\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) लिखा गया है। यदि \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में है, तो (a) और (b) के बारे में क्या सही है?
Assume \(\sqrt{2}\) is rational and written as \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\). If \(\frac{a}{b}\) is in lowest form, what is true about (a) and (b)?
#sqrt2 proof
#coprime
#lowest form
#class 10
A वे सहअभाज्य हैं / They are coprime
B वे दोनों सम हैं / Both are even
C वे दोनों (2) के बराबर हैं / Both are equal to (2)
D वे दोनों शून्य हैं / Both are zero
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Correct Answer
A. वे सहअभाज्य हैं / They are coprime
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को प्रमाण में सरलतम भिन्न के रूप में लिखा जाता है। / In the proof, a rational number is written as a fraction in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम भिन्न में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 3
Exam Tip
बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी बात से विरोधाभास बनाता है। / Later, finding a common factor creates the contradiction.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानने के बाद वर्ग करने पर कौन सा सही समीकरण मिलेगा?
In the proof of \(\sqrt{3}\), after assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), which correct equation is obtained by squaring?
#sqrt3 proof
#squaring
#real numbers
#class 10
A \(p^2=2q^2\)
B \(p^2=3q^2\)
C (p=3q)
D \(q^2=3p^2\)
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Correct Answer
B. \(p^2=3q^2\)
Step 1
Concept
दोनों ओर वर्ग करने पर \(3=\frac{p^2}{q^2}\) मिलता है। / Squaring both sides gives \(3=\frac{p^2}{q^2}\).
Step 2
Why this answer is correct
हर हटाने पर \(p^2=3q^2\) मिलेगा। / Clearing the denominator gives \(p^2=3q^2\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग करने के बाद दोनों ओर \(q^2\) से गुणा करना न भूलें। / After squaring, do not forget to multiply by \(q^2\).
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यदि \(\sqrt{5}=\frac{m}{n}\) और \(m^2=5n^2\) है, तो \(m^2\) के बारे में पहला सही निष्कर्ष क्या होगा?
If \(\sqrt{5}=\frac{m}{n}\) and \(m^2=5n^2\), what is the first correct conclusion about \(m^2\)?
#sqrt5 proof
#divisibility
#class 10
A \(m^2\) (2) से विभाज्य है / \(m^2\) is divisible by (2)
B \(m^2\) (3) से विभाज्य है / \(m^2\) is divisible by (3)
C \(m^2\) (5) से विभाज्य है / \(m^2\) is divisible by (5)
D \(m^2\) शून्य है / \(m^2\) is zero
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Correct Answer
C. \(m^2\) (5) से विभाज्य है / \(m^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(m^2=5n^2\) में दाईं ओर (5) गुणनखंड है। / In \(m^2=5n^2\), the right side has factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(m^2\) (5) से विभाज्य है। / Therefore \(m^2\) is divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
पहले वर्ग की विभाज्यता लिखें, फिर (m) की विभाज्यता निकालें। / First write divisibility of the square, then conclude divisibility of (m).
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\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में \(a^2=2b^2\) मिलने पर (a) के लिए सही रूप कौन सा है?
In the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\), after getting \(a^2=2b^2\), which is the correct form for (a)?
#sqrt2 proof
#even number
#class 10
A (a=2k)
B (a=3k)
C (a=5k)
D (a=bk)
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Step 1
Concept
\(a^2=2b^2\) से \(a^2\) सम है। / From \(a^2=2b^2\), \(a^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग सम हो तो मूल पूर्णांक भी सम होता है। / If a square is even, the original integer is even.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (a=2k) लिखते हैं, जहां (k) पूर्णांक है। / Therefore we write (a=2k), where (k) is an integer.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (p=3k) रखने पर \(p^2=3q^2\) किस रूप में बदलता है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), after putting (p=3k), how does \(p^2=3q^2\) change?
#sqrt3 proof
#substitution
#algebra
#class 10
A \(3k^2=3q^2\)
B \(6k^2=3q^2\)
C \(9k^2=3q^2\)
D \(k^2=3q^2\)
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Correct Answer
C. \(9k^2=3q^2\)
Step 1
Concept
(p=3k) है, इसलिए (p-2 =(3k)2 )। / Since (p=3k), (p-2 =(3k)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
((3k)2 =9k-2 ), अतः \(9k^2=3q^2\) मिलेगा। / ((3k)2 =9k-2 ), so we get \(9k^2=3q^2\).
Step 3
Exam Tip
गुणांक का वर्ग करना हमेशा याद रखें। / Always remember to square the coefficient.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (p=5k) रखने पर \(p^2=5q^2\) से \(q^2\) का कौन सा रूप मिलेगा?
In the proof of \(\sqrt{5}\), after putting (p=5k), what form of \(q^2\) follows from \(p^2=5q^2\)?
#sqrt5 proof
#substitution
#q divisibility
#class 10
A \(q^2=5k^2\)
B \(q^2=25k^2\)
C \(q^2=k^2\)
D \(q^2=10k^2\)
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Correct Answer
A. \(q^2=5k^2\)
Step 1
Concept
(p=5k) रखने पर \(p^2=25k^2\) होगा। / If (p=5k), then \(p^2=25k^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(25k^2=5q^2\) से \(q^2=5k^2\) मिलता है। / From \(25k^2=5q^2\), we get \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
इसी से (q) के (5) से विभाज्य होने का निष्कर्ष आता है। / This leads to the conclusion that (q) is divisible by (5).
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में सही नहीं है?
Which option is not correct in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#wrong step
#class 10
A \(a^2=2b^2\) से \(a^2\) सम है / From \(a^2=2b^2\), \(a^2\) is even
B \(a^2\) सम है, इसलिए (a) सम है / Since \(a^2\) is even, (a) is even
C (a=2k) रखने पर \(a^2=4k^2\) / If (a=2k), then \(a^2=4k^2\)
D \(a^2=2b^2\) से सीधे (a=2b) / From \(a^2=2b^2\), directly (a=2b)
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Correct Answer
D. \(a^2=2b^2\) से सीधे (a=2b) / From \(a^2=2b^2\), directly (a=2b)
Step 1
Concept
\(a^2=2b^2\) से \(a^2\) सम मिलता है। / From \(a^2=2b^2\), \(a^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
इससे (a) सम है, लेकिन सीधे (a=2b) नहीं मिलता। / This gives (a) even, but not directly (a=2b).
Step 3
Exam Tip
सही कदम (a=2k) लिखना है। / The correct step is to write (a=2k).
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यदि (r) अभाज्य है और (r) किसी पूर्णांक (x) के वर्ग \(x^2\) को विभाजित करता है, तो सही निष्कर्ष कौन सा है?
If (r) is prime and divides the square \(x^2\) of an integer (x), what is the correct conclusion?
#prime divisibility
#proof rule
#class 10
A (r), (x) को भी विभाजित करता है / (r) also divides (x)
B (x), (r) को विभाजित करता है / (x) divides (r)
C \(x=r^2\)
D (r=x+1)
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Correct Answer
A. (r), (x) को भी विभाजित करता है / (r) also divides (x)
Step 1
Concept
वर्ग में अभाज्य गुणनखंड जोड़े के रूप में आते हैं। / Prime factors in a square occur in pairs.
Step 2
Why this answer is correct
यदि अभाज्य संख्या \(x^2\) को विभाजित करे, तो वह (x) को भी विभाजित करती है। / If a prime divides \(x^2\), it also divides (x).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में यह नियम जरूरी है। / This rule is essential in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\).
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलें, तो यह किससे विरोध करता है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), if both (p) and (q) are found divisible by (3), what does this contradict?
#sqrt3 proof
#contradiction
#coprime
#class 10
A उनके सहअभाज्य होने से / Their being coprime
B उनके पूर्णांक होने से / Their being integers
C \(q\neq 0\) होने से / \(q\neq 0\)
D (3) के अभाज्य होने से / (3) being prime
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Correct Answer
A. उनके सहअभाज्य होने से / Their being coprime
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों (3) से विभाज्य हों तो साझा गुणनखंड (3) है। / If both are divisible by (3), common factor (3) exists.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सहअभाज्य होने की शर्त से विरोधाभास बनाता है। / Therefore it contradicts the coprime condition.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(q^2=5k^2\) मिलने के बाद सही तर्क कौन सा है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), after getting \(q^2=5k^2\), which reasoning is correct?
#sqrt5 proof
#q divisible
#class 10
A \(q^2\) (5) से विभाज्य है, इसलिए (q) (5) से विभाज्य है / \(q^2\) is divisible by (5), so (q) is divisible by (5)
B \(q^2\) (5) से विभाज्य है, इसलिए (q=1) / \(q^2\) is divisible by (5), so (q=1)
C \(q^2=5k^2\) से \(q=5k^2\) / From \(q^2=5k^2\), \(q=5k^2\)
D \(q^2=5k^2\) से (k=0) / From \(q^2=5k^2\), (k=0)
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Correct Answer
A. \(q^2\) (5) से विभाज्य है, इसलिए (q) (5) से विभाज्य है / \(q^2\) is divisible by (5), so (q) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(q^2=5k^2\) से \(q^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(q^2=5k^2\), \(q^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (5) से विभाज्य होगा। / Since (5) is prime, (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
यही (p) और (q) में साझा गुणनखंड दिखाता है। / This shows a common factor in (p) and (q).
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