\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में \(p^2=5q^2\) मिलने के बाद (q) (5) से विभाज्य कब सिद्ध होता है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), after \(p^2=5q^2\), when is (q) proved divisible by (5)?
#sqrt5 proof
#proof order
#class 10
A (p=5k) रखकर \(q^2=5k^2\) मिलने के बाद / After substituting (p=5k) and getting \(q^2=5k^2\)
B सीधे \(p^2=5q^2\) देखकर / Directly by looking at \(p^2=5q^2\)
C (q=0) मानने के बाद / After assuming (q=0)
D \(\sqrt{5}=5\) लिखने के बाद / After writing \(\sqrt{5}=5\)
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Correct Answer
A. (p=5k) रखकर \(q^2=5k^2\) मिलने के बाद / After substituting (p=5k) and getting \(q^2=5k^2\)
Step 1
Concept
पहले \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य मिलता है। / First, from \(p^2=5q^2\), (p) is found divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
फिर (p=5k) रखने पर \(q^2=5k^2\) मिलता है। / Then substituting (p=5k) gives \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
तब (q) के (5) से विभाज्य होने का निष्कर्ष आता है। / Then (q) is concluded divisible by (5).
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यदि \(a^2=2b^2\) और (a=2k), तो \(b^2\) के बारे में क्या सही है?
If \(a^2=2b^2\) and (a=2k), what is true about \(b^2\)?
#sqrt2 proof
#b square
#medium
#class 10
A \(b^2=2k^2\)
B \(b^2=4k^2\)
C \(b^2=k^2\)
D \(b^2=8k^2\)
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Correct Answer
A. \(b^2=2k^2\)
Step 1
Concept
(a=2k) रखने पर \(a^2=4k^2\) होगा। / If (a=2k), then \(a^2=4k^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4k^2=2b^2\) से \(b^2=2k^2\) मिलता है। / From \(4k^2=2b^2\), we get \(b^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
इससे \(b^2\) सम और (b) सम सिद्ध होता है। / This proves \(b^2\) and then (b) are even.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) तीनों के प्रमाणों में समान है?
Which option is common in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#common method
#contradiction
#class 10
A तीनों में पहले संख्या को परिमेय मानते हैं / In all three, the number is first assumed rational
B तीनों में (q=0) मानते हैं / In all three, (q=0) is assumed
C तीनों में वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर लिखते हैं / In all three, the square root is written equal to the number inside
D तीनों में दशमलव से प्रमाण पूरा करते हैं / In all three, the proof is completed by decimals
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Correct Answer
A. तीनों में पहले संख्या को परिमेय मानते हैं / In all three, the number is first assumed rational
Step 1
Concept
तीनों प्रमाण विरोधाभास विधि पर आधारित हैं। / All three proofs are based on contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए शुरुआत में संख्या को परिमेय मानते हैं। / So the number is first assumed rational.
Step 3
Exam Tip
फिर इसी मान्यता से असंभव साझा गुणनखंड मिलता है। / Then this assumption leads to an impossible common factor.
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एक विद्यार्थी ने लिखा \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), इसलिए \(3=\frac{p}{q}\)। गलती क्या है?
A student writes \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), so \(3=\frac{p}{q}\). What is the mistake?
#sqrt3 proof
#common error
#squaring
#class 10
A दोनों ओर वर्ग नहीं किया गया / Both sides were not squared
B हर को शून्य माना गया / The denominator was assumed zero
C (p) और (q) को पूर्णांक माना गया / (p) and (q) were assumed integers
D \(\sqrt{3}\) को ऋणात्मक माना गया / \(\sqrt{3}\) was assumed negative
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Correct Answer
A. दोनों ओर वर्ग नहीं किया गया / Both sides were not squared
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) से (3) पाने के लिए दोनों ओर वर्ग करना होता है। / To get (3) from \(\sqrt{3}\), both sides must be squared.
Step 2
Why this answer is correct
सही रूप \(3=\frac{p^2}{q^2}\) होगा, \(3=\frac{p}{q}\) नहीं। / The correct form is \(3=\frac{p^2}{q^2}\), not \(3=\frac{p}{q}\).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल हटाते समय दोनों ओर वर्ग अवश्य करें। / Always square both sides to remove a square root.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लेने का अर्थ क्या है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), what does taking \(\frac{p}{q}\) in lowest form mean?
#lowest form
#gcd
#sqrt5 proof
#class 10
A (p) और (q) का महत्तम समापवर्तक (1) है / The greatest common divisor of (p) and (q) is (1)
B (p=q) है / (p=q)
C (q=0) है / (q=0)
D (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (5)
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Correct Answer
A. (p) और (q) का महत्तम समापवर्तक (1) है / The greatest common divisor of (p) and (q) is (1)
Step 1
Concept
सरलतम रूप में भिन्न को और घटाया नहीं जा सकता। / In lowest form, a fraction cannot be reduced further.
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि (p) और (q) का महत्तम समापवर्तक (1) है। / This means the greatest common divisor of (p) and (q) is (1).
Step 3
Exam Tip
बाद में दोनों में (5) मिलना इसी बात से विरोधाभास बनाता है। / Later finding (5) in both contradicts this.
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (2) के गुणनखंड की भूमिका सही बताता है?
Which statement correctly tells the role of factor (2) in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#factor 2
#class 10
A यह (p) और (q) दोनों में साझा गुणनखंड बनकर विरोधाभास देता है / It becomes a common factor of both (p) and (q) and gives contradiction
B यह (q=0) बना देता है / It makes (q=0)
C यह \(\sqrt{2}=2\) सिद्ध करता है / It proves \(\sqrt{2}=2\)
D यह (p=q) सिद्ध करता है / It proves (p=q)
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Correct Answer
A. यह (p) और (q) दोनों में साझा गुणनखंड बनकर विरोधाभास देता है / It becomes a common factor of both (p) and (q) and gives contradiction
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से पहले (p) में (2) का गुणनखंड आता है। / From \(p^2=2q^2\), factor (2) first appears in (p).
Step 2
Why this answer is correct
बाद में (q) में भी (2) का गुणनखंड मिलता है। / Later factor (2) also appears in (q).
Step 3
Exam Tip
दोनों में (2) साझा होना सहअभाज्य शर्त से टकराता है। / Common factor (2) contradicts the coprime condition.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में यदि (p=3k) है, तो \(p^2\) का सही मान कौन सा है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), if (p=3k), what is the correct value of \(p^2\)?
#sqrt3 proof
#algebra
#squaring
#class 10
A \(3k^2\)
B \(6k^2\)
C \(9k^2\)
D \(k^2+3\)
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Correct Answer
C. \(9k^2\)
Step 1
Concept
(p=3k) दिया है। / We have (p=3k).
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने पर (p-2 =(3k)2 =9k-2 )। / Squaring gives (p-2 =(3k)2 =9k-2 ).
Step 3
Exam Tip
गुणांक (3) का भी वर्ग (9) करना जरूरी है। / The coefficient (3) must also be squared to (9).
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में सही अंतिम कारण देता है?
Which option gives the correct final reason in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#final reason
#class 10
A (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं, इसलिए वे सहअभाज्य नहीं हो सकते / Both (p) and (q) are divisible by (5), so they cannot be coprime
B (5) धनात्मक है, इसलिए \(\sqrt{5}\) परिमेय है / (5) is positive, so \(\sqrt{5}\) is rational
C \(q\neq 0\), इसलिए विरोधाभास है / \(q\neq 0\), so it is a contradiction
D (p) और (q) पूर्णांक हैं, इसलिए विरोधाभास है / (p) and (q) are integers, so it is a contradiction
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Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं, इसलिए वे सहअभाज्य नहीं हो सकते / Both (p) and (q) are divisible by (5), so they cannot be coprime
Step 1
Concept
प्रमाण में (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। / In the proof, both (p) and (q) are found divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि उनका साझा गुणनखंड (5) है। / This means their common factor is (5).
Step 3
Exam Tip
यह सहअभाज्य होने की शर्त को तोड़ता है। / This breaks the condition of being coprime.
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यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो कौन सी बात असंभव है?
If (p) and (q) are coprime, which situation is impossible?
#coprime definition
#proof logic
#class 10
A दोनों में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड होना / Having a common factor other than (1)
B दोनों का पूर्णांक होना / Both being integers
C \(q\neq 0\) होना / Having \(q\neq 0\)
D दोनों का भिन्न में आना / Both appearing in a fraction
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Correct Answer
A. दोनों में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड होना / Having a common factor other than (1)
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं की परिभाषा है कि उनका साझा गुणनखंड केवल (1) हो। / Coprime numbers are defined as having only (1) as common factor.
Step 2
Why this answer is correct
(1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड मिलना असंभव है। / Finding any common factor other than (1) is impossible.
Step 3
Exam Tip
अपरिमेयता की सिद्धि इसी असंभव स्थिति को दिखाती है। / Irrationality proofs show exactly this impossible situation.
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\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानने पर \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) लिखा। यदि अंत में (p) और (q) दोनों सम हैं, तो सही निष्कर्ष कौन सा है?
After assuming \(\sqrt{2}\) rational, \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) is written. If finally both (p) and (q) are even, what is the correct conclusion?
#sqrt2 conclusion
#contradiction
#class 10
A \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{2}\) is irrational
B \(\sqrt{2}\) परिमेय है / \(\sqrt{2}\) is rational
C \(\sqrt{2}=2\)
D (q=0)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
(p) और (q) को शुरू में सहअभाज्य माना गया था। / (p) and (q) were assumed coprime at the start.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सम होना साझा गुणनखंड (2) दिखाता है। / Both even shows common factor (2).
Step 3
Exam Tip
यह विरोधाभास है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / This is a contradiction, so \(\sqrt{2}\) is irrational.
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