यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\sin x) हो तो (f) एकैकी है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\sin x), is (f) one-one?
#one-one-function
#trigonometric-function
#not-one-one
A नहीं / No
B हाँ / Yes
C केवल (0) पर / Only at (0)
D यह फलन नहीं है / It is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. नहीं / No
Step 1
Concept
\(\sin x\) आवर्ती फलन है। / \(\sin x\) is a periodic function.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin 0=0\) और \(\sin \pi=0\) जबकि \(0\neq\pi\)। / \(\sin 0=0\) and \(\sin \pi=0\), while \(0\neq\pi\).
Step 3
Exam Tip
पूरे वास्तविक प्रांत पर आवर्ती फलन अक्सर एकैकी नहीं होते। / Periodic functions are usually not one-one on the whole real domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-2 +4x+4) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 +4x+4), what type of function is (f)?
#one-one-function
#quadratic-function
#perfect-square
A एकैकी नहीं / Not one-one
B एकैकी / One-one
C सर्वसमिका / Identity
D रैखिक / Linear
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी नहीं / Not one-one
Step 1
Concept
(x-2 +4x+4=(x+2)2 ) है। / (x-2 +4x+4=(x+2)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=1) और (f(-3)=1) जबकि \(-1\neq-3\)। / (f(-1)=1) and (f(-3)=1), although \(-1\neq-3\).
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग रूप देखकर समान मान देने वाले दो आगत आसानी से मिलते हैं। / The perfect square form helps find two inputs with the same output.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=2x-3 -1) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=2x-3 -1), what type of function is (f)?
#one-one-function
#cubic-function
#transformation
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(x^3\) अलग वास्तविक आगतों पर अलग मान देता है। / \(x^3\) gives different values for different real inputs.
Step 2
Why this answer is correct
(2) से गुणा और (1) घटाने पर समानता की प्रकृति नहीं बदलती। / Multiplying by (2) and subtracting (1) does not change the equality pattern.
Step 3
Exam Tip
सरल घन फलन के रैखिक रूपांतरण भी एकैकी रहते हैं। / Linear transformations of a basic cubic function remain one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-3 +2) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 +2), what type of function is (f)?
#one-one-function
#cubic-function
#translation
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D सिर्फ शून्य पर परिभाषित / Defined only at zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(x^3\) एक बढ़ने वाला फलन है। / \(x^3\) is an increasing function.
Step 2
Why this answer is correct
उसमें (2) जोड़ने से अलग आगतों के मान अलग ही रहते हैं। / Adding (2) keeps different input values different.
Step 3
Exam Tip
किसी एकैकी फलन में स्थिर संख्या जोड़ने से एकैकीपन नहीं बदलता। / Adding a constant to a one-one function does not change one-one property.
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एकैकी फलन को पहचानने का सबसे अच्छा बीजगणितीय तरीका कौन सा है?
What is the best algebraic method to identify a one-one function?
#one-one-function
#algebraic-test
#proof
A (f(a)=f(b)) मानकर (a=b) सिद्ध करना / Assume (f(a)=f(b)) and prove (a=b)
B केवल (f(0)) निकालना / Find only (f(0))
C केवल परास लिखना / Write only the range
D केवल सहप्रांत गिनना / Count only the codomain
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f(a)=f(b)) मानकर (a=b) सिद्ध करना / Assume (f(a)=f(b)) and prove (a=b)
Step 1
Concept
एकैकीपन आगतों और निर्गतों की तुलना से जुड़ा है। / One-one property is about comparing inputs and outputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(a)=f(b)) से (a=b) निकलता है तो फलन एकैकी है। / If (f(a)=f(b)) leads to (a=b), the function is one-one.
Step 3
Exam Tip
केवल एक मान निकालना एकैकीपन का प्रमाण नहीं होता। / Finding only one function value is not a proof of one-one.
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यदि \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=x-2 -2x) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x-2 -2x), what type of function is (f)?
#one-one-function
#quadratic-function
#restricted-domain
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(x-2 -2x=(x-1)2 -1) है। / (x-2 -2x=(x-1)2 -1).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\geq1\) पर ((x-1)2 ) बढ़ता है इसलिए अलग (x) पर अलग मान मिलते हैं। / For \(x\geq1\), ((x-1)2 ) increases, so different (x) values give different outputs.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन धुरी के एक ओर एकैकी हो सकता है। / A quadratic function can be one-one on one side of its axis.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-2 -2x) हो तो एकैकीपन तोड़ने वाला सरल युग्म कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 -2x), which simple pair breaks one-one property?
#one-one-function
#quadratic-function
#counterexample
A (0) और (2) / (0) and (2)
B (1) और (2) / (1) and (2)
C (2) और (3) / (2) and (3)
D (3) और (4) / (3) and (4)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (0) और (2) / (0) and (2)
Step 1
Concept
(f(0)=0) है। / (f(0)=0).
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=4-4=0) है जबकि \(0\neq2\)। / (f(2)=4-4=0), while \(0\neq2\).
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन में धुरी के दोनों ओर समान मान मिल सकते हैं। / In a quadratic function, equal values can occur on both sides of the axis.
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यदि \(f:[3,\infty\)\to[0,\infty)) और (f(x)=|x-3|) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:[3,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=|x-3|), what type of function is (f)?
#one-one-function
#restricted-domain
#modulus-function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(x\geq3\) पर (|x-3|=x-3) हो जाता है। / For \(x\geq3\), (|x-3|=x-3).
Step 2
Why this answer is correct
(x-3) बढ़ने वाला रैखिक फलन है। / (x-3) is an increasing linear function.
Step 3
Exam Tip
प्रांत सीमित करने पर मापांक फलन एकैकी बन सकता है। / Restricting the domain can make a modulus function one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=|x-3|) हो तो कौन सा युग्म एकैकीपन तोड़ता है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|x-3|), which pair breaks one-one property?
#one-one-function
#modulus-function
#counterexample
A (2) और (4) / (2) and (4)
B (3) और (4) / (3) and (4)
C (1) और (3) / (1) and (3)
D (0) और (3) / (0) and (3)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (2) और (4) / (2) and (4)
Step 1
Concept
(f(2)=|2-3|=1) है। / (f(2)=|2-3|=1).
Step 2
Why this answer is correct
(f(4)=|4-3|=1) है जबकि \(2\neq4\)। / (f(4)=|4-3|=1), although \(2\neq4\).
Step 3
Exam Tip
मापांक में केंद्र से बराबर दूरी वाले दो बिंदु समान मान दे सकते हैं। / In modulus functions, points equally far from the center can give the same value.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=5x) हो तो (f) एकैकी क्यों है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=5x), why is (f) one-one?
#one-one-function
#multiplication
#linear-function
A क्योंकि (5a=5b) से (a=b) मिलता है / Because (5a=5b) gives (a=b)
B क्योंकि हर मान (0) है / Because every value is (0)
C क्योंकि (5x) स्थिर है / Because (5x) is constant
D क्योंकि (x) हट जाता है / Because (x) disappears
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Correct Answer
A. क्योंकि (5a=5b) से (a=b) मिलता है / Because (5a=5b) gives (a=b)
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) मानने पर (5a=5b) मिलता है। / Assuming (f(a)=f(b)) gives (5a=5b).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों ओर (5) से भाग देने पर (a=b) है। / Dividing both sides by (5) gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
शून्य से अलग गुणन एकैकीपन बनाए रखता है। / Multiplication by a non-zero number preserves one-one property.
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यदि किसी फलन में दो अलग आगतों का समान प्रतिबिंब मिल जाए तो वह फलन कैसा होगा?
If a function has the same image for two different inputs, what type of function will it be?
#one-one-function
#counterexample
#concept
A एकैकी नहीं / Not one-one
B हमेशा एकैकी / Always one-one
C हमेशा द्वैकीय / Always bijective
D हमेशा सर्वसमिका / Always identity
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी नहीं / Not one-one
Step 1
Concept
एकैकी फलन में ऐसा दोहराव नहीं होना चाहिए। / Such repetition is not allowed in a one-one function.
Step 2
Why this answer is correct
दो अलग आगतों का समान प्रतिबिंब मिलने पर शर्त टूट जाती है। / If two different inputs have the same image, the condition fails.
Step 3
Exam Tip
एक विरोधी उदाहरण एकैकीपन नकारने के लिए पर्याप्त है। / One counterexample is enough to disprove one-one.
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यदि \(f:{1,2,3,4}\to{a,b,c,d}\) में प्रतिबिंब (a,b,c,d) अलग-अलग हैं तो (f) कैसा है?
If \(f:{1,2,3,4}\to{a,b,c,d}\) has distinct images (a,b,c,d), what type of function is (f)?
#one-one-function
#finite-set
#distinct-images
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
एकैकीपन के लिए सभी प्रतिबिंब अलग होने चाहिए। / For one-one, all images must be distinct.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ चारों प्रतिबिंब अलग दिए गए हैं। / Here all four images are given as distinct.
Step 3
Exam Tip
सीमित फलनों में दोहराव न हो तो फलन एकैकी होता है। / In finite functions, no repetition of images means the function is one-one.
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यदि \(f:A\to B\) एकैकी है और (f\(a_1\)=f\(a_2\)) हो तो कौन सा निष्कर्ष सही है?
If \(f:A\to B\) is one-one and (f\(a_1\)=f\(a_2\)), which conclusion is correct?
#one-one-function
#definition
#proof-form
A \(a_1=a_2\)
B \(a_1\neq a_2\)
C (f\(a_1\)=0)
D (B) खाली है / (B) is empty
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Correct Answer
A. \(a_1=a_2\)
Step 1
Concept
एकैकी फलन की शर्त समान निर्गत से समान आगत तक जाती है। / The condition for one-one connects equal outputs to equal inputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f\(a_1\)=f\(a_2\)) होने पर \(a_1=a_2\) होना चाहिए। / If (f\(a_1\)=f\(a_2\)), then \(a_1=a_2\).
Step 3
Exam Tip
यह प्रमाण लिखने में सबसे अधिक उपयोग होने वाला रूप है। / This is the most commonly used form in proofs.
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यदि \(f:A\to B\) एकैकी है और \(a_1\neq a_2\) हो तो कौन सा कथन सही है?
If \(f:A\to B\) is one-one and \(a_1\neq a_2\), which statement is correct?
#one-one-function
#definition
#symbolic
A (f\(a_1\)\neq f\(a_2\))
B (f\(a_1\)=f\(a_2\))
C \(a_1=a_2\)
D (f\(a_1\)=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f\(a_1\)\neq f\(a_2\))
Step 1
Concept
एकैकी फलन में अलग आगतों के प्रतिबिंब अलग होते हैं। / In a one-one function, different inputs have different images.
Step 2
Why this answer is correct
\(a_1\neq a_2\) दिया है इसलिए (f\(a_1\)\neq f\(a_2\)) होगा। / Since \(a_1\neq a_2\), we must have (f\(a_1\)\neq f\(a_2\)).
Step 3
Exam Tip
यह एकैकी फलन की सीधी पहचान है। / This is the direct meaning of one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x+10) हो तो (f(4)) और (f(5)) की तुलना से क्या पता चलता है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x+10), what does comparing (f(4)) and (f(5)) show?
#one-one-function
#linear-function
#basic-values
A अलग आगतों पर अलग मान मिलते हैं / Different inputs give different values
B दोनों मान समान हैं / Both values are equal
C फलन स्थिर है / The function is constant
D फलन परिभाषित नहीं है / The function is not defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. अलग आगतों पर अलग मान मिलते हैं / Different inputs give different values
Step 1
Concept
(f(4)=14) और (f(5)=15) हैं। / (f(4)=14) and (f(5)=15).
Step 2
Why this answer is correct
अलग आगतों पर अलग मान मिल रहे हैं। / Different inputs give different values.
Step 3
Exam Tip
ऐसे रैखिक फलन में समान संख्या जोड़ने से क्रम और एकैकीपन बना रहता है। / In such a linear function, adding the same number preserves order and one-one property.
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फलन (f(x)=x-4 ) वास्तविक संख्याओं पर एकैकी क्यों नहीं है?
Why is (f(x)=x-4 ) not one-one on real numbers?
#one-one-function
#power-function
#not-one-one
A क्योंकि (f(1)=f(-1)) / Because (f(1)=f(-1))
B क्योंकि (f(0)=0) / Because (f(0)=0)
C क्योंकि (f(2)=16) / Because (f(2)=16)
D क्योंकि यह हर जगह ऋणात्मक है / Because it is negative everywhere
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (f(1)=f(-1)) / Because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
(1) और (-1) अलग वास्तविक संख्याएँ हैं। / (1) and (-1) are different real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों पर \(x^4\) का मान (1) आता है। / Both give the value (1) under \(x^4\).
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले फलन पूरे वास्तविक प्रांत पर सामान्यतः एकैकी नहीं होते। / Even-power functions are generally not one-one on the whole real domain.
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फलन (f(x)=x-3 ) वास्तविक संख्याओं पर कैसा है?
What type of function is (f(x)=x-3 ) on real numbers?
#one-one-function
#cubic-function
#increasing-function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D परिभाषित नहीं / Not defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(x^3\) वास्तविक संख्याओं पर बढ़ने वाला फलन है। / \(x^3\) is an increasing function on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
अगर \(a^3=b^3\) हो तो (a=b) होता है। / If \(a^3=b^3\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
विषम घात का सरल घन फलन एकैकी होता है। / The basic odd-power cubic function is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=0x+6) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=0x+6), what type of function is (f)?
#one-one-function
#constant-function
#linear-form
A एकैकी नहीं / Not one-one
B एकैकी / One-one
C द्वैकीय / Bijective
D बढ़ता हुआ / Increasing
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी नहीं / Not one-one
Step 1
Concept
(0x+6) का मान हर (x) के लिए (6) है। / The value of (0x+6) is (6) for every (x).
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=6) और (f(5)=6) जबकि \(1\neq5\)। / (f(1)=6) and (f(5)=6), although \(1\neq5\).
Step 3
Exam Tip
रैखिक रूप में (x) का गुणांक (0) हो तो फलन स्थिर हो जाता है। / In a linear expression, if the coefficient of (x) is (0), the function becomes constant.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=-4x+9) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=-4x+9), what type of function is (f)?
#one-one-function
#linear-function
#negative-slope
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) मानें। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
(-4a+9=-4b+9) से (a=b) मिलता है। / (-4a+9=-4b+9) gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक गुणांक होने से एकैकीपन नहीं टूटता, गुणांक केवल शून्य नहीं होना चाहिए। / A negative coefficient does not destroy one-one property; the coefficient just must not be zero.
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यदि प्रांत में (3) तत्व और सहप्रांत में (5) तत्व हों तो एकैकी फलन संभव है या नहीं?
If the domain has (3) elements and the codomain has (5) elements, is a one-one function possible?
#one-one-function
#cardinality
#finite-set
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C कभी फलन नहीं बन सकता / No function can be formed
D केवल स्थिर फलन बनेगा / Only a constant function can be formed
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
एकैकी फलन के लिए (3) अलग प्रतिबिंब चाहिए। / A one-one function needs (3) distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत में (5) तत्व हैं इसलिए (3) अलग प्रतिबिंब चुनना संभव है। / The codomain has (5) elements, so choosing (3) distinct images is possible.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में पहले तत्वों की संख्या की तुलना करें। / For finite sets, compare the number of elements first.
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यदि प्रांत में (5) तत्व और सहप्रांत में (3) तत्व हों तो एकैकी फलन संभव है या नहीं?
If the domain has (5) elements and the codomain has (3) elements, is a one-one function possible?
#one-one-function
#cardinality
#finite-set
A नहीं / No
B हाँ / Yes
C केवल स्थिर फलन संभव है / Only a constant function is possible
D केवल सर्वसमिका फलन संभव है / Only identity function is possible
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. नहीं / No
Step 1
Concept
एकैकी फलन में प्रांत के हर तत्व को अलग प्रतिबिंब चाहिए। / A one-one function needs a distinct image for each domain element.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (5) अलग प्रतिबिंब चाहिए लेकिन सहप्रांत में केवल (3) तत्व हैं। / Here (5) distinct images are needed, but the codomain has only (3) elements.
Step 3
Exam Tip
एकैकी फलन के लिए सहप्रांत में कम से कम प्रांत जितने तत्व होने चाहिए। / For a one-one function, the codomain must have at least as many elements as the domain.
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यदि \(f:{1,2,3}\to{4,5}\) और \(f=\{(1,4),(2,4),(3,5)\}\) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:{1,2,3}\to{4,5}\) and \(f=\{(1,4),(2,4),(3,5)\}\), what type of function is (f)?
#one-one-function
#finite-set
#not-one-one
A एकैकी नहीं / Not one-one
B एकैकी / One-one
C सर्वसमिका / Identity
D परिभाषित नहीं / Not defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी नहीं / Not one-one
Step 1
Concept
(1) और (2) अलग तत्व हैं। / (1) and (2) are different elements.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का प्रतिबिंब (4) है इसलिए एकैकीपन नहीं है। / Both have image (4), so the function is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में यदि कोई प्रतिबिंब दोहर जाए तो फलन एकैकी नहीं होता। / For finite sets, repeated images mean the function is not one-one.
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यदि \(f:{1,2,3}\to{4,5,6}\) और \(f=\{(1,4),(2,5),(3,6)\}\) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:{1,2,3}\to{4,5,6}\) and \(f=\{(1,4),(2,5),(3,6)\}\), what type of function is (f)?
#one-one-function
#finite-set
#ordered-pairs
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
प्रांत के हर तत्व का एक ही प्रतिबिंब है। / Each element of the domain has exactly one image.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिबिंब (4,5,6) सभी अलग हैं। / The images (4,5,6) are all distinct.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में प्रतिबिंबों की सूची देखकर एकैकीपन जल्दी जाँचा जा सकता है। / For finite sets, one-one can be checked quickly by listing the images.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) और (f(n)=n-2 ) हो तो कौन सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=n-2 ), which statement is correct?
#one-one-function
#integers
#square-function
A यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
B यह एकैकी है / It is one-one
C यह सर्वसमिका है / It is identity
D यह स्थिर है / It is constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
पूर्णांकों में (1) और (-1) दोनों आते हैं। / The integers include both (1) and (-1).
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1) और (f(-1)=1) इसलिए अलग आगतों का समान निर्गत है। / (f(1)=1) and (f(-1)=1), so different inputs have the same output.
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन पूरे पूर्णांक समुच्चय पर एकैकी नहीं होता। / The square function is not one-one on all integers.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) और (f(n)=2n) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=2n), what type of function is (f)?
#one-one-function
#integers
#linear-function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D अस्पष्ट / Ambiguous
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(2n) में अलग पूर्णांकों को दुगुना करने पर अलग परिणाम मिलते हैं। / Doubling different integers gives different results.
Step 2
Why this answer is correct
\(2n_1=2n_2\) से \(n_1=n_2\) मिलता है। / From \(2n_1=2n_2\), we get \(n_1=n_2\).
Step 3
Exam Tip
गुणांक शून्य न हो तो ऐसा रैखिक फलन एकैकी रहता है। / A linear rule with non-zero coefficient remains one-one.
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यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) और (f(n)=n+4) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) and (f(n)=n+4), what type of function is (f)?
#one-one-function
#natural-numbers
#linear-function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
अलग प्राकृतिक संख्याओं में (4) जोड़ने पर अलग संख्याएँ मिलती हैं। / Adding (4) to different natural numbers gives different numbers.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(n_1+4=n_2+4\) तो \(n_1=n_2\)। / If \(n_1+4=n_2+4\), then \(n_1=n_2\).
Step 3
Exam Tip
समान संख्या जोड़ना एकैकीपन को नहीं तोड़ता। / Adding the same number does not destroy one-one property.
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किस उदाहरण से सिद्ध होता है कि (f(x)=x-2 +1) वास्तविक संख्याओं पर एकैकी नहीं है?
Which example proves that (f(x)=x-2 +1) is not one-one on real numbers?
#one-one-function
#quadratic-function
#counterexample
A (f(1)=f(-1))
B (f(0)=1)
C (f(2)=5)
D (f(3)=10)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
एकैकी नहीं दिखाने के लिए अलग आगतों पर समान मान दिखाएँ। / To show a function is not one-one, show equal outputs for different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=2) और (f(-1)=2) जबकि \(1\neq-1\)। / (f(1)=2) and (f(-1)=2), while \(1\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
केवल एक मान निकालना काफी नहीं होता, दो अलग आगतों की तुलना करें। / Finding only one value is not enough; compare two different inputs.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=3x-5) हो तो (f(a)=f(b)) से क्या मिलेगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=3x-5), what follows from (f(a)=f(b))?
#one-one-function
#linear-function
#proof
A (a=b)
B (a=-b)
C (a+b=5)
D (ab=0)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) रखने पर (3a-5=3b-5) मिलता है। / From (f(a)=f(b)), we get (3a-5=3b-5).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर (3a=3b) और फिर (a=b)। / Simplifying gives (3a=3b), hence (a=b).
Step 3
Exam Tip
(f(a)=f(b)\Rightarrow a=b) एकैकी फलन की मुख्य जाँच है। / The condition (f(a)=f(b)\Rightarrow a=b) is the main test for one-one.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=\log x) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=\log x), which statement about (f) is correct?
#one-one-function
#logarithmic-function
#increasing-function
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह स्थिर है / It is constant
D इसका प्रांत खाली है / Its domain is empty
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Correct Answer
A. यह एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\(\log x\) अपने प्रांत (\(0,\infty\)) पर बढ़ने वाला फलन है। / \(\log x\) is increasing on its domain (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
अलग धनात्मक आगतों पर \(\log x\) के अलग मान मिलते हैं। / Different positive inputs give different logarithmic values.
Step 3
Exam Tip
लघुगणक फलन में प्रांत हमेशा धनात्मक संख्याओं का होता है। / For logarithmic functions, remember that the domain contains positive numbers only.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) और (f(x)=e^x) हो तो (f) कैसा है?
If (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) and (f(x)=e^x), what type of function is (f)?
#one-one-function
#exponential-function
#increasing-function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(e^x\) बढ़ने वाला फलन है। / \(e^x\) is an increasing function.
Step 2
Why this answer is correct
(x) बढ़ाने पर \(e^x\) का मान भी बढ़ता है इसलिए दो अलग आगत समान निर्गत नहीं देते। / As (x) increases, \(e^x\) also increases, so two different inputs cannot give the same output.
Step 3
Exam Tip
बढ़ते फलन सामान्यतः एकैकी जाँच में सरल होते हैं। / Increasing functions are usually easy to test for one-one.
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