From (3a-7=3b-7), we get (a=b), so different inputs have different images.
Step 3
Exam Tip
In exams, a linear function (mx+c) with \(m\neq 0\) is one-one. चरण 1: एकैकी जाँच के लिए (f(a)=f(b)) मानते हैं। चरण 2: (3a-7=3b-7) से (a=b) मिलता है इसलिए अलग-अलग मानों की छवि अलग होगी। चरण 3: परीक्षा में रैखिक फलन (mx+c) में \(m\neq 0\) हो तो वह एकैकी होता है।
In a one-one function, different inputs must have different images.
Step 2
Why this answer is correct
Here (f(2)=4) and (f(-2)=4), while \(2\neq -2\).
Step 3
Exam Tip
If two different inputs give the same image, the function is not one-one. चरण 1: एकैकी फलन में अलग-अलग आगतों की छवि अलग होनी चाहिए। चरण 2: यहाँ (f(2)=4) और (f(-2)=4) जबकि \(2\neq -2\)। चरण 3: जब दो अलग मानों की छवि समान मिले तो फलन एकैकी नहीं होता।
B. एकैकी क्योंकि (x) का गुणांक शून्य नहीं है/One-one because the coefficient of (x) is non-zero
Step 1
Concept
Let (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
From (5-2a=5-2b), we get (a=b).
Step 3
Exam Tip
A negative slope is not a problem; a linear function is one-one if its slope is non-zero. चरण 1: मान लें (f(a)=f(b))। चरण 2: (5-2a=5-2b) से (a=b) प्राप्त होता है। चरण 3: ऋणात्मक ढाल समस्या नहीं है यदि ढाल शून्य नहीं है तो रैखिक फलन एकैकी होता है।
On the whole real set, \(x^3\) is a good example of a one-one function. चरण 1: \(x^3\) बढ़ता हुआ फलन है। चरण 2: यदि \(a^3=b^3\) तो (a=b) ही होगा। चरण 3: पूरे वास्तविक समुच्चय पर \(x^3\) एकैकी का अच्छा उदाहरण है।
In an absolute value function, opposite signed inputs can have the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(3)=3) and (f(-3)=3), but \(3\neq -3\).
Step 3
Exam Tip
Such an example quickly shows that the function is not one-one. चरण 1: निरपेक्ष मान में विपरीत चिन्ह वाले मानों की छवि समान हो सकती है। चरण 2: (f(3)=3) और (f(-3)=3), पर \(3\neq -3\)। चरण 3: ऐसे उदाहरण से तुरंत पता चलता है कि फलन एकैकी नहीं है।
Adding the same constant keeps different values different. चरण 1: (f(a)=f(b)) मानकर जाँच करते हैं। चरण 2: (a+4=b+4) से (a=b) मिलता है। चरण 3: किसी संख्या में समान स्थिरांक जोड़ना अलग-अलग मानों को अलग ही रखता है।
B. एकैकी है क्योंकि (2a=2b) से (a=b)/One-one because (2a=2b) gives (a=b)
Step 1
Concept
For one-one nature, it is not necessary to get every value of the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
If (f(a)=f(b)), then (2a=2b), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
The range may be smaller, yet the function can still be one-one. चरण 1: एकैकीता में सहप्रांत के सभी मान मिलना जरूरी नहीं होता। चरण 2: (f(a)=f(b)) देने पर (2a=2b) और इसलिए (a=b)। चरण 3: परास छोटा हो सकता है फिर भी फलन एकैकी हो सकता है।
In a function involving \(x^2\), (x) and (-x) may have the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=2) and (f(-1)=2), while \(1\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
One counterexample is enough to disprove one-one nature. चरण 1: \(x^2\) वाले फलन में (x) और (-x) की छवि समान हो सकती है। चरण 2: (f(1)=2) और (f(-1)=2) जबकि \(1\neq -1\)। चरण 3: एक प्रतिवाद एकैकीता को असत्य सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है।
Here the inputs are only (0) and positive numbers.
Step 2
Why this answer is correct
On this domain, \(x^2\) increases, so \(a^2=b^2\) gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
One-one nature depends on the domain. चरण 1: यहाँ आगत केवल (0) और उससे बड़ी संख्याएँ हैं। चरण 2: इस क्षेत्र में \(x^2\) बढ़ता है इसलिए \(a^2=b^2\) होने पर (a=b)। चरण 3: फलन की एकैकीता क्षेत्र पर निर्भर करती है।
A constant function gives the same value for every input.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=7) and (f(2)=7), but \(1\neq 2\).
Step 3
Exam Tip
If the domain has more than one element, a constant function is not one-one. चरण 1: स्थिर फलन हर आगत को एक ही मान देता है। चरण 2: (f(1)=7) और (f(2)=7), पर \(1\neq 2\)। चरण 3: यदि क्षेत्र में एक से अधिक तत्व हों तो स्थिर फलन एकैकी नहीं होता।
For a finite set, one-one nature can be checked quickly by comparing images. चरण 1: दिए गए तीनों आगतों की छवियाँ (2,3,1) हैं। चरण 2: कोई भी दो अलग आगत समान छवि नहीं दे रहे हैं। चरण 3: सीमित समुच्चय में छवियों को देखकर एकैकीता जल्दी जाँची जा सकती है।
Both have image (2), so different inputs give the same image.
Step 3
Exam Tip
In a finite table, a repeated image disproves one-one nature. चरण 1: (1) और (2) अलग-अलग आगत हैं। चरण 2: दोनों की छवि (2) है इसलिए अलग आगत समान छवि दे रहे हैं। चरण 3: सीमित सारणी में दोहराई गई छवि दिखते ही एकैकीता असत्य हो जाती है।
Adding the constant (1) does not change one-one nature.
Step 3
Exam Tip
From \(a^3+1=b^3+1\), we get (a=b). चरण 1: \(x^3\) वास्तविक संख्याओं पर बढ़ता हुआ है। चरण 2: किसी बढ़ते फलन में स्थिरांक (1) जोड़ने से एकैकीता नहीं बदलती। चरण 3: \(a^3+1=b^3+1\) से (a=b) मिल जाता है।
In a squared function, points on both sides of the center may give the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1) and (f(3)=1), while \(1\neq 3\).
Step 3
Exam Tip
Equal images for different inputs mean the function is not one-one. चरण 1: वर्ग वाले फलन में केंद्र के दोनों ओर समान छवि मिल सकती है। चरण 2: (f(1)=1) और (f(3)=1), जबकि \(1\neq 3\)। चरण 3: दो समान छवियाँ मिलने पर फलन एकैकी नहीं होता।
In this reciprocal form, equal images lead to equal inputs. चरण 1: मान लें (f(a)=f(b)) जहाँ (a,b>0)। चरण 2: \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) से (a=b) मिलता है। चरण 3: प्रतिलोम रूप वाले ऐसे फलन में बराबर छवि बराबर आगत देती है।
(f(2)=\frac{1}{4}) and (f(-2)=\frac{1}{4}), while \(2\neq -2\).
Step 3
Exam Tip
Different inputs with the same image prove that the function is not one-one. चरण 1: यहाँ (x) और (-x) दोनों क्षेत्र में हैं। चरण 2: (f(2)=\frac{1}{4}) और (f(-2)=\frac{1}{4}), जबकि \(2\neq -2\)। चरण 3: समान छवि देने वाले अलग आगत मिलते ही एकैकीता समाप्त होती है।
A. (a=b) इसलिए (f) एकैकी है/(a=b), so (f) is one-one
Step 1
Concept
Writing (f(a)=f(b)) gives (2a+9=2b+9).
Step 2
Why this answer is correct
Simplifying gives (2a=2b), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
This is the algebraic test for a one-one function. चरण 1: (f(a)=f(b)) लिखने पर (2a+9=2b+9)। चरण 2: सरल करने पर (2a=2b) और (a=b)। चरण 3: यही एकैकी फलन की बीजगणितीय जाँच है।
In \(x^2\) and (|x|), (x) and (-x) can give the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(x)=6) is constant.
Step 3
Exam Tip
(4x-1) has non-zero slope, so it is one-one. चरण 1: \(x^2\) और (|x|) में (x) तथा (-x) समान छवि दे सकते हैं। चरण 2: (f(x)=6) स्थिर फलन है। चरण 3: (4x-1) में ढाल शून्य नहीं है इसलिए यह एकैकी है।
The odd power \(x^5\) keeps increasing on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a^5=b^5\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
Simple odd-power functions are often one-one on the whole real set. चरण 1: विषम घात \(x^5\) वास्तविक संख्याओं पर बढ़ती रहती है। चरण 2: \(a^5=b^5\) होने पर (a=b) ही होगा। चरण 3: विषम घात वाले सरल फलन अक्सर एकैकी होते हैं जब उनका क्षेत्र पूरा वास्तविक समुच्चय हो।
In an even power, (x) and (-x) have the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=16) and (f(-2)=16).
Step 3
Exam Tip
Even-power functions are generally not one-one on all of \(\mathbb{R}\). चरण 1: सम घात में (x) और (-x) की छवि समान होती है। चरण 2: (f(2)=16) और (f(-2)=16)। चरण 3: सम घात वाले फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर सामान्यतः एकैकी नहीं होते।
Multiplication by (2) and subtracting a constant do not break the order.
Step 3
Exam Tip
From \(2a^3-5=2b^3-5\), we get (a=b). चरण 1: \(x^3\) बढ़ता हुआ फलन है। चरण 2: \(2x^3-5\) में गुणा और स्थिरांक घटाने से क्रम नहीं टूटता। चरण 3: \(2a^3-5=2b^3-5\) से (a=b) मिलेगा।
A. यदि (f(a)=f(b)) तो (a=b)/If (f(a)=f(b)), then (a=b)
Step 1
Concept
In a one-one function, different inputs cannot give the same image.
Step 2
Why this answer is correct
Its algebraic form is (f(a)=f(b)\Rightarrow a=b).
Step 3
Exam Tip
Remembering the definition helps solve many questions quickly. चरण 1: एकैकी फलन में अलग-अलग आगत एक ही छवि नहीं दे सकते। चरण 2: इसका बीजगणितीय रूप है (f(a)=f(b)\Rightarrow a=b)। चरण 3: परिभाषा याद रखने से कई प्रश्न जल्दी हल हो जाते हैं।
In a finite function, if images are not repeated, the function is one-one. चरण 1: सभी चार आगतों की छवियाँ अलग-अलग हैं। चरण 2: कोई भी छवि दो बार नहीं आई है। चरण 3: सीमित फलन में छवियाँ दोहराई न जाएँ तो फलन एकैकी होता है।
In an absolute value function, inputs at equal distance from the center give the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=1) and (f(2)=1), while \(0\neq 2\).
Step 3
Exam Tip
Two different inputs with the same image prevent one-one nature. चरण 1: निरपेक्ष मान वाले फलन में केंद्र के दोनों ओर समान दूरी वाले आगत समान छवि देते हैं। चरण 2: (f(0)=1) और (f(2)=1), जबकि \(0\neq 2\)। चरण 3: समान छवि देने वाले दो अलग आगत एकैकीता को रोकते हैं।
On \([0,\infty\)), \(x^2\) increases continuously.
Step 2
Why this answer is correct
In this domain, two different non-negative numbers will not have the same square.
Step 3
Exam Tip
One-one nature can change with the domain, so read the domain carefully. चरण 1: \([0,\infty\)) पर \(x^2\) लगातार बढ़ता है। चरण 2: इस क्षेत्र में दो अलग गैर-ऋणात्मक संख्याएँ समान वर्ग नहीं देंगी। चरण 3: क्षेत्र बदलने से एकैकीता बदल सकती है इसलिए क्षेत्र ध्यान से देखें।
The cube root function is defined on all real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
If \(\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{b}\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
The cube root function is increasing, so it is one-one. चरण 1: घनमूल फलन पूरे वास्तविक समुच्चय पर परिभाषित है। चरण 2: \(\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{b}\) होने पर (a=b)। चरण 3: घनमूल बढ़ता हुआ फलन है इसलिए यह एकैकी है।
The square root function increases from (0) onward.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{a}=\sqrt{b}\) gives (a=b), where \(a,b\geq 0\).
Step 3
Exam Tip
The domain starting from (0) is important for this one-one nature. चरण 1: वर्गमूल फलन (0) से आगे बढ़ता हुआ रहता है। चरण 2: \(\sqrt{a}=\sqrt{b}\) से (a=b) मिलता है जहाँ \(a,b\geq 0\)। चरण 3: वर्गमूल की एकैकीता में क्षेत्र का (0) से आगे होना जरूरी है।
\(\sin 0=0\) and \(\sin \pi=0\), while \(0\neq \pi\).
Step 3
Exam Tip
Periodic functions are generally not one-one on the whole real domain. चरण 1: \(\sin x\) आवर्ती फलन है। चरण 2: \(\sin 0=0\) और \(\sin \pi=0\), जबकि \(0\neq \pi\)। चरण 3: आवर्ती फलनों में पूरे वास्तविक क्षेत्र पर एकैकीता सामान्यतः नहीं होती।
\(\cos 0=1\) and \(\cos 2\pi=1\), but \(0\neq 2\pi\).
Step 3
Exam Tip
Once different inputs give the same image, the function is not one-one. चरण 1: \(\cos x\) भी आवर्ती फलन है। चरण 2: \(\cos 0=1\) और \(\cos 2\pi=1\), पर \(0\neq 2\pi\)। चरण 3: समान छवि देने वाले अलग आगत मिलते ही फलन एकैकी नहीं रहता।
In this interval, no two different values give the same \(\tan\) value.
Step 3
Exam Tip
For trigonometric functions, restricting the domain can give one-one nature. चरण 1: दिए गए अंतराल पर \(\tan x\) बढ़ता हुआ फलन है। चरण 2: इस अंतराल में कोई दो अलग मान समान \(\tan\) मान नहीं देते। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलनों में क्षेत्र सीमित करने से एकैकीता मिल सकती है।
Completing the square helps solve such questions quickly. चरण 1: (x-2-4x+7=(x-2)2+3)। चरण 2: (f(1)=4) और (f(3)=4), जबकि \(1\neq 3\)। चरण 3: वर्ग पूर्ण करने से ऐसे प्रश्न जल्दी हल होते हैं।
Hence in this restricted domain, equal images occur only for equal inputs. चरण 1: (f(x)=(x-2)2+3) है। चरण 2: क्षेत्र \([2,\infty\)) पर ((x-2)2) बढ़ता है। चरण 3: इसलिए इस सीमित क्षेत्र में समान छवि तभी मिलेगी जब आगत समान हों।
To test one-one nature, look for different inputs with the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=0), (f(0)=0), and (f(1)=0).
Step 3
Exam Tip
Several different inputs give the same image, so the function is not one-one. चरण 1: एकैकीता जाँचने के लिए समान छवि वाले अलग आगत खोजें। चरण 2: (f(-1)=0), (f(0)=0) और (f(1)=0) हैं। चरण 3: कई अलग आगत समान छवि दे रहे हैं इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
A. दो अलग आगतों की छवि कभी समान नहीं होती/Images of two different inputs are never the same
Step 1
Concept
The main identity of a one-one function is different images for different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
If two different inputs give the same image, the condition fails.
Step 3
Exam Tip
Understanding the definition in simple words is very useful in exams. चरण 1: एकैकी फलन की मुख्य पहचान अलग-अलग आगतों की अलग छवियाँ हैं। चरण 2: यदि दो अलग आगत समान छवि दें तो शर्त टूट जाती है। चरण 3: परिभाषा को सरल भाषा में समझना परीक्षा में बहुत उपयोगी है।
If \(a\neq 0\), then (p=q), so the function is one-one. चरण 1: (f(p)=f(q)) मानें। चरण 2: (ap+b=aq+b) से (a(p-q)=0) मिलता है। चरण 3: यदि \(a\neq 0\) तो (p=q), इसलिए फलन एकैकी है।
Multiplication by (-1) keeps distinct images distinct.
Step 3
Exam Tip
From \(-a^3=-b^3\), we get \(a^3=b^3\), hence (a=b). चरण 1: \(x^3\) एकैकी है। चरण 2: (-1) से गुणा करने पर अलग छवियाँ अलग ही रहती हैं। चरण 3: \(-a^3=-b^3\) से \(a^3=b^3\) और फिर (a=b) मिलता है।
Converting to square form helps find equal images easily. चरण 1: (x-2+2x=(x+1)2-1)। चरण 2: (f(0)=0) और (f(-2)=0), जबकि \(0\neq -2\)। चरण 3: वर्ग रूप में बदलकर समान छवियाँ आसानी से खोजी जा सकती हैं।
The linear functions have non-zero slope, so they are one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^3+4\) is also increasing.
Step 3
Exam Tip
For \(x^2-1\), (f(1)=0) and (f(-1)=0), so it is not one-one. चरण 1: रैखिक फलनों में ढाल शून्य नहीं है इसलिए वे एकैकी हैं। चरण 2: \(x^3+4\) भी बढ़ता हुआ है। चरण 3: \(x^2-1\) में (f(1)=0) और (f(-1)=0) इसलिए यह एकैकी नहीं है।
From \(\frac{a+1}{2}=\frac{b+1}{2}\), we get (a+1=b+1), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
A linear form with non-zero coefficient remains one-one. चरण 1: मान लें (f(a)=f(b))। चरण 2: \(\frac{a+1}{2}=\frac{b+1}{2}\) से (a+1=b+1), इसलिए (a=b)। चरण 3: शून्य से अलग गुणांक वाले रैखिक रूप में एकैकीता रहती है।
Due to absolute value, two different inputs can give the same positive value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=1) and (f(-1)=1), while \(0\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
Check absolute value functions carefully on all of \(\mathbb{R}\). चरण 1: निरपेक्ष मान के कारण दो अलग आगत समान धनात्मक मान दे सकते हैं। चरण 2: (f(0)=1) और (f(-1)=1), जबकि \(0\neq -1\)। चरण 3: निरपेक्ष मान वाले फलन को पूरे \(\mathbb{R}\) पर सावधानी से जाँचें।
In a one-one function, different elements of (A) must have different images in (B).
Step 2
Why this answer is correct
In option (B), the images are (4,5,6), with no repetition.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, absence of repeated images is the key check. चरण 1: एकैकी फलन में (A) के अलग तत्वों की छवियाँ (B) में अलग होनी चाहिए। चरण 2: विकल्प (B) में छवियाँ (4,5,6) हैं और कोई दोहराव नहीं है। चरण 3: सीमित समुच्चय में दोहराव न होना ही मुख्य जाँच है।
A. (f(1)=f(-1)) और \(1\neq -1\)/(f(1)=f(-1)) and \(1\neq -1\)
Step 1
Concept
One counterexample is enough.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=5) and (f(-1)=5), but the inputs are different.
Step 3
Exam Tip
In even-power functions, always test (x) and (-x). चरण 1: एक प्रतिवाद पर्याप्त है। चरण 2: (f(1)=5) और (f(-1)=5), पर दोनों आगत अलग हैं। चरण 3: सम घात वाले फलन में (x) और (-x) को जरूर जाँचें।
The slope (-3) is non-zero, so the function is one-one. चरण 1: (f(a)=f(b)) मानते हैं। चरण 2: (9-3a=9-3b) से (-3a=-3b) और (a=b)। चरण 3: ढाल (-3) शून्य नहीं है इसलिए फलन एकैकी है।
The square contains (x+5), so the center is (x=-5).
Step 2
Why this answer is correct
(f(-4)=1) and (f(-6)=1), while \(-4\neq -6\).
Step 3
Exam Tip
Values equally distant from the center give the same image. चरण 1: वर्ग के भीतर (x+5) है इसलिए केंद्र (x=-5) है। चरण 2: (f(-4)=1) और (f(-6)=1), जबकि \(-4\neq -6\)। चरण 3: केंद्र के दोनों ओर समान दूरी वाले मान समान छवि देते हैं।
On this domain, ((x+5)2) increases and equal images give equal inputs.
Step 3
Exam Tip
A square function can become one-one when restricted to one side. चरण 1: दिए गए क्षेत्र में \(x+5\geq 0\) है। चरण 2: इस क्षेत्र पर ((x+5)2) बढ़ता है और समान छवि समान आगत देती है। चरण 3: वर्ग फलन को आधे क्षेत्र पर सीमित करने से वह एकैकी हो सकता है।
From \(\frac{3a-2}{5}=\frac{3b-2}{5}\), we get (3a-2=3b-2), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
A linear function written as a fraction is also one-one if the coefficient of (x) is non-zero. चरण 1: (f(a)=f(b)) लिखें। चरण 2: \(\frac{3a-2}{5}=\frac{3b-2}{5}\) से (3a-2=3b-2) और (a=b)। चरण 3: भिन्न में लिखा रैखिक फलन भी एकैकी होता है यदि (x) का गुणांक शून्य नहीं हो।
Repetition of an image destroys one-one nature. चरण 1: हर विकल्प में छवियों को देखें। चरण 2: विकल्प (C) में (1) और (2) दोनों की छवि (2) है। चरण 3: छवि के दोहराव से एकैकीता समाप्त हो जाती है।
The same image for different inputs is direct proof against one-one nature. चरण 1: (3) और (5) अलग-अलग आगत हैं। चरण 2: दोनों की छवि (8) है। चरण 3: अलग आगतों की समान छवि एकैकीता के विरुद्ध सीधा प्रमाण है।
The function increases, so different integers give different images. चरण 1: मान लें (a>b) जहाँ (a,b) पूर्णांक हैं। चरण 2: \(a^3>b^3\) और (a>b), इसलिए \(a^3+a>b^3+b\)। चरण 3: फलन बढ़ता है इसलिए अलग पूर्णांक अलग छवि देंगे।
In square form, check values equally distant from the center. चरण 1: (x-2-6x+10=(x-3)2+1)। चरण 2: (f(2)=2) और (f(4)=2), जबकि \(2\neq 4\)। चरण 3: वर्ग रूप में केंद्र के दोनों ओर समान दूरी वाले मान जाँचें।
