The elements (1,4,9,16,25) are \(1^2,2^2,3^2,4^2,5^2\).
Step 2
Why this answer is correct
So they can be written as \(n^2\), where (n) is a natural number and \(1\le n\le 5\).
Step 3
Exam Tip
When converting roster form to set-builder form, identify the pattern behind the elements. चरण 1: दिए गए सदस्य (1,4,9,16,25) क्रमशः \(1^2,2^2,3^2,4^2,5^2\) हैं। चरण 2: इसलिए इन्हें \(n^2\) के रूप में लिखा जाएगा जहां (n) प्राकृतिक संख्या है और \(1\le n\le 5\)। चरण 3: रोस्टर रूप से समुच्चय-निर्माण रूप बनाते समय सदस्यों में छिपा पैटर्न पहचानें।
The set (P) contains natural numbers that divide both (18) and (24).
Step 2
Why this answer is correct
The divisors of (18) are (1,2,3,6,9,18), and the divisors of (24) are (1,2,3,4,6,8,12,24). The common divisors are (1,2,3,6).
Step 3
Exam Tip
For such questions, list both divisor sets first and then pick the common elements. चरण 1: यहां (P) में वे प्राकृतिक संख्याएं आएंगी जो (18) और (24) दोनों की भाजक हों। चरण 2: (18) के भाजक (1,2,3,6,9,18) हैं और (24) के भाजक (1,2,3,4,6,8,12,24) हैं। समान भाजक (1,2,3,6) हैं। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले दोनों सूचियां अलग लिखें, फिर समान सदस्य चुनें।
From \(x^2\le 16\), the integer values run from (-4) to (4).
Step 2
Why this answer is correct
The prime numbers in this range are only (2) and (3), so removing them leaves (-4,-3,-2,-1,0,1,4).
Step 3
Exam Tip
In exams, remember that negative integers are not prime because a prime number is a natural number greater than (1). चरण 1: \(x^2\le 16\) से पूर्णांक मान (-4) से (4) तक मिलते हैं। चरण 2: अभाज्य संख्याएं केवल (2) और (3) हैं, इसलिए उन्हें हटाने पर (-4,-3,-2,-1,0,1,4) बचते हैं। चरण 3: परीक्षा में ऋणात्मक संख्याओं को अभाज्य न मानें, क्योंकि अभाज्य संख्या (1) से बड़ी प्राकृतिक संख्या होती है।
Here (x) is an integer, so only integer values are allowed.
Step 2
Why this answer is correct
The condition (x>-3) gives possible values \(-2,-1,0,1,2,3,\ldots\), and \(x^2<10\) keeps the suitable values between (-3) and (3). Combining both conditions gives (-2,-1,0,1,2,3).
Step 3
Exam Tip
In exams, first identify the number system, then test all conditions together. चरण 1: यहां (x) पूर्णांक है, इसलिए केवल पूर्णांक मान ही लिए जाएंगे। चरण 2: शर्त (x>-3) से संभावित मान \(-2,-1,0,1,2,3,\ldots\) मिलते हैं, और \(x^2<10\) से (-3) से (3) के बीच के उपयुक्त मान आते हैं। दोनों शर्तों को साथ रखने पर (-2,-1,0,1,2,3) मिलते हैं। चरण 3: परीक्षा में पहले संख्या-समुच्चय पहचानें, फिर सभी शर्तों को एक साथ जांचें।
((-1)2=1), \(0^2=0\), and \(1^2=1\), all less than (2).
Step 3
Exam Tip
((-2)2=4) and \(2^2=4\), so they are not included. चरण 1: \(x^2<2\) के लिए पूर्णांक मान जाँचें। चरण 2: ((-1)2=1), \(0^2=0\), \(1^2=1\), ये सभी (2) से कम हैं। चरण 3: ((-2)2=4) और \(2^2=4\) होने से वे शामिल नहीं होंगे।
\(x=\frac{24}{n}\) is natural only when (n) is a divisor of (24).
Step 2
Why this answer is correct
Since (n) must be even, take (n=2,4,6,8,12,24).
Step 3
Exam Tip
These give (x=12,6,4,3,2,1); order does not matter in a set. चरण 1: \(x=\frac{24}{n}\) प्राकृतिक संख्या तभी बनेगा जब (n), (24) का भाजक हो। चरण 2: (n) सम होना चाहिए, इसलिए (n=2,4,6,8,12,24) लें। चरण 3: इनके लिए (x=12,6,4,3,2,1) मिलते हैं; समुच्चय में क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं है।
(1) is not prime, so it is not included. चरण 1: अभाज्य संख्या के ठीक दो धनात्मक भाजक होते हैं। चरण 2: (10) से छोटी अभाज्य संख्याएँ (2,3,5,7) हैं। चरण 3: (1) अभाज्य नहीं है, इसलिए उसे शामिल नहीं किया जाएगा।
The integers between them are (6,7,8,9,10). चरण 1: (5) से अधिक का अर्थ है (5) शामिल नहीं होगा। चरण 2: (11) से कम का अर्थ है (11) भी शामिल नहीं होगा। चरण 3: बीच के पूर्णांक (6,7,8,9,10) ही लिखे जाएँगे।
From \(2x-1\leq 11\), we get \(2x\leq 12\), so \(x\leq 6\).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(x\in \mathbb{N}\), take values from (1) to (6).
Step 3
Exam Tip
After solving an inequality, always check the given number set. चरण 1: \(2x-1\leq 11\) से \(2x\leq 12\), इसलिए \(x\leq 6\)। चरण 2: \(x\in \mathbb{N}\) है, इसलिए (1) से (6) तक मान लिए जाएँगे। चरण 3: असमानता हल करने के बाद दिए गए संख्या-समुच्चय को जरूर देखें।
The positive divisors of (36) are (1,2,3,4,6,9,12,18,36).
Step 2
Why this answer is correct
The odd elements among them are (1,3,9).
Step 3
Exam Tip
Do not remove (1), because it is a divisor of (36) and an odd number. चरण 1: (36) के धनात्मक भाजक (1,2,3,4,6,9,12,18,36) हैं। चरण 2: इनमें विषम अवयव (1,3,9) हैं। चरण 3: (1) को हटाएँ नहीं, क्योंकि वह (36) का भाजक और विषम संख्या है।
Look at cubes of natural numbers: \(1^3,2^3,3^3,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
\(1^3=1\) and \(2^3=8\) are within (20), but \(3^3=27\) is outside.
Step 3
Exam Tip
Do not confuse perfect squares with perfect cubes. चरण 1: प्राकृतिक संख्याओं के घन \(1^3,2^3,3^3,\ldots\) देखें। चरण 2: \(1^3=1\) और \(2^3=8\) (20) तक आते हैं, पर \(3^3=27\) बाहर है। चरण 3: पूर्ण वर्ग और पूर्ण घन को आपस में न मिलाएँ।
Within (1) to (100), the last such number is (92).
Step 3
Exam Tip
Do not include (102), because it is outside the given range. चरण 1: अंतिम अंक (2) होने पर संख्याएँ \(2,12,22,\ldots\) के रूप में बढ़ती हैं। चरण 2: (1) से (100) की सीमा में आखिरी ऐसी संख्या (92) है। चरण 3: सीमा के बाहर (102) को शामिल नहीं करना चाहिए।
A number divisible by both (3) and (5) must be a multiple of (15).
Step 2
Why this answer is correct
Multiples of (15) up to (50) are (15,30,45).
Step 3
Exam Tip
Do not take separate multiples of (3) or (5); both conditions must hold together. चरण 1: (3) और (5) दोनों से विभाज्य संख्या (15) की गुणज होगी। चरण 2: (50) तक (15) के गुणज (15,30,45) हैं। चरण 3: अलग-अलग (3) या (5) के गुणज नहीं, दोनों शर्तें साथ पूरी होनी चाहिए।
The integer values are (-3,-2,-1,0,1); endpoints are not included. चरण 1: (|x+1|<3) का अर्थ है (-3<x+1<3)। चरण 2: (1) घटाने पर (-4<x<2) मिलता है। चरण 3: पूर्णांक मान (-3,-2,-1,0,1) होंगे; सीमा के मान शामिल नहीं होंगे।
Include the last value because the condition says \(n\leq 5\). चरण 1: (n) के मान (1,2,3,4,5) रखे जाएँगे। चरण 2: (3n-1) से क्रमशः (2,5,8,11,14) मिलते हैं। चरण 3: सीमा में दिया आखिरी मान भी शामिल करें, क्योंकि \(n\leq 5\) लिखा है।
When both digits are equal, we get (11,22,33,44,55,66,77,88,99).
Step 3
Exam Tip
(00) is not a two-digit natural number. चरण 1: दो अंकों की संख्या (10) से (99) तक होती है। चरण 2: दोनों अंक बराबर होने पर (11,22,33,44,55,66,77,88,99) मिलते हैं। चरण 3: (00) दो अंकों की प्राकृतिक संख्या नहीं है।
Since (x) is an integer, all integers in this range are included.
Step 3
Exam Tip
In a square inequality like this, all middle values also matter. चरण 1: \(x^2\leq 9\) से \(-3\leq x\leq 3\) मिलता है। चरण 2: (x) पूर्णांक है, इसलिए इस सीमा के सभी पूर्णांक लिखे जाएँगे। चरण 3: वर्ग वाली असमानता में बीच के सभी मान भी शामिल होते हैं।
(2,3,7,19) are prime, so (x=1,2,6,18) are correct. चरण 1: (18) के भाजक (1,2,3,6,9,18) हैं। चरण 2: (x+1) जाँचने पर (2,3,4,7,10,19) मिलते हैं। चरण 3: (2,3,7,19) अभाज्य हैं, इसलिए (x=1,2,6,18) सही हैं।
Both values are integers, so both belong to the set. चरण 1: \(x^2+x-6\) को ((x+3)(x-2)) लिखा जा सकता है। चरण 2: इससे (x=-3) या (x=2) मिलता है। चरण 3: दोनों मान पूर्णांक हैं, इसलिए दोनों समुच्चय में आएँगे।
The multiples of (4) up to (25) are (4,8,12,16,20,24).
Step 2
Why this answer is correct
Remove the values divisible by (8): (8,16,24).
Step 3
Exam Tip
The remaining elements (4,12,20) form the set. चरण 1: (25) तक (4) के गुणज (4,8,12,16,20,24) हैं। चरण 2: इनमें (8) से विभाज्य (8,16,24) को हटाएँ। चरण 3: बचे हुए (4,12,20) ही समुच्चय के अवयव हैं।
The given rule is \(x^2-4x=0\), which can be written as (x(x-4)=0).
Step 2
Why this answer is correct
This gives (x=0) or (x=4), and both are integers.
Step 3
Exam Tip
In roster form, write only the values that make the condition true. चरण 1: दिए गए नियम में \(x^2-4x=0\) है, जिसे (x(x-4)=0) लिखा जा सकता है। चरण 2: इससे (x=0) या (x=4) मिलता है और दोनों पूर्णांक हैं। चरण 3: सूची रूप लिखते समय केवल वे मान लिखें जो शर्त को सच बनाते हैं।
Substituting these values in \(n^2-1\) gives (0,3,8,15,24).
Step 3
Exam Tip
In roster form, write only the obtained elements and do not add the rule or extra values. चरण 1: यहाँ (n) के मान (1,2,3,4,5) लिए जाएँगे। चरण 2: \(n^2-1\) में ये मान रखने पर (0,3,8,15,24) मिलते हैं। चरण 3: सूची विधि में केवल प्राप्त अवयव लिखें, नियम या अतिरिक्त मान न जोड़ें।
The positive divisors of (24) are (1,2,3,4,6,8,12,24).
Step 2
Why this answer is correct
Checking \(x^2>24\), the values (6,8,12,24) remain; \(4^2=16\), so (4) is excluded.
Step 3
Exam Tip
Apply both the divisor condition and the inequality condition together. चरण 1: (24) के धनात्मक भाजक (1,2,3,4,6,8,12,24) हैं। चरण 2: \(x^2>24\) जाँचने पर (6,8,12,24) बचते हैं; \(4^2=16\) इसलिए (4) नहीं आएगा। चरण 3: भाजक और असमानता दोनों शर्तें साथ-साथ लागू करें।
The remaining elements (5,15,25,35,45) form the set. चरण 1: (1) से (50) तक (5) के गुणज लिखें। चरण 2: उनमें (10) के गुणज (10,20,30,40,50) हटा दें। चरण 3: बचे हुए (5,15,25,35,45) ही सही अवयव हैं।
Choose positive integers less than (15) that are not divisible by (3) or (5).
Step 3
Exam Tip
(1) is considered coprime to every positive integer. चरण 1: (15) के अभाज्य गुणनखंड (3) और (5) हैं। चरण 2: (15) से कम वे धनात्मक पूर्णांक लें जो (3) या (5) से विभाज्य न हों। चरण 3: (1) हर धनात्मक पूर्णांक से परस्पर अभाज्य माना जाता है।
Perfect squares less than (100) are (1,4,9,16,25,36,49,64,81).
Step 2
Why this answer is correct
The even elements among them are (4,16,36,64).
Step 3
Exam Tip
(100) is not included because the condition says less than (100). चरण 1: (100) से कम पूर्ण वर्ग (1,4,9,16,25,36,49,64,81) हैं। चरण 2: इनमें सम अवयव (4,16,36,64) हैं। चरण 3: (100) शामिल नहीं होगा, क्योंकि शर्त (100) से कम है।
Write each solution only once in the set. चरण 1: \(x^2-5x+6\) को ((x-2)(x-3)) के रूप में लिखा जा सकता है। चरण 2: इससे (x=2) या (x=3) मिलता है। चरण 3: हलों को समुच्चय में एक-एक बार ही लिखें।
Remove the multiples of (12), which are (12) and (24).
Step 3
Exam Tip
When the condition says not, those elements must be excluded. चरण 1: (30) तक (6) के गुणज (6,12,18,24,30) हैं। चरण 2: इनमें (12) के गुणज (12) और (24) हटाने होंगे। चरण 3: शर्त में यदि नहीं लिखा हो, तो उन अवयवों को जरूर निकालें।
In a two-digit number, the tens digit cannot be zero.
Step 2
Why this answer is correct
With digit sum (3), the numbers are (12,21,30).
Step 3
Exam Tip
Do not include the one-digit number (3), because the condition says two-digit. चरण 1: दो अंकों की संख्या में दहाई का अंक शून्य नहीं हो सकता। चरण 2: अंकों का योग (3) होने पर (12,21,30) बनते हैं। चरण 3: एक अंकीय (3) को शामिल न करें, क्योंकि शर्त दो अंकों की है।
Reading strict and non-strict inequalities carefully is very important in exams. चरण 1: (-2<x) होने से (-2) शामिल नहीं होगा। चरण 2: \(x\leq 3\) होने से (3) शामिल होगा। चरण 3: खुले और बंद असमानता चिह्नों को ध्यान से पढ़ना परीक्षा में बहुत जरूरी है।
