(x) is a natural number, so negative values are not allowed.
Step 2
Why this answer is correct
\(4^2=16\), so (4) belongs to the set.
Step 3
Exam Tip
Always check the given number system before taking all algebraic solutions. चरण 1: (x) प्राकृतिक संख्या है, इसलिए ऋणात्मक संख्या नहीं लेनी है। चरण 2: \(4^2=16\), इसलिए (4) सदस्य है। चरण 3: समीकरण के सभी हल लेने से पहले दी गई संख्या-प्रणाली जरूर देखें।
(-3) is excluded but (2) is included because of \(\leq\).
Step 3
Exam Tip
Read open and closed endpoints carefully in inequalities. चरण 1: (x) पूर्णांक है और (-3) से बड़ा होना चाहिए। चरण 2: (-3) शामिल नहीं होगा, लेकिन (2) शामिल होगा क्योंकि चिन्ह \(\leq\) है। चरण 3: असमानता में खुले और बंद सिरों को ध्यान से पढ़ें।
A set contains exactly the elements satisfying the given condition.
Step 2
Why this answer is correct
The usual vowels of the English alphabet are (a,e,i,o,u).
Step 3
Exam Tip
In roster form, write each element separately and only once. चरण 1: समुच्चय में वही तत्व आते हैं जो दी गई शर्त को पूरा करते हैं। चरण 2: अंग्रेजी वर्णमाला के सामान्य स्वर (a,e,i,o,u) हैं। चरण 3: रोस्टर रूप में हर तत्व को अलग-अलग और केवल एक बार लिखें।
The numbers (2,3,5,7) are prime and (1) is not prime.
Step 3
Exam Tip
In exams, never treat (1) as a prime number. चरण 1: (10) से छोटी प्राकृतिक संख्याओं में केवल अभाज्य संख्याएँ चुननी हैं। चरण 2: (2,3,5,7) अभाज्य हैं और (1) अभाज्य नहीं होता। चरण 3: परीक्षा में (1) को अभाज्य मानने की गलती न करें।
A. \(A=\left{\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5}\right}\)
Step 1
Concept
Substitute the allowed values (n=1,2,3,4).
Step 2
Why this answer is correct
The expression \(\frac{n}{n+1}\) gives \(\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5}\).
Step 3
Exam Tip
In roster form questions, apply the rule separately to every permitted value. चरण 1: दिए गए नियम में (n) के मान (1,2,3,4) रखने हैं। चरण 2: \(\frac{n}{n+1}\) से क्रमशः \(\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5}\) मिलते हैं। चरण 3: सूची रूप लिखते समय नियम को हर अनुमत मान पर अलग-अलग लागू करें।
They are formed by \(1^2-1,2^2-1,3^2-1,4^2-1,5^2-1\), so \(x=n^2-1\) is the correct rule.
Step 3
Exam Tip
In pattern-based questions, test the rule on the first few terms and also on the last term. चरण 1: दिए गए अवयवों को क्रम से देखें: (0,3,8,15,24)। चरण 2: ये \(1^2-1,2^2-1,3^2-1,4^2-1,5^2-1\) से बनते हैं, इसलिए \(x=n^2-1\) सही नियम है। चरण 3: पैटर्न वाले प्रश्नों में पहले दो-तीन पदों पर नियम जाँचें, फिर अंतिम पद पर भी जाँच कर लें।
When converting set-builder form to roster form, solve the condition first and then match it with the given number set. चरण 1: \(x^2-4x+3=0\) को ((x-1)(x-3)=0) लिखा जा सकता है। चरण 2: इससे (x=1) या (x=3) मिलता है, और दोनों पूर्णांक हैं। चरण 3: समुच्चय-निर्माण रूप से रोस्टर रूप बनाते समय पहले शर्त का हल निकालें, फिर दिए गए संख्या-समुच्चय से मिलाएँ।
The integers between (-4) and (4) are (-3,-2,-1,0,1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
The even integers among them are (-2,0,2).
Step 3
Exam Tip
(0) is also an even integer. चरण 1: (-4) और (4) के बीच पूर्णांक (-3,-2,-1,0,1,2,3) हैं। चरण 2: इनमें सम पूर्णांक (-2,0,2) हैं। चरण 3: सम पूर्णांकों में (0) भी शामिल होता है।
The least common multiple of (9) and (12) is (36).
Step 2
Why this answer is correct
The positive multiples of (36) up to (100) are (36,72).
Step 3
Exam Tip
For common multiples, first find the least common multiple. चरण 1: (9) और (12) का लघुत्तम सामान्य गुणज (36) है। चरण 2: (100) तक (36) के धन गुणज (36,72) हैं। चरण 3: सामान्य गुणज में पहले लघुत्तम सामान्य गुणज निकालना तेज तरीका है।
The positive multiples of (8) are \(8,16,24,32,40,48,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
The multiples less than (50) stop at (48).
Step 3
Exam Tip
(0) is not included among positive natural multiples. चरण 1: (8) के धन गुणज \(8,16,24,32,40,48,\ldots\) हैं। चरण 2: (50) से छोटे गुणज (8,16,24,32,40,48) तक ही हैं। चरण 3: धन प्राकृतिक गुणज में (0) शामिल नहीं किया जाता।
From natural numbers less than (20), choose those not divisible by both (2) and (3).
Step 2
Why this answer is correct
The elements are (1,5,7,11,13,17,19).
Step 3
Exam Tip
For “neither” conditions, remove numbers satisfying each excluded divisibility. चरण 1: (20) से छोटी प्राकृतिक संख्याओं में वे चुनें जो (2) और (3) दोनों से विभाज्य न हों। चरण 2: ऐसे अवयव (1,5,7,11,13,17,19) हैं। चरण 3: “न तो” वाली शर्त में दोनों विभाज्यताओं को हटाएँ।
(x) is an integer and the interval includes both (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore (-1,0,1) are all included.
Step 3
Exam Tip
(0) is an integer, so do not skip it while listing values. चरण 1: (x) पूर्णांक है और (-1) से (1) तक बराबर सहित है। चरण 2: इसलिए (-1,0,1) तीनों अवयव शामिल होंगे। चरण 3: (0) पूर्णांक है, इसे बीच की गिनती में न छोड़ें।
Numbers up to (10) divisible by (2) are (2,4,6,8,10).
Step 2
Why this answer is correct
Numbers divisible by (5) are (5,10), so together we get ({2,4,5,6,8,10}).
Step 3
Exam Tip
With “or”, include elements satisfying either condition, but write duplicates once. चरण 1: (10) तक (2) से विभाज्य संख्याएँ (2,4,6,8,10) हैं। चरण 2: (5) से विभाज्य संख्याएँ (5,10) हैं, संयुक्त रूप से ({2,4,5,6,8,10}) मिलता है। चरण 3: “या” में दोनों शर्तों से मिलने वाले सभी अवयव लें, दोहराव एक बार लिखें।
Look at the natural numbers between (15) and (25).
Step 2
Why this answer is correct
The primes among them are (17,19,23). (21) and (25) are not prime.
Step 3
Exam Tip
Use quick divisibility checks to identify primes. चरण 1: (15) और (25) के बीच प्राकृतिक संख्याएँ देखें। चरण 2: इनमें अभाज्य संख्याएँ (17,19,23) हैं। (21) और (25) अभाज्य नहीं हैं। चरण 3: अभाज्य पहचानते समय विभाज्यता की जल्दी जाँच करें।
\(0^2,1^2,2^2,3^2\) are less than (10), but \(4^2=16\) is not. So \(M=\{0,1,2,3\}\).
Step 3
Exam Tip
Remember to include (0) in whole numbers. चरण 1: पूर्ण संख्याएँ \(0,1,2,3,\ldots\) होती हैं। चरण 2: \(0^2,1^2,2^2,3^2\) (10) से छोटे हैं, पर \(4^2=16\) नहीं। इसलिए \(M=\{0,1,2,3\}\)। चरण 3: पूर्ण संख्याओं में (0) को शामिल करना न भूलें।
The positive divisors of (36) are (1,2,3,4,6,9,12,18,36).
Step 2
Why this answer is correct
The divisors greater than (6) are (9,12,18,36).
Step 3
Exam Tip
“Greater than” does not include equality. चरण 1: (36) के धन भाजक (1,2,3,4,6,9,12,18,36) हैं। चरण 2: (6) से बड़े भाजक (9,12,18,36) हैं। चरण 3: “से बड़ा” में बराबर शामिल नहीं होता।
A. \(A={x:x\) अंग्रेजी वर्णमाला के पहले तीन अक्षर हैं(})/\(A={x:x\) is one of the first three letters of the English alphabet(})
Step 1
Concept
(a,b,c) are the first three letters of the English alphabet.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore the description correctly gives exactly these three elements.
Step 3
Exam Tip
In descriptive form, write a condition that gives neither extra nor missing elements. चरण 1: (a,b,c) अंग्रेजी वर्णमाला के पहले तीन अक्षर हैं। चरण 2: इसलिए दिया गया वर्णन इन्हीं तीन अवयवों को ठीक से बताता है। चरण 3: वर्णनात्मक रूप में ऐसी शर्त लिखें जो न ज्यादा अवयव दे, न कम।
\(x^2-10x+21=0\) can be written as ((x-3)(x-7)=0).
Step 2
Why this answer is correct
(x=3) or (x=7), and both are natural numbers.
Step 3
Exam Tip
After solving, match the solutions with the given domain. चरण 1: \(x^2-10x+21=0\) को ((x-3)(x-7)=0) लिखा जा सकता है। चरण 2: (x=3) या (x=7), और दोनों प्राकृतिक संख्याएँ हैं। चरण 3: हल निकालने के बाद दिए गए क्षेत्र से मिलान करें।
The multiples of (11) in this range are (11,22,33,44,55,66,77,88,99).
Step 3
Exam Tip
Under the condition less than (100), (99) can be included. चरण 1: दो अंकों वाली संख्याएँ (10) से (99) तक होती हैं। चरण 2: (11) की ऐसी गुणज संख्याएँ (11,22,33,44,55,66,77,88,99) हैं। चरण 3: (100) से छोटी शर्त में (99) शामिल हो सकता है।
The common divisors with (24) are (1,2,3,6), so this is the set.
Step 3
Exam Tip
For common divisors, test both numbers together. चरण 1: (18) के भाजक (1,2,3,6,9,18) हैं। चरण 2: (24) के साथ सामान्य भाजक (1,2,3,6) हैं, इसलिए यही समुच्चय है। चरण 3: सामान्य भाजक में दोनों संख्याओं को साथ-साथ जाँचें।
In a set defined by a quadratic condition, the solutions become the elements. चरण 1: \(x^2-5x+6=0\) को ((x-2)(x-3)=0) लिखा जा सकता है। चरण 2: इसलिए (x=2) या (x=3), अतः \(E=\{2,3\}\)। चरण 3: द्विघात शर्त वाले समुच्चय में हल ही अवयव बनते हैं।
The positive multiples of (7) less than (50) are (7,14,21,28,35,42,49).
Step 2
Why this answer is correct
There are (7) elements.
Step 3
Exam Tip
While counting multiples, compare the last multiple with the boundary. चरण 1: (50) से छोटी (7) की धन गुणज संख्याएँ (7,14,21,28,35,42,49) हैं। चरण 2: कुल (7) अवयव हैं। चरण 3: गिनती करते समय अंतिम गुणज को सीमा से तुलना करके ही शामिल करें।
Since \(x\in N\), the possible values are (1,2,3,4,5).
Step 3
Exam Tip
After solving an inequality, always apply the given number set. चरण 1: \(3x\le 15\) से \(x\le 5\) मिलता है। चरण 2: \(x\in N\) होने से (x=1,2,3,4,5) होंगे। चरण 3: असमानता हल करने के बाद भी दिए गए संख्या-समुच्चय को याद रखें।
(|x|<3) means the distance of (x) from (0) is less than (3).
Step 2
Why this answer is correct
The integer values are (-2,-1,0,1,2).
Step 3
Exam Tip
For absolute value conditions, check both negative and positive sides. चरण 1: (|x|<3) का अर्थ है (x) की दूरी (0) से (3) से कम हो। चरण 2: पूर्णांक मान (-2,-1,0,1,2) हैं। चरण 3: परिमाण वाली शर्त में ऋण और धन दोनों ओर के मान देखें।
(2n-1) usually represents the first (n) odd natural numbers. चरण 1: (n=1,2,3,4,5) होंगे। चरण 2: (2n-1) में रखने पर (1,3,5,7,9) मिलते हैं। चरण 3: (2n-1) सामान्यतः पहली (n) विषम प्राकृतिक संख्याएँ देता है।
The phrase “between” usually means the endpoints are not included.
Step 2
Why this answer is correct
The odd natural numbers between (1) and (10) are (3,5,7,9).
Step 3
Exam Tip
In word-based boundary conditions, decide carefully whether endpoints are included. चरण 1: “बीच की” का सामान्य अर्थ है कि सीमाएँ शामिल नहीं होतीं। चरण 2: (1) और (10) के बीच विषम प्राकृतिक संख्याएँ (3,5,7,9) हैं। चरण 3: शब्दों वाली सीमा में यह देखें कि किन सिरों को शामिल करना है।
The integer solutions of \(x^2=9\) are (x=3) and (x=-3).
Step 2
Why this answer is correct
Both satisfy the condition, so \(S=\{-3,3\}\).
Step 3
Exam Tip
When a square is given, always check the negative value too. चरण 1: \(x^2=9\) के पूर्णांक हल (x=3) और (x=-3) हैं। चरण 2: दोनों मान शर्त पूरी करते हैं, इसलिए \(S=\{-3,3\}\)। चरण 3: वर्ग का मान समान आने पर ऋण मान को भी जाँचें।
Positive multiples of (5) start from (5), not (0).
Step 2
Why this answer is correct
Because the condition says less than (30), (30) is excluded. Thus ({5,10,15,20,25}) is correct.
Step 3
Exam Tip
Understand the difference between “less than” and “up to”. चरण 1: धन गुणज (5) से शुरू होंगे, (0) धन संख्या नहीं माना जाएगा। चरण 2: (30) से छोटी शर्त के कारण (30) शामिल नहीं होगा, इसलिए ({5,10,15,20,25}) सही है। चरण 3: “से छोटी” और “तक” में अंतर समझें।
Use (n=0) only when whole numbers are specified. चरण 1: \(n\in N\) और \(n\le 4\) होने से (n=1,2,3,4) होंगे। चरण 2: (x=3n+1) में मान रखने पर (4,7,10,13) मिलते हैं। चरण 3: (n=0) तभी लें जब (n) पूर्ण संख्या में दिया हो।
(x) is an integer greater than (-3), so (-3) is not included.
Step 2
Why this answer is correct
Equality is allowed at (2), so (2) is included. Hence ({-2,-1,0,1,2}) is correct.
Step 3
Exam Tip
Read open and closed boundary conditions carefully. चरण 1: (x) पूर्णांक है और (-3) से बड़ा है, इसलिए (-3) शामिल नहीं होगा। चरण 2: (2) तक बराबर की अनुमति है, इसलिए (2) शामिल होगा। अतः ({-2,-1,0,1,2}) सही है। चरण 3: खुली और बंद सीमा को ध्यान से पढ़ें।
