Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
योग (12) और गुणनफल (36-5=31) है। परीक्षा में संयुग्मी जोड़े का योग और गुणनफल अलग निकालें। / The sum is (12) and the product is (36-5=31). In exams find the sum and product of conjugate pairs separately.
शून्यकों का योग \((2+\sqrt{10})+(2-\sqrt{10})=4\) और गुणनफल \((2+\sqrt{10})(2-\sqrt{10})=2^2-(\sqrt{10})^2=4-10=-6\) है। एक प्रमुखांकन \(1\) वाले द्विघात का सामान्य रूप \(x^2-(\text{योग})x+\text{गुणनफल}\) होता है, अतः बहुपद \(x^2-4x-6\) होगा। निकटवर्ती भ्रामक विकल्पों में से \(x^2-4x+6\) गलत है क्योंकि इसका स्थिर पद +6 है न कि -6; \(x^2+4x-6\) गलत है क्योंकि इसका गुणनफल सही पर योग का चिह्न उलटा है; \(x^2-2x-10\) में न तो योग न ही गुणनफल मेल खाते हैं। परीक्षा-सुझाव: शून्यकों का योग और गुणनफल पहले निकालें और तुरंत \(x^2-(\text{sum})x+\text{product}\) लगाएँ। / The sum of zeros is \((2+\sqrt{10})+(2-\sqrt{10})=4\) and the product is \((2+\sqrt{10})(2-\sqrt{10})=4-10=-6\). For a monic quadratic the polynomial is \(x^2-(\text{sum})x+\text{product}\), so \(x^2-4x-6\) is correct. Closest distractors fail because: \(x^2-4x+6\) has the wrong constant term (+6 instead of -6), \(x^2+4x-6\) has the wrong sign for the linear term, and \(x^2-2x-10\) has neither sum nor product matching. Exam tip: compute sum and product first and form \(x^2-({\text{sum}})x+{\text{product}}\).
गुणनफल (\(3+\sqrt{2}\)\(3-\sqrt{2}\)=9-2=7) है, इसलिए (k=7) होगा। परीक्षा में स्थिर पद को शून्यकों के गुणनफल से जोड़ें। / The product (\(3+\sqrt{2}\)\(3-\sqrt{2}\)=9-2=7), so (k=7). In exams connect the constant term with the product of zeroes.
गुणनफल \(k^2-7=9\) से \(k^2=16\) मिलता है और दिए रूप में (k=4) उपयुक्त है। परीक्षा में गुणनफल से अज्ञात निकालें। / From the product \(k^2-7=9\), we get \(k^2=16\), and (k=4) fits the given form. In exams use the product to find the unknown.
A. \(4+\sqrt{5}\) और \(4-\sqrt{5}\)/\(4+\sqrt{5}\) and \(4-\sqrt{5}\)
Explanation
Simple Explanation
\(4+\sqrt{5}\) और \(4-\sqrt{5}\) का योग (8) और गुणनफल (16-5=11) है। परीक्षा में विकल्पों का योग और गुणनफल जांचें। / The sum of \(4+\sqrt{5}\) and \(4-\sqrt{5}\) is (8), and the product is (16-5=11). In exams check the sum and product of options.
\(\alpha+\beta=8\) और \(\alpha\beta=16-15=1\), इसलिए कुल (9) है। परीक्षा में योग और गुणनफल अलग-अलग निकालें। / \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=16-15=1\), so the total is (9). In exams find the sum and product separately.
योग (6) और गुणनफल (7) है, इसलिए बहुपद \(x^2-6x+7\) है। \(परीक्षा में (x^2-(\)योग)x+गुणनफल) प्रयोग करें। \(/ The sum is (6) and the product is (7), so the polynomial is (x^2-6x+7). In exams use (x^2-(\)sum)x+product).
(p(x)=x\(x-\sqrt{5}\)), इसलिए शून्यक (0) और \(\sqrt{5}\) हैं। परीक्षा में सामान्य गुणनखंड निकालना तेज तरीका है। / (p(x)=x\(x-\sqrt{5}\)), so the zeroes are (0) and \(\sqrt{5}\). Taking the common factor is a fast method in exams.
योग \(1+\sqrt{3}\) और गुणनफल \(\sqrt{3}\) है, इसलिए शून्यक (1) और \(\sqrt{3}\) हैं। परीक्षा में \(x^2-Sx+P\) से तुलना करें। / The sum is \(1+\sqrt{3}\) and the product is \(\sqrt{3}\), so the zeroes are (1) and \(\sqrt{3}\). Compare with \(x^2-Sx+P\) in exams.
दो शून्यकों का योग है \((3+\sqrt{5})+(3-\sqrt{5})=3+3+\sqrt{5}-\sqrt{5}=6\)। संयुग्मी अपरिमेयों में वर्गमूल भाग एक दूसरे को रद्द कर देता है, इसलिए केवल परिमेय भागों का योग बचता है। नज़दीकी भ्रम (विकल्प D = 10) तब हो सकता है जब छात्र वर्गमूल भागों को गलत तरीके से जोड़कर या दोगुना करके गणना कर लें; वस्तुतः गुणनफल \((3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})=9-5=4\) होता है, जो अलग बात है। परीक्षा-सुझाव: संयुग्मी रूपों में हमेशा पहले परिमेय भागों को जोड़ें — वर्गमूल भाग आपस में कट जाते हैं। / Compute the sum: \((3+\sqrt{5})+(3-\sqrt{5})=3+3+\sqrt{5}-\sqrt{5}=6\). For conjugate irrational roots the radical parts cancel, leaving the sum of the rational parts. A common wrong choice (option D = 10) results from incorrectly adding or double-counting the radical terms; note that the product of the roots is \((3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})=9-5=4\), which is a different quantity. Exam tip: When roots are conjugates, add the rational parts first — the square-root terms cancel out.
A. \(-\sqrt{7}+1\) और \(-\sqrt{7}-1\)/\(-\sqrt{7}+1\) and \(-\sqrt{7}-1\)
Explanation
Simple Explanation
सूत्र से \(x=\frac{-2\sqrt{7}\pm2}{2}=-\sqrt{7}\pm1\)। पहले विविक्तकर सरल करने से उत्तर साफ मिलता है। / Using the formula, \(x=\frac{-2\sqrt{7}\pm2}{2}=-\sqrt{7}\pm1\). Simplifying the discriminant first gives a clean answer.
किसी द्विघात बहुपद \(ax^2+bx+c\) के शून्यकों का योग \(-b/a\) और गुणनफल \(c/a\) होता है। यहाँ \(a=1,\; b=-(3+\sqrt{2}),\; c=3\sqrt{2}\)। अतः शून्यकों का योग \(3+\sqrt{2}\) और गुणनफल \(3\sqrt{2}\) आता है। यह योग और गुणनफल केवल शून्यकों 3 और \(\sqrt{2}\) के साथ मेल खाते हैं, इसलिए शून्यक \(3\) तथा \(\sqrt{2}\) होंगे। निकटतम भ्रमित विकल्प \((3+\sqrt{2},0)\) गलत है क्योंकि उसका गुणनफल 0 होगा, जो \(3\sqrt{2}\) से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: तुरंत योग और गुणनफल निकालकर संभावित युग्मों की जाँच करें या सीधे \((x-3)(x-\sqrt{2})\) के रूप में फैक्टर करके सत्यापित करें। / For a quadratic \(ax^2+bx+c\), the sum of roots is \(-b/a\) and the product is \(c/a\). Here \(a=1,\; b=-(3+\sqrt{2}),\; c=3\sqrt{2}\). So sum = \(3+\sqrt{2}\) and product = \(3\sqrt{2}\). These match the pair 3 and \(\sqrt{2}\), hence the zeros are 3 and \(\sqrt{2}\). The closest distractor \((3+\sqrt{2},0)\) is wrong because its product would be 0, not \(3\sqrt{2}\). Exam tip: verify roots quickly by checking sum and product or by factoring to \((x-3)(x-\sqrt{2})\).
\(\alpha+\beta=2\) और \(\alpha\beta=-11\), इसलिए (\alpha-2+\beta-2+\alpha\beta=\(\alpha+\beta\)2-\alpha\beta=4+11=15)। सममित व्यंजकों में योग और गुणनफल काफी होते हैं। / \(\alpha+\beta=2\) and \(\alpha\beta=-11\), so (\alpha-2+\beta-2+\alpha\beta=\(\alpha+\beta\)2-\alpha\beta=4+11=15). Sum and product are enough for symmetric expressions.
गुणनफल \(ab=\sqrt{2}\cdot\sqrt{18}=\sqrt{36}=6\) है। मूलों के गुणन में पहले अंदर के गुणनफल को सरल करें। / The product is \(ab=\sqrt{2}\cdot\sqrt{18}=\sqrt{36}=6\). In radical multiplication, simplify the product inside the root first.
सूत्र से \(x=\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{12+4}}{2}=\sqrt{3}\pm2\)। \(\sqrt{16}=4\) को ध्यान से सरल करें। / Using the formula, \(x=\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{12+4}}{2}=\sqrt{3}\pm2\). Simplify \(\sqrt{16}=4\) carefully.
सूत्र से \(x=\frac{8\pm\sqrt{64-8}}{4}=2\pm\frac{\sqrt{14}}{2}\) है। हर से भाग देते समय पूरे अंश को बाँटें। / By the formula, \(x=\frac{8\pm\sqrt{64-8}}{4}=2\pm\frac{\sqrt{14}}{2}\). Divide the whole numerator by the denominator carefully.
\(\alpha+\beta=4\) और \(\alpha\beta=-1\), इसलिए \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{4}{-1}=-4\)। पहले योग और गुणनफल निकालें। / \(\alpha+\beta=4\) and \(\alpha\beta=-1\), so \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{4}{-1}=-4\). Find sum and product first.
A. \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{7}\)/\(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{7}\)
Explanation
Simple Explanation
योग \(\sqrt{5}+\sqrt{7}\) और गुणनफल \(\sqrt{35}\) है। ये दोनों \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{7}\) से मिलते हैं। / The sum is \(\sqrt{5}+\sqrt{7}\) and the product is \(\sqrt{35}\). Both match \(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{7}\).
\(\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3}\) होता है। शून्यक सरल करते समय वर्ग गुणनखंड बाहर निकालें। / \(\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3}\). While simplifying zeroes, take square factors outside the radical.
A. (p(x)) के शून्यक परिमेय हैं और (q(x)) के अपरिमेय वास्तविक हैं/Zeroes of (p(x)) are rational and zeroes of (q(x)) are irrational real
Explanation
Simple Explanation
(p(x)) के लिए (D=196-180=16), जबकि (q(x)) के लिए (D=196-160=36) है, इसलिए दोनों परिमेय हैं। इसलिए सही कथन विकल्प में नहीं है। / For (p(x)), (D=196-180=16), while for (q(x)), (D=196-160=36), so both are rational. Therefore the listed intended contrast is not valid.
A. \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\)/\(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\)
Explanation
Simple Explanation
योग \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) और गुणनफल \(\sqrt{6}\) है। ये \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) से मिलते हैं। / The sum is \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) and the product is \(\sqrt{6}\). These match \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\).
A. दोनों अपरिमेय वास्तविक संख्याएँ/Both irrational real numbers
Explanation
Simple Explanation
क्वाड्रेटिक के लिए डिस्क्रिमिनेंट \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1, b=-7, c=5\) इसलिए \(D=(-7)^2-4\cdot1\cdot5=49-20=29\)। \(D>0\) है परन्तु \(29\) पूर्ण वर्ग नहीं है, अतः दो भिन्न वास्तविक शून्यक होंगे जो अपरिमेय होंगे (रूट्स \((7\pm\sqrt{29})/2\))। विकल्प B गलत है क्योंकि पूर्ण वर्ग नहीं होने पर शून्यक परिमेय नहीं होते; विकल्प D गलत है क्योंकि दोनों शून्यक के भागफल में समान irrationals आते हैं, अतः दोनों अपरिमेय ही होंगे। परीक्षा-सुझाव: किसी भी द्वघात समीकरण के शून्यकों के प्रकार के लिए पहले हमेशा डिस्क्रिमिनेंट की जाँच करें और देखें कि वह पूर्ण वर्ग है या नहीं। / For a quadratic, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here \(a=1, b=-7, c=5\), so \(D=(-7)^2-4\cdot1\cdot5=49-20=29\). Since \(D>0\) and \(29\) is not a perfect square, the equation has two distinct real irrational roots: \((7\pm\sqrt{29})/2\). Option B is incorrect because a non-perfect-square discriminant does not yield rational roots; option D is incorrect because both roots contain \(\sqrt{29}\) and are therefore both irrational. Exam tip: compute the discriminant first — if positive and not a perfect square, expect two irrational real roots.
\(5x^2-5=0\) से \(x^2=1\), इसलिए \(x=\pm1\) हैं। सामान्य गुणनखंड से भ्रमित होकर \(\sqrt{5}\) न लें। / From \(5x^2-5=0\), \(x^2=1\), so \(x=\pm1\). Do not mistakenly take \(\sqrt{5}\) because of the common factor.
सूत्र से \(x=\frac{4\pm\sqrt{16+24}}{2}=2\pm\sqrt{10}\) है। (D) को सरल करने में \(\sqrt{40}=2\sqrt{10}\) याद रखें। / By the formula, \(x=\frac{4\pm\sqrt{16+24}}{2}=2\pm\sqrt{10}\). Remember \(\sqrt{40}=2\sqrt{10}\) while simplifying (D).
शून्यकों का योग \(1+\sqrt{3}\) और गुणनफल \(\sqrt{3}\) है। (1) और \(\sqrt{3}\) दोनों शर्तें पूरी करते हैं। / The sum of zeroes is \(1+\sqrt{3}\) and the product is \(\sqrt{3}\). The numbers (1) and \(\sqrt{3}\) satisfy both conditions.
(3x-2-12x+6=3\(x^2-4x+2\)), इसलिए शून्यक \(2\pm\sqrt{2}\) हैं। पहले सामान्य गुणनखंड हटाना गणना आसान करता है। / Since (3x-2-12x+6=3\(x^2-4x+2\)), the zeroes are \(2\pm\sqrt{2}\). Removing a common factor first makes calculation easier.
A. \(4+\sqrt{6}\) और \(4-\sqrt{6}\)/\(4+\sqrt{6}\) and \(4-\sqrt{6}\)
Explanation
Simple Explanation
परिमेय गुणांकों के लिए \(a+\sqrt{b}\) का संयुग्मी \(a-\sqrt{b}\) साथ आता है। इसलिए पहला युग्म सही है। / For rational coefficients, the conjugate \(a-\sqrt{b}\) accompanies \(a+\sqrt{b}\). Hence the first pair is correct.
योग \(3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}=6\) है, जो परिमेय है। संयुग्मी अपरिमेय संख्याओं का योग अक्सर परिमेय होता है। / The sum is \(3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}=6\), which is rational. Conjugate irrational numbers often have a rational sum.
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) होता है। यहाँ योग (10) और गुणनफल (25-6=19), इसलिए उत्तर \(\frac{10}{19}\) है। / \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here the sum is (10) and product is (25-6=19), so the answer is \(\frac{10}{19}\).
A. दिए गए आधार पर कोई शून्यक नहीं दिखता/No zero is shown from the given data
Explanation
Simple Explanation
शून्यक केवल (x)-अक्ष यानी (y=0) से जुड़े होते हैं। (y=2) से प्रतिच्छेद शून्यक नहीं बताता। / Zeroes are linked only with the (x)-axis where (y=0). Intersections with (y=2) do not show zeroes.
