Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
शून्यक वे x के मान हैं जिनके लिए \(p(x)=0\) होता है। स्थायी गुणांक (यहाँ बाहर का '-' चिह्न) शून्यकों को प्रभावित नहीं करता। गुणांकों को शून्य करके: \(x-3=0\) से \(x=3\) और \(x+1=0\) से \(x=-1\)। इसलिए शून्यक 3 और -1 हैं। निकटवर्ती भ्रामक विकल्पों की जाँच: विकल्प D ने -1 के स्थान पर 1 लिया है (साइन उलट गया), विकल्प B ने दोनों चिह्न उलट दिए। परीक्षा टिप: किसी बहुपद को गुणनों के रूप में लिखकर प्रत्येक गुणांक को शून्य के बराबर रखकर ही शून्यक निकालें; बहरे गुणांक/स्थायी गुणांक अनदेखा करें। / Zeros are the x-values for which \(p(x)=0\). A multiplicative constant (the leading '-' here) does not change the roots. Set each factor equal to zero: \(x-3=0\) gives \(x=3\), and \(x+1=0\) gives \(x=-1\). Thus the zeros are 3 and -1. Why distractors fail: option D mistakenly uses +1 instead of -1; option B flips signs of both roots. Exam tip: Factor the polynomial and set each linear factor to zero; ignore overall constant factors when finding zeros.
A. इससे शून्यक निर्धारित नहीं होता/A zero cannot be determined from this information alone
Explanation
Simple Explanation
y-अक्ष पर प्रतिच्छेद बहुपद का मान p(0) देता है; यहाँ p(0)=−8 है। शून्यक वे x मान होते हैं जिनके लिये
\(p(x)=0\) (यानी x-अक्ष पर प्रतिच्छेद)। केवल y-अक्ष पर प्रतिच्छेद जानकर किसी x‑शून्यक का निर्धारण नहीं किया जा सकता क्योंकि y‑मान (यहाँ −8) एक x‑मान नहीं है। विकल्प B (शून्यक −8) प्रायः भ्रम से आता है — वह y‑मान को x‑मान समझने की गलती है और इसलिए गलत है। एक परीक्षीय टिप: किसी बिंदु के शून्यक होने की पुष्टि के लिए
\(p(x)=0\) पर रखकर जाँच करें या x‑अक्ष पर प्रतिच्छेद (y=0) देखें। / The y-intercept gives the value \(p(0)\); here \(p(0)=−8\). Zeros are x-values satisfying \(p(x)=0\), i.e. where the graph meets the x-axis. Knowing only the y-intercept does not determine any x-zero because the y-value (−8) is not an x-coordinate. Option B (zero = −8) is a common confusion that mistakes the y-value for an x-value and is therefore incorrect. Exam tip: to find zeros set \(p(x)=0\) or look for x-axis intersections (y=0).
किसी बहुपद का शून्यक वह x-निर्देशांक होता है जहाँ y=0 होता है। दिए गए प्रतिच्छेद बिंदुओं के x-निर्देशांक क्रमशः -4, 1 और 6 हैं, अतः शून्यकों का समुच्चय {-4,1,6} होगा। निकटभ्रमक विकल्प C में -4 और 6 सही हैं परन्तु 1 के स्थान पर 0 लिया गया है — 0 यहाँ y-निर्देशांक है, न कि शून्यक। परीक्षा-सुझाव: प्रतिच्छेद बिंदु से केवल x-अंश लें; y=0 को शून्यक न समझें। / A zero (root) of a polynomial is the x-coordinate where the graph meets the x-axis (y=0). From the intercepts (-4,0), (1,0), (6,0) the x-values are -4, 1 and 6, so the set of zeroes is {-4,1,6}. The closest distractor C mixes a y-value (0) into the set in place of 1; remember 0 in the ordered pair is the y-coordinate, not a root by itself. Exam tip: read off only the x-coordinates of x-intercepts to list zeroes.
ग्राफ जहाँ (x)-अक्ष को काटता है वही शून्यक होता है। परीक्षा में काटने वाले बिंदुओं की संख्या गिनें। / A zero occurs where the graph meets the (x)-axis. In exams count the (x)-intercepts.
शून्यक वही x-मान हैं जहाँ ग्राफ x-अक्ष को काटता है: -4, 6 और 16। उनका माध्य = \(\dfrac{-4+6+16}{3}=\dfrac{18}{3}=6\)। B (18) गलत है क्योंकि वह योग है, माध्य नहीं। D (16) केवल एक शून्य है, परन्तु समग्र औसत नहीं। टिप: x-अक्ष के कटान बिंदुओं से सीधे x-मान पढ़कर उनका औसत निकालें। / The zeros are the x-values -4, 6 and 16. Mean = \(\dfrac{-4+6+16}{3}=\dfrac{18}{3}=6\). Option B (18) is the sum of the zeros, not the average. Option D (16) is just one root, not the mean. Exam tip: read the x-coordinates of intercepts first and then compute their average.
यह ((x-d)2-36) है, इसलिए \(x-d=\pm6\) और शून्यक (d-6), (d+6) हैं। टिप: वर्गों के अंतर का उपयोग करें। / It is ((x-d)2-36), so \(x-d=\pm6\) and the zeroes are (d-6), (d+6). Tip: use difference of squares.
इस अंतराल में चिह्न (+), (-), (-) हैं, इसलिए गुणनफल धनात्मक है। टिप: दो ऋणात्मक कारकों का गुणन धनात्मक होता है। / In this interval the signs are (+), (-), (-), so the product is positive. Tip: the product of two negative factors is positive.
A. (22) को (10) करना होगा/(22) must be changed to (10)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-10) के साथ (10) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (10) is needed with (-10). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
शून्यक (0), (g), (-g) हैं, इसलिए योग (0) होगा। टिप: विपरीत संख्याएँ एक-दूसरे को काट देती हैं। / The zeroes are (0), (g), (-g), so the sum is (0). Tip: opposite numbers cancel each other.
A. यह दोनों शून्यकों का मध्य है/It is the midpoint of the two zeroes
Explanation
Simple Explanation
\(18=\frac{10+26}{2}\), इसलिए यह दोनों शून्यकों का मध्य है। टिप: मध्य मान का शून्यक होना जरूरी नहीं। / \(18=\frac{10+26}{2}\), so it is the midpoint of the two zeroes. Tip: the midpoint value need not be a zero.
(x-3-12x-2+35x=x(x-5)(x-7)) है, इसलिए शून्यक (0), (5), (7) हैं। टिप: पहले (x) सामान्य गुणनखंड निकालें। / (x-3-12x-2+35x=x(x-5)(x-7)), so the zeroes are (0), (5), (7). Tip: first take (x) as the common factor.
माध्य (\frac{(s-4)+(s+1)+(s+7)}{3}=s+\frac{4}{3}) है। टिप: प्रतीकात्मक शून्यकों में भी औसत लें। / The mean is (\frac{(s-4)+(s+1)+(s+7)}{3}=s+\frac{4}{3}). Tip: take the average even for symbolic zeroes.
मूल बिंदु (x)-अक्ष पर भी है और (x=-9) भी (x)-अक्ष कटान है। टिप: ((0,0)) को शून्यक (0) के रूप में गिनें। / The origin is also on the (x)-axis, and (x=-9) is another (x)-axis intersection. Tip: count ((0,0)) as zero (0).
मध्यबिंदु (\left\(\frac{-17+9}{2},0\right\)=(-4,0)) है। टिप: (x)-अक्ष पर मध्यबिंदु का (y)-मान (0) रहता है। / The midpoint is (\left\(\frac{-17+9}{2},0\right\)=(-4,0)). Tip: on the (x)-axis the midpoint has (y=0).
(p(x)=x(x-3)(x-6)) है इसलिए शून्यक (0), (3), (6) और माध्य (3) है। टिप: पहले गुणनखंड करें। / (p(x)=x(x-3)(x-6)), so the zeroes are (0), (3), (6), and the mean is (3). Tip: factor first.
दिए गए शून्यक (-7) और (4) हैं इसलिए दूरी (4-(-7)=11) है। टिप: केवल (p(x)=0) वाले (x)-मान लें। / The given zeroes are (-7) and (4), so the distance is (4-(-7)=11). Tip: take only (x)-values where (p(x)=0).
दूसरा शून्यक (8) है और औसत \(\frac{-10+8}{2}=-1\) है। टिप: सममिति अक्ष दो शून्यकों का औसत है। / The other zero is (8), and the average is \(\frac{-10+8}{2}=-1\). Tip: the axis of symmetry is the average of two zeroes.
बहुपद ((x-n)(x-(n+3))) है इसलिए शून्यक (n) और (n+3) हैं। टिप: शून्यकों को ((x,0)) में लिखें। / The polynomial is ((x-n)(x-(n+3))), so the zeroes are (n) and (n+3). Tip: write zeroes as ((x,0)).
(x=-4) दोनों शून्यकों के बीच है और ऊपर खुलने वाला परवलय बीच में नीचे रहता है। टिप: शून्यकों के बीच संकेत क्षेत्र देखें। / (x=-4) lies between the two zeroes and an upward-opening parabola stays below there. Tip: check the sign region between zeroes.
यह ((x-c)2-25) है, इसलिए \(x-c=\pm5\) और शून्यक (c-5), (c+5) हैं। टिप: वर्गों के अंतर का उपयोग करें। / It is ((x-c)2-25), so \(x-c=\pm5\) and the zeroes are (c-5), (c+5). Tip: use difference of squares.
इस अंतराल में चिह्न (+), (-), (-) हैं, इसलिए गुणनफल धनात्मक है। टिप: दो ऋणात्मक कारकों का गुणन धनात्मक होता है। / In this interval the signs are (+), (-), (-), so the product is positive. Tip: the product of two negative factors is positive.
A. (18) को (8) करना होगा/(18) must be changed to (8)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-8) के साथ (8) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (8) is needed with (-8). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
A. यह दोनों शून्यकों का मध्य है/It is the midpoint of the two zeroes
Explanation
Simple Explanation
\(14=\frac{8+20}{2}\), इसलिए यह दोनों शून्यकों का मध्य है। टिप: मध्य मान का शून्यक होना जरूरी नहीं। / \(14=\frac{8+20}{2}\), so it is the midpoint of the two zeroes. Tip: the midpoint value need not be a zero.
(x-3-10x-2+24x=x(x-4)(x-6)) है, इसलिए शून्यक (0), (4), (6) हैं। टिप: पहले (x) सामान्य गुणनखंड निकालें। / (x-3-10x-2+24x=x(x-4)(x-6)), so the zeroes are (0), (4), (6). Tip: first take (x) as the common factor.
शून्यक वे x‑मान हैं जहाँ ग्राफ x-अक्ष को छेदता है: \(r-1,\ r+2,\ r+5\)। माध्य =\(\dfrac{(r-1)+(r+2)+(r+5)}{3}=\dfrac{3r+6}{3}=r+2\)। सबसे नज़दीकी विचलन \(r+1\) गलत है क्योंकि इसकी गणना में योग या भाग करने में त्रुटि है; सही तरीका तीनों शून्यकों का कुल लेकर 3 से भाग करना है। परीक्षा सुझाव: प्रतीकात्मक शून्यकों का भी सामान्य औसत लें — पहले जोड़ें, फिर कुल संख्या से विभाजित करें। / The zeroes (x-values where the graph meets the x-axis) are \(r-1,\ r+2,\ r+5\). Mean = \(\dfrac{(r-1)+(r+2)+(r+5)}{3}=\dfrac{3r+6}{3}=r+2\). The closest distractor \(r+1\) arises from arithmetic mistake; the correct procedure is sum all roots then divide by their count. Exam tip: always add the symbolic roots first, then divide by the number of roots to avoid sign or division errors.
मूल बिंदु (x)-अक्ष पर भी है और (x=6) भी (x)-अक्ष कटान है। टिप: ((0,0)) को शून्यक (0) के रूप में गिनें। / The origin is also on the (x)-axis, and (x=6) is another (x)-axis intersection. Tip: count ((0,0)) as zero (0).
मध्यबिंदु (\left\(\frac{-13+7}{2},0\right\)=(-3,0)) है। टिप: (x)-अक्ष पर मध्यबिंदु का (y)-मान (0) रहता है। / The midpoint is (\left\(\frac{-13+7}{2},0\right\)=(-3,0)). Tip: on the (x)-axis the midpoint has (y=0).
(p(x)=x(x-5)(x-2)) है, इसलिए शून्यक (0), (2), (5) और माध्य \(\frac{7}{3}\) है। टिप: पहले गुणनखंड करें। / (p(x)=x(x-5)(x-2)), so the zeroes are (0), (2), (5), and the mean is \(\frac{7}{3}\). Tip: factor first.
दिए गए शून्यक (-6) और (5) हैं, इसलिए दूरी (5-(-6)=11) है। टिप: केवल (p(x)=0) वाले (x)-मान लें। / The given zeroes are (-6) and (5), so the distance is (5-(-6)=11). Tip: take only (x)-values where (p(x)=0).
दूसरा शून्यक (4) है और औसत \(\frac{-8+4}{2}=-2\) है। टिप: सममिति अक्ष दो शून्यकों का औसत है। / The other zero is (4), and the average is \(\frac{-8+4}{2}=-2\). Tip: the axis of symmetry is the average of two zeroes.
