When (x) is a common factor, do not forget the solution (x=0). चरण 1: \(x^2=2x\) को \(x^2-2x=0\) लिखें। चरण 2: (x(x-2)=0), इसलिए (x=0) या (x=2) मिलता है। दोनों पूर्णांक हैं। चरण 3: जब समीकरण में (x) सामान्य गुणनखंड हो, तो (x=0) को भूलना नहीं चाहिए।
As natural numbers, the positive multiples of (6) are \(6,12,18,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(x\le 36\), the last element is (36). So the list is (6,12,18,24,30,36).
Step 3
Exam Tip
Whether zero is included in natural numbers can vary by convention, but here the positive multiples are clearly intended. चरण 1: प्राकृतिक संख्या के रूप में (6) के धन गुणज \(6,12,18,\ldots\) होते हैं। चरण 2: \(x\le 36\) के कारण अंतिम सदस्य (36) होगा। इसलिए सूची (6,12,18,24,30,36) है। चरण 3: प्राकृतिक संख्या में शून्य शामिल है या नहीं, यह प्रश्न की परंपरा पर निर्भर हो सकता है, पर यहां धन गुणज साफ दिख रहे हैं।
From \(x^2\le 9\), possible integer values are (-3,-2,-1,0,1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
From (x+1>0), we get (x>-1), so (-1) and smaller values are removed. The remaining set is ({0,1,2,3}).
Step 3
Exam Tip
With two inequalities, take the common part of both conditions. चरण 1: \(x^2\le 9\) से (x=-3,-2,-1,0,1,2,3) संभव हैं। चरण 2: (x+1>0) से (x>-1), इसलिए (-1) और उससे छोटे मान हटेंगे। बचा समुच्चय ({0,1,2,3}) है। चरण 3: दो असमानताओं में दोनों का समान भाग लेना होता है।
The second option would miss (2) because (2) is not odd. So the first option describes the whole set correctly.
Step 3
Exam Tip
Remember (2) separately; it is the only even prime number. चरण 1: (2,3,5,7) (10) से छोटी अभाज्य संख्याएं हैं। चरण 2: दूसरा विकल्प (2) को छोड़ देगा क्योंकि (2) विषम नहीं है। इसलिए पहला विकल्प ही पूरे समुच्चय को ठीक बताता है। चरण 3: अभाज्य संख्याओं में (2) को अलग से याद रखें, यह एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।
The integers from (-3) to (3) are (-3,-2,-1,0,1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2\) is even when (x) is even. So the elements are (-2,0,2).
Step 3
Exam Tip
Evenness and oddness are preserved when squaring an integer. चरण 1: (-3) से (3) तक पूर्णांक (-3,-2,-1,0,1,2,3) हैं। चरण 2: \(x^2\) सम तब होगा जब (x) सम हो। इसलिए सदस्य (-2,0,2) हैं। चरण 3: सम-विषम का गुण वर्ग लेने पर भी बना रहता है।
The divisors of (100) are (1,2,4,5,10,20,25,50,100).
Step 2
Why this answer is correct
The two-digit divisors among them are (10,20,25,50). Hence \(V=\{10,20,25,50\}\).
Step 3
Exam Tip
Check both the divisor condition and the number-of-digits condition separately. चरण 1: (100) के भाजक (1,2,4,5,10,20,25,50,100) हैं। चरण 2: इनमें दो अंकों वाले भाजक (10,20,25,50) हैं। इसलिए \(V=\{10,20,25,50\}\)। चरण 3: संख्या की प्रकृति और अंकों की संख्या दोनों शर्तों को अलग-अलग जांचें।
This gives (x=1) or (x=-1), and both are integers.
Step 3
Exam Tip
In square equations, do not ignore the negative solution. चरण 1: \(x^2-1=0\) को ((x-1)(x+1)=0) लिखा जाता है। चरण 2: इससे (x=1) या (x=-1) मिलता है, और दोनों पूर्णांक हैं। चरण 3: वर्ग समीकरण में ऋणात्मक हल को नजरअंदाज न करें।
The small positive divisors of (48) are (1,2,3,4,6,8).
Step 2
Why this answer is correct
(12) is also a divisor, but it is not included because of (x<10). Hence \(T=\{1,2,3,4,6,8\}\).
Step 3
Exam Tip
Apply the boundary condition before writing the final roster form. चरण 1: (48) के छोटे धन भाजक (1,2,3,4,6,8) हैं। चरण 2: (12) भी भाजक है, पर (x<10) की शर्त से वह शामिल नहीं होगा। इसलिए \(T=\{1,2,3,4,6,8\}\)। चरण 3: सीमा की शर्त लगाने के बाद ही अंतिम रोस्टर रूप लिखें।
(11,13,17,19,23) are prime, while numbers like (15,21,25) are composite.
Step 3
Exam Tip
While checking primes, test small divisors such as (2,3,5). चरण 1: (10) और (25) के बीच प्राकृतिक संख्याओं में अभाज्य संख्याएं खोजनी हैं। चरण 2: (11,13,17,19,23) अभाज्य हैं, जबकि (15,21,25) जैसी संख्याएं भाज्य हैं। चरण 3: अभाज्य पहचानते समय (2,3,5) जैसे छोटे भाजकों से जांच करें।
\(|x|\le 2\) means the distance of (x) from zero is at most (2).
Step 2
Why this answer is correct
The integer values are (-2,-1,0,1,2).
Step 3
Exam Tip
In modulus, both negative and positive values can appear, so look at both sides of the number line. चरण 1: \(|x|\le 2\) का अर्थ है कि (x) की शून्य से दूरी अधिकतम (2) है। चरण 2: पूर्णांक मान (-2,-1,0,1,2) होंगे। चरण 3: मापांक में ऋणात्मक और धनात्मक दोनों मान आते हैं, इसलिए दोनों ओर की संख्या रेखा देखें।
Because (x>5), (1,2,3,5) are removed and (6,10,15,30) remain.
Step 3
Exam Tip
It is easier to list the divisors first and then apply the inequality condition. चरण 1: (30) के भाजक (1,2,3,5,6,10,15,30) हैं। चरण 2: (x>5) के कारण (1,2,3,5) हटेंगे और (6,10,15,30) बचेंगे। चरण 3: भाजक लिखने के बाद असमानता की शर्त लगाना आसान रहता है।
From ((x-4)(x+2)<0), we get (-2<x<4), so the integer elements are (-1,0,1,2,3).
Step 3
Exam Tip
In strict inequalities, boundary points are not included. चरण 1: \(x^2<2x+8\) को \(x^2-2x-8<0\) में बदलें। चरण 2: ((x-4)(x+2)<0) से (-2<x<4) मिलता है, इसलिए पूर्णांक (-1,0,1,2,3) हैं। चरण 3: सख्त असमानता में सीमा बिंदु शामिल नहीं किए जाते।
((x-4)(x+2)<0), so (-2<x<4), giving integer elements (-1,0,1,2,3).
Step 3
Exam Tip
The exact set is ({-1,0,1,2,3}), so none of the listed options is fully correct; in a well-set MCQ, options must be checked carefully. चरण 1: \(x^2<2x+8\) को \(x^2-2x-8<0\) लिखें। चरण 2: ((x-4)(x+2)<0), इसलिए (-2<x<4) और पूर्णांक सदस्य (-1,0,1,2,3) होने चाहिए। लेकिन (x=-2) पर मूल असमानता (4<4) झूठी है, इसलिए विकल्पों में सही पूर्ण सूची (-1,0,1,2,3) नहीं है। चरण 3: दिए गए विकल्पों में कोई भी पूर्ण सही नहीं दिखता, इसलिए प्रश्न में सावधानी से विकल्प जांचना चाहिए।
The factors of (25) are (1,5,25). The common factors are (1) and (5), so \(C=\{1,5\}\).
Step 3
Exam Tip
A factor of both means a common factor. चरण 1: (15) के गुणनखंड (1,3,5,15) हैं। चरण 2: (25) के गुणनखंड (1,5,25) हैं। दोनों में समान सदस्य (1) और (5) हैं, इसलिए \(C=\{1,5\}\)। चरण 3: दोनों का गुणनखंड का अर्थ समान गुणनखंड होता है।
Since (x<10) and \(x\in \mathbb{N}\), (x) can be from (1) to (9).
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2\) becomes a two-digit number when \(x^2\ge 10\), which starts from (x=4). Hence \(B=\{4,5,6,7,8,9\}\).
Step 3
Exam Tip
A two-digit condition means the value lies from (10) to (99). चरण 1: (x<10) और \(x\in \mathbb{N}\) होने से (x=1) से (9) तक हो सकता है। चरण 2: \(x^2\) दो अंकों की संख्या तब बनेगा जब \(x^2\ge 10\), जो (x=4) से शुरू होता है। इसलिए \(B=\{4,5,6,7,8,9\}\)। चरण 3: दो अंकों की शर्त का अर्थ (10) से (99) तक होता है।
The integers in \(-5\le x<2\) are (-5,-4,-3,-2,-1,0,1).
Step 2
Why this answer is correct
The even integers among these are (-4,-2,0). Hence \(A=\{-4,-2,0\}\).
Step 3
Exam Tip
Negative even numbers are still even; only their sign is different. चरण 1: सीमा \(-5\le x<2\) में पूर्णांक (-5,-4,-3,-2,-1,0,1) आते हैं। चरण 2: इनमें सम पूर्णांक (-4,-2,0) हैं। इसलिए \(A=\{-4,-2,0\}\)। चरण 3: ऋणात्मक सम संख्याओं को भी सम ही मानें, केवल उनका चिह्न अलग होता है।
If a product is zero, at least one factor must be zero.
Step 2
Why this answer is correct
From (x-1=0), (x=1), and from (x+2=0), (x=-2). Hence \(Z=\{-2,1\}\).
Step 3
Exam Tip
Be careful with signs because sign errors are common in such questions. चरण 1: गुणनफल शून्य होने पर कम से कम एक गुणनखंड शून्य होता है। चरण 2: (x-1=0) से (x=1) और (x+2=0) से (x=-2) मिलता है। इसलिए \(Z=\{-2,1\}\)। चरण 3: चिन्ह बदलते समय सावधानी रखें, क्योंकि यही सबसे सामान्य गलती है।
Among these, the perfect squares are (1,4,9,36). Hence \(R=\{1,4,9,36\}\).
Step 3
Exam Tip
In a set with two properties, each element must satisfy both conditions. चरण 1: (36) के भाजक (1,2,3,4,6,9,12,18,36) हैं। चरण 2: इनमें पूर्ण वर्ग (1,4,9,36) हैं। इसलिए \(R=\{1,4,9,36\}\)। चरण 3: दो गुणों वाले समुच्चय में हर सदस्य दोनों शर्तें पूरी करे, यह जांचना जरूरी है।
The distinct letters of the word are (m,a,t,h,e,i,c,s), so the first option is correct.
Step 3
Exam Tip
In letter-based sets, both order and repetition do not matter. चरण 1: समुच्चय में दोहराए गए अक्षर केवल एक बार लिखे जाते हैं। चरण 2: शब्द में अलग-अलग अक्षर (m,a,t,h,e,i,c,s) हैं, इसलिए पहला विकल्प सही है। चरण 3: अक्षर वाले समुच्चय में क्रम और दोहराव दोनों का महत्व नहीं होता।
The given elements are the first five positive multiples of (4).
Step 2
Why this answer is correct
(4n), where (n=1,2,3,4,5), gives exactly (4,8,12,16,20). Other options include extra elements.
Step 3
Exam Tip
The most accurate form is the one that creates only the given elements. चरण 1: दिए गए सदस्य (4) के पहले पांच धन गुणज हैं। चरण 2: (4n) जहां (n=1,2,3,4,5), ठीक (4,8,12,16,20) देता है। बाकी विकल्पों में अतिरिक्त सदस्य आ जाते हैं। चरण 3: सबसे सही रूप वही होता है जो केवल दिए गए सदस्यों को बनाए।
This gives (x(x-1)(x+1)=0), so (x=-1,0,1), and all are integers.
Step 3
Exam Tip
Factoring the equation helps identify the elements of the set quickly. चरण 1: \(x^3=x\) को \(x^3-x=0\) लिखा जा सकता है। चरण 2: (x(x-1)(x+1)=0), इसलिए (x=-1,0,1) हैं और ये सभी पूर्णांक हैं। चरण 3: समीकरण को गुणनखंडों में बदलने से समुच्चय के सदस्य आसानी से मिलते हैं।
In a two-digit number, the tens digit cannot be zero.
Step 2
Why this answer is correct
If the sum of digits is (3), the possible numbers are (12,21,30). (03) is not considered a two-digit number.
Step 3
Exam Tip
In digit-based sets, check the digit condition separately from the number condition. चरण 1: दो अंकों की संख्या में दहाई अंक शून्य नहीं हो सकता। चरण 2: अंकों का योग (3) होने पर संभावित संख्याएं (12,21,30) हैं। (03) दो अंकों की संख्या नहीं मानी जाती। चरण 3: अंक-आधारित समुच्चयों में संख्या की अंकों वाली शर्त को अलग से जांचें।
Equal sets have exactly the same elements; order and repetition do not matter.
Step 2
Why this answer is correct
In the first option, the distinct elements of both sets are (1,2,3). So they are equal.
Step 3
Exam Tip
Do not get confused by repeated elements in roster form. चरण 1: समान समुच्चयों में सदस्य बिल्कुल वही होते हैं, क्रम और दोहराव का कोई महत्व नहीं होता। चरण 2: पहले विकल्प में दोनों समुच्चयों के अलग-अलग सदस्य (1,2,3) ही हैं। इसलिए वे समान हैं। चरण 3: रोस्टर रूप में दोहराए सदस्य देखकर भ्रमित न हों।
The natural factors of (20) are (1,2,4,5,10,20), so the first option is correct.
Step 3
Exam Tip
While listing factors, do not forget (1) and the number itself. चरण 1: गुणनखंड वे संख्याएं हैं जिनसे (20) पूरा विभाजित हो जाए। चरण 2: (20) के प्राकृतिक गुणनखंड (1,2,4,5,10,20) हैं। इसलिए पहला विकल्प सही है। चरण 3: गुणनखंड लिखते समय (1) और स्वयं संख्या को शामिल करना न भूलें।
In \(-2<x\le 3\), (-2) is not included, but (3) is included.
Step 2
Why this answer is correct
The integers in this range are (-1,0,1,2,3).
Step 3
Exam Tip
Pay attention to open and closed boundary signs because they change the elements. चरण 1: शर्त \(-2<x\le 3\) में (-2) शामिल नहीं है, लेकिन (3) शामिल है। चरण 2: इस सीमा के पूर्णांक (-1,0,1,2,3) हैं। चरण 3: खुले और बंद चिन्हों पर ध्यान दें, क्योंकि एक ही सीमा में सदस्य बदल सकते हैं।
Since (x) is a natural number, the elements are (1,2,3,4).
Step 3
Exam Tip
After solving an inequality, list elements according to the given number system. चरण 1: असमानता (3x+1<16) से (3x<15), इसलिए (x<5) मिलता है। चरण 2: (x) प्राकृतिक संख्या है, इसलिए संभावित सदस्य (1,2,3,4) हैं। चरण 3: असमानता हल करने के बाद संख्या-समुच्चय के अनुसार ही सदस्य लिखें।
A. \((F={x:x\) is a vowel in the English alphabet})
Step 1
Concept
The elements (a,e,i,o,u) are vowels in the English alphabet.
Step 2
Why this answer is correct
So the correct description must include all and only these five vowels. Other options either take consonants or include too many letters.
Step 3
Exam Tip
A description is correct only when it neither adds extra elements nor misses given elements. चरण 1: दिए गए सदस्य (a,e,i,o,u) अंग्रेजी वर्णमाला के स्वर हैं। चरण 2: इसलिए सही वर्णन वही होगा जो सभी और केवल इन्हीं पांच स्वरों को शामिल करे। अन्य विकल्प या तो व्यंजन लेते हैं या बहुत अधिक अक्षर जोड़ देते हैं। चरण 3: किसी वर्णन को सही तभी मानें जब उससे न कोई अतिरिक्त सदस्य आए और न कोई दिया गया सदस्य छूटे।
The equation \(x^2-5x+6=0\) can be written as ((x-2)(x-3)=0).
Step 2
Why this answer is correct
This gives (x=2) or (x=3), and both are natural numbers, so \(T=\{2,3\}\).
Step 3
Exam Tip
In equation-based sets, always check whether the solutions belong to the given number system. चरण 1: \(x^2-5x+6=0\) को ((x-2)(x-3)=0) लिखा जा सकता है। चरण 2: इससे (x=2) या (x=3) मिलता है, और दोनों प्राकृतिक संख्याएं हैं। इसलिए \(T=\{2,3\}\)। चरण 3: समीकरण वाले समुच्चय में हल निकालने के बाद यह जरूर जांचें कि हल दिए गए संख्या-समुच्चय में है या नहीं।
\(|x-2|\le 3\) means (x) is at most (3) units away from (2).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(-1\le x\le 5\), and since (x) is an integer, the elements are (-1,0,1,2,3,4,5).
Step 3
Exam Tip
In modulus-based set questions, thinking in terms of distance makes the roster form easier. चरण 1: \(|x-2|\le 3\) का अर्थ है कि (x), (2) से अधिकतम (3) दूरी पर है। चरण 2: इसलिए \(-1\le x\le 5\) और (x) पूर्णांक है, तो सदस्य (-1,0,1,2,3,4,5) होंगे। चरण 3: मापांक वाले प्रश्नों में दूरी की सोच लगाने से रोस्टर रूप जल्दी बनता है।
Among these, the odd elements are only (1) and (3), so \(C=\{1,3\}\).
Step 3
Exam Tip
When two conditions are given, first make the larger list and then filter it using the second condition. चरण 1: (12) के धन भाजक (1,2,3,4,6,12) हैं। चरण 2: इनमें से विषम सदस्य केवल (1) और (3) हैं, इसलिए \(C=\{1,3\}\)। चरण 3: जब दो शर्तें दी हों, तो पहले बड़ी सूची बनाएं और फिर दूसरी शर्त लगाकर छांटें।
