कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की सिद्धि का सही क्रम देता है?
Which option gives the correct order of the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#sequence
#class 10
A परिमेय मानें, \(p^2=3q^2\) पाएं, (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य दिखाएं / Assume rational, get \(p^2=3q^2\), show both (p) and (q) divisible by (3)
B पहले (p=q) मानें, फिर (3=0) लिखें / First assume (p=q), then write (3=0)
C दशमलव मान लिखें और प्रमाण पूरा करें / Write decimal value and finish the proof
D \(\sqrt{3}=3\) मानें और वर्ग करें / Assume \(\sqrt{3}=3\) and square
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Correct Answer
A. परिमेय मानें, \(p^2=3q^2\) पाएं, (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य दिखाएं / Assume rational, get \(p^2=3q^2\), show both (p) and (q) divisible by (3)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न लिखते हैं। / Assume \(\sqrt{3}\) rational and write it in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने से \(p^2=3q^2\) मिलता है। / Squaring gives \(p^2=3q^2\).
Step 3
Exam Tip
अंत में दोनों में (3) साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास लिखा जाता है। / Finally, show common factor (3) in both and write the contradiction.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यदि (p=5k) और (q=5r) मिल जाएं, तो कौन सा निष्कर्ष सही है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), if (p=5k) and (q=5r) are obtained, which conclusion is correct?
#sqrt5 proof
#common factor
#contradiction
#class 10
A (p) और (q) का साझा गुणनखंड (5) है / (p) and (q) have common factor (5)
B \(\sqrt{5}=5\)
C (p) और (q) सहअभाज्य ही हैं / (p) and (q) are still coprime
D (q=0)
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Correct Answer
A. (p) और (q) का साझा गुणनखंड (5) है / (p) and (q) have common factor (5)
Step 1
Concept
(p=5k) का अर्थ है (p) (5) से विभाज्य है। / (p=5k) means (p) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(q=5r) का अर्थ है (q) भी (5) से विभाज्य है। / (q=5r) means (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
दोनों में साझा गुणनखंड (5) होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है। / Common factor (5) contradicts the coprime condition.
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यदि कोई विद्यार्थी \(\sqrt{2}\) को अपरिमेय सिद्ध करते समय केवल \(p^2=2q^2\) तक लिखकर रुक जाता है, तो प्रमाण क्यों अधूरा है?
If a student stops at only \(p^2=2q^2\) while proving \(\sqrt{2}\) irrational, why is the proof incomplete?
#incomplete proof
#sqrt2
#class 10
A क्योंकि अभी (p) और (q) दोनों सम दिखाकर विरोधाभास लिखना बाकी है / Because it still remains to show both (p) and (q) even and write contradiction
B क्योंकि \(p^2=2q^2\) गलत है / Because \(p^2=2q^2\) is wrong
C क्योंकि (q=0) लिखना बाकी है / Because (q=0) remains to be written
D क्योंकि \(\sqrt{2}=2\) लिखना बाकी है / Because \(\sqrt{2}=2\) remains to be written
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Correct Answer
A. क्योंकि अभी (p) और (q) दोनों सम दिखाकर विरोधाभास लिखना बाकी है / Because it still remains to show both (p) and (q) even and write contradiction
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) केवल मध्य चरण है। / \(p^2=2q^2\) is only a middle step.
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) और (q) दोनों सम दिखाने होते हैं। / From it, both (p) and (q) must be shown even.
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास लिखे बिना प्रमाण पूरा नहीं होता। / The proof is not complete without writing the coprime contradiction.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में \(p^2=3q^2\) से सीधे (q) (3) से विभाज्य क्यों नहीं कह सकते?
In the proof of \(\sqrt{3}\), why can we not directly say (q) is divisible by (3) from \(p^2=3q^2\)?
#sqrt3 proof
#proof order
#class 10
A क्योंकि पहले (p) के (3) से विभाज्य होने को सिद्ध कर (p=3k) रखना पड़ता है / Because first (p) must be proved divisible by (3) and (p=3k) must be substituted
B क्योंकि (q) कभी (3) से विभाज्य नहीं हो सकता / Because (q) can never be divisible by (3)
C क्योंकि (q=0) है / Because (q=0)
D क्योंकि (3) अभाज्य नहीं है / Because (3) is not prime
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Correct Answer
A. क्योंकि पहले (p) के (3) से विभाज्य होने को सिद्ध कर (p=3k) रखना पड़ता है / Because first (p) must be proved divisible by (3) and (p=3k) must be substituted
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से पहले \(p^2\) और फिर (p) (3) से विभाज्य मिलता है। / From \(p^2=3q^2\), first \(p^2\) and then (p) are found divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(p=3k) रखने के बाद ही \(q^2=3k^2\) मिलता है। / Only after substituting (p=3k) do we get \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
निष्कर्षों का क्रम सही रखना प्रमाण को मजबूत बनाता है। / Keeping the order correct makes the proof strong.
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कौन सा कथन \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में गलत है?
Which statement is wrong in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#error spotting
#class 10
A \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है / From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5)
B \(p^2\) (5) से विभाज्य है इसलिए (p) (5) से विभाज्य है / Since \(p^2\) is divisible by (5), (p) is divisible by (5)
C (p=5k) रखने पर \(p^2=25k^2\) / If (p=5k), then \(p^2=25k^2\)
D \(p^2=5q^2\) से सीधे (p=5q) / From \(p^2=5q^2\), directly (p=5q)
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Correct Answer
D. \(p^2=5q^2\) से सीधे (p=5q) / From \(p^2=5q^2\), directly (p=5q)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) (5) से विभाज्य है, लेकिन सीधे (p=5q) नहीं मिलता। / This gives (p) divisible by (5), but not directly (p=5q).
Step 3
Exam Tip
सही रूप (p=5k) है। / The correct form is (p=5k).
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तीनों प्रमाणों में (p) और (q) को सहअभाज्य क्यों लिया जाता है?
Why are (p) and (q) taken as coprime in all three proofs?
#coprime
#lowest form
#irrationality proof
#class 10
A क्योंकि परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है / Because a rational number is written as a fraction in lowest form
B क्योंकि (p) और (q) हमेशा बराबर होते हैं / Because (p) and (q) are always equal
C क्योंकि (q=0) होना चाहिए / Because (q) should be (0)
D क्योंकि (p) और (q) अपरिमेय होते हैं / Because (p) and (q) are irrational
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Correct Answer
A. क्योंकि परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है / Because a rational number is written as a fraction in lowest form
Step 1
Concept
परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जाती है। / A rational number is written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में इसे सरलतम रूप में लेते हैं, इसलिए (p) और (q) सहअभाज्य होते हैं। / In the proof, it is taken in lowest form, so (p) and (q) are coprime.
Step 3
Exam Tip
बाद में साझा गुणनखंड मिलने से यही शर्त टूटती है। / Later, a common factor breaks this condition.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में सही अंतर बताता है?
Which option correctly states a difference between the proofs of \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\)?
#proof comparison
#sqrt2 sqrt3
#class 10
A \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलता है, जबकि \(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) मिलता है / In \(\sqrt{2}\), common factor (2) is found, while in \(\sqrt{3}\), common factor (3) is found
B दोनों में साझा गुणनखंड (5) मिलता है / Common factor (5) is found in both
C दोनों में कोई विरोधाभास नहीं आता / No contradiction occurs in either
D \(\sqrt{2}\) में (3), \(\sqrt{3}\) में (2) मिलता है / In \(\sqrt{2}\), (3) is found; in \(\sqrt{3}\), (2) is found
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलता है, जबकि \(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) मिलता है / In \(\sqrt{2}\), common factor (2) is found, while in \(\sqrt{3}\), common factor (3) is found
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2=2q^2\) आता है, इसलिए (2) मुख्य है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), \(p^2=2q^2\) appears, so (2) is key.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2=3q^2\) आता है, इसलिए (3) मुख्य है। / In the proof of \(\sqrt{3}\), \(p^2=3q^2\) appears, so (3) is key.
Step 3
Exam Tip
मूल के अंदर की संख्या प्रमाण का गुणनखंड बनती है। / The number under the root becomes the proof factor.
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यदि \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानने से (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य सिद्ध होते हैं, तो यह किस बात से टकराता है?
If assuming \(\sqrt{5}\) rational proves both (p) and (q) divisible by (5), what does this contradict?
#sqrt5 proof
#lowest form
#contradiction
#class 10
A \(\frac{p}{q}\) के सरलतम रूप में होने से / \(\frac{p}{q}\) being in lowest form
B (5) के अभाज्य होने से / (5) being prime
C \(\sqrt{5}\) के धनात्मक होने से / \(\sqrt{5}\) being positive
D \(q\neq 0\) होने से / \(q\neq 0\)
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Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}\) के सरलतम रूप में होने से / \(\frac{p}{q}\) being in lowest form
Step 1
Concept
सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों (5) से विभाज्य हों तो साझा गुणनखंड (5) मिल जाता है। / If both are divisible by (5), common factor (5) exists.
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप से विरोधाभास बनाता है। / This contradicts lowest form.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं। इसे विरोधाभास क्यों कहा जाता है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), both (p) and (q) are found even. Why is this called a contradiction?
#sqrt2 contradiction
#even numbers
#class 10
A क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है, जबकि वे सहअभाज्य माने गए थे / Because both have common factor (2), while they were assumed coprime
B क्योंकि दोनों पूर्णांक हैं / Because both are integers
C क्योंकि दोनों धनात्मक हैं / Because both are positive
D क्योंकि दोनों भिन्न में हैं / Because both are in a fraction
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Correct Answer
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है, जबकि वे सहअभाज्य माने गए थे / Because both have common factor (2), while they were assumed coprime
Step 1
Concept
सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। / An even number is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड है। / If both are even, (2) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता। / Coprime numbers cannot have such a common factor.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता का सही संक्षिप्त प्रमाण विचार है?
Which option is the correct short proof idea for the irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#short proof
#class 10
A परिमेय मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं / Assuming rational makes both numerator and denominator divisible by (3)
B क्योंकि (3) पूर्ण वर्ग है / Because (3) is a perfect square
C क्योंकि \(\sqrt{3}=3\) / Because \(\sqrt{3}=3\)
D क्योंकि हर वर्गमूल परिमेय होता है / Because every square root is rational
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Correct Answer
A. परिमेय मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं / Assuming rational makes both numerator and denominator divisible by (3)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न में लिखते हैं। / Assume \(\sqrt{3}\) rational and write it in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण से अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। / The proof shows both numerator and denominator divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम भिन्न की शर्त से विरोधाभास है। / This contradicts the condition of a lowest-form fraction.
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