Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
In stars and bars, (18) stars and (3) bars are arranged. In exams use \(^{n+r-1}C_{r-1}\) for non-negative solutions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(^{21}C_3\). In stars and bars, (18) stars and (3) bars are arranged. In exams use \(^{n+r-1}C_{r-1}\) for non-negative solutions.
Step 3
Exam Tip
Stars and bars में (18) stars और (3) bars arrange होते हैं। परीक्षा में अऋणात्मक हलों के लिए \(^{n+r-1}C_{r-1}\) लगाएं।
Subtract \( \binom{15}{3} \) cases with \(x_1\ge6\) from total \( \binom{21}{3} \), giving (875). For upper limits, subtract forbidden solutions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (875). Subtract \( \binom{15}{3} \) cases with \(x_1\ge6\) from total \( \binom{21}{3} \), giving (875). For upper limits, subtract forbidden solutions.
Step 3
Exam Tip
कुल \( \binom{21}{3} \) से \(x_1\ge6\) वाले \( \binom{15}{3} \) घटते हैं, उत्तर (875) है। ऊपरी सीमा में प्रतिबंधित हल घटाना आसान है।
After giving (2) pens to each student, (6) pens remain, so \( \binom{8}{2}=28 \). Subtract the minimum condition and then count nonnegative solutions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (28). After giving (2) pens to each student, (6) pens remain, so \( \binom{8}{2}=28 \). Subtract the minimum condition and then count nonnegative solutions.
Step 3
Exam Tip
हर विद्यार्थी को (2) देने के बाद (6) कलमें बचती हैं, इसलिए \( \binom{8}{2}=28 \)। न्यूनतम शर्त घटाकर फिर शून्य सहित हल गिनें।
This is the number of nonnegative solutions of \(x_1+x_2+x_3+x_4=6\), so \( \binom{9}{3}=84 \). For unlimited identical types, use stars and bars.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (84). This is the number of nonnegative solutions of \(x_1+x_2+x_3+x_4=6\), so \( \binom{9}{3}=84 \). For unlimited identical types, use stars and bars.
Step 3
Exam Tip
यह \(x_1+x_2+x_3+x_4=6\) के अशून्येतर नहीं बल्कि शून्य सहित हल हैं, इसलिए \( \binom{9}{3}=84 \)। असीमित समान प्रकारों में सितारे और पट्टियाँ लगाएँ।
From total \( \binom{12}{2} \), subtract \(3\binom{6}{2}\) cases where a variable is (6) or more, giving (21). For upper bounds, complementary counting is useful.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (21). From total \( \binom{12}{2} \), subtract \(3\binom{6}{2}\) cases where a variable is (6) or more, giving (21). For upper bounds, complementary counting is useful.
Step 3
Exam Tip
कुल \( \binom{12}{2} \) से किसी चर के (6) या अधिक होने के \(3\binom{6}{2}\) मामले घटते हैं, उत्तर (21) है। ऊपरी सीमा में पूरक गिनती उपयोगी रहती है।
B. (0) पर भरा वृत्त और दाईं ओर किरण/Closed circle at (0) and ray right
Step 1
Concept
The sign \(\ge\) includes (0), and greater numbers are to the right. So it is a closed circle with a right ray.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (0) पर भरा वृत्त और दाईं ओर किरण / Closed circle at (0) and ray right. The sign \(\ge\) includes (0), and greater numbers are to the right. So it is a closed circle with a right ray.
Step 3
Exam Tip
चिह्न \(\ge\) में (0) शामिल है और उससे बड़ी संख्याएँ दाईं ओर होती हैं। इसलिए भरा वृत्त और दाईं किरण बनती है।
The square of a real number is never negative, so \(x^2\ge 0\) is always true. This shows a basic idea of inequalities.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हमेशा सत्य / always true. The square of a real number is never negative, so \(x^2\ge 0\) is always true. This shows a basic idea of inequalities.
Step 3
Exam Tip
किसी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं होता इसलिए \(x^2\ge 0\) हमेशा सत्य है। यह असमानता का मूल विचार समझाता है।
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
(\sqrt{(x+5)2}=|x+5|) is always non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
A function with a non-negative range is not onto the whole \(\mathbb{R}\). चरण 1: (\sqrt{(x+5)2}=|x+5|) हमेशा अऋणात्मक होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक मान हैं, जो फलन से नहीं मिलते। चरण 3: अऋणात्मक परास वाले फलन को पूरे \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी नहीं मानें।
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
(\sqrt{(x-4)2}=|x-4|).
Step 2
Why this answer is correct
Its value is never negative, while the codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values.
Step 3
Exam Tip
Be careful when matching a modulus-type range with a real codomain. चरण 1: (\sqrt{(x-4)2}=|x-4|) है। चरण 2: इसका मान कभी ऋणात्मक नहीं होता, जबकि सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक मान हैं। चरण 3: मापांक रूप को वास्तविक सहप्रांत से मिलाते समय सावधान रहें।
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
A square-root value is always (0) or positive.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values such as (-1), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
A square-root function is not onto a full real codomain. चरण 1: वर्गमूल का मान हमेशा (0) या धनात्मक होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) जैसे ऋणात्मक मान हैं, जो नहीं मिलते। चरण 3: वर्गमूल फलन को वास्तविक सहप्रांत देने पर आच्छादीपन नहीं रहता।
The minimum value of \(x^4+x^2\) is (0), and for large (x), it becomes very large.
Step 2
Why this answer is correct
Since it is continuous, it takes all values above (0).
Step 3
Exam Tip
With a non-negative codomain, such a polynomial can be onto. चरण 1: \(x^4+x^2\) का न्यूनतम मान (0) है और बड़े (x) पर यह बहुत बड़ा होता है। चरण 2: सतत होने के कारण यह (0) से ऊपर के सभी मान लेता है। चरण 3: अऋणात्मक सहप्रांत के साथ ऐसा बहुपद आच्छादी हो सकता है।
For every \(y\ge0\), take \(x=\sqrt[4]{y}\), then \(x^4=y\).
Step 3
Exam Tip
An even-power function can be onto a non-negative codomain. चरण 1: \(x^4\) का परास \([0,\infty\)) है। चरण 2: हर \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt[4]{y}\) लेने पर \(x^4=y\) मिलता है। चरण 3: सम घात फलन अऋणात्मक सहप्रांत पर आच्छादी हो सकता है।
For every \(y\ge2\), take \(x=\sqrt{y-2}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
The range \([2,\infty\)) equals the codomain. चरण 1: \(x^2\ge0\), इसलिए \(x^2+2\ge2\)। चरण 2: हर \(y\ge2\) के लिए \(x=\sqrt{y-2}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: परास \([2,\infty\)) और सहप्रांत समान हैं।
The codomain is also \([0,\infty\)), so every codomain value is obtained.
Step 3
Exam Tip
With the correct codomain, a modulus function can be onto. चरण 1: (|x|) का परास \([0,\infty\)) है। चरण 2: सहप्रांत भी \([0,\infty\)) है, इसलिए सहप्रांत का हर मान मिल जाता है। चरण 3: मापांक फलन को सही सहप्रांत देने पर वह आच्छादी हो सकता है।
The square-root function is onto its natural codomain. चरण 1: सहप्रांत का कोई भी मान \(y\ge0\) लें। चरण 2: \(x=y^2\) रखने पर \(x\ge0\) और \(\sqrt{x}=y\) मिलता है। चरण 3: वर्गमूल फलन अपने प्राकृतिक सहप्रांत पर आच्छादी होता है।
For ((a,a)), the value is (0), and \(0\geq 0\) is true.
Step 3
Exam Tip
In relations involving non-negative squares, check diagonal pairs carefully. चरण 1: किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग (0) या उससे बड़ा होता है। चरण 2: ((a,a)) पर मान (0) आता है, और \(0\geq 0\) सत्य है। चरण 3: वर्ग की गैर-ऋणात्मकता से जुड़े संबंधों में विकर्ण युग्म अवश्य जाँचें।
