)-value once.
शून्यक (-4) और (3) हैं, इसलिए बहुपद ((x+4)(x-3)=x-2+x-12) है। टिप: कटान से गुणनखंड बनाएं। / The zeroes are (-4) and (3), so the polynomial is ((x+4)(x-3)=x-2+x-12). Tip: form factors from intersections.
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,-15)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,-15)) does not show a zero.
(x-4-16=\(x^2-4\)\(x^2+4\)) है और वास्तविक शून्यक केवल \(\pm2\) हैं। टिप: \(x^2+4\) वास्तविक शून्यक नहीं देता। / (x-4-16=\(x^2-4\)\(x^2+4\)), and the real zeroes are only \(\pm2\). Tip: \(x^2+4\) gives no real zero.
चार अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (4) होनी चाहिए। टिप: अलग शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For four distinct real zeroes, the degree must be at least (4). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
C. ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता/The graph does not cut the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
(x-2+10x+29=(x+5)2+4) है, इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं है। टिप: हमेशा धनात्मक रूप कटान नहीं देता। / (x-2+10x+29=(x+5)2+4), so there is no real zero. Tip: an always positive form gives no intersection.
(x-3-6x-2+5x=x(x-1)(x-5)) है, इसलिए शून्यक (0,1,5) हैं। टिप: पहले (x) सामान्य गुणनखंड निकालें। / (x-3-6x-2+5x=x(x-1)(x-5)), so the zeroes are (0,1,5). Tip: first take (x) as the common factor.
A. यह दोनों शून्यकों का मध्य है/It is the midpoint of the two zeroes
Explanation
Simple Explanation
\(8=\frac{4+12}{2}\), इसलिए यह दोनों शून्यकों का मध्य है। टिप: मध्य बिंदु शून्यक हो यह जरूरी नहीं। / \(8=\frac{4+12}{2}\), so it is the midpoint of the two zeroes. Tip: the midpoint need not be a zero.
(3x-2-18x+27=3(x-3)2) है, इसलिए (x=3) पर स्पर्श होगा। टिप: बाहरी (3) शून्यक नहीं बदलता। / (3x-2-18x+27=3(x-3)2), so it touches at (x=3). Tip: the outside (3) does not change the zero.
(x<-8) पर दोनों कारक ऋणात्मक हैं और बाहर का ऋण चिन्ह मान को ऋणात्मक बनाता है। टिप: पहले कारकों का चिह्न देखें। / For (x<-8), both factors are negative and the outside negative makes the value negative. Tip: check factor signs first.
स्पर्श करने और काटने दोनों ही x-अक्ष पर शून्यक होने का संकेत हैं; इसलिए शून्यक x-निर्देशांक 5 और -3 हैं। उन दोनों का योग 5 + (−3) = 2 है। नज़दीकी ग़लत विकल्प पर टिप्पणी: −2 केवल साइन में उलट है जबकि 8 और −8 गणना‑त्रुटि या परिमाणों का जोड़ है। परीक्षा की युक्ति: किसी बिंदु पर स्पर्श भी शून्यक माना जाता है; शून्यक की मानों को सीधे जोड़ें। / Both touching and crossing at the x-axis indicate roots; the roots (x-coordinates) are 5 and −3. Their sum is 5 + (−3) = 2. Note on distractors: −2 is a sign error, while 8 or −8 result from arithmetic or absolute-value mistakes. Exam tip: A touching point is still a root—use the x-coordinates of the intercepts to find the sum of zeros unless multiplicities are explicitly counted.
शून्यक (0) और (b) हैं, इसलिए योग (b) है। टिप: मूल बिंदु का शून्यक (0) जोड़ना न भूलें। / The zeroes are (0) and (b), so the sum is (b). Tip: do not forget to include the zero (0) from the origin.
(x-2-13x+42=(x-6)(x-7)) है, इसलिए दूरी (7-6=1) है। टिप: पहले शून्यक निकालें फिर दूरी लें। / (x-2-13x+42=(x-6)(x-7)), so the distance is (7-6=1). Tip: find zeroes first and then take distance.
नीचे खुलने वाले परवलय में शून्यकों के बाहर मान ऋणात्मक होते हैं। टिप: खुलने की दिशा संकेत क्षेत्र बदलती है। / For a downward-opening parabola, values outside the zeroes are negative. Tip: opening direction changes sign regions.
वास्तविक (x) के लिए \(x^6\geq0\), इसलिए \(x^6+1>0\) है। टिप: हमेशा धनात्मक बहुपद (x)-अक्ष को नहीं काटता। / For real (x), \(x^6\geq0\), so \(x^6+1>0\). Tip: an always positive polynomial does not cut the (x)-axis.
शून्यक वह \(x\)-मान है जिसके लिए फलन का मान \(0\) हो। यहाँ \(p(-7)=0\), \(p(1)=0\) और \(p(4)=0\) हैं — यह तीन भिन्न \(x\)-मान हैं जिन पर फलन शून्य है। \(p(-3)=2\) शून्य नहीं है इसलिए गिना नहीं जाएगा। परीक्षा टिप: हमेशा जांचें कि दिए गए \(p(x)\) का मान 0 है या नहीं; केवल \(x\) का मान 0 होना आवश्यक नहीं है। / A zero (root) is an \(x\)-value where the function value equals \(0\). Here \(p(-7)=0\), \(p(1)=0\) and \(p(4)=0\), so three distinct \(x\)-values are zeros. Since \(p(-3)=2\) is not zero, it is not counted. Exam tip: verify \(p(x)=0\) explicitly — do not confuse an \(x\)-value with the function value being zero unless given.
गुणन करने पर \(p(x)=x^2-bx=x(x-b)\) मिलता है। इसलिए शून्य तब होंगे जब \(x=0\) या \(x=b\)। इन x‑मानों पर ग्राफ के बिंदु क्रमशः \((0,0)\) और \((b,0)\) हैं। नज़दीकी भ्रम (विकल्प B) गलत है क्योंकि वहाँ दूसरे शून्य का संकेत गलत चिन्ह (\(-b\) बजाय \(b\)) दिया गया है। परीक्षा टिप: बहुपद की शून्य-स्थान निकालने के लिए सामान्य कारक (common factor) पहले निकालें। / Factorising gives \(p(x)=x^2-bx=x(x-b)\). So zeros occur at \(x=0\) and \(x=b\), which correspond to points \((0,0)\) and \((b,0)\) on the x-axis. The closest distractor (option B) is wrong because it uses \(-b\) instead of \(b\). Exam tip: always factor out the common factor first to find zeroes quickly.
A. (10) को (4) करना होगा/(10) must be changed to (4)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-4) के साथ (4) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (4) is needed with (-4). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
A. दो बिंदु, (x=-2) पर स्पर्श/Two points, touching at (x=-2)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (-2) और (7) हैं, तथा ((x+2)2) के कारण (-2) पर स्पर्श है। टिप: बाहरी (5) शून्यक नहीं बदलता। / The zeroes are (-2) and (7), and ((x+2)2) causes touching at (-2). Tip: the outside (5) does not change the zeroes.
इस अंतराल में चिह्न (+), (-), (-) हैं, इसलिए गुणनफल धनात्मक है। टिप: विषम संख्या ऋणात्मक कारकों से मान ऋणात्मक होता है। / In this interval the signs are (+), (-), (-), so the product is positive. Tip: an odd number of negative factors gives a negative value.
A. क्योंकि इसका विविक्तकर ऋणात्मक है/Because its discriminant is negative
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर \(c^2-4c^2=-3c^2<0\) है, इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: ऋणात्मक विविक्तकर का अर्थ (x)-अक्ष कटान नहीं है। / The discriminant is \(c^2-4c^2=-3c^2<0\), so there are no real zeroes. Tip: a negative discriminant means no (x)-axis intersection.
शीर्ष (x)-अक्ष पर है, इसलिए परवलय ((4,0)) पर स्पर्श करेगा। टिप: शीर्ष का (y)-मान (0) हो तो एक अलग शून्यक होता है। / The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((4,0)). Tip: if the vertex has (y=0), there is one distinct zero.
विविक्तकर (64-88=-24) है, इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: ऋणात्मक विविक्तकर पर परवलय (x)-अक्ष से नहीं मिलता। / The discriminant is (64-88=-24), so there are no real zeroes. Tip: with negative discriminant a parabola does not meet the (x)-axis.
यह ((x-a)2-9) है, इसलिए \(x-a=\pm3\) और शून्यक (a-3), (a+3) हैं। टिप: वर्गों के अंतर का उपयोग करें। / It is ((x-a)2-9), so \(x-a=\pm3\) and the zeroes are (a-3), (a+3). Tip: use difference of squares.
शून्यकों के माध्य की परिभाषा उनके मानों का योग भागा संख्या पर:
माध्य = \(\frac{-1+3+7}{3}=\frac{9}{3}=3\). विकल्प B (9) कुल योग है, न कि माध्य; विकल्प C (-3) चिह्न की गलती का परिणाम होगा; विकल्प D (7) केवल सबसे बड़ा शून्यक है। परीक्षा-टिप: छेदन-बिंदुओं से केवल x-मान लें और उनका औसत निकालें। / Mean of the zeroes is the average of their x-values:
Mean = \(\frac{-1+3+7}{3}=\frac{9}{3}=3\). Option B (9) is the sum of the roots, not the mean; option C (-3) results from a sign error; option D (7) is just the largest root. Exam tip: read only the x-coordinates of the intercepts and compute their average.
