कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की सिद्धि में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य होने का सही प्रभाव बताता है?
Which option correctly states the effect of both (p) and (q) being divisible by (3) in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#lowest form
#coprime
#class 10
A \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं रह सकता / \(\frac{p}{q}\) cannot remain in lowest form
B \(\sqrt{3}=3\) हो जाता है / \(\sqrt{3}=3\)
C \(\frac{p}{q}\) शून्य हो जाता है / \(\frac{p}{q}\) becomes zero
D (p) और (q) अपरिमेय बन जाते हैं / (p) and (q) become irrational
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Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं रह सकता / \(\frac{p}{q}\) cannot remain in lowest form
Step 1
Concept
दोनों (3) से विभाज्य होने पर भिन्न में साझा गुणनखंड (3) है। / If both are divisible by (3), the fraction has common factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी भिन्न को और सरल किया जा सकता है। / Such a fraction can be reduced further.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सरलतम रूप की मान्यता से टकराता है। / So it contradicts the lowest-form assumption.
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कौन सा कथन \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में सही मध्य चरण है?
Which statement is a correct middle step in the proof of irrationality of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#middle step
#class 10
A \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य है / From \(p^2=5q^2\), (p) is divisible by (5)
B \(p^2=5q^2\) से (q=0) / From \(p^2=5q^2\), (q=0)
C \(p^2=5q^2\) से \(\sqrt{5}=5\) / From \(p^2=5q^2\), \(\sqrt{5}=5\)
D \(p^2=5q^2\) से (p=q) / From \(p^2=5q^2\), (p=q)
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Correct Answer
A. \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य है / From \(p^2=5q^2\), (p) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (5) से विभाज्य है। / Since (5) is prime, (p) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
यही आगे (p=5k) लिखने का आधार है। / This is the basis for writing (p=5k).
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यदि \(\sqrt{3}\) की सिद्धि में \(q^2=3k^2\) मिल जाए, तो (q) के लिए सही निष्कर्ष कौन सा है?
If \(q^2=3k^2\) is obtained in the proof of \(\sqrt{3}\), what is the correct conclusion for (q)?
#sqrt3 proof
#q divisibility
#class 10
A (q) (3) से विभाज्य है / (q) is divisible by (3)
B (q) (2) से विभाज्य है / (q) is divisible by (2)
C (q=3)
D \(q=k^2\)
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Correct Answer
A. (q) (3) से विभाज्य है / (q) is divisible by (3)
Step 1
Concept
\(q^2=3k^2\) से \(q^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(q^2=3k^2\), \(q^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य होगा। / Since (3) is prime, (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
यही (p) और (q) में साझा गुणनखंड दिखाता है। / This shows a common factor in (p) and (q).
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में कौन सा कथन सही है लेकिन अधूरा निष्कर्ष है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), which statement is correct but an incomplete conclusion?
#sqrt2 proof
#incomplete conclusion
#class 10
A \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even
B \(\sqrt{2}=2\)
C (q=0)
D (p=q)
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Correct Answer
A. \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम होना सही है। / From \(p^2=2q^2\), saying \(p^2\) is even is correct.
Step 2
Why this answer is correct
पर यह अंतिम निष्कर्ष नहीं है, इसके बाद (p) और (q) दोनों सम दिखाने होंगे। / But it is not the final conclusion; both (p) and (q) must then be shown even.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण को विरोधाभास तक पूरा करें। / Complete the proof up to contradiction.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (p=5k) रखने के बाद \(q^2=5k^2\) मिलना क्यों महत्वपूर्ण है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), why is getting \(q^2=5k^2\) after putting (p=5k) important?
#sqrt5 proof
#q divisible
#class 10
A क्योंकि इससे (q) भी (5) से विभाज्य सिद्ध होता है / Because it proves (q) is also divisible by (5)
B क्योंकि इससे (q=0) सिद्ध होता है / Because it proves (q=0)
C क्योंकि इससे (p=q) सिद्ध होता है / Because it proves (p=q)
D क्योंकि इससे \(\sqrt{5}=25\) सिद्ध होता है / Because it proves \(\sqrt{5}=25\)
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Correct Answer
A. क्योंकि इससे (q) भी (5) से विभाज्य सिद्ध होता है / Because it proves (q) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
\(q^2=5k^2\) से \(q^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(q^2=5k^2\), \(q^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
अभाज्य नियम से (q) भी (5) से विभाज्य होगा। / By the prime rule, (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
तब (p) और (q) दोनों में (5) साझा गुणनखंड मिलता है। / Then (p) and (q) both have common factor (5).
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कौन सा विकल्प तीनों प्रमाणों में गलत सोच को दिखाता है?
Which option shows a wrong idea in all three proofs?
#common misconception
#square root
#proof
#class 10
A वर्गमूल को उसके अंदर की संख्या के बराबर मान लेना / Treating the square root as equal to the number inside it
B संख्या को परिमेय मानकर शुरू करना / Starting by assuming the number rational
C दोनों ओर वर्ग करना / Squaring both sides
D साझा गुणनखंड से विरोधाभास लेना / Taking contradiction from a common factor
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Correct Answer
A. वर्गमूल को उसके अंदर की संख्या के बराबर मान लेना / Treating the square root as equal to the number inside it
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}=2\), \(\sqrt{3}=3\), या \(\sqrt{5}=5\) लिखना गलत है। / Writing \(\sqrt{2}=2\), \(\sqrt{3}=3\), or \(\sqrt{5}=5\) is wrong.
Step 2
Why this answer is correct
सही विधि में परिमेय मानकर भिन्न रूप लिया जाता है और वर्ग किया जाता है। / The correct method assumes rationality, writes a fraction, and squares.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर न मानें। / Do not treat a square root as equal to the number inside.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में यदि (p) और (q) दोनों सम हैं, तो \(\frac{p}{q}\) के बारे में कौन सा कथन सही है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if both (p) and (q) are even, which statement about \(\frac{p}{q}\) is correct?
#sqrt2 proof
#fraction
#lowest form
#class 10
A यह सरलतम रूप में नहीं है / It is not in lowest form
B यह अवश्य (2) है / It is necessarily (2)
C यह शून्य है / It is zero
D यह अपरिमेय भिन्न है / It is an irrational fraction
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Correct Answer
A. यह सरलतम रूप में नहीं है / It is not in lowest form
Step 1
Concept
दोनों सम होने पर अंश और हर में (2) साझा गुणनखंड है। / If both are even, numerator and denominator have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए भिन्न को (2) से और घटाया जा सकता है। / So the fraction can be reduced further by (2).
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप की मान्यता के विरुद्ध है। / This contradicts the lowest-form assumption.
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यदि \(\sqrt{3}\) की परिमेय मान्यता गलत सिद्ध हो जाती है, तो सही अंतिम निष्कर्ष क्या है?
If the rational assumption for \(\sqrt{3}\) is proved false, what is the correct final conclusion?
#sqrt3 conclusion
#contradiction
#class 10
A \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{3}\) is irrational
B \(\sqrt{3}\) परिमेय है / \(\sqrt{3}\) is rational
C \(\sqrt{3}=3\)
D (3) पूर्ण वर्ग है / (3) is a perfect square
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Correct Answer
A. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। / In contradiction, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
यदि परिमेय मान्यता गलत सिद्ध हो जाए, तो अपरिमेयता सही सिद्ध होती है। / If the rational assumption is proved false, irrationality is proved true.
Step 3
Exam Tip
इसलिए अंतिम निष्कर्ष \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / Therefore the final conclusion is that \(\sqrt{3}\) is irrational.
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कौन सा कथन \(\sqrt{5}\) को परिमेय बताने वाले गलत तर्क को सुधारता है?
Which statement corrects the wrong argument that \(\sqrt{5}\) is rational?
#sqrt5 misconception
#rational square root
#class 10
A (5) परिमेय है, पर उसका वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं / (5) is rational, but its square root need not be rational
B हर परिमेय संख्या का वर्गमूल पूर्णांक होता है / The square root of every rational number is an integer
C \(\sqrt{5}=5\) होता है / \(\sqrt{5}=5\)
D (5) पूर्ण वर्ग है / (5) is a perfect square
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Correct Answer
A. (5) परिमेय है, पर उसका वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं / (5) is rational, but its square root need not be rational
Step 1
Concept
(5) परिमेय संख्या है लेकिन पूर्ण वर्ग नहीं है। / (5) is rational but not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
पूर्ण वर्ग न होने के कारण \(\sqrt{5}\) परिमेय नहीं होता। / Since it is not a perfect square, \(\sqrt{5}\) is not rational.
Step 3
Exam Tip
संख्या और उसके वर्गमूल के प्रकार को अलग-अलग जांचें। / Check a number and its square root separately.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) की सिद्धि का सही अंतिम वाक्य है?
Which option is the correct final sentence of the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 final statement
#exam writing
#class 10
A यह हमारी मान्यता के विपरीत है, अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / This contradicts our assumption, hence \(\sqrt{2}\) is irrational
B अतः \(\sqrt{2}=2\) / Hence \(\sqrt{2}=2\)
C अतः (q=0) / Hence (q=0)
D अतः (p=q) / Hence (p=q)
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Correct Answer
A. यह हमारी मान्यता के विपरीत है, अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / This contradicts our assumption, hence \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
परिमेय मान्यता से (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं। / The rational assumption makes both (p) and (q) even.
Step 2
Why this answer is correct
यह सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। / This contradicts their being coprime.
Step 3
Exam Tip
इसलिए अंतिम वाक्य में विरोधाभास और अपरिमेयता दोनों लिखें। / So the final sentence should state both contradiction and irrationality.
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