The equation \(x^2=16\) has two integer solutions, (x=4) and (x=-4).
Step 2
Why this answer is correct
Squaring both values gives (16).
Step 3
Exam Tip
In square equations, check both positive and negative values. चरण 1: \(x^2=16\) के दो पूर्णांक हल (x=4) और (x=-4) हैं। चरण 2: वर्ग लेने पर दोनों का मान (16) आता है। चरण 3: वर्ग वाले प्रश्नों में धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान जाँचें।
From \(x^2<50\) and \(x\in \mathbb{N}\), possible values are (1,2,3,4,5,6,7).
Step 2
Why this answer is correct
The values divisible by (3) are (3) and (6).
Step 3
Exam Tip
First find the allowed range, then apply the divisibility condition. चरण 1: \(x^2<50\) और \(x\in \mathbb{N}\) से (x=1,2,3,4,5,6,7) हो सकते हैं। चरण 2: इनमें (3) से विभाज्य संख्याएँ (3) और (6) हैं। चरण 3: पहले सीमा निकालें, फिर विभाज्यता शर्त लगाएँ।
From \(2x+3\leq 15\), we get \(2x\leq 12\), so \(x\leq 6\).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(x\in \mathbb{N}\), take natural numbers from (1) to (6).
Step 3
Exam Tip
Include (0) only when the question clearly allows whole numbers. चरण 1: असमानता \(2x+3\leq 15\) से \(2x\leq 12\), इसलिए \(x\leq 6\)। चरण 2: \(x\in \mathbb{N}\) है, इसलिए (1) से (6) तक प्राकृतिक संख्याएँ लें। चरण 3: शून्य को तभी लें जब प्रश्न में स्पष्ट रूप से अशून्येतर पूर्ण संख्या न दी हो।
The positive divisors of (36) are (1,2,3,4,6,9,12,18,36).
Step 2
Why this answer is correct
Remove (2) and (3) because they are prime.
Step 3
Exam Tip
(1) is not prime, so it remains in the set. चरण 1: (36) के धनात्मक भाजक (1,2,3,4,6,9,12,18,36) हैं। चरण 2: (2) और (3) अभाज्य हैं, इसलिए उन्हें हटाएँ। चरण 3: (1) अभाज्य नहीं होता, इसलिए वह समुच्चय में रहेगा।
\(x^2<20\) allows integers from (-4) to (4), but only odd integers are required.
Step 3
Exam Tip
Do not ignore negative odd integers, so the set is ({-3,-1,1,3}). चरण 1: \(x\in \mathbb{Z}\) का अर्थ है कि (x) पूर्णांक होगा। चरण 2: \(x^2<20\) से संभावित पूर्णांक (-4) से (4) तक हैं, पर केवल विषम पूर्णांक रखने हैं। चरण 3: ऋणात्मक विषम संख्याएँ भी न भूलें, इसलिए (-3,-1,1,3) मिलते हैं।
\(|x-2|\leq 1\) means (x) is at most (1) unit away from (2).
Step 2
Why this answer is correct
The integer values (1,2,3) satisfy this condition.
Step 3
Exam Tip
Substitute the values and check the absolute value to avoid mistakes. चरण 1: \(|x-2|\leq 1\) का अर्थ है (x), संख्या (2) से अधिकतम (1) दूरी पर है। चरण 2: पूर्णांक मान (1,2,3) इस शर्त को पूरा करते हैं। चरण 3: मान रखने के बाद निरपेक्ष मान की जाँच करके गलती कम करें।
When two conditions are given, first list the larger set and then filter the correct elements. चरण 1: (36) के गुणनखंड (1,2,3,4,6,9,12,18,36) हैं। चरण 2: इनमें पूर्ण वर्ग (1,4,9,36) हैं। चरण 3: दो शर्तें हों तो पहले बड़ी सूची बनाकर फिर सही सदस्यों को छाँटें।
From (x(x-1)=0), we get (x=0) or (x=1), and both are integers.
Step 3
Exam Tip
While writing a set, include each value only once. चरण 1: समीकरण \(x^2=x\) को \(x^2-x=0\) लिखें। चरण 2: (x(x-1)=0) से (x=0) या (x=1) मिलता है और दोनों पूर्णांक हैं। चरण 3: समुच्चय लिखते समय सभी मानों को एक बार ही लिखें।
The squares of (-1,0,1) are (1,0,1), so these are included.
Step 3
Exam Tip
In integer square questions, do not forget (0). चरण 1: पूर्णांक (x) के लिए \(x^2\leq 1\) देखना है। चरण 2: (-1,0,1) के वर्ग क्रमशः (1,0,1) हैं, इसलिए ये शामिल हैं। चरण 3: पूर्णांक वाले वर्ग प्रश्न में (0) को भूलना नहीं चाहिए।
In (x>6), (6) is not included. चरण 1: (24) के गुणनखंड (1,2,3,4,6,8,12,24) हैं। चरण 2: इनमें (6) से बड़े सदस्य (8,12,24) हैं। चरण 3: (x>6) में (6) शामिल नहीं होता।
(0) is not included because it is not odd. चरण 1: (-4) से (4) तक पूर्णांक देखें। चरण 2: विषम पूर्णांक (-3,-1,1,3) हैं। चरण 3: (0) न समुच्चय में आएगा क्योंकि वह विषम नहीं है।
Those divisible by (2) or (5) are (2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18).
Step 3
Exam Tip
Or means satisfying at least one of the two conditions. चरण 1: (20) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ लें। चरण 2: जो (2) या (5) से विभाज्य हैं वे (2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18) हैं। चरण 3: या का अर्थ दोनों में से कोई एक शर्त पूरी होना है।
Since the condition is \(\leq 11\), (11) is included.
Step 3
Exam Tip
When equality is included in the boundary, check the endpoint. चरण 1: (11) तक विषम प्राकृतिक संख्याएँ लिखें। चरण 2: \(\leq 11\) होने से (11) शामिल होगा। चरण 3: सीमा में बराबरी हो तो अंतिम मान को अवश्य जाँचें।
(23) and (29) are prime, while (21,25,27) are composite.
Step 3
Exam Tip
When testing primality, check divisibility by small factors. चरण 1: (20) और (30) के बीच प्राकृतिक संख्याएँ जाँचें। चरण 2: (23) और (29) अभाज्य हैं, जबकि (21,25,27) भाज्य हैं। चरण 3: अभाज्य जाँचते समय छोटे गुणनखंडों से विभाज्यता देखें।
(0) is considered an even number, so do not omit it. चरण 1: (-5) और (5) के बीच के पूर्णांक लिखें। चरण 2: उनमें सम पूर्णांक (-4,-2,0,2,4) हैं। चरण 3: शून्य भी सम संख्या माना जाता है, इसे न छोड़ें।
A number divisible by both (2) and (3) is a multiple of (6).
Step 2
Why this answer is correct
Multiples of (6) up to (18) are (6,12,18).
Step 3
Exam Tip
Divisible by both means both conditions together, not either one. चरण 1: (2) और (3) दोनों से विभाज्य संख्या (6) की गुणज होती है। चरण 2: (18) तक (6) के गुणज (6,12,18) हैं। चरण 3: दोनों से विभाज्य का अर्थ (2) या (3) से विभाज्य नहीं, बल्कि दोनों शर्तें एक साथ हैं।
A. \(({x \in \mathbb{N}:x\) अभाज्य है और \(x<12})\)/\(({x \in \mathbb{N}:x\) is prime and \(x<12})\)
Step 1
Concept
The given elements are prime numbers less than (12).
Step 2
Why this answer is correct
The condition prime and (x<12) matches exactly.
Step 3
Exam Tip
Do not add unnecessary or wrong conditions in set-builder form. चरण 1: दिए गए सदस्य (12) से छोटी अभाज्य संख्याएँ हैं। चरण 2: विकल्प में (x<12) और अभाज्य दोनों शर्तें ठीक बैठती हैं। चरण 3: समुच्चय-निर्माण रूप में अनावश्यक या गलत शर्त न जोड़ें।
Write the solutions as separate elements of the set. चरण 1: बहुपद को ((x-2)(x-3)=0) के रूप में लिख सकते हैं। चरण 2: इससे (x=2) या (x=3) मिलता है। चरण 3: समुच्चय में हलों को अलग-अलग सदस्य के रूप में लिखें।
Both endpoints have \(\leq\), so (1) and (5) are included.
Step 3
Exam Tip
In closed-boundary questions, check both endpoint values. चरण 1: (x) प्राकृतिक संख्या है और (1) से (5) तक जा सकता है। चरण 2: दोनों सिरों पर \(\leq\) है, इसलिए (1) और (5) दोनों शामिल होंगे। चरण 3: बंद सीमा वाले प्रश्नों में दोनों अंतिम मान जरूर जाँचें।
(|x|<3) means the distance of (x) from (0) is less than (3).
Step 2
Why this answer is correct
The integer values are (-2,-1,0,1,2).
Step 3
Exam Tip
In (|x|<3), (-3) and (3) are not included. चरण 1: (|x|<3) का अर्थ है (x) की दूरी (0) से (3) से कम हो। चरण 2: पूर्णांक मान (-2,-1,0,1,2) हैं। चरण 3: (|x|<3) में (-3) और (3) शामिल नहीं होते।
For combined conditions, list possible elements first and then filter them. चरण 1: (18) के गुणनखंड (1,2,3,6,9,18) हैं। चरण 2: इनमें सम सदस्य (2,6,18) हैं। चरण 3: संयुक्त शर्त में पहले सभी संभावित सदस्य लिखकर फिर छँटाई करें।
Squares from \(1^2\) to \(7^2\) give (1,4,9,16,25,36,49).
Step 3
Exam Tip
\(8^2=64\) is outside the limit, so it is excluded. चरण 1: (50) से छोटे पूर्ण वर्ग पहचानें। चरण 2: \(1^2\) से \(7^2\) तक वर्ग (1,4,9,16,25,36,49) मिलते हैं। चरण 3: \(8^2=64\) सीमा से बाहर है, इसलिए शामिल नहीं होगा।
Do not accidentally include a number beyond the boundary. चरण 1: (7) के गुणज \(7,14,21,28,35,\ldots\) हैं। चरण 2: (30) से छोटी संख्याएँ (7,14,21,28) ही हैं। चरण 3: अंतिम सीमा से बड़ी संख्या को गलती से न जोड़ें।
\(1^2,2^2,3^2,4^2,5^2\) are all less than or equal to (25).
Step 3
Exam Tip
Keep the difference between natural numbers and integers in mind. चरण 1: (x) प्राकृतिक संख्या है, इसलिए (1) से शुरू करें। चरण 2: \(1^2,2^2,3^2,4^2,5^2\) सभी (25) से कम या बराबर हैं। चरण 3: प्राकृतिक संख्या और पूर्णांक के अंतर को ध्यान में रखें।
(x) is an integer, so test both positive and negative values.
Step 2
Why this answer is correct
((-3)2=9) and \(3^2=9\), so both are elements.
Step 3
Exam Tip
In square equations, the negative solution is often missed. चरण 1: (x) पूर्णांक है, इसलिए धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान जाँचें। चरण 2: ((-3)2=9) और \(3^2=9\), इसलिए दोनों सदस्य हैं। चरण 3: वर्ग वाले प्रश्नों में ऋणात्मक हल अक्सर छूट जाता है।
The two-digit primes less than (15) are (11) and (13).
Step 3
Exam Tip
Apply all conditions together, not separately. चरण 1: दो अंकीय संख्या (10) से शुरू होती है। चरण 2: (15) से छोटी दो अंकीय अभाज्य संख्याएँ (11) और (13) हैं। चरण 3: शर्तों को अलग-अलग नहीं, साथ-साथ लागू करें।
In a set of factors, do not forget (1) and the number itself. चरण 1: (12) के धनात्मक गुणनखंड खोजें। चरण 2: (1,2,3,4,6,12) सभी (12) को पूरा-पूरा विभाजित करते हैं। चरण 3: गुणनखंडों के समुच्चय में संख्या स्वयं और (1) को न भूलें।
Here natural numbers are assumed to start from (1).
Step 2
Why this answer is correct
The one-digit even natural numbers are (2,4,6,8).
Step 3
Exam Tip
If the question defines \(\mathbb{N}\), follow that definition. चरण 1: यहाँ प्राकृतिक संख्याएँ (1) से शुरू मानी गई हैं। चरण 2: एक अंकीय सम प्राकृतिक संख्याएँ (2,4,6,8) हैं। चरण 3: प्रश्न में \(\mathbb{N}\) की परिभाषा दी हो तो उसी को मानें।
Do not increase the count just because elements are repeated in roster form. चरण 1: समुच्चय में किसी सदस्य की पुनरावृत्ति नहीं गिनी जाती। चरण 2: अलग-अलग सदस्य (1,2,3) हैं। चरण 3: रोस्टर रूप में दोहराए गए सदस्य देखकर गिनती न बढ़ाएँ।
A. \(({x \in \mathbb{N}:x\) सम है और \(x<10})\)/\(({x \in \mathbb{N}:x\) is even and \(x<10})\)
Step 1
Concept
All given elements are even natural numbers less than (10).
Step 2
Why this answer is correct
If \(x\leq 10\), then (10) would also be included, so it is not correct.
Step 3
Exam Tip
In set-builder form, choose limits that do not add extra elements. चरण 1: दिए गए सभी सदस्य (10) से छोटी सम प्राकृतिक संख्याएँ हैं। चरण 2: \(x\leq 10\) लिखने पर (10) भी आ जाएगा, इसलिए वह सही नहीं है। चरण 3: समुच्चय-निर्माण रूप में सीमा ऐसी रखें कि कोई अतिरिक्त सदस्य न आए।
