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बहुपद को गुणनखंडित करने पर \(p(x)=(x-1)(x-3)\) मिलता है। यह दोनों मूलों 1 और 3 के बीच ऋणात्मक होता है, अर्थात \(1<x<3\)। दिए गए विकल्पों में केवल \(x=2\) इस अंतराल में है। अतः सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात बहुपद के दो सरल मूलों के बीच चिन्ह सामान्यतः मूलों के बाहर के चिन्ह के विपरीत होता है। / Factoring gives \(p(x)=(x-1)(x-3)\). The product is negative between its two roots, so \(p(x)<0\) when \(1<x<3\). Among the given choices, only \(x=2\) lies in this interval. Hence, option A is correct. Exam tip: For a quadratic with a positive leading coefficient, the expression is negative between two distinct real roots and positive outside them.
\(\alpha+\beta=12\) और \(\alpha\beta=35\) हैं। \(\frac{1}{\alpha-1}+\frac{1}{\beta-1}=\frac{\alpha+\beta-2}{\alpha\beta-\alpha-\beta+1}=\frac{10}{24}=\frac{5}{12}\)। / \(\alpha+\beta=12\) and \(\alpha\beta=35\). \(\frac{1}{\alpha-1}+\frac{1}{\beta-1}=\frac{\alpha+\beta-2}{\alpha\beta-\alpha-\beta+1}=\frac{10}{24}=\frac{5}{12}\).
योग \(\frac{7}{2}\) और गुणनफल \(\frac{5}{2}\) है। उनका अंतर \(\frac{7}{2}-\frac{5}{2}=1\) है। / The sum is \(\frac{7}{2}\) and the product is \(\frac{5}{2}\). Their difference is \(\frac{7}{2}-\frac{5}{2}=1\).
\(\alpha+\beta=9\) और \(\alpha\beta=20\) हैं। (\(\alpha+2\)\(\beta+2\)=\alpha\beta+2\(\alpha+\beta\)+4=20+18+4=42)। / \(\alpha+\beta=9\) and \(\alpha\beta=20\). (\(\alpha+2\)\(\beta+2\)=\alpha\beta+2\(\alpha+\beta\)+4=20+18+4=42).
\(\alpha+\beta=\frac{5}{2}\) और \(\alpha\beta=-\frac{3}{2}\) हैं। (\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta}{\alpha\beta}=-\frac{37}{6})। / \(\alpha+\beta=\frac{5}{2}\) and \(\alpha\beta=-\frac{3}{2}\). (\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta}{\alpha\beta}=-\frac{37}{6}).
शून्यकों का गुणनफल (2\cdot(-3)=-6) है और यह \(\frac{c}{a}\) के बराबर होता है। गुणनफल में संकेत पर विशेष ध्यान दें। / The product of zeroes is (2\cdot(-3)=-6), and it equals \(\frac{c}{a}\). Pay special attention to the sign in products.
यहाँ \(\alpha+\beta=\frac{10}{3}\) और \(\alpha\beta=\frac{7}{3}\) हैं। इसलिए (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=\frac{100}{9}-\frac{14}{3}=\frac{58}{9})। / Here \(\alpha+\beta=\frac{10}{3}\) and \(\alpha\beta=\frac{7}{3}\). Hence (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=\frac{100}{9}-\frac{14}{3}=\frac{58}{9}).
A. यह हर वास्तविक (m) के लिए सही है/It is true for every real (m)
Explanation
Simple Explanation
योग (4+m) और गुणनफल (4m) हैं, जो दिए बहुपद से मिलते हैं। इसलिए कथन हर वास्तविक (m) के लिए सही है। / The sum (4+m) and product (4m) match the given polynomial. Therefore the statement is true for every real (m).
द्विघात बहुपद \(ax^2+bx+c\) के शून्यकों का योग \(-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ यह योग \(-\frac{-10}{1}=10\) है। अतः यदि एक शून्यक \(4\) है, तो दूसरा शून्यक \(10-4=6\) होगा। विकल्प B में दिए गए \(4\) को ही दोहराया गया है, जबकि परीक्षा में शून्यकों के योग का उपयोग करना चाहिए। / For a quadratic polynomial \(ax^2+bx+c\), the sum of its zeroes is \(-\frac{b}{a}\). Here, the sum is \(-\frac{-10}{1}=10\). Therefore, if one zero is \(4\), the other zero is \(10-4=6\). The value \(4\) is only the given zero, not the other one. Exam tip: use the sum-of-zeroes formula directly when one zero is known.
यदि शून्यक 8-19 और 849 हों, तो संबंधित बहुपद 8x+198x-49 होता है। इसका विस्तार \(x^2-3x-4\) है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B के शून्यक 1 और -4 हैं, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: शून्यक alpha और beta दिए हों, तो द्विघात बहुपद का रूप \(x^2-\u0008alpha+beta\u0009x+\u0008alphabeta\u0009\) लें। / For zeroes 8-19 and 849, the polynomial is formed as 8x+198x-49. Expanding it gives \(x^2-3x-4\), so option A is correct. Option B has zeroes 1 and -4, so it is not correct. Exam tip: for zeroes \(\alpha\) and \(\beta\), use the monic quadratic form \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\).
शून्यकों का योग \(4+(-5)=-1\) है। द्विघात बहुपद \(x^2+px+q\) के लिए शून्यकों का योग \(-p\) होता है, इसलिए \(-p=-1\), अर्थात् \(p=1\)। शून्यकों का गुणनफल \(4\times(-5)=-20\) है, इसलिए \(q=-20\)। अतः \(p+q=1-20=-19\)। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+px+q\) में शून्यकों का योग \(-p\) और गुणनफल \(q\) याद रखें। / The sum of the zeroes is \(4+(-5)=-1\). For the quadratic polynomial \(x^2+px+q\), the sum of the zeroes is \(-p\), so \(-p=-1\) and hence \(p=1\). Their product is \(4\times(-5)=-20\), giving \(q=-20\). Therefore, \(p+q=1-20=-19\). Exam tip: For \(x^2+px+q\), remember that the sum of zeroes is \(-p\) and their product is \(q\).
बहुपद को गुणनखंडित करने पर x³ − 6x² + 11x − 6 = (x − 1)(x − 2)(x − 3) मिलता है। प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर x = 1, 2, 3 प्राप्त होते हैं, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में सभी चिह्न गलत हैं। परीक्षा-युक्ति: गुणनखंड (x − a) होने पर a संबंधित शून्यक होता है। / Factoring the polynomial gives x³ − 6x² + 11x − 6 = (x − 1)(x − 2)(x − 3). Setting each factor equal to zero gives x = 1, 2, 3, so option A is correct. Option B has the wrong signs for all the zeroes. Exam tip: whenever (x − a) is a factor, a is the corresponding zero.
शून्यकों का योग (3+k) है और बहुपद से योग (k+2) है, अतः (3+k=k+2) असंभव है। इसलिए दिए गए विकल्पों में कोई नहीं होना चाहिए, यह अवधारणा जाँचने वाला जाल है। / The sum of zeroes is (3+k), while the polynomial gives sum (k+2), so (3+k=k+2) is impossible. This is a conceptual trap.
शून्यक (2) और (5) होने पर बहुपद ((x-2)(x-5)=x-2-7x+10) है। मोनिक बहुपद में \(x^2\) का गुणांक (1) होता है। / With zeroes (2) and (5), the polynomial is ((x-2)(x-5)=x-2-7x+10). A monic polynomial has leading coefficient (1).
\(\alpha+\beta=6\) और (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) होता है। इसलिए (20=36-2k) से (k=8) मिलता है। / Here \(\alpha+\beta=6\) and (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta). So (20=36-2k), giving (k=8).
A. \((x-1)\) और \((x-2)\) दोनों गुणनखंड हैं/Both \((x-1)\) and \((x-2)\) are factors
Explanation
Simple Explanation
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि \(p(a)=0\), तो \((x-a)\) बहुपद का गुणनखंड होता है। यहाँ \(p(1)=1-7+6=0\) और \(p(2)=8-14+6=0\)। इसलिए \((x-1)\) और \((x-2)\) दोनों गुणनखंड हैं। परीक्षा-टिप: किसी रैखिक व्यंजक \((x-a)\) के गुणनखंड होने की जाँच के लिए सीधे \(p(a)\) का मान निकालें। / By the Factor Theorem, if \(p(a)=0\), then \((x-a)\) is a factor of the polynomial. Here, \(p(1)=1-7+6=0\) and \(p(2)=8-14+6=0\). Therefore, both \((x-1)\) and \((x-2)\) are factors. Exam tip: To test whether \((x-a)\) is a factor, evaluate \(p(a)\) directly.
A. दोनों शून्यक \(\frac{3}{2}\) हैं/Both zeroes are \(\frac{3}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
बहुपद को गुणनखंडित करने पर \(4x^2-12x+9=(2x-3)^2\) प्राप्त होता है। इसलिए \(2x-3=0\), अर्थात् \(x=\frac{3}{2}\), और यह शून्यक दोहराया गया है; अतः दोनों शून्यक \(\frac{3}{2}\) हैं। विकल्प C गलत है क्योंकि इसमें दो अलग-अलग शून्यक माने गए हैं। परीक्षा-युक्ति: यदि द्विघात बहुपद पूर्ण वर्ग हो या उसका विविक्तकर शून्य हो, तो उसके दोनों शून्यक समान होते हैं। / Factoring gives \(4x^2-12x+9=(2x-3)^2\). Hence \(2x-3=0\), so \(x=\frac{3}{2}\), and this zero is repeated; therefore, both zeroes are \(\frac{3}{2}\). Option C is incorrect because it treats the zeroes as two distinct values. Exam tip: A quadratic polynomial that is a perfect square, or has discriminant zero, has equal zeroes.
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)) होता है। यहां \(\alpha\beta=-10\) और \(\alpha+\beta=3\), इसलिए मान (-30) है। / (\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)). Here \(\alpha\beta=-10\) and \(\alpha+\beta=3\), so the value is (-30).
विएटा के सूत्र के अनुसार \(\alpha+\beta=8\), क्योंकि बहुपद का \(x\) का गुणांक \(-8\) है। दिया है कि \(\alpha-\beta=2\)। दोनों समीकरण जोड़ने पर \(2\alpha=10\), अतः \(\alpha=5\) और \(\beta=3\)। फिर \(\alpha\beta=k\), इसलिए \(k=5\times3=15\)। परीक्षा-युक्ति: एकक अग्रणी वाले \(x^2+bx+c\) में शून्यकों का गुणनफल सदैव \(c\) होता है; इसलिए 16 सही नहीं है। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=8\), since the coefficient of \(x\) is \(-8\). We are also given that \(\alpha-\beta=2\). Adding the two equations gives \(2\alpha=10\), so \(\alpha=5\) and \(\beta=3\). For \(x^2-8x+k\), the product of the zeroes is \(\alpha\beta=k\). Hence, \(k=5\times3=15\). Exam tip: In a monic quadratic \(x^2+bx+c\), the product of the zeroes is \(c\), so 16 is not correct.
शून्यक (t) और (3t) मानें, तो \(3t^2=9\) से \(t=\sqrt{3}\) है। योग \(4\sqrt{3}\) है इसलिए \(k=-4\sqrt{3}\)। / Let the zeroes be (t) and (3t), so \(3t^2=9\) gives \(t=\sqrt{3}\). The sum is \(4\sqrt{3}\), hence \(k=-4\sqrt{3}\).
\(\alpha+\beta=4\) और \(\alpha\beta=1\) है। (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)=64-12=52)। / \(\alpha+\beta=4\) and \(\alpha\beta=1\). (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)=64-12=52).
विएटा के संबंधों के अनुसार, �(alpha+beta=7) और �(alphabeta=10)। अतः �(alpha-2+beta-2=(alpha+beta)2-2alphabeta=72-2(10)=49-20=29)। इसलिए सही उत्तर 29 है। परीक्षा-युक्ति: �\(x^2+bx+c\) में शून्यकों का योग �(-b) और गुणनफल �(c) होता है। / By Vieta’s relations, �(alpha+beta=7) and �(alphabeta=10). Therefore, �(alpha-2+beta-2=(alpha+beta)2-2alphabeta=72-2(10)=49-20=29)। Hence, the correct answer is 29. Exam tip: For �\(x^2+bx+c\), the sum of zeroes is �(-b) and their product is �(c).
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) है। यहां \(\frac{3}{2}\div-\frac{5}{2}=-\frac{3}{5}\)। / \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here \(\frac{3}{2}\div-\frac{5}{2}=-\frac{3}{5}\).
द्विघात बहुपद \(x^2+ax+b\) के लिए शून्यकों का योग \(-a\) और गुणनफल \(b\) होता है। यहाँ \(4+(-7)=-3\), इसलिए \(-a=-3\) से \(a=3\)। साथ ही, \(b=4\times(-7)=-28\)। अतः \(a-b=3-(-28)=31\), इसलिए विकल्प B सही है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+px+q\) में शून्यकों का योग हमेशा \(-p\) और गुणनफल \(q\) होता है। / For a quadratic polynomial \(x^2+ax+b\), the sum of the zeroes is \(-a\) and their product is \(b\). Here, \(4+(-7)=-3\), so \(-a=-3\) and hence \(a=3\). Also, \(b=4\times(-7)=-28\). Therefore, \(a-b=3-(-28)=31\), so option B is correct. Exam tip: In \(x^2+px+q\), the sum of the zeroes is \(-p\), while their product is \(q\).
यदि शून्यक \(\alpha=\frac{2}{3}\) और \(\beta=-\frac{5}{4}\) हैं, तो \(\alpha+\beta=-\frac{7}{12}\) तथा \(\alpha\beta=-\frac{5}{6}\)। द्विघात बहुपद \(ax^2+bx+c\) के लिए शून्यकों का योग \(-\frac{b}{a}\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। विकल्प A में ये दोनों मान \(-\frac{7}{12}\) और \(-\frac{5}{6}\) हैं, इसलिए यह सही है। विकल्प B में मध्य पद का चिह्न गलत होने से शून्यकों का योग बदल जाता है। परीक्षा-युक्ति: पहले शून्यकों का योग और गुणनफल निकालकर विकल्पों से मिलाएँ। / For zeroes \(\alpha=\frac{2}{3}\) and \(\beta=-\frac{5}{4}\), their sum is \(-\frac{7}{12}\) and their product is \(-\frac{5}{6}\). For a quadratic polynomial \(ax^2+bx+c\), the sum of zeroes is \(-\frac{b}{a}\) and their product is \(\frac{c}{a}\). Option A gives exactly these two values, so it is correct. In option B, the sign of the middle term is wrong, which changes the sum of the zeroes. Exam tip: calculate the sum and product of the given zeroes first, then compare them with the options.
दिया गया बहुपद \(p(x)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\) है। इसलिए \(p(2)=0\) और \(p(3)=0\), क्योंकि 2 और 3 इसके शून्यक हैं। अतः \(p(2)+p(3)=0+0=0\)। परीक्षा-युक्ति: यदि किसी बहुपद के शून्यक दिए हों, तो उन मानों पर बहुपद का मान सीधे 0 लिया जा सकता है। / The polynomial \(p(x)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\). Therefore, \(p(2)=0\) and \(p(3)=0\), since 2 and 3 are its zeroes. Hence, \(p(2)+p(3)=0+0=0\). Exam tip: If a number is a zero of a polynomial, the value of the polynomial at that number is directly 0.
A. \(9+\sqrt{7}\) और \(9-\sqrt{7}\)/\(9+\sqrt{7}\) and \(9-\sqrt{7}\)
Explanation
Simple Explanation
\(9+\sqrt{7}\) और \(9-\sqrt{7}\) का योग (18) और गुणनफल (81-7=74) है। परीक्षा में विकल्पों का योग और गुणनफल दोनों जांचें। / The sum of \(9+\sqrt{7}\) and \(9-\sqrt{7}\) is (18), and the product is (81-7=74). In exams check both sum and product of options.
B. \(5+\sqrt{5}\) और \(5-\sqrt{5}\)/\(5+\sqrt{5}\) and \(5-\sqrt{5}\)
Explanation
Simple Explanation
\(5+\sqrt{5}\) और \(5-\sqrt{5}\) का योग (10) और गुणनफल (25-5=20) है इसलिए यह भी नहीं है। सही युग्म (5+2) और (5-2) परिमेय होगा इसलिए दिए विकल्पों में कोई नहीं। / The pair \(5+\sqrt{5}\) and \(5-\sqrt{5}\) has sum (10) and product (20) so it also fails. The pair (5+2) and (5-2) would be rational so none of the given options fits.
गुणनफल \(k^2-5=20\) से \(k^2=25\) और धनात्मक (k=5) है। परीक्षा में गुणनफल से अज्ञात निकालें। / From the product \(k^2-5=20\) we get \(k^2=25\) and positive (k=5). In exams find the unknown from the product.
\(\alpha+\beta=14\) और \(\alpha\beta=43\) है इसलिए (\alpha-2+\beta-2=(14)2-2(43)=110)। परीक्षा में पहचान (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) लगाएं। / \(\alpha+\beta=14\) and \(\alpha\beta=43\) so (\alpha-2+\beta-2=(14)2-2(43)=110). In exams use (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta).
