एक प्रमाण में \(p^2=5q^2\), फिर (p=5k), फिर \(q^2=5k^2\) मिला। यह किस संख्या की अपरिमेयता से जुड़ा है?
In a proof, \(p^2=5q^2\), then (p=5k), then \(q^2=5k^2\) are obtained. This is related to the irrationality of which number?
#identify proof
#sqrt5
#class 10
A \(\sqrt{2}\)
B \(\sqrt{3}\)
C \(\sqrt{5}\)
D \(\sqrt{25}\)
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Correct Answer
C. \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
समीकरण में मुख्य गुणनखंड (5) है। / The main factor in the equation is (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(p^2=5q^2\) सामान्य रूप से \(\sqrt{5}\) के प्रमाण से आता है। / \(p^2=5q^2\) usually comes from the proof of \(\sqrt{5}\).
Step 3
Exam Tip
प्रमाण पहचानने के लिए समीकरण में गुणनखंड देखें। / To identify the proof, look at the factor in the equation.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (q) तक पहुंचने की सही श्रृंखला है?
Which option is the correct chain to reach (q) in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#step chain
#class 10
A \(p^2=3q^2\), (p=3k), \(9k^2=3q^2\), \(q^2=3k^2\)
B \(p^2=3q^2\), (p=3q), (q=3)
C \(p^2=3q^2\), (q=0)
D \(p^2=3q^2\), (p=q)
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Correct Answer
A. \(p^2=3q^2\), (p=3k), \(9k^2=3q^2\), \(q^2=3k^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से (p=3k) लिखा जाता है। / From \(p^2=3q^2\), we write (p=3k).
Step 2
Why this answer is correct
रखने पर \(9k^2=3q^2\) और फिर \(q^2=3k^2\) मिलता है। / Substitution gives \(9k^2=3q^2\), then \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
यही सही श्रृंखला (q) के (3) से विभाज्य होने तक जाती है। / This correct chain leads to (q) being divisible by (3).
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में प्रयुक्त मुख्य विरोधाभास को सही बताता है?
Which option correctly states the main contradiction used in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#common contradiction
#irrationality proof
#class 10
A सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना / Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
B वर्गमूल का धनात्मक होना / The square root being positive
C हर का शून्य न होना / Denominator not being zero
D अंश और हर का पूर्णांक होना / Numerator and denominator being integers
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Correct Answer
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना / Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
Step 1
Concept
परिमेय मानकर संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है। / After assuming rationality, the number is written as a lowest-form fraction.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में अंश और हर में साझा गुणनखंड मिल जाता है। / The proof finds a common factor in numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न में ऐसा होना असंभव है। / This is impossible for a lowest-form fraction.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो (p=2k) और (q=2r) मिलना क्यों असंभव है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if (p) and (q) are coprime, why is getting (p=2k) and (q=2r) impossible?
#sqrt2 proof
#coprime impossibility
#class 10
A क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा / Because both will have common factor (2)
B क्योंकि दोनों में (3) साझा गुणनखंड होगा / Because both will have common factor (3)
C क्योंकि (q=0) हो जाएगा / Because (q) will become (0)
D क्योंकि (p=q) हो जाएगा / Because (p=q) will happen
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Correct Answer
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा / Because both will have common factor (2)
Step 1
Concept
(p=2k) का अर्थ है (p) सम है। / (p=2k) means (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
(q=2r) का अर्थ है (q) भी सम है। / (q=2r) means (q) is also even.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा, इसलिए वे सहअभाज्य नहीं रहेंगे। / Both have common factor (2), so they cannot be coprime.
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\(\sqrt{5}\) को अपरिमेय सिद्ध करने में कौन सा कथन सही है?
Which statement is correct in proving \(\sqrt{5}\) irrational?
#sqrt5 proof
#prime rule
#class 10
A यदि \(p^2\) (5) से विभाज्य है, तो (p) (5) से विभाज्य है / If \(p^2\) is divisible by (5), then (p) is divisible by (5)
B यदि \(p^2\) (5) से विभाज्य है, तो (p=1) / If \(p^2\) is divisible by (5), then (p=1)
C यदि \(p^2\) (5) से विभाज्य है, तो (q=0) / If \(p^2\) is divisible by (5), then (q=0)
D यदि \(p^2\) (5) से विभाज्य है, तो (5) पूर्ण वर्ग है / If \(p^2\) is divisible by (5), then (5) is a perfect square
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Correct Answer
A. यदि \(p^2\) (5) से विभाज्य है, तो (p) (5) से विभाज्य है / If \(p^2\) is divisible by (5), then (p) is divisible by (5)
Step 1
Concept
(5) अभाज्य संख्या है। / (5) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
अभाज्य संख्या यदि किसी वर्ग को विभाजित करे, तो मूल संख्या को भी विभाजित करती है। / If a prime divides a square, it also divides the original number.
Step 3
Exam Tip
यह नियम \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (p) पर लगाया जाता है। / This rule is applied to (p) in the proof of \(\sqrt{5}\).
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एक विद्यार्थी ने \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(q^2=2k^2\) से (q=2k) लिख दिया। सही टिप्पणी क्या है?
A student writes (q=2k) from \(q^2=2k^2\) in the proof of \(\sqrt{2}\). What is the correct comment?
#sqrt2 proof
#student error
#class 10
A सीधे (q=2k) नहीं लिखना चाहिए, पहले \(q^2\) सम और फिर (q) सम कहना चाहिए / We should not directly write (q=2k); first say \(q^2\) is even and then (q) is even
B यह पूरी तरह सही है / It is completely correct
C इससे (q=0) सिद्ध होता है / This proves (q=0)
D इससे \(\sqrt{2}=2\) सिद्ध होता है / This proves \(\sqrt{2}=2\)
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Correct Answer
A. सीधे (q=2k) नहीं लिखना चाहिए, पहले \(q^2\) सम और फिर (q) सम कहना चाहिए / We should not directly write (q=2k); first say \(q^2\) is even and then (q) is even
Step 1
Concept
\(q^2=2k^2\) से \(q^2\) सम मिलता है। / From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
फिर नियम से (q) सम कहा जाता है और (q=2r) लिखा जा सकता है। / Then by rule (q) is even and can be written as (q=2r).
Step 3
Exam Tip
सीधे (q=2k) लिखना सावधानी के बिना किया गया कदम है। / Directly writing (q=2k) is a careless step.
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कौन सा विकल्प बताता है कि \(\sqrt{3}\) की परिमेय मान्यता क्यों टूटती है?
Which option explains why the rational assumption for \(\sqrt{3}\) breaks?
#sqrt3 rational assumption
#contradiction
#class 10
A क्योंकि सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं / Because both numerator and denominator of the lowest-form fraction are found divisible by (3)
B क्योंकि (3) ऋणात्मक है / Because (3) is negative
C क्योंकि \(\sqrt{3}=3\) / Because \(\sqrt{3}=3\)
D क्योंकि (q=0) / Because (q=0)
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Correct Answer
A. क्योंकि सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं / Because both numerator and denominator of the lowest-form fraction are found divisible by (3)
Step 1
Concept
परिमेय मानकर \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में लिखा जाता है। / Assuming rationality, \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) is written in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। / The proof shows both (p) and (q) divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता। / Such a common factor cannot occur in a lowest-form fraction.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में वर्ग करने का मुख्य उद्देश्य क्या है?
What is the main purpose of squaring in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#squaring purpose
#irrationality proof
#class 10
A वर्गमूल हटाकर विभाज्यता वाला समीकरण पाना / To remove the square root and get a divisibility equation
B हर को शून्य बनाना / To make the denominator zero
C संख्या को ऋणात्मक बनाना / To make the number negative
D अंश और हर को बराबर बनाना / To make numerator and denominator equal
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Correct Answer
A. वर्गमूल हटाकर विभाज्यता वाला समीकरण पाना / To remove the square root and get a divisibility equation
Step 1
Concept
\(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) में वर्गमूल हटाने के लिए वर्ग करते हैं। / We square \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) to remove the square root.
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(p^2=nq^2\) जैसा समीकरण मिलता है। / This gives an equation like \(p^2=nq^2\).
Step 3
Exam Tip
इसी समीकरण से विभाज्यता और विरोधाभास की शुरुआत होती है। / This equation starts the divisibility and contradiction steps.
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यदि \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानने पर विरोधाभास आया, तो कौन सी बात सही सिद्ध होती है?
If assuming \(\sqrt{5}\) rational leads to a contradiction, what is proved true?
#sqrt5 conclusion
#contradiction method
#class 10
A \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{5}\) is irrational
B \(\sqrt{5}\) परिमेय है / \(\sqrt{5}\) is rational
C \(\sqrt{5}=5\)
D (5) पूर्ण वर्ग है / (5) is a perfect square
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Correct Answer
A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। / In contradiction method, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
यदि परिमेय मान्यता गलत निकले, तो अपरिमेयता सिद्ध होती है। / If the rational assumption is false, irrationality is proved.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। / Therefore \(\sqrt{5}\) is irrational.
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परीक्षा में \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), या \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता लिखते समय कौन सी सावधानी सबसे जरूरी है?
In an exam, which precaution is most important while writing the irrationality proof of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), or \(\sqrt{5}\)?
#exam tip
#proof writing
#irrationality
#class 10
A हर चरण में साझा गुणनखंड और सहअभाज्य विरोधाभास साफ लिखना / Clearly write the common factor and coprime contradiction at each final stage
B केवल दशमलव मान लिखना / Write only the decimal value
C वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर लिखना / Write the square root equal to the number inside
D हर को शून्य मानना / Assume the denominator zero
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Correct Answer
A. हर चरण में साझा गुणनखंड और सहअभाज्य विरोधाभास साफ लिखना / Clearly write the common factor and coprime contradiction at each final stage
Step 1
Concept
ऐसे प्रमाणों में परिमेय मान्यता से शुरुआत होती है। / Such proofs begin with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
अंत में अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलता है। / At the end, a common factor is found in numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास साफ लिखना सबसे जरूरी है। / In exams, clearly writing the coprime contradiction is most important.
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