\(54=2 \times 3^3\) and \(10=2 \times 5\), so \(540=2^2 \times 3^3 \times 5\).
Step 3
Exam Tip
Splitting a large number into easy parts is a safe method. चरण 1: \(540=54 \times 10\) लिखें। चरण 2: \(54=2 \times 3^3\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(540=2^2 \times 3^3 \times 5\)। चरण 3: बड़े नंबर को आसान भागों में तोड़ना सुरक्षित तरीका है।
An odd number does not have (2) as a prime factor.
Step 2
Why this answer is correct
The third option has (3,5,7) and no (2), so it forms an odd number.
Step 3
Exam Tip
If (2) appears, the number is even. चरण 1: विषम संख्या में (2) अभाज्य गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: तीसरे विकल्प में (3,5,7) हैं और (2) नहीं है, इसलिए यह विषम संख्या बनेगी। चरण 3: (2) दिखते ही संख्या सम हो जाती है।
An even number must have (2) in its prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
Only the third option contains (2), so it forms an even number.
Step 3
Exam Tip
You do not need to calculate the whole number to check even or odd. चरण 1: सम संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में (2) अवश्य होता है। चरण 2: केवल तीसरे विकल्प में (2) है, इसलिए वही सम संख्या बनाएगा। चरण 3: सम या विषम पहचानने के लिए पूरी संख्या निकालने की जरूरत नहीं होती।
Evaluating the power first makes calculation easier. चरण 1: \(2^4\) का मान (16) है। चरण 2: \(16 \times 3=48\), इसलिए बनी संख्या (48) है। चरण 3: पहले घात का मान निकालना गणना को आसान बनाता है।
Add (1) to each exponent and multiply to get total factors.
Step 2
Why this answer is correct
In option A, ((4+1)(2+1)(3+1)=5\times3\times4=60).
Step 3
Exam Tip
In option-based questions, test the exponents of each option. चरण 1: कुल गुणनखंडों के लिए घातों में (1) जोड़कर गुणा करते हैं। चरण 2: विकल्प A में ((4+1)(2+1)(3+1)=5\times3\times4=60)। चरण 3: विकल्प आधारित प्रश्नों में हर विकल्प की घातों पर यह नियम लगाएं।
\(12=2^2\times3\) and \(180=2^2\times3^2\times5\), so the product is \(2^4\times3^3\times5\).
Step 3
Exam Tip
Convert given numbers to prime form before multiplying. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य। चरण 2: \(12=2^2\times3\) और \(180=2^2\times3^2\times5\), इसलिए गुणनफल \(2^4\times3^3\times5\) है। चरण 3: संख्या को पहले अभाज्य रूप में बदलना आसान रहता है।
In division, subtract the smaller exponent from the larger one. चरण 1: समान आधारों को भाग देते समय घातें घटती हैं। चरण 2: \(2^{6-2}\times3^{4-1}\times5^{2-1}=2^4\times3^3\times5\)। चरण 3: भाग में बड़ी घात से छोटी घात घटाएं।
Add exponents for multiplication with the same base. चरण 1: समान आधार वाली अभाज्य घातों को गुणा करते समय घातें जोड़ी जाती हैं। चरण 2: \(2^{3+2}\times3^{1+2}\times5^{1+2}=2^5\times3^3\times5^3\)। चरण 3: आधार समान हो तो गुणा में घात जोड़ें, गुणा न करें।
Product of two numbers equals HCF multiplied by LCM.
Step 2
Why this answer is correct
Multiply \(2^2\times3\) with \(2^5\times3^3\times5\); add exponents to get \(2^7\times3^4\times5\).
Step 3
Exam Tip
When multiplying same bases, add exponents. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल उनके महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: \(2^2\times3\) और \(2^5\times3^3\times5\) को गुणा करने पर घातें जुड़ती हैं, इसलिए \(2^7\times3^4\times5\)। चरण 3: समान आधारों को गुणा करते समय घातें जोड़ें।
A. क्योंकि 18 संयुक्त संख्या है/Because 18 is composite
Step 1
Concept
In the final prime factorisation, bases must be prime.
Step 2
Why this answer is correct
\(18=2\times3^2\), so \(18^2\) must be changed into \(2^2\times3^4\).
Step 3
Exam Tip
Do not leave a composite base in the final answer. चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में आधार अभाज्य होने चाहिए। चरण 2: \(18=2\times3^2\), इसलिए \(18^2\) को \(2^2\times3^4\) में बदलना होगा। चरण 3: संयुक्त आधार को अंतिम उत्तर में न छोड़ें।
A. क्योंकि 36 संयुक्त संख्या है/Because 36 is composite
Step 1
Concept
In final prime factorisation, the bases should be prime.
Step 2
Why this answer is correct
\(36=2^2\times3^2\), so \(36^2\) must be changed into \(2^4\times3^4\).
Step 3
Exam Tip
Do not keep a composite base like 36 in the final answer. चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में आधार अभाज्य होने चाहिए। चरण 2: \(36=2^2\times3^2\), इसलिए \(36^2\) को \(2^4\times3^4\) में बदलना होगा। चरण 3: अंतिम उत्तर में 36 जैसा संयुक्त आधार न रखें।
A. क्योंकि 25 संयुक्त संख्या है/Because 25 is composite
Step 1
Concept
In final prime factorisation, the base must be prime.
Step 2
Why this answer is correct
25 is composite and \(25=5^2\).
Step 3
Exam Tip
Therefore, \(25^2\times7\) must be changed into \(5^4\times7\). चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में आधार अभाज्य होना चाहिए। चरण 2: 25 संयुक्त है और \(25=5^2\) होता है। चरण 3: इसलिए \(25^2\times7\) को \(5^4\times7\) में बदलना होगा।
Solving powers first gives the answer quickly. चरण 1: \(2^5=32\) और \(3^2=9\) निकालें। चरण 2: \(32\times9\times7=2016\)। चरण 3: घातों को पहले हल करने से उत्तर जल्दी मिलता है।
4, 81, 567, 12, and 189 are composite, so they are not final forms. चरण 1: अंतिम अभाज्य रूप में आधार अभाज्य होने चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में 2, 3 और 7 अभाज्य आधार हैं। चरण 3: 4, 81, 567, 12 और 189 संयुक्त हैं, इसलिए वे अंतिम रूप नहीं हैं।
Solve powers first and then multiply. चरण 1: \(2^4=16\) और \(3^2=9\) निकालें। चरण 2: \(16\times9\times11=1584\)। चरण 3: घातों को पहले हल करके गुणा करें।
In the first option, bases 2, 3, and 11 are prime.
Step 3
Exam Tip
16, 9, 99, and 18 are composite, so they are not final forms. चरण 1: अंतिम रूप में आधार केवल अभाज्य होने चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में आधार 2, 3 और 11 अभाज्य हैं। चरण 3: 16, 9, 99 और 18 संयुक्त हैं, इसलिए वे अंतिम रूप नहीं हैं।
A. क्योंकि 12 संयुक्त संख्या है/Because 12 is composite
Step 1
Concept
In final prime factorisation, the base must be prime.
Step 2
Why this answer is correct
12 is composite and \(12=2^2\times3\).
Step 3
Exam Tip
Therefore, \(12^2\) must be changed further into \(2^4\times3^2\). चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में आधार अभाज्य होना चाहिए। चरण 2: 12 संयुक्त है और \(12=2^2\times3\) है। चरण 3: इसलिए \(12^2\) को आगे \(2^4\times3^2\) में बदलना होगा।
Solving powers first helps find the option quickly. चरण 1: \(2^4=16\) और \(3^2=9\) निकालें। चरण 2: \(16\times9\times5=720\)। चरण 3: घातों को पहले हल करने से विकल्प जल्दी मिल जाता है।
A. सभी गुणनखंड अभाज्य होने चाहिए/All factors must be prime
Step 1
Concept
In prime factorisation, a number is written as a product of prime numbers.
Step 2
Why this answer is correct
If any composite factor remains, the form is not final.
Step 3
Exam Tip
In exams, write only prime bases and their powers in the final answer. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल में लिखा जाता है। चरण 2: यदि कोई संयुक्त गुणनखंड बचा है, तो रूप अंतिम नहीं माना जाएगा। चरण 3: परीक्षा में अंतिम उत्तर में केवल अभाज्य आधार और उनकी घातें लिखें।
A final prime factorisation contains only prime numbers.
Step 2
Why this answer is correct
A composite factor must be broken further.
Step 3
Exam Tip
In exams, do not leave factors like 6, 8, or 10 at the end. चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में केवल अभाज्य संख्याएं रहती हैं। चरण 2: संयुक्त गुणनखंड को आगे तोड़ना जरूरी होता है। चरण 3: परीक्षा में 6, 8, 10 जैसे गुणनखंडों को अंत में न छोड़ें।
To get the number from prime factorisation, multiply all factors. चरण 1: \(2^8=256\) और \(3^4=81\) निकालें। चरण 2: \(256\times81\times5\times7=725760\)। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन से संख्या पाने के लिए सभी गुणनखंडों का गुणा करें।
To get the number from prime factorisation, multiply all factors. चरण 1: \(2^7=128\) और \(3^4=81\) निकालें। चरण 2: \(128\times81\times5\times7=362880\)। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन से संख्या पाने के लिए सभी गुणनखंडों का गुणा करें।
To get the number from prime factorisation, multiply all factors. चरण 1: पहले \(2^6=64\) और \(3^4=81\) निकालें। चरण 2: \(64\times81\times5\times7=181440\)। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन से संख्या पाने के लिए सभी गुणनखंडों का गुणा करें।
To get the number from prime factorisation, multiply all factors. चरण 1: पहले \(2^5=32\) और \(3^3=27\) निकालें। चरण 2: \(32\times27\times5\times7=30240\)। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन से संख्या पाने के लिए सभी गुणनखंडों का गुणा करें।
To get the number from prime factorisation, multiply all factors. चरण 1: पहले \(2^4=16\) और \(3^3=27\) निकालें। चरण 2: \(16\times27\times5\times7=15120\)। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन से संख्या पाने के लिए सभी गुणनखंडों का गुणा करें।
To get the number from prime factorisation, multiply all factors. चरण 1: पहले \(2^3=8\) और \(3^2=9\) निकालें। चरण 2: \(8\times9\times5\times7=2520\)। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन से संख्या पाने के लिए सभी गुणनखंडों का गुणा करें।
A. अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में/As a product of prime numbers
Step 1
Concept
This theorem is connected with prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
Every positive integer greater than 1 can be written as a product of prime numbers.
Step 3
Exam Tip
In exams, remember it through prime factorisation. चरण 1: यह प्रमेय अभाज्य गुणनखंडन से जुड़ा है। चरण 2: 1 से बड़ी हर धनात्मक पूर्ण संख्या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखी जा सकती है। चरण 3: परीक्षा में इस विचार को अभाज्य गुणनखंडन से जोड़कर याद रखें।
A. सभी गुणनखंड अभाज्य संख्याएं हों/All factors should be prime numbers
Step 1
Concept
In prime factorisation, a number is written as a product of prime numbers.
Step 2
Why this answer is correct
So the final form should contain only prime factors.
Step 3
Exam Tip
If any composite factor remains, factorise it further. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखते हैं। चरण 2: इसलिए अंतिम रूप में केवल अभाज्य गुणनखंड होने चाहिए। चरण 3: यदि कोई संयुक्त गुणनखंड बचा हो, तो उसे और तोड़ें।
A. अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में/As a product of prime numbers
Step 1
Concept
This theorem is about prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
Every composite number can be written as a product of prime numbers.
Step 3
Exam Tip
In exams, remember this theorem through factorisation. चरण 1: यह प्रमेय अभाज्य गुणनखंडों के बारे में है। चरण 2: हर संयुक्त संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। चरण 3: परीक्षा में इस प्रमेय को गुणनखंडन से जोड़कर याद रखें।
In standard form, the remainder must be from 0 to 899.
Step 2
Why this answer is correct
\(900\times10=9000\), so (9001=9000+1).
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder greater than 900 does not make the standard Euclidean form. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 899 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(900\times10=9000\), इसलिए (9001=9000+1) है। चरण 3: ऋणात्मक या 900 से बड़ा शेषफल मानक यूक्लिडीय रूप नहीं बनाता।
\(5^2=25\) and \(7^2=49\), and both leave remainder 1 when divided by 12.
Step 3
Exam Tip
In form-based questions, work only with the remainder. चरण 1: दोनों रूपों में शेषफल 5 या 7 है। चरण 2: \(5^2=25\) और \(7^2=49\), दोनों को 12 से भाग देने पर शेषफल 1 है। चरण 3: रूप आधारित प्रश्नों में केवल शेषफल पर काम करें।
On division by 17, remainders can be from 0 to 16.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, all forms are from (17q) to (17q+16).
Step 3
Exam Tip
Include zero remainder, but do not include 17. चरण 1: 17 से भाग देने पर शेषफल 0 से 16 तक हो सकता है। चरण 2: इसलिए सभी रूप (17q) से (17q+16) तक होंगे। चरण 3: पूरी सूची में शून्य शेषफल शामिल करें, लेकिन 17 शामिल न करें।
In standard form, the remainder must be from 0 to 390.
Step 2
Why this answer is correct
\(391\times15=5865\), so (6127=5865+262).
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder greater than 391 does not make the correct Euclidean form. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 390 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(391\times15=5865\), इसलिए (6127=5865+262) है। चरण 3: ऋणात्मक या 391 से बड़ा शेषफल सही यूक्लिडीय रूप नहीं बनाता।
In standard form, the remainder must be from 0 to 699.
Step 2
Why this answer is correct
\(700\times10=7000\), so (7001=7000+1).
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder greater than 700 does not make the standard Euclidean form. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 699 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(700\times10=7000\), इसलिए (7001=7000+1) है। चरण 3: ऋणात्मक या 700 से बड़ा शेषफल मानक यूक्लिडीय रूप नहीं बनाता।
\(3^2=9\) and \(7^2=49\), and both leave remainder 9 when divided by 10.
Step 3
Exam Tip
In form-based questions, work only with the remainder. चरण 1: दोनों रूपों में शेषफल 3 या 7 है। चरण 2: \(3^2=9\) और \(7^2=49\), दोनों को 10 से भाग देने पर शेषफल 9 है। चरण 3: रूप आधारित प्रश्नों में केवल शेषफल पर काम करें।
On division by 13, remainders can be from 0 to 12.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, all forms are from (13q) to (13q+12).
Step 3
Exam Tip
Include zero remainder, but do not include 13. चरण 1: 13 से भाग देने पर शेषफल 0 से 12 तक हो सकता है। चरण 2: इसलिए सभी रूप (13q) से (13q+12) तक होंगे। चरण 3: पूरी सूची में शून्य शेषफल शामिल करें, लेकिन 13 शामिल न करें।
In standard form, the remainder must be from 0 to 288.
Step 2
Why this answer is correct
\(289\times15=4335\), so (4555=4335+220).
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder greater than 289 does not make the correct Euclidean form. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 288 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(289\times15=4335\), इसलिए (4555=4335+220) है। चरण 3: ऋणात्मक या 289 से बड़ा शेषफल सही यूक्लिडीय रूप नहीं बनाता।
In standard form, the remainder must be from 0 to 499.
Step 2
Why this answer is correct
\(500\times10=5000\), so (5001=5000+1).
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder greater than 500 does not make the standard Euclidean form. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 499 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(500\times10=5000\), इसलिए (5001=5000+1) है। चरण 3: ऋणात्मक या 500 से बड़ा शेषफल मानक यूक्लिडीय रूप नहीं बनाता।
\(3^2=9\) and \(5^2=25\), and both leave remainder 1 on division by 8.
Step 3
Exam Tip
Checking squares of odd remainders modulo 8 is a quick method. चरण 1: दोनों रूपों में शेषफल 3 या 5 है। चरण 2: \(3^2=9\) और \(5^2=25\), दोनों को 8 से भाग देने पर शेषफल 1 है। चरण 3: विषम शेषफलों के वर्ग को 8 से जांचना तेज तरीका है।
On division by 11, remainders can be from 0 to 10.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, all forms are from (11q) to (11q+10).
Step 3
Exam Tip
Include remainder 0, but do not include 11. चरण 1: 11 से भाग देने पर शेषफल 0 से 10 तक हो सकता है। चरण 2: इसलिए सभी रूप (11q) से (11q+10) तक होंगे। चरण 3: पूरी सूची में शेषफल 0 शामिल करें, लेकिन 11 शामिल न करें।
In Euclidean form, the remainder is non-negative and smaller than 247.
Step 2
Why this answer is correct
\(247\times12=2964\), so (3199=2964+235).
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder bigger than the divisor is not the standard form. चरण 1: यूक्लिडीय रूप में शेषफल ऋणात्मक नहीं होता और 247 से छोटा होता है। चरण 2: \(247\times12=2964\), इसलिए (3199=2964+235) है। चरण 3: ऋणात्मक या भाजक से बड़ा शेषफल दिखे तो वह मानक रूप नहीं है।
In standard form, the remainder must be from 0 to 119.
Step 2
Why this answer is correct
\(120\times10=1200\), so (1201=1200+1).
Step 3
Exam Tip
Along with correct calculation, the valid range of the remainder is necessary. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 119 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(120\times10=1200\), इसलिए (1201=1200+1) है। चरण 3: गणना सही होने के साथ शेषफल की वैध सीमा भी जरूरी है।
\(1^2=1\) and \(5^2=25=6\times4+1\), so the remainder is 1 in both cases.
Step 3
Exam Tip
In such forms, work only with the remainder, not the whole number. चरण 1: संभावित शेषफल 1 और 5 हैं। चरण 2: \(1^2=1\) और \(5^2=25=6\times4+1\), इसलिए दोनों स्थितियों में शेषफल 1 है। चरण 3: ऐसे रूपों में पूरी संख्या नहीं, केवल शेषफल पर काम करें।
On division by 9, possible remainders are from 0 to 8.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, all forms are from (9q) to (9q+8).
Step 3
Exam Tip
Include remainder 0 and do not include remainder 9. चरण 1: 9 से भाग देने पर शेषफल 0 से 8 तक हो सकता है। चरण 2: इसलिए सभी रूप (9q) से (9q+8) तक होंगे। चरण 3: पूरी सूची में 0 शेषफल रखें और 9 शेषफल न रखें।
\(73\times12=876\), so (947=876+71), and 71 is valid.
Step 3
Exam Tip
A form with a negative remainder may look close, but it is not Euclidean form. चरण 1: वैध शेषफल 0 से 72 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(73\times12=876\), इसलिए (947=876+71) और 71 वैध शेषफल है। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल वाला रूप सही गणना जैसा लग सकता है, पर वह यूक्लिडीय रूप नहीं है।
\(100\times9=900\), so (999=900+99), and 99 is less than 100.
Step 3
Exam Tip
A form with a negative remainder may look computationally close, but it is not Euclidean form. चरण 1: मानक रूप में शेषफल नकारात्मक नहीं होता। चरण 2: \(100\times9=900\), इसलिए (999=900+99) और 99, 100 से छोटा है। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल वाला रूप गणना जैसा दिख सकता है, पर यूक्लिडीय रूप नहीं है।
The square of an odd number leaves remainder 1 when divided by 8; for example, \(1^2\) and \(5^2\) both leave remainder 1.
Step 3
Exam Tip
Remember the rule that odd squares leave remainder 1 on division by 8. चरण 1: (4q+1) रूप की संख्या विषम होती है। चरण 2: किसी विषम संख्या का वर्ग 8 से भाग देने पर शेषफल 1 देता है; उदाहरण के लिए \(1^2\) और \(5^2\) दोनों 8 से 1 शेषफल देते हैं। चरण 3: विषम वर्गों में 8 से शेषफल 1 वाला नियम याद रखें।
On division by 6, possible remainders are 0, 1, 2, 3, 4, and 5.
Step 2
Why this answer is correct
So the forms are from (6q) to (6q+5).
Step 3
Exam Tip
Include remainder 0 and do not include 6 in the complete list. चरण 1: 6 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2, 3, 4, 5 हो सकते हैं। चरण 2: इसलिए रूप (6q) से (6q+5) तक होंगे। चरण 3: पूरी सूची में शेषफल 0 शामिल करें और 6 शामिल न करें।
\(58\times12=696\), so (703=696+7), and 7 is valid.
Step 3
Exam Tip
Along with calculation, also check the range of the remainder. चरण 1: वैध शेषफल 0 से 57 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(58\times12=696\), इसलिए (703=696+7) और 7 वैध शेषफल है। चरण 3: गणना सही होने के साथ शेषफल की सीमा भी जांचनी चाहिए।
Include remainder 0 and do not include remainder 7 in the complete list. चरण 1: 7 से भाग देने पर शेषफल 0 से 6 तक हो सकता है। चरण 2: इसलिए रूप (7q) से (7q+6) तक होंगे। चरण 3: पूर्ण सूची में 0 शेषफल शामिल करें और 7 शेषफल न लें।
When the remainder 3 gets 1 added, it reaches the next multiple of 4. चरण 1: (m=4q+3) में 1 जोड़ें। चरण 2: (m+1=4q+4=4(q+1)), इसलिए यह 4 से विभाज्य है। चरण 3: शेषफल 3 में 1 जोड़ने पर अगला पूरा गुणज बनता है।
A. क्योंकि 3 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2 में से एक होता है/Because division by 3 gives one of the remainders 0, 1, 2
Step 1
Concept
On division by 3, every integer is of the form (3q), (3q+1), or (3q+2).
Step 2
Why this answer is correct
Three consecutive integers cover these three remainders, so one is exactly divisible by 3.
Step 3
Exam Tip
Use the cycle of remainders for consecutive-number problems. चरण 1: 3 से भाग देने पर हर संख्या (3q), (3q+1), या (3q+2) रूप में होगी। चरण 2: तीन लगातार संख्याओं में ये तीनों शेषफल आते हैं, इसलिए एक संख्या 3 से पूर्णतः विभाजित होगी। चरण 3: लगातार संख्याओं में शेषफल चक्र का उपयोग करें।
The number has remainder 5, so the square has the same remainder as \(5^2=25\) divided by 6.
Step 2
Why this answer is correct
\(25=6\times4+1\), so the remainder is 1.
Step 3
Exam Tip
In square questions, first square the smaller remainder. चरण 1: संख्या का शेषफल 5 है, इसलिए वर्ग का शेषफल \(5^2=25\) को 6 से भाग देकर मिलेगा। चरण 2: \(25=6\times4+1\), इसलिए शेषफल 1 है। चरण 3: वर्ग वाले सवालों में पहले छोटे शेषफल का वर्ग लें।
When divided by 4, the remainder can be 0, 1, 2, or 3.
Step 2
Why this answer is correct
In (4q+4), the remainder is 4, equal to the divisor, so it is not a standard form.
Step 3
Exam Tip
A remainder is never equal to the divisor. चरण 1: 4 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2, 3 में से होगा। चरण 2: (4q+4) में शेषफल 4 है, जो भाजक के बराबर है, इसलिए यह मानक रूप नहीं है। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता।
In a valid form, the remainder must be from 0 to 14.
Step 2
Why this answer is correct
\(15\times6=90\), so (98=90+8), and 8 is valid.
Step 3
Exam Tip
Check both the calculation and the remainder limit. चरण 1: वैध रूप में शेषफल 0 से 14 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(15\times6=90\), इसलिए (98=90+8) और 8 वैध शेषफल है। चरण 3: गणना के साथ शेषफल की सीमा भी जांचें।
Remainder 0 means the number is exactly divisible by the divisor. चरण 1: यूक्लिड रूप (a=bq+r) है। चरण 2: यदि शेषफल 0 है, तो (a=23q+0=23q) होगा। चरण 3: शेषफल 0 होने का अर्थ है कि संख्या भाजक से पूर्णतः विभाजित है।
When divided by 2, the remainder can only be 0 or 1.
Step 2
Why this answer is correct
An odd number is not exactly divisible by 2, so the remainder is 1 and the form is (a=2q+1).
Step 3
Exam Tip
For even-odd questions, take 2 as the divisor. चरण 1: 2 से भाग देने पर शेषफल 0 या 1 ही हो सकता है। चरण 2: विषम संख्या 2 से पूरी तरह विभाजित नहीं होती, इसलिए शेषफल 1 होगा और रूप (a=2q+1) बनेगा। चरण 3: सम और विषम के सवालों में 2 को भाजक मानना उपयोगी रहता है।
In Euclidean form, the remainder is non-negative and smaller than the divisor.
Step 2
Why this answer is correct
\(19\times22=418\), so (431=418+13) and (13<19).
Step 3
Exam Tip
A form with a negative remainder is not the standard Euclidean form. चरण 1: यूक्लिड रूप में शेषफल ऋणात्मक नहीं होता और भाजक से छोटा होता है। चरण 2: \(19\times22=418\), इसलिए (431=418+13) और (13<19)। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल वाला रूप मानक यूक्लिड रूप नहीं माना जाता।
On division by (31), the remainder must be from (0) to (30).
Step 2
Why this answer is correct
In (31q+30), the remainder is (30), which is less than (31).
Step 3
Exam Tip
A remainder (31), (37), or negative is not in standard form. चरण 1: (31) से भाग देने पर शेषफल (0) से (30) तक होना चाहिए। चरण 2: (31q+30) में शेषफल (30) है, जो (31) से छोटा है। चरण 3: शेषफल (31), (37) या ऋणात्मक हो तो वह मानक रूप नहीं होगा।
(39) is smaller than (100), so the quotient is (0).
Step 2
Why this answer is correct
\(39=100 \times 0+39\), and (39<100), so the form is correct.
Step 3
Exam Tip
If the dividend is smaller, the remainder can be the dividend itself. चरण 1: (39), (100) से छोटा है, इसलिए भागफल (0) होगा। चरण 2: \(39=100 \times 0+39\) और (39<100), इसलिए रूप सही है। चरण 3: भाज्य छोटा हो तो शेषफल वही भाज्य हो सकता है।
On division by (9), remainders can be from (0) to (8).
Step 2
Why this answer is correct
In (9q+9), the remainder is (9), which equals the divisor.
Step 3
Exam Tip
It should be written correctly as (9(q+1)). चरण 1: (9) से भाग देने पर शेषफल (0) से (8) तक हो सकते हैं। चरण 2: (9q+9) में शेषफल (9) है, जो भाजक के बराबर है। चरण 3: इसे सही रूप में (9(q+1)) लिखा जाना चाहिए।
Here the divisor is (14) and the remainder is (9), so the form is (14q+9).
Step 3
Exam Tip
In a general form, multiply the divisor by (q) and add the remainder. चरण 1: यूक्लिड विभाजन रूप (a=bq+r) है। चरण 2: यहाँ भाजक (14) और शेषफल (9) है, इसलिए रूप (14q+9) होगा। चरण 3: सामान्य रूप में भाजक को (q) से गुणा करके शेषफल जोड़ें।
On division by (8), remainders can be from (0) to (7).
Step 2
Why this answer is correct
So in (8q+r), (r=0,1,2,3,4,5,6,7).
Step 3
Exam Tip
Do not include (8q+8) while writing standard forms. चरण 1: (8) से भाग देने पर शेषफल (0) से (7) तक हो सकते हैं। चरण 2: इसलिए रूप (8q+r) में (r=0,1,2,3,4,5,6,7) होगा। चरण 3: सामान्य रूप लिखते समय (8q+8) शामिल न करें।
Since (312) is greater, \(305=24 \times 12+17\) is correct.
Step 3
Exam Tip
A form with a negative remainder is not the standard Euclidean form. चरण 1: \(24 \times 12=288\) और \(24 \times 13=312\) है। चरण 2: (312) बड़ा है, इसलिए \(305=24 \times 12+17\) सही है। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल वाला रूप मानक यूक्लिडीय रूप नहीं होता।
On division by (3), possible remainders are (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
In (3q+3), the remainder is (3), which equals the divisor.
Step 3
Exam Tip
It should be written correctly as (3(q+1)). चरण 1: (3) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2) हो सकते हैं। चरण 2: (3q+3) में शेषफल (3) है, जो भाजक के बराबर है। चरण 3: इसे सही रूप में (3(q+1)) लिखना चाहिए।
Here the divisor is (13) and the remainder is (8), so the form is (13q+8).
Step 3
Exam Tip
In a general form, place the divisor with (q) and the remainder at the end. चरण 1: यूक्लिड रूप (a=bq+r) होता है। चरण 2: यहाँ भाजक (13) और शेषफल (8) है, इसलिए रूप (13q+8) होगा। चरण 3: सामान्य रूप में भाजक को (q) के साथ और शेषफल को अंत में रखें।
(a+1=3q+3=3(q+1)), so it is exactly divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
While changing the form, add the added (1) to the remainder. चरण 1: (a=3q+2) दिया है। चरण 2: (a+1=3q+3=3(q+1)), इसलिए यह (3) से पूर्ण विभाजित है। चरण 3: रूप बदलते समय जोड़े गए (1) को शेषफल में जोड़ें।
A form with a negative remainder is not the standard Euclidean form. चरण 1: \(31 \times 12=372\) और \(31 \times 13=403\)। चरण 2: (403) बड़ा है, इसलिए \(400=31 \times 12+28\)। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल वाला रूप मानक यूक्लिडीय रूप नहीं है।
In the Euclidean form (a=bq+r), (b) is the divisor and (r) is the remainder.
Step 2
Why this answer is correct
Here the divisor is (5) and the remainder should be (2), so the form is (5q+2).
Step 3
Exam Tip
In a general form, multiply the divisor by (q) and add the remainder. चरण 1: यूक्लिड रूप (a=bq+r) में भाजक (b) और शेषफल (r) होता है। चरण 2: यहाँ भाजक (5) और शेषफल (2) चाहिए, इसलिए रूप (5q+2) होगा। चरण 3: सामान्य रूप में भाजक को (q) से गुणा करें और शेषफल जोड़ें।
(41) is smaller than (60), so the quotient is (0).
Step 2
Why this answer is correct
\(41=60 \times 0+41\), and (41<60), so the form is correct.
Step 3
Exam Tip
When the dividend is smaller, the remainder can be the dividend itself. चरण 1: (41), (60) से छोटा है, इसलिए भागफल (0) होगा। चरण 2: \(41=60 \times 0+41\) और (41<60), इसलिए रूप सही है। चरण 3: जब भाज्य छोटा हो, तो शेषफल वही भाज्य हो सकता है।
Since (9) is less than (13), \(87=13 \times 6+9\) is correct.
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder greater than the divisor does not give the correct Euclidean form. चरण 1: \(13 \times 6=78\) और (87-78=9)। चरण 2: (9), (13) से छोटा है, इसलिए \(87=13 \times 6+9\) सही है। चरण 3: ऋणात्मक या भाजक से बड़ा शेषफल सही यूक्लिडीय रूप नहीं देता।
On division by (6), the possible remainders are (0,1,2,3,4,5).
Step 2
Why this answer is correct
So the number is written as (6q+r) using these remainders.
Step 3
Exam Tip
While forming general forms, list all possible remainders in order. चरण 1: (6) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2,3,4,5) हो सकते हैं। चरण 2: इसलिए संख्या (6q+r) में इन शेषफलों को रखकर लिखी जाएगी। चरण 3: सामान्य रूप बनाते समय सभी संभावित शेषफल क्रम से लिखें।
Put the divisor and the remainder in the correct places. चरण 1: यूक्लिड रूप (a=bq+r) है। चरण 2: यहाँ (b=10) और (r=6), इसलिए संख्या (10q+6) होगी। चरण 3: भाजक और शेषफल को सही स्थान पर रखें।
The remainder (4) is less than the divisor (6). चरण 1: \(6 \times 10=60\) है। चरण 2: (64-60=4), इसलिए \(64=6 \times 10+4\) सही है। चरण 3: शेषफल (4) भाजक (6) से छोटा है।
When the dividend and divisor are equal, the remainder is (0). चरण 1: समान संख्या को उसी संख्या से भाग देने पर भागफल (1) होता है। चरण 2: कुछ भी शेष नहीं बचता, इसलिए \(35=35 \times 1+0\)। चरण 3: जब भाज्य और भाजक समान हों तो शेषफल (0) होता है।
The remainder (6) is less than (16), so the form is correct. चरण 1: \(16 \times 9=144\) है। चरण 2: (150-144=6), इसलिए \(150=16 \times 9+6\) है। चरण 3: शेषफल (6), (16) से छोटा है, इसलिए रूप सही है।
Here the divisor is (5) and the remainder is (4), so the form is (5q+4).
Step 3
Exam Tip
In a general form, multiply the divisor by (q) and add the remainder. चरण 1: यूक्लिड विभाजन रूप (a=bq+r) है। चरण 2: यहाँ भाजक (5) और शेषफल (4) है, इसलिए रूप (5q+4) होगा। चरण 3: सामान्य रूप में भाजक को (q) से गुणा करके शेषफल जोड़ें।
On division by (3), possible remainders are (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
In (3q+3), the remainder is (3), which equals the divisor.
Step 3
Exam Tip
It should be written as (3(q+1)). चरण 1: (3) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2) हो सकते हैं। चरण 2: (3q+3) में शेषफल (3) है, जो भाजक के बराबर है। चरण 3: इसे (3(q+1)) के रूप में लिखना चाहिए।
If the leftover part is greater than the divisor, divide it again. चरण 1: शेषफल (9) से छोटा होना चाहिए। चरण 2: (12=9+3), इसलिए (9q+12=9(q+1)+3)। चरण 3: यदि बचा भाग भाजक से बड़ा हो तो उसे फिर से बाँटें।
A negative remainder or a remainder greater than (20) is not correct. चरण 1: \(20 \times 6=120\) है। चरण 2: (123-120=3), इसलिए \(123=20 \times 6+3\) है। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल या (20) से बड़ा शेषफल सही नहीं होता।
