यदि \(f:{1,2,3,4}\to{a,b,c}\) एकैकी हो, तो यह संभव है या नहीं?
If \(f:{1,2,3,4}\to{a,b,c}\) is one-one, is it possible?
#one-one function
#finite sets
#counting
#class 12
A संभव है / Possible
B संभव नहीं है / Not possible
C हमेशा स्थिर होगा / Always constant
D केवल (a=b) होने पर / Only if (a=b)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. संभव नहीं है / Not possible
Step 1
Concept
प्रांत में (4) तत्व हैं और सहप्रांत में केवल (3) तत्व हैं। / The domain has (4) elements and the codomain has only (3) elements.
Step 2
Why this answer is correct
एकैकी के लिए हर निवेश को अलग निर्गत चाहिए, जो यहाँ पर्याप्त नहीं हैं। / A one-one function needs a different output for every input, which is not enough here.
Step 3
Exam Tip
परिमित समुच्चय में यदि प्रांत के तत्व अधिक हों, तो एकैकी फलन संभव नहीं होता। / For finite sets, if the domain has more elements, a one-one function is not possible.
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यदि \(f:{2,4,6}\to{1,3,5,7}\) में (f(2)=1), (f(4)=3), (f(6)=5), तो (f) क्या है?
If \(f:{2,4,6}\to{1,3,5,7}\) has (f(2)=1), (f(4)=3), (f(6)=5), what is (f)?
#one-one function
#finite set
#codomain
#class 12
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D सहप्रांत से बाहर / Outside codomain
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
तीनों निवेशों के निर्गत (1,3,5) हैं। / The outputs for the three inputs are (1,3,5).
Step 2
Why this answer is correct
ये सभी अलग-अलग हैं, इसलिए कोई पुनरावृत्ति नहीं है। / All are different, so there is no repetition.
Step 3
Exam Tip
परिमित समुच्चय में एकैकी जाँच का सबसे सरल तरीका निर्गतों को गिनना है। / For finite sets, the easiest one-one test is to check repeated outputs.
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एकैकी फलन की सही परिभाषा कौन-सी है?
Which is the correct definition of a one-one function?
#one-one function
#definition
#concept
#class 12
A अलग निवेशों के निर्गत अलग होते हैं / Different inputs have different outputs
B हर निर्गत शून्य होता है / Every output is zero
C प्रांत और सहप्रांत हमेशा बराबर होते हैं / Domain and codomain are always equal
D फलन केवल एक निवेश लेता है / The function takes only one input
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. अलग निवेशों के निर्गत अलग होते हैं / Different inputs have different outputs
Step 1
Concept
एकैकी का अर्थ है कि कोई दो अलग निवेश एक ही निर्गत न दें। / One-one means no two different inputs give the same output.
Step 2
Why this answer is correct
यही बात विकल्प में अलग निवेशों के अलग निर्गत के रूप में दी गई है। / This is exactly stated as different inputs having different outputs.
Step 3
Exam Tip
परिभाषा याद रखने के लिए सोचें कि एक निर्गत पर दो तीर नहीं आने चाहिए। / Remember it as no two arrows should land on the same output.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=0x+4), तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=0x+4), what is the correct statement about (f)?
#one-one function
#constant function
#linear form
#class 12
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह पहचान फलन है / It is identity function
D यह (f(x)=x) है / It is (f(x)=x)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
(0x+4) का मान हर (x) के लिए (4) है। / (0x+4) equals (4) for every (x).
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग निवेश, जैसे (1) और (3), एक ही निर्गत (4) देते हैं। / Different inputs, such as (1) and (3), give the same output (4).
Step 3
Exam Tip
रैखिक रूप में गुणांक (0) हो तो फलन स्थिर बन जाता है। / In a linear form, coefficient (0) makes the function constant.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) को (f(x)=2x) से दिया गया है, तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) is given by (f(x)=2x), what type is (f)?
#one-one function
#integers
#multiplication
#class 12
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) मानने पर (2a=2b) होगा। / If (f(a)=f(b)), then (2a=2b).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों ओर (2) से भाग देने पर (a=b) मिलता है। / Dividing both sides by (2), we get (a=b).
Step 3
Exam Tip
गैर-शून्य गुणन वाला फलन अलग निवेशों को अलग निर्गत देता है। / Multiplication by a non-zero number gives different outputs for different inputs.
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यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) को (f(x)=x+2) से परिभाषित किया गया है, तो क्या (f) एकैकी है?
If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) is defined by (f(x)=x+2), is (f) one-one?
#one-one function
#natural numbers
#linear function
#class 12
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (x=2) के लिए / Only for (x=2)
D निर्धारित नहीं किया जा सकता / Cannot be determined
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Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
(a+2=b+2) से (a=b) मिलता है। / From (a+2=b+2), we get (a=b).
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं पर भी (x+c) प्रकार का फलन एकैकी रहता है। / On natural numbers also, a function of the form (x+c) is one-one.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x|) एकैकी क्यों नहीं है?
Why is the function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x|), not one-one?
#one-one function
#absolute value
#non injective
#class 12
A क्योंकि (f(2)=f(-2)) / Because (f(2)=f(-2))
B क्योंकि (f(2)\neq f(-2)) / Because (f(2)\neq f(-2))
C क्योंकि (f(0)) अपरिभाषित है / Because (f(0)) is undefined
D क्योंकि (f(x)) हमेशा ऋणात्मक है / Because (f(x)) is always negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (f(2)=f(-2)) / Because (f(2)=f(-2))
Step 1
Concept
निरपेक्ष मान धन और ऋण दोनों संख्याओं को समान धन मान दे सकता है। / Absolute value can give the same positive value for positive and negative inputs.
Step 2
Why this answer is correct
\(2\neq-2\), पर (f(2)=2) और (f(-2)=2)। / \(2\neq-2\), but (f(2)=2) and (f(-2)=2).
Step 3
Exam Tip
( |x| ) वाले फलन में विपरीत चिह्नों की जाँच जल्दी करें। / For ( |x| ) functions, quickly check opposite signs.
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कौन-सा फलन \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) में एकैकी है?
Which function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is one-one?
#one-one function
#linear function
#comparison
#class 12
A (f(x)=3x-4)
B (f(x)=x-2 )
C (f(x)=5)
D (f(x)=|x|)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f(x)=3x-4)
Step 1
Concept
(f(x)=3x-4) रैखिक है और उसका गुणांक \(3\neq0\) है। / (f(x)=3x-4) is linear with coefficient \(3\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
बाकी विकल्पों में दो अलग निवेश समान निर्गत दे सकते हैं, जैसे (x) और (-x)। / The other options can give the same output for two different inputs, such as (x) and (-x).
Step 3
Exam Tip
आसान प्रश्नों में पहले रैखिक और स्थिर फलनों को पहचानें। / In easy questions, first identify linear and constant functions.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x+1) के लिए यदि (f(a)=f(b)), तो अगला सही चरण क्या होगा?
For \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x+1), if (f(a)=f(b)), what is the next correct step?
#one-one function
#proof step
#linear function
#class 12
A (a+1=b+1)
B \(a^2=b^2\)
C (a+b=1)
D (a-b=1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (a+1=b+1)
Step 1
Concept
(f(a)) का अर्थ (a+1) और (f(b)) का अर्थ (b+1) है। / (f(a)) means (a+1) and (f(b)) means (b+1).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (f(a)=f(b)) से (a+1=b+1) लिखा जाएगा। / So (f(a)=f(b)) becomes (a+1=b+1).
Step 3
Exam Tip
एकैकी सिद्ध करते समय पहले सही प्रतिस्थापन करें। / While proving one-one, first substitute correctly.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(f:A\to A\) में (f(1)=1), (f(2)=1), (f(3)=3), तो (f) के लिए सही विकल्प कौन-सा है?
If \(A=\{1,2,3\}\) and \(f:A\to A\) has (f(1)=1), (f(2)=1), (f(3)=3), which option is correct for (f)?
#one-one function
#finite mapping
#non injective
#class 12
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C पहचान फलन है / Identity function
D सभी निर्गत अलग हैं / All outputs are different
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
एकैकी के लिए अलग निवेशों के निर्गत अलग होने चाहिए। / For one-one, different inputs must have different outputs.
Step 2
Why this answer is correct
\(1\neq2\), लेकिन (f(1)=f(2)=1)। / \(1\neq2\), but (f(1)=f(2)=1).
Step 3
Exam Tip
जब दो तीर एक ही निर्गत पर जाएँ, फलन एकैकी नहीं होता। / If two arrows go to the same output, the function is not one-one.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(f:A\to A\) में (f(1)=2), (f(2)=3), (f(3)=1), तो (f) कैसा है?
If \(A=\{1,2,3\}\) and \(f:A\to A\) has (f(1)=2), (f(2)=3), (f(3)=1), what type is (f)?
#one-one function
#finite set
#mapping
#class 12
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
निर्गतों की सूची (2,3,1) है। / The outputs are (2,3,1).
Step 2
Why this answer is correct
कोई भी निर्गत दो बार नहीं आया, इसलिए अलग निवेश अलग निर्गत देते हैं। / No output is repeated, so different inputs have different outputs.
Step 3
Exam Tip
छोटे समुच्चय वाले प्रश्नों में निर्गतों की पुनरावृत्ति देखकर एकैकी जाँचें। / For finite sets, check repetition in the output list.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=7) के लिए सही कथन चुनिए।
Choose the correct statement for the function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=7).
#one-one function
#constant function
#non injective
#class 12
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल (x=7) पर परिभाषित है / Defined only at (x=7)
D इसका कोई निर्गत नहीं है / It has no output
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
स्थिर फलन हर निवेश को एक ही निर्गत देता है। / A constant function gives the same output for every input.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=7) और (f(2)=7), जबकि \(1\neq2\)। / (f(1)=7) and (f(2)=7), while \(1\neq2\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में स्थिर फलन को सामान्यतः एकैकी नहीं माना जाता, जब तक प्रांत में केवल एक तत्व न हो। / In exams, a constant function is not one-one unless its domain has only one element.
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यदि \(f:A\to B\) एकैकी है और (f(a)=f(b)), तो क्या निष्कर्ष निकलेगा?
If \(f:A\to B\) is one-one and (f(a)=f(b)), what conclusion follows?
#one-one function
#definition
#injective
#class 12
A (a=b)
B \(a\neq b\)
C (f(a)=0)
D (A=B)
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Step 1
Concept
एकैकी फलन की मूल पहचान यही है कि समान निर्गत तभी मिले जब निवेश समान हों। / The main property of a one-one function is that equal outputs come only from equal inputs.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (f(a)=f(b)) से सीधे (a=b) मिलता है। / Therefore (f(a)=f(b)) directly gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
परिभाषा आधारित प्रश्नों में इसी विचार को तुरंत लागू करें। / In definition-based questions, apply this property first.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-2 ) से परिभाषित किया गया है, तो यह एकैकी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x-2 ), why is it not one-one?
#one-one function
#non injective
#square function
#class 12
A क्योंकि (f(1)=f(-1)) / Because (f(1)=f(-1))
B क्योंकि (f(1)\neq f(-1)) / Because (f(1)\neq f(-1))
C क्योंकि (f(0)) अस्तित्व में नहीं है / Because (f(0)) does not exist
D क्योंकि हर मान ऋणात्मक है / Because every value is negative
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(1)=f(-1)) / Because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
एकैकी न होने के लिए दो अलग निवेशों पर समान निर्गत मिलना चाहिए। / A function is not one-one if two different inputs give the same output.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ \(1\neq-1\), पर (f(1)=1) और (f(-1)=1)। / Here \(1\neq-1\), but (f(1)=1) and (f(-1)=1).
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन को पूरे वास्तविक समुच्चय पर लेते समय संकेतों की जोड़ी जरूर देखें। / For square functions on all real numbers, always check opposite inputs.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=2x+5) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=2x+5), which statement about (f) is correct?
#one-one function
#linear function
#relations and functions
#class 12
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल स्थिर फलन है / Only a constant function
D परिभाषित नहीं है / Not defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
एकैकी जाँचने के लिए मान लें (f(a)=f(b))। / To test one-one, assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
तब (2a+5=2b+5), इसलिए (a=b)। / Then (2a+5=2b+5), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में रैखिक फलन (mx+c) में \(m\neq0\) हो तो वह एकैकी होता है। / In exams, a linear function (mx+c) with \(m\neq0\) is one-one.
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यदि \(f:{1,2,3,4}\to{5,6,7,8}\) और \(f=\{(1,5),(2,7),(3,6),(4,7)\}\) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:{1,2,3,4}\to{5,6,7,8}\) and \(f=\{(1,5),(2,7),(3,6),(4,7)\}\), which statement about (f) is correct?
#one-one-function
#finite-set
#not-one-one
A यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
B यह एकैकी है / It is one-one
C यह सर्वसमिका फलन है / It is an identity function
D यह फलन नहीं है / It is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
प्रांत के हर तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब है इसलिए यह फलन है। / Each element of the domain has exactly one image, so it is a function.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (2) और (4) दोनों का प्रतिबिंब (7) है। / But both (2) and (4) have image (7).
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में कोई प्रतिबिंब दोहर जाए तो फलन एकैकी नहीं होता। / In a finite set, repeated images mean the function is not one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=6-2x) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=6-2x), what type of function is (f)?
#one-one-function
#linear-function
#easy
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) मानने पर (6-2a=6-2b) मिलता है। / Assuming (f(a)=f(b)), we get (6-2a=6-2b).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर (-2a=-2b) इसलिए (a=b)। / Simplifying gives (-2a=-2b), hence (a=b).
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में (x) का गुणांक शून्य न हो तो फलन एकैकी होता है। / A linear function is one-one when the coefficient of (x) is not zero.
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कौन सा फलन वास्तविक संख्याओं पर एकैकी है?
Which function is one-one on real numbers?
#one-one-function
#identify-function
#mcq
A (f(x)=x+1)
B (f(x)=x-2 )
C (f(x)=|x|)
D (f(x)=5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f(x)=x+1)
Step 1
Concept
(f(x)=x+1) रैखिक है और (x) का गुणांक \(1\neq0\) है। / (f(x)=x+1) is linear and the coefficient of (x) is \(1\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
बाकी विकल्पों में अलग आगत समान मान दे सकते हैं या फलन स्थिर है। / The other options can give equal outputs for different inputs or are constant.
Step 3
Exam Tip
आसान प्रश्नों में पहले रैखिक और स्थिर फलनों को पहचानें। / In easy questions, identify linear and constant functions first.
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यदि \(f:[-1,\infty\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=x-2 +2x+5) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:[-1,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x-2 +2x+5), what type of function is (f)?
#one-one-function
#restricted-domain
#quadratic-function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(f(x)=(x+1)2 +4) है। / (f(x)=(x+1)2 +4).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\geq-1\) पर ((x+1)2 ) बढ़ता है। / For \(x\geq-1\), ((x+1)2 ) increases.
Step 3
Exam Tip
धुरी के एक ओर द्विघात फलन एकैकी हो सकता है। / On one side of its axis, a quadratic function can be one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-2 +2x+5) हो तो (f) एकैकी है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 +2x+5), is (f) one-one?
#one-one-function
#quadratic-function
#not-one-one
A नहीं / No
B हाँ / Yes
C केवल धनात्मक संख्याओं पर / Only on positive numbers
D यह स्थिर है / It is constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. नहीं / No
Step 1
Concept
(x-2 +2x+5=(x+1)2 +4) है। / (x-2 +2x+5=(x+1)2 +4).
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=5) और (f(-2)=5) जबकि \(0\neq-2\)। / (f(0)=5) and (f(-2)=5), while \(0\neq-2\).
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन पूरे वास्तविक प्रांत पर सामान्यतः एकैकी नहीं होता। / A quadratic function is generally not one-one on the whole real domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}-{0}\to\mathbb{R}-{0}\) और (f(x)=\frac{1}{x}) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}-{0}\to\mathbb{R}-{0}\) and (f(x)=\frac{1}{x}), what type of function is (f)?
#one-one-function
#reciprocal-function
#domain
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) से \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) मिलता है। / From (f(a)=f(b)), we get \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(a\neq0\) और \(b\neq0\) होने से (a=b) निष्कर्ष मिलता है। / Since \(a\neq0\) and \(b\neq0\), this gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम फलन अपने उचित प्रांत पर एकैकी होता है। / The reciprocal function is one-one on its proper domain.
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यदि (f(x)=\frac{x+1}{2}) हो तो (f) एकैकी है या नहीं?
If (f(x)=\frac{x+1}{2}), is (f) one-one?
#one-one-function
#linear-fraction
#basic-proof
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (x=0) पर / Only at (x=0)
D यह फलन नहीं है / It is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) मानें। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{a+1}{2}=\frac{b+1}{2}\) से (a+1=b+1) और (a=b) मिलता है। / \(\frac{a+1}{2}=\frac{b+1}{2}\) gives (a+1=b+1), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
हर में स्थिर संख्या होने से एकैकीपन नहीं टूटता। / A fixed denominator does not break one-one property.
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यदि \(f:A\to B\) एकैकी है तो (f) के परास में तत्वों की संख्या कैसी होगी?
If \(f:A\to B\) is one-one, what can be said about the number of elements in the range of (f)?
#one-one-function
#range
#finite-set
A प्रांत के तत्वों जितनी / Equal to the number of elements in the domain
B हमेशा शून्य / Always zero
C सहप्रांत से हमेशा अधिक / Always more than the codomain
D हमेशा एक / Always one
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. प्रांत के तत्वों जितनी / Equal to the number of elements in the domain
Step 1
Concept
एकैकी फलन में प्रांत के हर तत्व का अलग प्रतिबिंब होता है। / In a one-one function, each domain element has a distinct image.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए परास में उतने ही तत्व होंगे जितने प्रांत में हैं। / Therefore the range has as many elements as the domain.
Step 3
Exam Tip
यह बात सीमित समुच्चयों की गिनती में बहुत उपयोगी है। / This fact is very useful in counting problems on finite sets.
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यदि (|A|=4) और (|B|=2) हो तो (A) से (B) में एकैकी फलनों की संख्या क्या है?
If (|A|=4) and (|B|=2), how many one-one functions are there from (A) to (B)?
#one-one-function
#counting
#impossible-case
A (0)
B (2)
C (8)
D (16)
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Step 1
Concept
एकैकी फलन के लिए (4) अलग प्रतिबिंब चाहिए। / A one-one function needs (4) distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत में केवल (2) तत्व हैं इसलिए यह संभव नहीं है। / The codomain has only (2) elements, so this is impossible.
Step 3
Exam Tip
प्रांत बड़ा और सहप्रांत छोटा हो तो एकैकी फलनों की संख्या शून्य हो सकती है। / If the domain is larger than the codomain, the number of one-one functions may be zero.
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यदि (|A|=3) और (|B|=3) हो तो (A) से (B) में एकैकी फलनों की संख्या क्या है?
If (|A|=3) and (|B|=3), how many one-one functions are there from (A) to (B)?
#one-one-function
#counting
#bijection
A (6)
B (9)
C (27)
D (3)
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Step 1
Concept
पहले तत्व के लिए (3) चुनाव हैं। / The first element has (3) choices.
Step 2
Why this answer is correct
फिर (2) और फिर (1) चुनाव बचता है। / Then (2) choices and then (1) choice remain.
Step 3
Exam Tip
कुल संख्या \(3\cdot2\cdot1=6\) है। / The total number is \(3\cdot2\cdot1=6\).
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यदि (|A|=2) और (|B|=4) हो तो (A) से (B) में एकैकी फलनों की संख्या क्या है?
If (|A|=2) and (|B|=4), how many one-one functions are there from (A) to (B)?
#one-one-function
#counting
#finite-set
A (12)
B (8)
C (6)
D (16)
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Step 1
Concept
पहले तत्व के लिए (4) चुनाव हैं। / The first element has (4) choices.
Step 2
Why this answer is correct
दूसरे तत्व के लिए दोहराव न होने से (3) चुनाव बचते हैं। / The second element has (3) remaining choices because repetition is not allowed.
Step 3
Exam Tip
कुल एकैकी फलन \(4\cdot3=12\) होंगे। / Total one-one functions are \(4\cdot3=12\).
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एकैकी फलन की गिनती में (A) के प्रत्येक तत्व के लिए प्रतिबिंब कैसे चुने जाते हैं?
In counting one-one functions, how are images chosen for each element of (A)?
#one-one-function
#counting
#no-repetition
A बिना दोहराव के / Without repetition
B हमेशा दोहराव के साथ / Always with repetition
C सिर्फ पहला तत्व चुना जाता है / Only the first element is chosen
D सभी को एक ही मान दिया जाता है / All are given the same value
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. बिना दोहराव के / Without repetition
Step 1
Concept
एकैकी फलन में दो अलग तत्वों को एक ही प्रतिबिंब नहीं मिल सकता। / In a one-one function, two different elements cannot have the same image.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए चुने गए प्रतिबिंब दोहराए नहीं जाते। / Therefore selected images are not repeated.
Step 3
Exam Tip
एकैकी फलनों की गिनती में क्रमचय का विचार आता है। / Counting one-one functions uses the idea of permutations.
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यदि \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\) और (f(x)=\cos x) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\) and (f(x)=\cos x), what type of function is (f)?
#one-one-function
#trigonometric-function
#decreasing-function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\([0,\pi]\) पर \(\cos x\) घटने वाला फलन है। / On \([0,\pi]\), \(\cos x\) is decreasing.
Step 2
Why this answer is correct
घटने वाला फलन अलग आगतों पर अलग मान देता है। / A decreasing function gives different outputs for different inputs.
Step 3
Exam Tip
घटता हुआ होना भी एकैकीपन की मजबूत पहचान है। / Being strictly decreasing is also a strong sign of one-one property.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\cos x) हो तो एकैकीपन के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\cos x), which statement about one-one property is correct?
#one-one-function
#trigonometric-function
#periodic
A यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
B यह एकैकी है / It is one-one
C यह स्थिर है / It is constant
D यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
\(\cos x\) आवर्ती फलन है। / \(\cos x\) is periodic.
Step 2
Why this answer is correct
\(\cos 0=1\) और \(\cos 2\pi=1\) जबकि \(0\neq2\pi\)। / \(\cos 0=1\) and \(\cos 2\pi=1\), while \(0\neq2\pi\).
Step 3
Exam Tip
समान मान वाले अलग कोण मिल जाएँ तो फलन एकैकी नहीं होता। / If different angles give the same value, the function is not one-one.
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यदि \(f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1]\) और (f(x)=\sin x) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1]\) and (f(x)=\sin x), what type of function is (f)?
#one-one-function
#trigonometric-function
#restricted-domain
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D परिभाषित नहीं / Not defined
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) लगातार बढ़ता है। / On the given interval, \(\sin x\) is increasing.
Step 2
Why this answer is correct
इस अंतराल में दो अलग (x) समान ज्या मान नहीं देते। / In this interval, two different (x) values do not give the same sine value.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलन उचित अंतराल पर एकैकी हो सकते हैं। / Trigonometric functions can be one-one on suitable restricted intervals.
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